精品解析：山西省大同市第二中学校等校2024-2025学年高二上学期10月质量检测数学试卷

2024～2025学年高二10月质量检测卷 数学（B卷） 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第二章第3节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线经过，两点，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两点坐标求出直线斜率，根据斜率与倾斜角关系即可得出答案. 【详解】设直线的倾斜角为，则，又，所以． 故选：C． 2. 若，，三点共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用共线向量的性质，设且，进而列方程求解. 【详解】三点共线，且， 得，解得, 故选：A. 3. 如图，在长方体中，M为棱的中点. 若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算即可得到结果. 【详解】由题意得，. 故选：A． 4. 两平行直线：，：之间的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两平行直线之间的距离公式求解即可． 【详解】由题意得： 直线，， ，，两直线为平行直线， 直线， 两平行直线之间的距离为． 故选：A 5. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 则向量在向量上的投影向量为：. 故选：D. 6. 已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量点到面的距离公式直接进行求解即可. 【详解】因为，，则， 点在平面内，点平面外， 平面的一个法向量， 所以点到平面的距离. 故选：C. 7. 如图，在四棱锥中，PD底面，底面为正方形，PD=DC=2，Q为PC上一点，且PQ=3QC，则异面直线AC与BQ所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以D为原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成的角即可 【详解】因为PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形， 所以DP，DC，DA两两互相垂直， 以D为原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 由，得，，，，， 所以，， 设异面直线AC与BQ所成的角为， 则， 又， 所以异面直线AC与BQ所成的角为． 故选：A． 8. 在正三棱柱中，，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正三棱柱建立空间直角坐标系，设动点坐标，结合线线关系求线段的表达式，利用函数求最值即可. 【详解】因为正三棱柱中，有，所以为的中点，取中点， 连接，如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为是棱上一动点，设，且， 因为，且， 所以，于是令， 所以，， 又函数在上为增函数， 所以当时，，即线段长度的最小值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于空间向量的命题中，是真命题的是（ ） A. 若三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们一定不共面 B. 若，则，的夹角是锐角 C. 不相等的两个空间向量的模可能相等 D. 若，是两个不共线的向量，且且，则构成空间的一个基底 【答案】AC 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理即可判断AD；对B，举例即可反驳；根据空间向量定义即可判断C. 【详解】选项A，由空间向量基本定理可知正确； 选项B，当且，时，，故B错误； 选项C，由空间向量定义可知正确； 选项D，由空间向量基本定理可知，与，共面，则不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：AC. 10. 已知直线，直线，则（ ） A. 当时，与的交点为 B. 存在，使 C. 若，则 D. 直线恒过点 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据两直线方程及位置关系直接判断. 【详解】选项，当时，直线，直线， 联立，解得， 所以两直线的交点为，A选项正确； B选项，假设存在，使，则，解得或， 当，，，两直线重合，舍去， 当时，，即，，即，两直线重合，舍去， 所以不存在，使，B选项错误； C选项：若，则，解得，C选项正确； D选项，直线，即， 令，即，所以直线恒过点，D选项正确； 故选：ACD. 11. 在平行六面体中，，，若，其中，，，则下列结论正确的为（ ） A. 若点在平面内，则 B. 若，则 C. 当时，三棱锥的体积为 D. 当时，长度的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平面向量的基本定理及空间向量的加法法则可得，进而求解判断A；根据空间向量的数量积定义和线性运算可得，，进而结合即可求解判断B；由题易知四面体为正四面体，设在平面内的射影为点，进而可得当时，到平面的距离为，进而结合三棱锥的体积公式求解判断C；根据空间向量的数量积定义及运算律可得，进而结合二次函数的性质及基本不等式即可求解判断D. 【详解】对于选项A，若点在平面内，易知有， 所以， 又，则，故A正确； 对于选项B，由题意易得， ，且， 又，即， 故，解得，故B正确； 对于选项C，由题易知四面体为正四面体， 设在平面内的射影为点， 则为的中心，易得，． 当时，到平面的距离为， 所以，故C错误； 对于选项D，由B知， ， 又， 由基本不等式可知， 所以，即，当且仅当时等号成立， 所以长度的最小值为，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用空间向量的数量积定义和线性运算进行转化问题，使之转化为较易的问题进行解决. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线与直线垂直，且它在轴上的截距为4，则直线的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线与直线垂直与斜率的关系得到直线的斜率，再结合其截距即可得到答案. 【详解】因为直线与直线垂直，所以直线的斜率， 又直线在轴上的截距为4，即直线过点， 由点斜式可得直线，化简得. 故答案为：. 13. 在空间直角坐标系中，已知，则三棱锥的体积为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】通过已知点的坐标，求出底面的面积，高的数值，然后求出三棱锥的体积． 【详解】由题意得，所以 所以的面积为， 点都在平面上，点到平面的距离3， 所以三棱锥的体积为． 故答案为： 14. 在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则周长的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】拆线段之和最值问题，利用对称，将直线同侧折线段化为直线异侧两定点间的折线段之和，由两点之间线段最短可知. 【详解】设关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，与的交点即为，与轴的交点即为. 如图，两点之间线段最短可知，的长即为周长的最小值. 设，则 解得即， 关于轴的对称点为， 故周长的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在梯形中，，，已知，，． （1）求点的坐标； （2）求梯形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用直线的位置关系及斜率公式计算即可； （2）法一、计算对角线长结合三角形面积公式求梯形面积即可；法二、利用两点距离公式先计算梯形上下底长，再求一底边所在直线，根据点到直线的距离公式计算梯形的高，利用梯形面积公式计算即可. 【小问1详解】 设，由，得，即， 由，得，即， 所以，，即点的坐标为． 【小问2详解】 方法一：，， 设，又， 所以梯形的面积 ； 方法二：， ， 由，，得直线的方程为， 点到直线的距离． 所以梯形的面积． 16. 如图所示的几何体是圆锥的一部分，其中是圆锥的高，是圆锥底面的一条直径，，，是的中点． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）以O为原点，建立空间直角坐标系，设直线与所成的角为，计算，,通过计算即可； （2）由（1）得，设直线与平面所成的角为，计算平面法向量，则通过计算即可. 