九年级数学上学期期中押题测试卷（一）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（华东师大版）

2024-2025学年九年级数学上学期期中测试卷（一） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：（华师版）九年级上全册 5．难度系数：0.7。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．若，则下列比列式正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（      ） A． B． C． D． 5．用配方法解方程时，原方程应变形为（    ） A． B． C． D． 6．关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 7．如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，则树高为（    ） A． B． C． D． 9．“指尖上的非遗一一麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．在一幅长，宽的刺绣风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽度为（风景画四周的金色纸边宽度相同），则列出的方程为（　　） A． B． C． D． 10．如图，正方形的边长为，点是的中点，连接与对角线交于点，连接并延长，交于点，连接交于点，连接．以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 12．如图，在中，，是高．若，则 ． 13．扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行抽检的结果如下： 抽取的毛绒玩具数 优等品的频数 优等品的频率 从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是 （精确到） 14．如图，两块边长都为的小正方形沿虚线剪开，拼成一个大正方形，则大正方形的边长为 ． 15．如图，在中，，，，，，则 ． 16．如图，正方形和正方形的边长分别为1和3，点C在边上，线段、交于点M，连接、，则 ． 三．解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： (1)； (2)． 18．（8分）解方程： (1)； (2)． 19．（8分）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知中． (1)画出关于x轴对称的； (2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出，使与位似，且与相似比为2，并写出的坐标． 20．（8分）如图，E为上一点，若，，求证： (1)； (2)． 21．（8分）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根是3，求它的另一个根和的值． 22．（10分）如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点C与点B在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为，然后沿坡面上行了米（即米）到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为．（参考数据：，，） (1)求点C到点D的水平距离的长； (2)求楼的高度． 23．（10分）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 24．（12分）【探究证明】 （1）如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB、CD于点E、F，GH分别交AD、BC于点G、H，求证： ； 【模型应用】 （2）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，求的值． 【变式拓展】 （3）如图3，平行四边形，，，直线与平行四边形相交，将平行四边形沿直线l折叠，当其中有一组对角顶点重合时，请直接写出折痕的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期期中测试卷（一） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：（华师版）九年级上全册 5．难度系数：0.7。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了最简二次根式，能熟记最简二次根式的定义是解本题的关键．注意：满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、是最简二次根式，故本选项符合题意； C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程，即可求解． 【详解】解：A、，含有个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C、，含有个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； D、，是一元二次方程，故该选项符合题意； 故选：D 3．若，则下列比列式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的基本性质，如果或，那么，即比例的内项之积与外项之积相等；反之，如果，那么或（）．据此对各选项分析即可． 【详解】解：A．由得，故不符合题意； B．由得，故不符合题意； C．由得，符合题意； D．由得，故不符合题意； 故选：C． 4．下列计算正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．根据二次根式的性质可判断A，B；根据完全平方公式可判断C，D． 【详解】解：A．，正确； B．，故不正确； C．，故不正确； D．，故不正确； 故选A． 5．用配方法解方程时，原方程应变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 故选：C． 7．如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ A、当时，可通过“两角对应相等，两个三角形相似”可证，故不符合题意； B、当时，可通过“两角对应相等，两个三角形相似”可证，故不符合题意； C、当时，可通过“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”可证，故不符合题意； D、当时，无法证明两个三角形相似，故符合题意； 故选：D ． 8．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，则树高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型． 利用和相似求得的长后加上边到地面的高度，即可求得树高． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选A． 9．“指尖上的非遗一一麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．在一幅长，宽的刺绣风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽度为（风景画四周的金色纸边宽度相同），则列出的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用一元二次方程解决实际问题，正确列出方程是解题的关键． 设金色纸边的宽度为 ，则挂图的长为，宽就为，根据题目条件列出方程． 【详解】解：设金色纸边的宽度为，则挂图的长为，宽就为， 根据题意得． 故选：C． 10．如图，正方形的边长为，点是的中点，连接与对角线交于点，连接并延长，交于点，连接交于点，连接．以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定定理证出和，根据全等三角形的性质证出，即可证出，从而判断①；根据勾股定理求出，利用面积求出，证出，即可求出HF，从而判断②；过点作于，证出垂直平分，即可判断③；证出，列出比例式即可判断④． 【详解】解：∵正方形的边长为6，点是的中点，为正方形的对角线 ∴，，， ∴ ∴， 在和中 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故①正确； ∵， 根据勾股定理 ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故②不正确； 如图，作于    ∵， 根据勾股定理可得 ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴垂直平分 ∴ 故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 即 解得 故④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、勾股定理和垂直平分线的判定及性质，解题的关键在于掌握正方形的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、勾股定理和垂直平分线的判定及性质． 二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 由二次根式有意义的条件可得一元一次不等式，解之，即可得解． 【详解】解：由二次根式有意义的条件可得：， 解得：， 故答案为：． 12．如图，在中，，是高．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 13．扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行抽检的结果如下： 抽取的毛绒玩具数 优等品的频数 优等品的频率 从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是 （精确到） 【答案】0.92 【分析】本题考查了由频率估计概率，由表中数据可判断频率在0.92附近，利用频率估计概率即可求解． 【详解】解：从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是0.92， 故答案为：0.92． 14．如图，两块边长都为的小正方形沿虚线剪开，拼成一个大正方形，则大正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确的利用面积相等进行解题． 设大正方形边长为m，根据面积相等可得，即可求解． 【详解】解：设大正方形边长为m， 即， 解得． 故答案为：． 15．如图，在中，，，，，，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查相似三角形的性质和判断，根据题意可得和，然后利用相似比即可求解．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：12． 16．如图，正方形和正方形的边长分别为1和3，点C在边上，线段、交于点M，连接、，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的性质，直角三角形的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质是解本题的关键． 连接，，即可得到是直角三角形，再根据勾股定理进行计算，即可得到的长，依据直角三角形斜边上中线的性质即可得出的长． 【详解】如图，连接，，则， 是直角三角形， 与关于对称， ， ， 又， ， ， 是的中点， 中，， 正方形和正方形的边长分别为1和3， ，， ， ， 故答案为：． 三．解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算算术平方根、立方根和去绝对值，再计算乘方，最后计算加减法即可； （2）先计算算术平方根，再利用平方差公式，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．（8分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）利用因式分解法求解即可； （）利用因式分解法求解即可； 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 【详解】（1）解： ， 或， ∴，； （2）解： ， ， 或， ∴，． 19．（8分）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知中． (1)画出关于x轴对称的； (2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出，使与位似，且与相似比为2，并写出的坐标． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析， 【分析】此题考查的是作关于x轴对称的图形和作位似图形，掌握位似图形的性质是解决此题的关键． （1）分别找出A、B、C关于轴对称点，然后连接，如图所示， 就是所求三角形； （2）连接并延长至，使；连接并延长至，使；连接并延长至，使；连接，如图所示， 就是所求三角形，再结合的位置，可得其坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）解：如图，即为所求作的三角形； ∵， 与位似，且位似比为2， ∴． 20．（8分）如图，E为上一点，若，，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质等知识，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据，证明出； （2）由，得到，进而可证明出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．（8分）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根是3，求它的另一个根和的值． 【答案】(1)见详解 (2)，另一个根为1 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义、一元二次方程的解以及解一元二次方程，熟练掌握判别式的意义是解题关键． （1）先求出根的判别式大于0，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个不相等的实数根； （2）将代入求出k，得到原方程，再解方程即可． 【详解】（1）证明：由已知， ， ， ， ∴无论取何值方程总有两个不相等的实数根． （2）解：依题意得，， 解得， 则原方程为， 解得， ∴另一根为． 22．（10分）如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点C与点B在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为，然后沿坡面上行了米（即米）到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为．（参考数据：，，） (1)求点C到点D的水平距离的长； (2)求楼的高度． 【答案】(1)40米 (2)楼的高度约为80米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据题意可得，设米，则米，然后利用勾股定理可求出．据此即可求得的长； （2）过点D作，垂足为G，则米，，然后设米，在中，利用锐角是三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于y的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵山坡CF的坡度， ∴， 设米，则米， ∴（米）， ∵米， ∴， ∴， ∴米，（米）； （2）解：过点D作，垂足为G，则四边形是矩形， ∴米，， 设米， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴米， 在中，， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的根， ∴米， ∴楼的高度约为80米． 23．（10分）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】(1)该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为 (2)当该吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系是解题的关键． （1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，根据增长率问题的等量关系列方程求解即可； （2）设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据月销售利润为8400元列方程求解即可． 【详解】（1）解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 答：当该吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元． 24．（12分）【探究证明】 （1）如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB、CD于点E、F，GH分别交AD、BC于点G、H，求证： ； 【模型应用】 （2）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，求的值． 【变式拓展】 （3）如图3，平行四边形，，，直线与平行四边形相交，将平行四边形沿直线l折叠，当其中有一组对角顶点重合时，请直接写出折痕的长度． 【答案】（1）见解析   （2）  （3）或 【分析】（1）过点作，交于，过点作，交于，如图1，易证，，，然后运用相似三角形的性质就可解决问题； （2）过点作平行于的直线，交过点平行于的直线于，交的延长线于，如图3，易证四边形是矩形，由（1）中的结论可得．设，，则，，根据勾股定理列出方程组解出x，y，问题得以解决． （3）分两种情况，①沿l折叠后点重合，过作垂线垂足为，构造矩形，由（1）的结论可得；②沿l折叠后点 重叠，过作垂线垂足为，由（1）的结论可得． 【详解】解：（1）过点作，交于，过点作，交于，如图1， 四边形是矩形， ∴，． 四边形、四边形都是平行四边形， ，． 又， ， ． 四边形是矩形， ， ， ． ， ， ， （2）过点作平行于的直线，交过点平行于的直线于，交的延长线于，如图2，则四边形是平行四边形． ，是矩形， ，，． ， 由（1）中的结论可得 ， 设，，则，， 在中，①， 在中，②， 由②①得③， 解方程组，得 ， ， ． （3）①若沿l折叠，点重叠，设l与的交点为．则垂直，过作垂线垂足为， ∵，，， ∴， ∴ ∴， 在中 由探究结论可得， ∴， ∴； ②若沿l折叠，点重叠，设l与的交点为．则垂直，过作垂线垂足为， ∵，， ∴， ∴ ∴， 在中 由探究结论可得， ∴， ∴． 所以，或． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解二元二次方程组等知识，运用（1）中的结论是解决第（2）、（3）小题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$