【小问1详解】 以为原点，的方向分别作为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，． 设直线与所成的角为， 则， 即直线与所成角的余弦值是． 【小问2详解】 由（1）知，，， 设平面的法向量为，则 取，得，所以平面的一个法向量． 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 17. 如图，在长方体中，，，，，，分别为棱，，，的中点. （1）证明：，，，四点共面； （2）若点在棱，且平面，求的长度. 【答案】（1）证明:连接，，， 因为，，，分别为棱，，，的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又， 所以，所以，，，四点共面. （2）3 【解析】 【分析】（1）连接，，，先可得到四边形为平行四边形，进而得到，结合即可得到，进而求证； （2）建立空间直角坐标系，设，结合空间向量求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 由，，，，，分别为棱，，，的中点， 可得，，，， 则，， 设，即，则， 由平面，故， 即，解得， 所以. 18. 如图，四边形是直角梯形，为的中点，是平面外一点，是线段上一点，三棱锥的体积是. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）如图，连接交于点， 因为， 所以，所以， 因为，所以， 所以，即， 又因为平面， 所以平面，又平面，所以． 又因为，所以， 又平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，借助全等三角形的判定定理可得，从而可得，即可得，再利用线面垂直的判定定理可得平面，即可得，再利用勾股定理的逆定理及线面垂直的判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，设，再借助体积公式计算出的值，从而可计算出平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角公式求解即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，所在直线分别为轴，平行于的直线为轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设，则，即点， 则三棱锥的体积，解得， 所以，则， 设平面的法向量， 由，令，则， 即可得平面的一个法向量， 由轴平面，故为平面的一个法向量， 所以， 由图可知二面角是锐二面角， 故二面角的余弦值是． 19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图一，球的半径为，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过的圆，同理，圆，的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角，，分别为，，，则球面三角形的面积为. （1）若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积； （2）若将图一中四面体截出得到图二，若平面三角形为直角三角形，，设，，. ①求证：； ②延长与球交于点，连接，若直线与平面所成的角分别为，，，，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值. 【答案】（1） （2）①证明：由余弦定理可得： ，且, 所以， 即， 消去，则有： 即； ②. 【解析】 【分析】（1）根据平面，平面，平面两两垂直，得，即可求解； （2）①根据余弦定理及勾股定理即可证明； ②建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，利用向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 因为平面，平面，平面两两垂直， 所以， 所以球面三角形ABC的面积； 【小问2详解】 ①略； ②由题意可知是球的直径，则有, 又， 所以平面， 又因为平面， 所以, 又因为， 所以平面，平面， 所以， 又因为直线与平面所成的角分别为，， 所以， 不妨令， 则，， 又因为,,, 以为坐标原点，以所在直线为轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系： 设， 则 可得， 则，， 设平面的一个法向量为， 则， 取，则， 所以； 设平面的一个法向量为， 则， 取，则， 所以， 要使取最小值，则取最大值， 因为 令， 则， 所以 当且仅当时等号成立， 则的最大值为， 所以取最小值为. 【点睛】方法点睛：在涉及求直线与平面、平面与平面所成角时，利用空间向量法求解更简单些. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年高二10月质量检测卷 数学（B卷） 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第二章第3节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线经过，两点，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若，，三点共线，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在长方体中，M为棱的中点. 若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 两平行直线：，：之间的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 5. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 3 7. 如图，在四棱锥中，PD底面，底面为正方形，PD=DC=2，Q为PC上一点，且PQ=3QC，则异面直线AC与BQ所成的角为（ ） A. B. C. D. 8. 在正三棱柱中，，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于空间向量的命题中，是真命题的是（ ） A. 若三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们一定不共面 B. 若，则，的夹角是锐角 C. 不相等的两个空间向量的模可能相等 D. 若，是两个不共线的向量，且且，则构成空间的一个基底 10. 已知直线，直线，则（ ） A. 当时，与的交点为 B. 存在，使 C. 若，则 D. 直线恒过点 11. 在平行六面体中，，，若，其中，，，则下列结论正确的为（ ） A. 若点在平面内，则 B. 若，则 C. 当时，三棱锥的体积为 D. 当时，长度的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线与直线垂直，且它在轴上的截距为4，则直线的方程为______． 13. 在空间直角坐标系中，已知，则三棱锥的体积为_________． 14. 在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则周长的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在梯形中，，，已知，，． （1）求点的坐标； （2）求梯形的面积． 16. 如图所示的几何体是圆锥的一部分，其中是圆锥的高，是圆锥底面的一条直径，，，是的中点． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 如图，在长方体中，，，，，，分别为棱，，，的中点. （1）证明：，，，四点共面； （2）若点在棱，且平面，求的长度. 18. 如图，四边形是直角梯形，为的中点，是平面外一点，是线段上一点，三棱锥的体积是. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图一，球的半径为，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过的圆，同理，圆，的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角，，分别为，，，则球面三角形的面积为. （1）若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积； （2）若将图一中四面体截出得到图二，若平面三角形为直角三角形，，设，，. ①求证：； ②延长与球交于点，连接，若直线与平面所成的角分别为，，，，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $