第4章 相似三角形知识归纳与题型训练（9类题型清单）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（浙教版）

第4章 《相似三角形》知识归纳与题型训练（9题型清单） 一、比例线段 比例的基本性质：； 比例线段： 比例中项： 黄金分割： 如图，如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB，使AP＞PB，且，那么称线段AB被点P黄金分割；点P叫做线段AB的黄金分割点，叫做黄金比； 要点诠释： （1）两条线段的长度的比叫做两条线段的比 （2）求两条线段的比必须选定同一长度单位，但比值与单位的大小无关； （3）比例基本性质的变形： （4） （5） 二、由平行线截得的比例线段 平行线分线段成比例的基本性质：两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，所得的对应线段成比例； 要点诠释： （1）平行线分线段成比例相关问题常做辅助线为——平行线； （2）平行线截得的比例线段中，比例基本性质的变形对其依然适用； 三、相似三角形性质及其应用 相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形； 相似的表示方法： 如图：△ABC与△DEF相似，记作“△ABC∽△DEF”A B C D E F 相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比；如上图，两相似三角形相似比= 相似三角形的性质： ①两相似三角形的对应角相等，对应边成比例； ②两相似三角形的周长比=相似比； ③两相似三角形的面积比=相似比的平方； 相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比 对应表达式:A B C D E F 如右图，当△ABC∽△DEF时，则有 ①∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F； ②； ③； ④ 相似三角形的应用：利用相似三角形的性质解决实际问题，求解实际问题中的线段长或角度的大小； 三角形的重心：三角形三边中线的交点叫做重心； 三角形重心的性质：三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段； 要点诠释： （1）相似三角形在写的时候必须对应顶点写在对应的位置； （2）相似三角形性质的应用时，一定要确定好对应角或者对应边，再说后续计算； （3）两相似三角形对应边上的高线=相似比；对应边上的中线=相似比；对应角的角平分线=相似比； 四、相似三角形的判定 1、预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 2、判定定理1：有两个角对应相等的两个三角形相似 3、判定定理2：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似 4、判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似 五、相似三角形常见的几种基本类型 1 平行线型：常见的有如下两种，DE∥BC，则△ADE∽△ABC 2 相交线型：常见的有如下四种情形， 如图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADE∽△ABC 如下左图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADC∽△ACB 如下右图，已知∠B=∠D，则由对顶角∠1=∠2得，△ADE∽△ABC 3 旋转型：已知∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，下左图为常见的基本图形． 如上右图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。 4 母子型：如下左图，已知∠ACB=90°，AB⊥CD，则△CBD∽△ABC∽△ACD． 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”） 2、几种基本图形的具体应用： （1）若DE∥BC（A型和X型）则△ADE∽△ABC （2）射影定理：若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形） 则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB； （3） 满足1、AC2=AD·AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．（如下左图） （4）当 或AD·AB = AC·AE 时，△ADE∽△ACB．（如上右图） 六、相似多边形 相似多边形：一般地，对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形； 多边形相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比； 相似多边形的性质：相似多边形的周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方； 七、图形的位似 1、位似图形：如果两个图形满足：所有经过对应点的直线都相交与同一点，这个交点到两个对应点的距离之比都相等，那么这两个图形叫做位似图形； 2、位似中心：经过各对应两点的直线的交点叫做位似中心； 3、位似比：位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似比； 4、以坐标原点为位似中心的位似图形的性质： 当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为（x，y），位似图形与原图形的位似比为k，则位似图形上的对应点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）。 题型一　比例线段相关 例题： 1．（2023秋•宁海县月考）已知，则＝（　　） A． B． C． D． 2．（2023•婺城区模拟）下列各组数中，成比例的是（　　） A．1，﹣2，﹣3，﹣6 B．1，4，2，﹣8 C．5，6，2，3 D．，，1， 3．（2024•鹿城区开学）已知线段c是线段a、b的比例中项，如果a＝2cm，b＝8cm，则c＝　 　cm． 4．（2023秋•绍兴期中）鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工，如图，P是AB的黄金分割点（AP＞BP），若线段AB的长为4cm，则AP的长为 　 　． 巩固训练 5．（2023秋•上虞区期末）已知2a＝3b，则下列关于a，b的赋值，不成立的一组是（　　） A．a＝2，b＝3 B．a＝3，b＝2 C．a＝6，b＝4 D．a＝﹣3，b＝﹣2 6．（2024•萧山区一模）在尺规作图专题复习课上，老师出了一个作图题：“如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是△ABC的中线，用尺规作图作出线段AB的黄金分割点”小方和小程前面的作法都是：“以D为圆心，AD为半径画弧，交BD于点E．”，后面的作法不同． 小方的作法为：以B为圆心，BE为半径画弧，交AB于点M，则M为线段AB的黄金分割点； 小程的作法为：连结CE并延长交AB于点N，则N为线段AB的黄金分割点．则（　　） A．小方、小程都正确 B．小方、小程都错误 C．小方错误，小程正确 D．小方正确，小程错误 7．（2024•东阳市开学）若，则的值为 　 　． 8．（2024秋•诸暨市校级月考）已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． （1）若a＝4cm，b＝9cm，c是a，b的比例中项线段，求c的长； （2）若，a+b+c＝48，求a，b，c的长． 题型二　平行线分线段成比例 例题： 1．（2024秋•诸暨市校级月考）如图，已知AB∥CD∥EF，AF交BE于点H，下列结论中错误的是（　　） A． B． C．＝ D．＝ 2．（2023秋•鹿城区校级期中）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD：DB＝3：1，则AE：AC＝（　　） A．3：1 B．3：4 C．3：5 D．2：3 3．（2023秋•婺城区校级月考）如图，已知在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的中线，且相交于点F，过点F作FG∥AC，那么＝　 　． 4．（2024•海宁市校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高线，点E，F分别在AC，CD上，且∠1＝∠2． （1）求证：AD∥EF． （2）当CE：AE＝3：5，CF＝6时，求BC的长． 巩固训练 5．（2023秋•北仑区期中）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段AB的长是（　　） A． B．2 C． D．5 6．（2024•滨江区开学）如图，DE∥AC，DF∥BC，，BE＝9，则DF的长为（　　） A． B．5 C．6 D．15 7．（2024•沭阳县模拟）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于点E，若BE＝1，则EC的长为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．4 8．（2023春•兰溪市月考）如图，在△ABC中，D，F是AB边上的三等分点，E，G是AC边上的三等分点．若DE＝2，则BC＝　 　． 题型三　相似三角形的性质 例题： 1．（2023秋•苍南县月考）如图，AD，相交BC于点O，且△AOB∽△DOC，点A的对应点为点D，若∠A＝30°，∠COD＝100°，则∠C的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 2．（2024•义乌市模拟）如图所示，若△DAC∽△ABC，则需满足（　　） A．CD2＝AD•DB B．AC2＝BC•CD C． D． 3．（2023•柯桥区一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OB，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为（8，6），点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，且满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，点P的坐标为　 　． 4．（2023秋•西湖区校级期中）如图，在矩形ABCD中，点EF分别在边AD，DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2． （1）求EF的长． （2）求证：∠BEF＝90°． 巩固训练 5．（2023秋•宁海县月考）如图，在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝8，AB＝10，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板．针对CP的不同取值，三人的说法如下．下列判断正确的是（　　） 甲：若CP＝4，则有3种不同的剪法； 乙：若CP＝2，则有4种不同的剪法； 丙：若CP＝1，则有3种不同的剪法． A．只有甲错 B．只有乙错 C．只有丙错 D．甲、乙、丙都对 6．（2024•镇海区校级三模）如图OA：OD＝7：5，∠A＝α，∠B＝β，△OAB∽△ODC，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则一定成立的等式是（　　） A． B． C． D． 7．（2023秋•宁海县月考）如果一个三角形的三边长为3，4，5，与其相似的三角形的最长边为15，则较大的三角形面积为 　 　. 8．（2024•宁波模拟）如图，在△ABC中，已知AC＝4，BC＝3，D是AB上一点，连接CD．若AD＝2DB，且△BCD∽△BAC，则CD的长为 　 　． 题型四　相似三角形的判定 例题： 1．（2023秋•新昌县校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝6，AC＝9．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•鄞州区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CE是斜边AB上的中线，在直线AB上方作△DEF∽△ABC，DE，FE分别与AC边交于点M，N，当△EMN与△BEC相似时，线段CN长度为 　 　． 3．（2023秋•宁波校级月考）如图，在钝角△ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，点D从A点出发沿AB以1cm/s的速度向B点移动，点E从C点出发沿CA以2cm/s的速度向A点移动，如果两点同时移动，经过 　 　秒时，△ADE与△ABC相似． 4．（2022秋•宁波期末）已知过点B（3，﹣1）的抛物线y＝x2﹣x+c与坐标轴交于点A、C如图所示，连结AC，BC，AB，第一象限内有一动点M在抛物线上运动，过点M作AM⊥MP交y轴于点P，当点P在点A上方，且△AMP与△ABC相似时，点M的坐标为 　 　． 5．（2023秋•拱墅区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠D＝∠CAE． （1）求证：△ABD∽△ECA； （2）若AC＝6，CE＝4，求BD的长度． 巩固训练 6．（2024秋•诸暨市校级月考）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（　　） A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C． D． 7．（2024•金华一模）已知Rt△ABC，∠BCA＝90°，过点C作一条射线，使其将△ABC分成两个相似的三角形．观察图中尺规作图的痕迹，作法正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 8．（2023秋•义乌市校级月考）如图，直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于点A、B，一动点P从点A出发，沿A—O—B的路线运动到点B停止，C是AB的中点，沿直线PC截△AOB，若得到的三角形与△AOB相似，则点P的坐标是 　 　． 9．（2023秋•婺城区校级期中）如图，弦DB，EC的延长相交于圆外一点A，连结CD，BE． （1）求证：△ACD∽△ABE； （2）若AB＝5，AC＝6，AE＝10，求AD的长． 10．（2023秋•翠屏区校级月考）△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，P为BC上的动点，小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P，三角板可绕P点旋转． （1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP； （2）将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论） （3）在（2）的条件下，连接EF，△BPE与△PFE是否相似？若不相似，则动点P运动到什么位置时，△BPE与△PFE相似？说明理由． 题型五　相似三角形的判定与性质的综合 例题： 1．（2024•玉环市二模）如图是边长为1的小正方形构成的8×6的网格，△ABC的顶点均在格点上． （1）在图1中，仅用无刻度尺子在线段AC上找一点D，使得AD＝CD； （2）在图2中，仅用无刻度尺子在线段AC上找一点M，使得． 2．（2024•宁波模拟）在△ABC中，AB＝2，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△MBN，且CN∥BM，MA的延长线与CN交于点P，若AM＝3，． （1）求证：△ABM∽△CBN； （2）求AP的长． 3．（2021秋•萧山区校级月考）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G． （1）求证：△ABE∽△DEF； （2）若正方形的边长为4，求FG的长． 巩固训练 4．（2024•西湖区校级开学）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，连接CE，DE． （1）求证：AC2＝AB•AD； （2）若AD＝4，AB＝6，求的值． 5．（2024•钱塘区一模）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连结DE，DF，BE，DF与BE交于点G．已知四边形DFCE是平行四边形，且． （1）若AC＝25，求线段AE，GF的长． （2）若四边形GFCE的面积为48，求△ABC的面积． 6．（2024•上城区二模）在边长为6的正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，且CE＝3，连接AE交CD于点F． （1）求DF的长． （2）作∠DCE的平分线与AE相交于点G，连接DG，求DG的长． 7．（2024•杭州二模） 探究不同裁剪方式的面积大小问题 素材1 图1是一张直角三角形纸板，两直角边分别为BC＝15cm，AC＝20cm，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上． 素材2 小华同学按图2的方式裁剪出一个正方形；小明同学按图3的方式裁剪，且AH＝8cm． 素材3 小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4， 步骤1：在直角△ABC纸板上裁下一个矩形CDEF，矩形的四个顶点都在△ABC的边上； 步骤2：取剩下的纸板△ADE裁下一个正方形GHJI，正方形的四个顶点都在△ADE边上；且满足矩形CDEF的CF边长是正方形GHII边长的两倍小0.9cm． 问题解决 任务1 请比较小华、小明同学裁出的两种矩形的面积大小，通过计算说明． 任务2 任务2请求出小富同学裁下的矩形CDEF各边长． 题型六　相似三角形的应用 例题： 1．（2024•杭州三模）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是（　　）cm． A． B．6 C． D．8 2．（2024•新昌县一模）如图1是某一遮阳篷支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳篷支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳篷支架完全展开时的一个示意图，支杆MN固定在垂直于地面的墙壁上，支杆CE与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形ABCD始终是平行四边形，展开时∠GHB为90度． （1）若遮阳棚完全展开时，CE长2米，在与水平地面呈60°的太阳光照射下，CE在地面的影子有 　 　米（影子完全落在地面）． （2）长支杆与短支杆的长度比（即CE与AD的长度比）是 　 　． 3．（2022秋•西湖区校级月考）如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上． （1）当点P恰好为AB中点时，PQ＝　 　． （2）当PQ＝40mm，求出PN的长度． （3）若这个矩形的边PN：PQ＝1：2．则这个矩形的长、宽各是多少？ 4．（2023秋•婺城区期末）如图1，路灯AB与路灯CD都与地面垂直，且相距18米，路灯AB的高度比路灯CD的高度低1米．夜晚，身高为1.6米的小明以1米/秒的速度从路灯AB走向路灯CD，行走时间为t秒．当行走3秒时，他走到了P处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯AB的底部（点B）．如图2，在行走过程中，小明在路灯AB下的影子为FM，在路灯CD下的影子为FN． （1）求路灯CD的高度． （2）若小明身高EF是影子FM与FN的比例中项，求此时t的值． （3）有言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． ①从路灯AB走向路灯CD的过程中，两路灯下的影子总长MN＝　 　（用含t的代数式表示）； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的!请直接写出小明在路灯CD下的影子的顶端N在地面上移动的速度为 　 　米/秒． 巩固训练 5．（2023秋•东阳市期末）如图，小李利用镜面反射原理测树高，小李在点A，镜子为点O，BD表示树，点A，O，B在同一水平线上，小李身高CA＝1.6米，OA＝2.4米，OB＝6米，则树高为（　　） A．4米 B．5米 C．6米 D．7米 6．（2024•宁海县校级自主招生）有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点G正好在书架边框上．每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架宽为40cm，则FI的长 　 　． 7．（2024•西湖区三模）如图1，广场上有一盏高为9m的路灯AO，把灯O看作一个点光源，身高1.5m的女孩站在离路灯5m的点B处．图2为示意图，其中AO⊥AD于点A，CB⊥AD于点B，点O，C，D在一条直线上，已知OA＝9m，AB＝5m，CB＝1.5m． （1）求女孩的影子BD的长． （2）若女孩以5m为半径绕着路灯顺时针走一圈（回到起点），求人影扫过的图形的面积．（π取3.14） 8．（2022秋•镇海区校级期中）学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高EF＝1.5米，“标杆”AB＝2.5米，又BD＝23米，FB＝2米． （1）求大楼的高度CD为多少米（CD垂直地面BD）？ （2）小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼CD上点G的高度GD＝11.5米，那么相对于第一次测量，标杆AB应该向大楼方向移动多少米？ 题型七　相似多边形 例题： 1．（2022秋•镇海区校级期中）两个相似多边形的周长之比为1：4，则它们的面积之比为（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16 2．（2023秋•定海区校级月考）如图1是古希腊时期的巴台农神庙（ParthenomTemple），把图1中用虚线表示的矩形画成图2矩形ABCD，当以矩形ABCD的宽AB为边作正方形ABEF时，惊奇地发现矩形CDFE与矩形ABCD相似，则等于（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•宁波期末）如图，矩形ABCD∽矩形GBEF，且点E、A、B三点共线，连结AG，CE，CE与AD交于点H，若要求两个矩形的相似比，则只需知道（　　） A． B． C． D． 4．（2024•宁波模拟）如图，已知▱ABCD中，点E，F，G，H分别为AB，CD，AD，BC上的点，且EF∥BC，GH∥AB，GH分别与EF，BF相交于点M，N．若▱AEMG∽▱EBCF，则△BHN的面积一定可以表示为（　　） A． B． C． D． 巩固训练 5．（2023秋•奉化区校级期中）如图，矩形ABCD被分割成4个小矩形，其中矩形AEPH∽矩形HDFP∽矩形PEBG，AE＞AH，对角线AC交边EF于点Q．若要求△APQ的面积，需知道下列哪两个图形的面积之差（　　） A．矩形AEPH和矩形PEBG B．矩形HDFP和矩形AEPH C．矩形HDFP和矩形PEBG D．矩形PGCF和矩形PEBG 6．（2023秋•鄞州区期末）如图，矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形AFED与原矩形ABCD相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是 　 　． 7．（2023•宁波模拟）矩形相邻的两边长分别为25和x（x＜25），把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则x的值为（　　） A．5 B．5 C．5 D．10 题型八　位似图形与位似变换 例题： 1．（2023秋•西湖区校级期中）如图，将视力表中的两个“E”放在平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的相似比为2：1．点P与Q为一组对应点，若点Q坐标为（﹣2，3），则点P的坐标为（　　） A． B．（﹣6，4） C． D．（﹣4，6） 2．（2023秋•西湖区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A．（﹣1，2） B．（﹣9，18） C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2） 3．（2023秋•海曙区期末）图①、图②都是6×6的网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成作图，并保留作图痕迹． （1）在图①中，以点C为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍； （2）在图②中，在线段AC上作点D，使得AD：CD＝2：3． 巩固训练 4．（2023秋•桐乡市期末）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，点A，B的对应点分别为点A′，B′．若AB＝6，则A′B′的长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．15 5．（2023•浦江县模拟）如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为 　 　． 6．（2023秋•定海区校级月考）如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1）、（2，﹣1）． （1）画出△OAB绕点O顺时针旋转180°后得到的图形． （2）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似三角形OCD，使新图与原图的相似比为2：1，并分别写出A、B的对应点C、D的坐标． 题型九　相似形综合题 例题： 1．（2024秋•诸暨市校级月考）（1）如图1，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，连接DE、EF，使DE∥BC，EF∥AB． ①求证：； ②若CF＝3DE，AB＝8，△ADE的面积为1，求四边形BFED的面积； （2）如图2，四边形ABCD中∠A＝∠B＝90°，AD＝8，AB＝20，BC＝24．点E、F、G分别在AB、CD、BC上，EF∥BC，FG∥AB．设FG＝x，四边形BEFG的面积为S，求出S与x之间的函数关系式，并求S的最大值． 2．（2023秋•定海区期中）【探究证明】 （1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明： 如图①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AD、BC于点E、F，GH分别交AB、DC于点G、H，求证：． 【结论应用】 （2）如图②，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，若AB＝4，BC＝6，求折痕EF的长； 【拓展运用】 （3）如图③，将矩形ABCD沿EF折叠．使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形EFPG，若AB＝4，BC＝6，，求BP的长． 3．（2024秋•诸暨市校级月考）【阅读与思考】 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 如图1，在△ABC中，中线AD，CE相交于点G，连接DE， ∵D，E分别是BC，AB边的中点， ∴①　 　． ∴DE∥AC，且DE＝AC． ∴②　 　∽　 　，　 　∽　 　 ∴， 任务： （1）笔记中横线部分应填写①　 　； ②　 　∽　 　，　 　∽　 　． （2）如图2，在△MNH中，点K，L分别在MN，MH边上，连接HK，NL交于点F．若MK＝MN，ML＝MH，猜测KF与HF的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在平行四边形ABCD中，点E、F、G分别是AD、BC、CD的中点，BE⊥EG，AB＝3，AD＝2，求AF长． 巩固训练 4．（2023秋•浙江期末）【观察与猜想】 （1）如图1，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、AB上，连结DF与CE交于点O，若∠FOC＝90°，且AD＝9，CD＝5，则＝　 　． 【类比探究】 （2）如图2，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AD、AB上，连结DF与CE交于点O，当∠FOC与∠A相等时，证明：①△COD∽△CDE；②． 5．（2024•普陀区二模）在综合与实践课上，王老师以“等腰直角三角形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作验算 如图1，△ABC是等腰直角三角形纸片，∠ACB＝90°，D为AB上一点，∠ACD＝30°．甲同学沿EF对折，使点C的对应点落在射线CD上，折痕分别交射线CA、射线CB于点E、点F． ①求的值，②若，求BD、的值； （2）迁移探究 如图2，△ABC是等腰直角三角形纸片，∠ACB＝90°，D为线段AB上任意一点．乙同学沿EF对折，使点C的对应点落在射线CD上，折痕分别交射线CA、射线CB于点E、点F． 探究与的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用 如图3，△ABC是等腰直角三角形纸片，∠ACB＝90°，丙同学在AB取点D，使，沿EB对折，使点C的对应点落在射线CD上，折痕交线段CA于点E，连结DE，求证：BE＝3DE． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 《相似三角形》知识归纳与题型训练（9题型清单） 一、比例线段 比例的基本性质：； 比例线段： 比例中项： 黄金分割： 如图，如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB，使AP＞PB，且，那么称线段AB被点P黄金分割；点P叫做线段AB的黄金分割点，叫做黄金比； 要点诠释： （1）两条线段的长度的比叫做两条线段的比 （2）求两条线段的比必须选定同一长度单位，但比值与单位的大小无关； （3）比例基本性质的变形： （4） （5） 二、由平行线截得的比例线段 平行线分线段成比例的基本性质：两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，所得的对应线段成比例； 要点诠释： （1）平行线分线段成比例相关问题常做辅助线为——平行线； （2）平行线截得的比例线段中，比例基本性质的变形对其依然适用； 三、相似三角形性质及其应用 相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形； 相似的表示方法： 如图：△ABC与△DEF相似，记作“△ABC∽△DEF”A B C D E F 相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比；如上图，两相似三角形相似比= 相似三角形的性质： ①两相似三角形的对应角相等，对应边成比例； ②两相似三角形的周长比=相似比； ③两相似三角形的面积比=相似比的平方； 相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比 对应表达式:A B C D E F 如右图，当△ABC∽△DEF时，则有 ①∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F； ②； ③； ④ 相似三角形的应用：利用相似三角形的性质解决实际问题，求解实际问题中的线段长或角度的大小； 三角形的重心：三角形三边中线的交点叫做重心； 三角形重心的性质：三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段； 要点诠释： （1）相似三角形在写的时候必须对应顶点写在对应的位置； （2）相似三角形性质的应用时，一定要确定好对应角或者对应边，再说后续计算； （3）两相似三角形对应边上的高线=相似比；对应边上的中线=相似比；对应角的角平分线=相似比； 四、相似三角形的判定 1、预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 2、判定定理1：有两个角对应相等的两个三角形相似 3、判定定理2：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似 4、判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似 五、相似三角形常见的几种基本类型 1 平行线型：常见的有如下两种，DE∥BC，则△ADE∽△ABC 2 相交线型：常见的有如下四种情形， 如图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADE∽△ABC 如下左图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADC∽△ACB 如下右图，已知∠B=∠D，则由对顶角∠1=∠2得，△ADE∽△ABC 3 旋转型：已知∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，下左图为常见的基本图形． 如上右图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。 4 母子型：如下左图，已知∠ACB=90°，AB⊥CD，则△CBD∽△ABC∽△ACD． 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”） 2、几种基本图形的具体应用： （1）若DE∥BC（A型和X型）则△ADE∽△ABC （2）射影定理：若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形） 则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB； （3） 满足1、AC2=AD·AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．（如下左图） （4）当 或AD·AB = AC·AE 时，△ADE∽△ACB．（如上右图） 六、相似多边形 相似多边形：一般地，对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形； 多边形相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比； 相似多边形的性质：相似多边形的周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方； 七、图形的位似 1、位似图形：如果两个图形满足：所有经过对应点的直线都相交与同一点，这个交点到两个对应点的距离之比都相等，那么这两个图形叫做位似图形； 2、位似中心：经过各对应两点的直线的交点叫做位似中心； 3、位似比：位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似比； 4、以坐标原点为位似中心的位似图形的性质： 当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为（x，y），位似图形与原图形的位似比为k，则位似图形上的对应点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）。 题型一　比例线段相关 例题： 1．（2023秋•宁海县月考）已知，则＝（　　） A． B． C． D． 【分析】先利用分比性质得到＝，然后利用内项之积等于外项之积求解． 【解答】解：∵＝， ∴＝＝， ∴＝． 故选：C． 2．（2023•婺城区模拟）下列各组数中，成比例的是（　　） A．1，﹣2，﹣3，﹣6 B．1，4，2，﹣8 C．5，6，2，3 D．，，1， 【分析】根据比例的性质解决此题． 【解答】解：A．由﹣2×（﹣3）≠1×（﹣6），得1，﹣2，﹣3，﹣6不成比例，故A不符合题意． B．由4×2≠1×（﹣8），得1，4，2，﹣8不成比例，故B不符合题意． C．由6×2≠5×3，得5，6，2，3不成比例，故C不符合题意． D．由，得，，1，成比例，故D符合题意． 故选：D． 3．（2024•鹿城区开学）已知线段c是线段a、b的比例中项，如果a＝2cm，b＝8cm，则c＝　4　cm． 【分析】根据比例中项的概念，得c2＝ab，再利用比例的基本性质计算得到c的值． 【解答】解：∵线段c是线段a、b的比例中项， ∴c2＝ab， 又∵a＝2cm，b＝8cm， ∴c2＝ab＝16， 解得c＝±4． 又∵c为线段的长度， ∴c＝﹣4舍去； 即c＝4cm． 故答案为：4． 4．（2023秋•绍兴期中）鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工，如图，P是AB的黄金分割点（AP＞BP），若线段AB的长为4cm，则AP的长为 　（2﹣2）　． 【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可解答． 【解答】解：∵P是AB的黄金分割点（AP＞BP），线段AB的长为4cm， ∴＝， ∴AP＝×4＝（2﹣2）cm， 故答案为：（2﹣2）． 巩固训练 5．（2023秋•上虞区期末）已知2a＝3b，则下列关于a，b的赋值，不成立的一组是（　　） A．a＝2，b＝3 B．a＝3，b＝2 C．a＝6，b＝4 D．a＝﹣3，b＝﹣2 【分析】根据比例的性质逐项判断即可得出答案． 【解答】解：∵2a＝3b， ∴， A、当a＝2，b＝3时，，故符合题意； B、当a＝3，b＝2时，，故不符合题意； C、当a＝6，b＝4时，，故不符合题意； D、当a＝﹣3，b＝﹣2时，，故不符合题意； 故选：A． 6．（2024•萧山区一模）在尺规作图专题复习课上，老师出了一个作图题：“如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是△ABC的中线，用尺规作图作出线段AB的黄金分割点”小方和小程前面的作法都是：“以D为圆心，AD为半径画弧，交BD于点E．”，后面的作法不同． 小方的作法为：以B为圆心，BE为半径画弧，交AB于点M，则M为线段AB的黄金分割点； 小程的作法为：连结CE并延长交AB于点N，则N为线段AB的黄金分割点．则（　　） A．小方、小程都正确 B．小方、小程都错误 C．小方错误，小程正确 D．小方正确，小程错误 【分析】令AB＝AC＝2a，用a分别表示出BM和AN的长即可解决问题． 【解答】解：令AB＝AC＝2a， ∵BD是△ABC的中线， ∴AD＝CD＝a， 由作图可知， DE＝AD＝a． 在Re△ABD中， BD＝， ∴BE＝BD﹣DE＝（）a， ∴BM＝BE＝（）a， ∴， ∴点M为线段AB的黄金分割点． 故小方的作法正确． 连接AE，过点E作AB的垂线，垂足为H， ∵EH∥AC， ∴△BEH∽△BDA， ∴， 又∵BE＝（）a，BD＝，AB＝2a，AD＝a， ∴， 则BH＝，EH＝， ∴AH＝2a﹣＝． 在Rt△AEH中， tan∠EAH＝． ∵CD＝DE，AD＝DE， ∴∠DCE＝∠CED，∠DAE＝∠DEA， ∴∠CAE+∠ACE＝． ∵∠CAE+∠EAH＝90°， ∴∠EAH＝∠ACE， ∴tan∠ACE＝tan∠EAH． 在Rt△ACN中， tan∠ACE＝， ∴， ∴AN＝（）a， ∴， ∴点N为线段AB的黄金分割点． 故小程的作法正确． 故选：A． 7．（2024•东阳市开学）若，则的值为 　7　． 【分析】把a＝b，代入原式即可计算． 【解答】解：∵， ∴a＝b， ∴原式＝＝7． 故答案为：7． 8．（2024秋•诸暨市校级月考）已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． （1）若a＝4cm，b＝9cm，c是a，b的比例中项线段，求c的长； （2）若，a+b+c＝48，求a，b，c的长． 【分析】（1）根据比例中项的定义列式得到c2＝ab，即c2＝36，即可得出答案； （2）设＝＝k，然后用k表示出a、b、c，再代入a+b+c＝48，求解得到k，即可得到a、b、c的值． 【解答】解：（1）∵c是a，b的比例中项线段， ∴c2＝ab＝4×9＝36， ∴c＝±6， ∵c＞0， ∴c的长是6cm； （2）设＝＝＝k， ∴a＝3k，b＝4k，c＝5k， ∴a+b+c＝3k+4k+5k＝48， 解得k＝4， ∴a＝12，b＝16，c＝20． 题型二　平行线分线段成比例 例题： 1．（2024秋•诸暨市校级月考）如图，已知AB∥CD∥EF，AF交BE于点H，下列结论中错误的是（　　） A． B． C．＝ D．＝ 【分析】根据平行线分线段成比例的性质进行逐项判断即可． 【解答】解：AB∥CD， ∴，故A正确，不符合题意； ∵AB∥CD∥EF ∴，故B正确，不符合题意； ∵CD∥EF， ∴，故C错误，符合题意； ∵AB∥CD∥EF， ∴， 故D正确，不符合题意． 故选：C． 2．（2023秋•鹿城区校级期中）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD：DB＝3：1，则AE：AC＝（　　） A．3：1 B．3：4 C．3：5 D．2：3 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝＝，然后根据比例的性质求AE：AC的值． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴＝＝， ∴＝＝． 故选：B． 3．（2023秋•婺城区校级月考）如图，已知在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的中线，且相交于点F，过点F作FG∥AC，那么＝　　． 【分析】根据AD、BE分别是BC、AC边上的中线可得，根据FG∥AC可得，进而得出结论． 【解答】解：∵AD、BE分别是BC、AC边上的中线， ∴，DC＝BC， ∵FG∥AC， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（2024•海宁市校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高线，点E，F分别在AC，CD上，且∠1＝∠2． （1）求证：AD∥EF． （2）当CE：AE＝3：5，CF＝6时，求BC的长． 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一得到BD＝DC，∠1＝∠CAD，根据同位角相等，两直线平行证明EF∥AD； （2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算求出DF，进而求出BC． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的高线， ∴BD＝DC，∠1＝∠CAD， ∵∠1＝∠2， ∴∠CAD＝∠2， ∴EF∥AD； （2）解：∵EF∥AD， ∴＝， ∵CE：AE＝3：5，CF＝6， ∴＝， 解得：FD＝10， ∴CD＝CF+DF＝10+6＝16， ∴BC＝2CD＝32． 巩固训练 5．（2023秋•北仑区期中）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段AB的长是（　　） A． B．2 C． D．5 【分析】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，计算即可得解． 【解答】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E， ∴， ∵五线谱是由等距离的五条平行横线组成的， ∴， ∴， 解得AB＝5， 故选：D． 6．（2024•滨江区开学）如图，DE∥AC，DF∥BC，，BE＝9，则DF的长为（　　） A． B．5 C．6 D．15 【分析】由DE∥AC，利用平行线分线段成比例，可求出CE的长，由DE∥AC，DF∥BC，可得出四边形DECF是平行四边形，再利用平行四边形的性质，即可得出DF的长． 【解答】解：∵DE∥AC， ∴＝，即＝， ∴CE＝6． ∵DE∥AC，DF∥BC， ∴四边形DECF是平行四边形， ∴DF＝CE＝6． 故选：C． 7．（2024•沭阳县模拟）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于点E，若BE＝1，则EC的长为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【分析】过D点作DF∥CE交AE于F，如图，先由DF∥BE，根据平行线分线段成比例得到DF＝BE＝3，再由DF∥CE得到比例式，然后利用比例的性质求CE的长． 【解答】解：过D点作DF∥CE交AE于F，如图， ∵DF∥BE， ∴， ∵O是BD的中点， ∴OB＝OD， ∴DF＝BE＝1， ∵DF∥CE， ∴， ∵AD：DC＝1：2， ∴AD：AC＝1：3， ∴， ∴CE＝3DF＝3×1＝3． 故选：C． 8．（2023春•兰溪市月考）如图，在△ABC中，D，F是AB边上的三等分点，E，G是AC边上的三等分点．若DE＝2，则BC＝　6　． 【分析】根据平行线分线段成比例定理，判定平行线后再次运用定理计算． 【解答】解：因为D，F是AB边上的三等分点，E，G是AC边上的三等分点． 所以DE∥FG∥BC， 所以， 所以， 因为DE＝2， 所则BC＝6． 故答案为：6． 题型三　相似三角形的性质 例题： 1．（2023秋•苍南县月考）如图，AD，相交BC于点O，且△AOB∽△DOC，点A的对应点为点D，若∠A＝30°，∠COD＝100°，则∠C的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【分析】根据题意△AOB∽△DOC可知∠A＝∠D＝30°，又因∠COD＝100°，再利用三角形内角和定理即可求出本题答案． 【解答】解：∵△AOB∽△DOC，∠A＝30°， ∴∠A＝∠D＝30°， ∵∠COD＝100°， ∴∠C＝180°﹣100°﹣30°＝50°， 故选：D． 2．（2024•义乌市模拟）如图所示，若△DAC∽△ABC，则需满足（　　） A．CD2＝AD•DB B．AC2＝BC•CD C． D． 【分析】根据相似三角形的判定定理依次判断即可． 【解答】解：由CD2＝AD•DB，可得CD：AD＝BD：CD，由此得不出结论； 由AC2＝BC•CD，可得AC：BC＝CD：AC， ∵∠C＝∠C， ∴△ABC∽△DAC，故B选项正确； 由得不出结论； 由＝及∠BAC＝∠ADC＝90°可得结论，但题目中未提及． 故选：B． 3．（2023•柯桥区一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OB，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为（8，6），点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，且满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，点P的坐标为　（，）或（4，3）　． 【分析】由题意得出P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，由此分两种情形分别求解，可得结论． 【解答】解：∵点P在矩形ABOC的内部，且△APC是等腰三角形， ∴P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上； ①当P点在AC的垂直平分线上时，点P同时在BC上，AC的垂直平分线与BO的交点即是E，如图1所示： ∵PE⊥BO，CO⊥BO， ∴PE∥CO， ∴△PBE∽△CBO， ∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为（8，6）， ∴点P横坐标为4，OC＝6，BO＝8，BE＝4， ∵△PBE∽△CBO， ∴＝，即＝， 解得：PE＝3， ∴点P（4，3）； ②P点在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，圆弧与BC的交点为P， 过点P作PE⊥BO于E，如图2所示： ∵CO⊥BO， ∴PE∥CO， ∴△PBE∽△CBO， ∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为（8，6）， ∴AC＝BO＝8，CP＝8，AB＝OC＝6， ∴BC＝＝＝10， ∴BP＝2， ∵△PBE∽△CBO， ∴＝＝，即：＝＝， 解得：PE＝，BE＝， ∴OE＝8﹣＝， ∴点P（，）； 综上所述：点P的坐标为：（，）或（4，3）； 故答案为：（，）或（4，3）． 4．（2023秋•西湖区校级期中）如图，在矩形ABCD中，点EF分别在边AD，DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2． （1）求EF的长． （2）求证：∠BEF＝90°． 【分析】（1）根据两三角形相似，得到对应边成比例，，结合已知条件，从而得到DF的长，利用直角三角形勾股定理，从而得到结果； （2）利用两三角形相似，得到对应角相等，结合直角三角形两锐角互余，从而证得结果． 【解答】（1）解：∵△ABE∽△DEF， ∴， ∵AB＝6，AE＝9，DE＝2， ∴， ∴DF＝3， ∵矩形ABCD， ∴∠EDF＝90°， ∴在Rt△DEF中， ； （2）证明：∵△ABE∽△DEF， ∴∠ABE＝∠DEF， ∵在Rt△ABE中，∠ABE+∠AEB＝90°， ∴∠DEF+∠AEB＝90°， ∴∠BEF＝90°． 巩固训练 5．（2023秋•宁海县月考）如图，在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝8，AB＝10，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板．针对CP的不同取值，三人的说法如下．下列判断正确的是（　　） 甲：若CP＝4，则有3种不同的剪法； 乙：若CP＝2，则有4种不同的剪法； 丙：若CP＝1，则有3种不同的剪法． A．只有甲错 B．只有乙错 C．只有丙错 D．甲、乙、丙都对 【分析】依据相似三角形的对应边成比例，即可得CP的长的取值范围． 【解答】解：如图1所示， 过P作PD∥AB交AC于D或PE∥AC交AB于E， 则△PCD∽△BCA或△BPE∽△BCA， 此时0＜PC＜8； 如图2所示， 过P作∠BPF＝∠A交AB于F， 则△BPF∽△BAC， 此时0≤PC＜8； 如图3所示， 过P作∠CPG＝∠A交AC于G，则△CPG∽△CAB， 当点G与点A重合时，CA2＝CP•CB，即42＝CP×8， ∴CP＝2， ∴此时，0＜CP≤2； 当0＜CP≤2时，有4种不同的剪法； 当2＜CP＜8时，有3种不同的剪法．甲和乙对，丙错 故选：C． 6．（2024•镇海区校级三模）如图OA：OD＝7：5，∠A＝α，∠B＝β，△OAB∽△ODC，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则一定成立的等式是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，一一判断即可． 【解答】解：∵△OAB∽△ODC，OA：OD＝7：5， ∴， ∴选项D正确，选项C错误， ∵无法确定和的比的值，故选项A，B错误， 故选：D． 7．（2023秋•宁海县月考）如果一个三角形的三边长为3，4，5，与其相似的三角形的最长边为15，则较大的三角形面积为 　54　. 【分析】判定边长为3，4，5的三角形是直角三角形，求出这个三角形的面积＝6，由相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求解． 【解答】解：∵三角形的三边长为3，4，5， ∴32+42＝52， ∴这个三角形是直角三角形， ∴这个三角形的面积＝×3×4＝6， 设较大的三角形面积为S， ∴＝， ∴S＝54， ∴较大的三角形面积为54． 故答案为：54． 8．（2024•宁波模拟）如图，在△ABC中，已知AC＝4，BC＝3，D是AB上一点，连接CD．若AD＝2DB，且△BCD∽△BAC，则CD的长为 　　． 【分析】根据AD＝2DB可设DB＝x，则AD＝2x，AB＝3x，再由△BCD∽△BAC可得出BD的长． 【解答】解：∵AD＝2DB，AC＝4，BC＝3， ∴设DB＝x，则AD＝2x，AB＝3x， ∵△BCD∽△BAC， ∴＝＝，即＝＝， ∴x2＝3， 解得x＝或x＝﹣（负值舍去）， ∴＝， 解得CD＝． 故答案为：． 题型四　相似三角形的判定 例题： 1．（2023秋•新昌县校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝6，AC＝9．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【解答】解：A、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，符合题意． B、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意； C、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意； D、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意． 故选：A． 2．（2023秋•鄞州区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CE是斜边AB上的中线，在直线AB上方作△DEF∽△ABC，DE，FE分别与AC边交于点M，N，当△EMN与△BEC相似时，线段CN长度为 　或　． 【分析】分两种情形：如图1中，当EF⊥AB时，如图2中，当ME⊥EC时，分别证明两个三角形相似，构建方程求解． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，CE是中线， ∴EC＝EA＝EB， ∴∠B＝∠ECB， ∵△DEF∽△ABC， ∴∠DEF＝∠B， 如图1中，当EF⊥AB时，∵∠A+∠ANE＝90°，∠A+∠B＝90°， ∴∠ANE＝∠B， ∴∠MEN＝∠MNE＝∠B＝∠ECB， ∴△EMN∽△BCE， ∵AC＝8，BC＝6， ∴AB＝＝10， ∵∠A＝∠A，∠AEN＝∠ACB＝90°， ∴△AEN∽△ACB， ∴＝， ∴＝， ∴AN＝， ∴CN＝AC﹣AN＝8﹣＝； 如图2中，当ME⊥EC时，同法可证∠EMN＝∠MEN＝∠B＝∠ECB， ∴△EMN∽△BCE，NM＝NE， ∵∠EMN+∠MCE＝90°，∠MEN+∠CEN＝90°， ∴∠ECM＝∠NEC， ∴NE＝CN＝MN， ∵∠ACE＝∠A，∠CEM＝∠ACB＝90°， ∴△CEM∽△ACB， ∴＝， ∴＝， ∴CM＝， ∴CN＝CM＝． 故答案为：或． 3．（2023秋•宁波校级月考）如图，在钝角△ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，点D从A点出发沿AB以1cm/s的速度向B点移动，点E从C点出发沿CA以2cm/s的速度向A点移动，如果两点同时移动，经过 　3或　秒时，△ADE与△ABC相似． 【分析】由题意可得出AD＝t cm，AE＝（12﹣2t）cm，分两种情况，由相似三角形的判定可得出答案． 【解答】解：由题意可得，AD＝t cm，AE＝（12﹣2t）cm， 分两种情况：①若△ADE∽△ABC，则， ∴， 解得t＝3； ②若△ADE∽△ACB，则， ∴， ∴t＝． 综上所述，t＝3或． 故答案为：3或． 4．（2022秋•宁波期末）已知过点B（3，﹣1）的抛物线y＝x2﹣x+c与坐标轴交于点A、C如图所示，连结AC，BC，AB，第一象限内有一动点M在抛物线上运动，过点M作AM⊥MP交y轴于点P，当点P在点A上方，且△AMP与△ABC相似时，点M的坐标为 　（，）或（11，35）　． 【分析】由两点坐标公式可求AC，BC，AB，由勾股定理可证∠ACB＝90°，分两种情况讨论，由相似三角形的判定和锐角三角函数可求解． 【解答】解：如图，过点M作EM⊥AP于E， ∵抛物线y＝x2﹣x+c过点B（3，﹣1）， ∴﹣1＝﹣+c， ∴c＝2， ∴点A（0，2），抛物线解析式为y＝x2﹣x+2， 当y＝0时，则0＝x2﹣x+2， ∴x1＝1，x2＝4， ∴点C（4，0）， ∵点A（0，2），点C（4，0），点B（3，﹣1）， ∴AC＝2，BC＝，AB＝3， ∵AB2+BC2＝20＝AC2， ∴∠ABC＝90°， 设点M（m，m2﹣m+2）， ∴ME＝m，AE＝m2﹣m+2﹣2＝m2﹣m， 当∠AMP＝∠ABC＝90°，∠ACB＝∠PAM时，△ACB∽△PAM， ∴tan∠ACB＝tan∠PAM＝＝， ∴＝， ∴m＝， ∴点M（，）， 当∠AMP＝∠ABC＝90°，∠BAC＝∠PAM时，△ACB∽△APM， ∴tan∠BAC＝tan∠PAM＝＝， ∴＝， ∴m＝11， ∴点M（11，36）， 综上所述：点M坐标为（，）或（11，36）． 故答案为：（，）或（11，36）． 5．（2023秋•拱墅区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠D＝∠CAE． （1）求证：△ABD∽△ECA； （2）若AC＝6，CE＝4，求BD的长度． 【分析】（1）由AB＝AC可得到∠ABC＝∠ACB，则∠ABD＝∠ACE，即可证得结论； （2）根据相似三角形的性质即可求解． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠D＝∠CAE． ∴△ABD∽△ECA； （2）解：∵AB＝AC，AC＝6， ∴AB＝AC＝6， ∵△ABD∽△ECA， ∴， ∴， ∴BD＝9． 巩固训练 6．（2024秋•诸暨市校级月考）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（　　） A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C． D． 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：A、∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故A选项错误； B、∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故B选项错误； C、＝不能判定△ADE∽△ACB，故C选项正确； D、＝，且夹角∠A＝∠A，能确定△ADE∽△ACB，故D选项错误． 故选：C． 7．（2024•金华一模）已知Rt△ABC，∠BCA＝90°，过点C作一条射线，使其将△ABC分成两个相似的三角形．观察图中尺规作图的痕迹，作法正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】根据相似三角形的判定方法即可一一判断； 【解答】解：由①作图可知：CD⊥AB，可以推出∠CAD＝∠BCD，故△CDA与△CBD相似，故本选项符合题意； 由②作图无法判断△CAD∽△BCD，故本选项符合题意； 由③作图可知：AD⊥BA，∵∠BAC＝90°，故△CAD∽△CBD，故本选项符合题意； ∴①③符合题意； 故选：B． 8．（2023秋•义乌市校级月考）如图，直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于点A、B，一动点P从点A出发，沿A—O—B的路线运动到点B停止，C是AB的中点，沿直线PC截△AOB，若得到的三角形与△AOB相似，则点P的坐标是 　（3，0）或（0，）或（0，4）　． 【分析】先由直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于点A、B，求得A（6，0），B（0，8），再根据勾股定理求得AB＝10，则AC＝CB＝5，分三种情况讨论，一是点P在OA上，且△APC∽△AOB，此时PC∥OB，可求得PO＝AP＝3，则P（3，0）；二是点P在OB上，且△PCB∽△AOB，则＝，可求得PB＝，所以OP＝，则P（0，）；三是点P在OB上，且△CPB∽△AOB，此时PC∥OA，可求得OP＝PB＝4，则P（0，4）． 【解答】解：直线y＝﹣x+8，当x＝0时，y＝8； 当y＝0时，则﹣x+8＝0，解得x＝6， ∴A（6，0），B（0，8）， ∵∠AOB＝90°，OA＝6，OB＝8， ∴AB＝＝＝10， ∵C是AB的中点， ∴AC＝CB＝AB＝5， 如图1，点P在OA上，且△APC∽△AOB， ∴∠APC＝∠AOB， ∴PC∥OB， ∴＝＝1， ∴PO＝AP＝OA＝3， ∴P（3，0）； 如图2，点P在OB上，且△PCB∽△AOB， ∴＝， ∴PB＝＝＝， ∴OP＝8﹣＝， ∴P（0，）； 如图3，点P在OB上，且△CPB∽△AOB， ∴∠CPB＝∠AOB， ∴PC∥OA， ∴＝＝1， ∴OP＝PB＝OB＝4， ∴P（0，4）， 综上所述，点P的坐标是（3，0）或（0，）或（0，4）． 9．（2023秋•婺城区校级期中）如图，弦DB，EC的延长相交于圆外一点A，连结CD，BE． （1）求证：△ACD∽△ABE； （2）若AB＝5，AC＝6，AE＝10，求AD的长． 【分析】（1）根据圆周角定理可得∠D＝∠E，再由∠A＝∠A，即可证得△ACD∽△ABE； （2）根据△ACD∽△ABE，可得，即可求解． 【解答】（1）证明：∵∠D＝∠E，∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABE； （2）解：∵△ACD∽△ABE， ∴， ∵AB＝5，AC＝6，AE＝10， ∴ ∴AD＝12． 10．（2023秋•翠屏区校级月考）△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，P为BC上的动点，小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P，三角板可绕P点旋转． （1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP； （2）将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论） （3）在（2）的条件下，连接EF，△BPE与△PFE是否相似？若不相似，则动点P运动到什么位置时，△BPE与△PFE相似？说明理由． 【分析】（1）找出△BPE与△CFP的对应角，其中∠BPE+∠CPF＝135°，∠CPF+∠CFP＝135°，得出∠BPE＝∠CFP，从而解决问题； （2）利用（1）小题证明方法可证：△BPE∽△CFP； （3）动点P运动到BC中点位置时，△BPE与△PFE相似，同（1），可证△BPE∽△CFP，得 CP：BE＝PF：PE，而CP＝BP，因此 PB：BE＝PF：PE，进而求出，△BPE与△PFE相似． 【解答】（1）证明：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝45°． ∵∠B+∠BPE+∠BEP＝180°， ∴∠BPE+∠BEP＝135°， ∵∠EPF＝45°， 又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF＝180°， ∴∠BPE+∠CPF＝135°， ∴∠BEP＝∠CPF， 又∵∠B＝∠C， ∴△BPE∽△CFP（两角对应相等的两个三角形相似）． （2）解：△BPE∽△CFP； 理由：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝45°． ∵∠B+∠BPE+∠BEP＝180°， ∴∠BPE+∠BEP＝135°， ∵∠EPF＝45°， 又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF＝180°， ∴∠BPE+∠CPF＝135°， ∴∠BEP＝∠CPF， 又∵∠B＝∠C， ∴△BPE∽△CFP（两角对应相等的两个三角形相似）． （3）解：动点P运动到BC中点位置时，△BPE与△PFE相似， 证明：同（1），可证△BPE∽△CFP， 得 CP：BE＝PF：PE， 而CP＝BP， 因此 PB：BE＝PF：PE． 又因为∠EBP＝∠EPF， 所以△BPE∽△PFE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）． 题型五　相似三角形的判定与性质的综合 例题： 1．（2024•玉环市二模）如图是边长为1的小正方形构成的8×6的网格，△ABC的顶点均在格点上． （1）在图1中，仅用无刻度尺子在线段AC上找一点D，使得AD＝CD； （2）在图2中，仅用无刻度尺子在线段AC上找一点M，使得． 【分析】（1）连接PH交AC于D，由四边形AHCP为矩形，D是其对角线的交点，则点D即为所求； （2）连接EF交AC于点D，由AE∥FC得△ADE∽△CDF，故＝＝，即＝，所以点D即为所求． 【解答】解：（1）如图1，连接PH交AC于D，则点D即为所求， ∵四边形AHCP为矩形，D是其对角线的交点 ∴AD＝DC； （2）如图2，连接EF交AC于点D，则点D即为所求， ∵AE∥FC ∴△ADE∽△CDF ∴＝＝， ∴＝． 2．（2024•宁波模拟）在△ABC中，AB＝2，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△MBN，且CN∥BM，MA的延长线与CN交于点P，若AM＝3，． （1）求证：△ABM∽△CBN； （2）求AP的长． 【分析】（1）由旋转易得AB＝MB，BC＝BN，∠ABC＝∠MBN，进而可得，∠ABM＝∠CBN，以此即可证明△ABM∽△CBN； （2）由△ABM∽△CBN得∠BMA＝∠BNC，由CN∥BM得∠BMA＝∠APN，由BC＝BN得∠BNC＝∠BCN，以此可得∠APN＝∠BCN，则BC∥MP，于是可知四边形BCPM为平行四边形，BC＝PM，利用△ABM∽△CBN的对应边成比例，求得CB＝5＝PM，则AP＝PM﹣AM． 【解答】（1）证明：∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△MBN， ∴AB＝MB，BC＝BN，∠ABC＝∠MBN， ∴， ∴∠MBN+∠ABN＝∠ABC+∠ABN，即∠ABM＝∠CBN， ∴△ABM∽△CBN； （2）解：由（1）知，△ABM∽△CBN， ∴∠BMA＝∠BNC， ∵CN∥BM， ∴∠BMA＝∠APN， ∴∠APN＝∠BNC， 又∵BC＝BN， ∴∠BNC＝∠BCN， ∴∠APN＝∠BCN， ∴BC∥MP， ∴四边形BCPM为平行四边形， ∴BC＝PM， ∵△ABM∽△CBN， ∴，即， ∴CB＝5＝PM， ∴AP＝PM﹣AM＝5﹣3＝2． 3．（2021秋•萧山区校级月考）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G． （1）求证：△ABE∽△DEF； （2）若正方形的边长为4，求FG的长． 【分析】（1）由正方形的性质可得AD＝AB＝DC＝BC，∠A＝∠D＝90°，然后根据对应边成比例且夹角相等可判定△ABE∽△DEF； （2）通过证明△DEF∽△CGF，可得，根据DF＝DC可得CF＝3，CG＝6，由勾股定理可求解． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝AB＝DC＝BC，∠A＝∠D＝90°， ∵AE＝ED， ∴＝， ∵DF＝DC， ∴＝， ∴， ∴△ABE∽△DEF； （2）∵四边形ABCD为正方形， ∴ED∥BG， ∴△DEF∽△CGF， ∴， 又∵DF＝DC，正方形的边长为4， ∴DF＝1，ED＝2， ∴CF＝3，CG＝6， ∴GF＝＝＝3． 巩固训练 4．（2024•西湖区校级开学）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，连接CE，DE． （1）求证：AC2＝AB•AD； （2）若AD＝4，AB＝6，求的值． 【分析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2＝AB•AD； （2）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值． 【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB， ∵∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴△ADC∽△ACB， ∴AD：AC＝AC：AB， ∴AC2＝AB•AD； （2）解：∵∠ACB＝90°，E为AB中点， ∴AE＝CE， ∴∠CAE＝∠ECA， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠EAC， ∴∠DAC＝∠ACE， ∴CE∥AD， ∴△AFD∽△CFE， ∴AD：CE＝AF：CF， ∵CE＝AB， ∴CE＝×6＝3， ∵AD＝4， ∴＝． 5．（2024•钱塘区一模）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连结DE，DF，BE，DF与BE交于点G．已知四边形DFCE是平行四边形，且． （1）若AC＝25，求线段AE，GF的长． （2）若四边形GFCE的面积为48，求△ABC的面积． 【分析】（1）根据平行四边形的性质求出DE∥BC，DF∥AC，DE＝CF，即可判定△ADE∽△ABC，△BFG∽△BCE，根据相似三角形的性质及比例的性质求解即可； （2）根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”及比例的性质求出S△BCE＝75，再结合比例的性质、三角形面积公式求解即可． 【解答】解：（1）∵四边形DFCE是平行四边形， ∴DE∥BC，DF∥AC，DE＝CF， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝＝， ∵AC＝25， ∴AE＝10， ∴CE＝25﹣10＝15， ∵＝＝， ∴＝， ∵DF∥AC， ∴△BFG∽△BCE， ∴＝＝， ∴GF＝9； （2）∵△BFG∽△BCE，＝， ∴＝＝， ∵S△BFG+S四边形GFCE＝S△BCE， ∴＝＝， ∵四边形GFCE的面积为48， ∴S△BCE＝75， ∵＝，AE+CE＝AC， ∴＝， ∴＝， ∴S△ABC＝125． 6．（2024•上城区二模）在边长为6的正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，且CE＝3，连接AE交CD于点F． （1）求DF的长． （2）作∠DCE的平分线与AE相交于点G，连接DG，求DG的长． 【分析】（1）由正方形的性质得DA＝DC＝6，BC∥DA，可证明△CEF∽△DAF，得＝＝，则DF＝DC＝4； （2）作GH⊥CD于点H，则GH∥AD，所以∠FGH＝∠FAD，由＝tan∠FGH＝tan∠FAD＝＝，得HF＝HG，由∠DCE＝∠DCB＝90°，AE平分∠DCE，得∠DCG＝∠ECG＝45°，所以∠HGC＝∠HCG＝45°，则HG＝HC，所以HF＝HC，于是得HC+HC＝2，求得HG＝HC＝，则DH＝，由勾股定理得DG＝＝． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是边长为6的正方形， ∴DA＝DC＝6，BC∥DA， ∵点E在BC的延长线上，且CE＝3， ∴CE∥DA， ∴△CEF∽△DAF， ∴＝＝＝， ∴DF＝DC＝DC＝×6＝4， ∴DF的长为4． （2）作GH⊥CD于点H，则∠CHG＝∠GHF＝∠ADF＝90°， ∴GH∥AD， ∴∠FGH＝∠FAD， ∴＝tan∠FGH＝tan∠FAD＝＝＝， ∴HF＝HG， ∵DC＝6，DF＝4， ∴CF＝DC﹣DF＝6﹣4＝2， ∵∠DCE＝∠DCB＝90°，AE平分∠DCE， ∴∠DCG＝∠ECG＝∠DCE＝45°， ∴∠HGC＝∠HCG＝45°， ∴HG＝HC， ∴HF＝HC， ∴HC+HC＝2， ∴HG＝HC＝， ∴DH＝DC﹣HC＝6﹣＝， ∴DG＝＝＝， ∴DG的长是． 7．（2024•杭州二模） 探究不同裁剪方式的面积大小问题 素材1 图1是一张直角三角形纸板，两直角边分别为BC＝15cm，AC＝20cm，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上． 素材2 小华同学按图2的方式裁剪出一个正方形；小明同学按图3的方式裁剪，且AH＝8cm． 素材3 小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4， 步骤1：在直角△ABC纸板上裁下一个矩形CDEF，矩形的四个顶点都在△ABC的边上； 步骤2：取剩下的纸板△ADE裁下一个正方形GHJI，正方形的四个顶点都在△ADE边上；且满足矩形CDEF的CF边长是正方形GHII边长的两倍小0.9cm． 问题解决 任务1 请比较小华、小明同学裁出的两种矩形的面积大小，通过计算说明． 任务2 任务2请求出小富同学裁下的矩形CDEF各边长． 【分析】任务1：小华：设正方形的边长为x，AF＝20﹣x，由题意得：△AFD∽△ACB，再利用相似三角形的性质求得x；小明：由题意得：，再由△AHG∽△ACB及△BPQ∽△BCA求得HP，然后比较大小即可； 任务2：由题意得：△AHG∽△ACB，可设AH＝4x，HG＝3x，AG＝5x，再由△GDI∽△ACB可得＝，求得GD＝，AD＝，由△ADE∽△ACB列出比例式＝，求得：x＝2，从而得出AD＝×2＝，最后求解即可． 【解答】解：任务一：S小明＞S小华，理由如下： 小华：设正方形的边长为x，AF＝20﹣x， 由题意得：△AFD∽△ACB， ∴＝， 解得：， ∴S小华＝＝； 小明：由题意得：AB＝＝25， ∵△AHG∽△ACB， ∴＝， 解得：GH＝6， ∵△BPQ∽△BCA， ∴＝， 解得：PB＝，HP＝25﹣8﹣＝， ∴S小明＝6×＝75， ∵75＞， ∴S小明＞S小华； 任务二：由题意得：△AHG∽△ACB， ∴HG：AH：AG＝3：4：5， 设AH＝4x，HG＝3x，AG＝5x， 同理：△GDI∽△ACB， ∴＝， 解得GD＝，DE＝CF＝6x﹣0.9， ∴AD＝， ∵△ADE∽△ACB， ∴＝， 解得：x＝2， ∴AD＝＝， ∴矩形CDEF的边长为：DE＝6×2﹣0.9＝；CD＝20﹣＝． 题型六　相似三角形的应用 例题： 1．（2024•杭州三模）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是（　　）cm． A． B．6 C． D．8 【分析】过点O作OE⊥CD，垂足为E，延长EO交AB于点F，根据题意可得：OE＝15cm，CD＝8cm，OF＝10cm，AB∥CD，然后利用平行线的性质可得：∠A＝∠C，∠B＝∠D从而可得△ABO∽△CDO，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：如图：过点O作OE⊥CD，垂足为E，延长EO交AB于点F， 由题意得： OE＝15cm，CD＝8cm，AB∥CD， ∴OF⊥AB， ∴OF＝10cm， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠C，∠B＝∠D， ∴△ABO∽△CDO， ∴＝， ∴＝， 解得：AB＝， ∴蜡烛火焰的高度是cm， 故选：C． 2．（2024•新昌县一模）如图1是某一遮阳篷支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳篷支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳篷支架完全展开时的一个示意图，支杆MN固定在垂直于地面的墙壁上，支杆CE与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形ABCD始终是平行四边形，展开时∠GHB为90度． （1）若遮阳棚完全展开时，CE长2米，在与水平地面呈60°的太阳光照射下，CE在地面的影子有 　2　米（影子完全落在地面）． （2）长支杆与短支杆的长度比（即CE与AD的长度比）是 　+1　． 【分析】（1）过C作与水平地面呈60°的直线KC交MN的延长线于K，分别过K、E作KS∥CE，ES∥CK可得四边形CESK是平行四边形，然后根据平行四边形的性质求得KS的长即可． （2）由题意可知：CB＝FB＝GF，GH＝HB，则FH⊥GB，进而证明△MOK∽△FOH，再证明GH＝GF，最后找到 CE与AD的长度比即可． 【解答】解：（1）过C作与水平地面呈60°的直线KC交MN的延长线于K，分别过K、E作KS∥CE，ES∥CK， ∴四边形CESK是平行四边形， ∴KS＝CE＝2，即CE在地面上影子的长为2米． 故答案为：2． （2）连结FH， 设DE＝a，CD＝b， 由题意可知：BC＝a，BF＝a，GF＝a，BH＝b，GH＝b， 在△GHB中，HB＝GH，GF＝FB， ∴FH⊥GB， 又∵MK⊥GB， ∴MK∥FH， ∴△MOK∽△FOH． ∵FK＝MH， ∴OH＝OF， ∴∠OFH＝∠OHF， 又∵∠GFH＝90°，即∠GFO+∠OFH＝90°， ∴∠GFO+∠OHF＝90°， 又∵∠FGO+∠OHF＝90°， ∴∠GFO＝∠FGO， 即OG＝OF， ∴OH＝OF＝OG， ∴∠FGH＝45°， ∴GH＝GF． 即：b＝a， ∴＝＝＝+1， ∴CE：AD＝+1． 故答案为：+1． 3．（2022秋•西湖区校级月考）如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上． （1）当点P恰好为AB中点时，PQ＝　60mm　． （2）当PQ＝40mm，求出PN的长度． （3）若这个矩形的边PN：PQ＝1：2．则这个矩形的长、宽各是多少？ 【分析】（1）根据三角形中位线定理即可得到结论； （2）根据矩形的对边平行得到BC∥PQ，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可． （3）设宽为x mm，则长为2x mm，根据相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：（1）∵四边形PNQM为矩形， ∴MN∥PQ， 即PQ∥BC， ∵点P恰好为AB中点时， ∴AP＝BP， ∴AQ＝CQ， ∴PQ＝BC＝120＝60（mm）， 故答案为：60mm； （2）∵四边形PNMQ为矩形， ∴PQ∥BC， ∵AD⊥BC， ∴PQ⊥AD， ∴△APQ∽△ABC， ∴＝， ∴＝， ∴AH＝， ∴PN＝HD＝（mm）； （3）设边宽为x mm，则长为2x mm， ∵四边形PNMQ为矩形， ∴PQ∥BC， ∵AD⊥BC， ∴PQ⊥AD， ∵PN：PQ＝1：2， ∴PQ为长，PN为宽， ∵PQ∥BC， ∴△APQ∽△ABC， ∴， 由题意知PQ＝2x mm，AD＝80mm，BC＝120mm，PN＝x mm， ∴＝， 解得x＝，2x＝． 答：矩形的长mm，宽为mm． 4．（2023秋•婺城区期末）如图1，路灯AB与路灯CD都与地面垂直，且相距18米，路灯AB的高度比路灯CD的高度低1米．夜晚，身高为1.6米的小明以1米/秒的速度从路灯AB走向路灯CD，行走时间为t秒．当行走3秒时，他走到了P处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯AB的底部（点B）．如图2，在行走过程中，小明在路灯AB下的影子为FM，在路灯CD下的影子为FN． （1）求路灯CD的高度． （2）若小明身高EF是影子FM与FN的比例中项，求此时t的值． （3）有言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． ①从路灯AB走向路灯CD的过程中，两路灯下的影子总长MN＝　　（用含t的代数式表示）； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的!请直接写出小明在路灯CD下的影子的顶端N在地面上移动的速度为 　1.2　米/秒． 【分析】（1）由PQ∥CD可得，代入计算即可； （2）设FM＝x，由可得x＝，FN＝y，由可得y＝，再由EF是影子FM与FN的比例中项，可求t； （3）①②根据（2）的结论计算即可． 【解答】解：（1）由题意，可知，BP＝3米，BD＝18米，PQ＝1.6米， 设AB＝x米，则CD＝（x+1）米， ∵PQ∥CD， ∴＝， ∴＝， ∴CD＝9.6， 答：路灯CD的高度为9.6米； （2）由题意可知：BF＝t， ∵EF∥AB， ∴， 设FM＝x，则有， 解得：x＝， ∵EF∥CD， ∴， 设FN＝y，则有， 解得：y＝， ∵EF是影子FM与FN的比例中项， ∴，即， 化简得：t2﹣18t+56＝0， 解得：t1＝4，t2＝14， ∴t的值为：4或14； （3）①∵FM＝，FN＝， ∴MN＝FM+FN＝， 故答案为：； ②由题意可知：影子的顶端N在地面上移动的距离是BN， ∵BN＝BF﹣FN＝t﹣（）＝1.2t+3.6， ∴影子的顶端N在地面上移动的速度是1.2米/秒． 故答案为：1.2． 巩固训练 5．（2023秋•东阳市期末）如图，小李利用镜面反射原理测树高，小李在点A，镜子为点O，BD表示树，点A，O，B在同一水平线上，小李身高CA＝1.6米，OA＝2.4米，OB＝6米，则树高为（　　） A．4米 B．5米 C．6米 D．7米 【分析】证明△ACO∽△BDO，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【解答】解：如图可知：∠CAO＝∠DBO＝90°，∠COF＝∠DOF， ∴∠COA＝90°﹣∠COF，∠DOB＝90°﹣∠DOF， ∴∠COA＝∠DOB， ∴△ACO∽△BDO， ∴＝， ∵AC＝1.6米，OA＝2.4米，OB＝6米， ∴＝， 解得：BD＝4， 答：树高为4米． 故选：A． 6．（2024•宁海县校级自主招生）有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点G正好在书架边框上．每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架宽为40cm，则FI的长 　cm　． 【分析】根据题意得出CI＝20cm，EF＝20cm，FG＝5cm，证△GIF∽△FEC，根据线段比例关系得出FI的长度即可． 【解答】解：由题知，CI＝BI﹣BC＝40﹣20＝20cm，EF＝20cm，FG＝5cm， ∵∠EFC+∠CEF＝90°，∠EFC+∠GFI＝90°， ∴∠CEF＝∠GFI， ∵∠ECF＝∠FIG＝90°， ∴△GIF∽△FCE， ∴＝， 即＝， ∴CE＝4FI， 在Rt△CEF中，由勾股定理得CE2+CF2＝EF2， 即（4FI）2+（20﹣FI）2＝202， 解得FI＝或FI＝0（舍去）， 故答案为：cm． 7．（2024•西湖区三模）如图1，广场上有一盏高为9m的路灯AO，把灯O看作一个点光源，身高1.5m的女孩站在离路灯5m的点B处．图2为示意图，其中AO⊥AD于点A，CB⊥AD于点B，点O，C，D在一条直线上，已知OA＝9m，AB＝5m，CB＝1.5m． （1）求女孩的影子BD的长． （2）若女孩以5m为半径绕着路灯顺时针走一圈（回到起点），求人影扫过的图形的面积．（π取3.14） 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质定理得到PB的长，即可得出答案． （2）根据圆的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）∵BC⊥AD，AO⊥AD， ∴BC∥AO， ∴△BDC∽△ADO， ∴， ∴， ∴BD＝1， 答：女孩的影子BD的长为1米； （2）∵女孩以5m为半径绕着路灯顺时针走一圈（回到起点）， ∴人影扫过的图形的面积62π﹣52π＝11π． 8．（2022秋•镇海区校级期中）学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高EF＝1.5米，“标杆”AB＝2.5米，又BD＝23米，FB＝2米． （1）求大楼的高度CD为多少米（CD垂直地面BD）？ （2）小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼CD上点G的高度GD＝11.5米，那么相对于第一次测量，标杆AB应该向大楼方向移动多少米？ 【分析】（1）如图1中，过点E作EH⊥CD于点H，交AB于点J．则四边形EFBJ，四边形EFDH都是矩形．利用相似三角形的性质求出CH，可得结论． （2）如图2中，过点E作ET⊥CD于点T交AB于点R．设BF＝x米，利用相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：（1）如图1中，过点E作EH⊥CD于点H，交AB于点J．则四边形EFBJ，四边形EFDH都是矩形． ∴EF＝BJ＝DH＝1.5米，BF＝EJ＝2米，DB＝JH＝23米， ∵AB＝2.5米． ∴AJ＝AB﹣BJ＝2.5﹣1.5＝1（米）， ∵AJ∥CH， ∴△EAJ∽△ECH， ∴＝， ∴＝， ∴CH＝12.5（米）， ∴CD＝CH+DH＝12.5+1.5＝14（米）． （2）如图2中，过点E作ET⊥CD于点T交AB于点R．设BF＝x米， ∵AR∥GT， ∴＝， ∴＝， ∴x＝2.5， ∵2.5﹣2＝0.5（米）， ∴标杆AB应该向大楼方向移动0.5米． 题型七　相似多边形 例题： 1．（2022秋•镇海区校级期中）两个相似多边形的周长之比为1：4，则它们的面积之比为（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16 【分析】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算． 【解答】解：相似多边形的周长的比是1：4， 周长的比等于相似比，因而相似比是1：4， 面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为1：16； 故选：D． 2．（2023秋•定海区校级月考）如图1是古希腊时期的巴台农神庙（ParthenomTemple），把图1中用虚线表示的矩形画成图2矩形ABCD，当以矩形ABCD的宽AB为边作正方形ABEF时，惊奇地发现矩形CDFE与矩形ABCD相似，则等于（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正方形的性质可得BE＝AB，再根据矩形的性质可得AB＝CD，从而可得BE＝CD，然后利用相似多边形的性质可得＝，从而可得＝，进而可得点E是BC的黄金分割点，然后根据黄金分割的定义可得＝，从而进行计算即可解答． 【解答】解：∵四边形ABEF是正方形， ∴BE＝AB， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD， ∴BE＝CD， ∵矩形CDFE与矩形ABCD相似， ∴＝， ∴＝， ∴点E是BC的黄金分割点， ∴＝， ∴＝＝， 故选：D． 3．（2023秋•宁波期末）如图，矩形ABCD∽矩形GBEF，且点E、A、B三点共线，连结AG，CE，CE与AD交于点H，若要求两个矩形的相似比，则只需知道（　　） A． B． C． D． 【分析】由矩形GBEF∽矩形ABCD，得到矩形GBEF与矩形ABCD的相似比是，由△EBC∽△EAH，推出＝，即可得到答案． 【解答】解：∵矩形GBEF∽矩形ABCD， ∴矩形GBEF与矩形ABCD的相似比是， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AH∥BC， ∴△EBC∽△EAH， ∴＝， ∴要求两个矩形的相似比，只需知道． 故选：C． 4．（2024•宁波模拟）如图，已知▱ABCD中，点E，F，G，H分别为AB，CD，AD，BC上的点，且EF∥BC，GH∥AB，GH分别与EF，BF相交于点M，N．若▱AEMG∽▱EBCF，则△BHN的面积一定可以表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】设参数，利用面积转化得到S▱EBHM﹣S▱GMFD＝abksinα﹣ab（k﹣1）sinα＝absinα＝S▱AMEG，再利用△BHN∽△BCF得到HN＝a，从而得到△BHN的面积． 【解答】解：设∠D＝α， ∵▱AEMG∽▱EBCF， ∴可设AE＝a，EM＝b，则BE＝ak，BC＝bk， 所以S▱EBHM﹣S▱GMFD＝abksinα﹣ab（k﹣1）sinα＝absinα＝S▱AMEG， ∵GH∥AB， ∴△BHN∽△BCF， ∴，即， ∴HN＝a， ∴， ∴S△BHN＝（S▱EBHM﹣S▱GMFD）． 故选B． 巩固训练 5．（2023秋•奉化区校级期中）如图，矩形ABCD被分割成4个小矩形，其中矩形AEPH∽矩形HDFP∽矩形PEBG，AE＞AH，对角线AC交边EF于点Q．若要求△APQ的面积，需知道下列哪两个图形的面积之差（　　） A．矩形AEPH和矩形PEBG B．矩形HDFP和矩形AEPH C．矩形HDFP和矩形PEBG D．矩形PGCF和矩形PEBG 【分析】设AE＝a，EP＝b，则HP＝DF＝a，根据相似多边形的性质与相似三角形的性质与判定，分别求得矩形AEPH的面积为：ab，矩形HDFP的面积为：，矩形PEBG的面积为：，以及△APQ的面积，S矩形HDFP﹣S矩形AEPH，进而比较可得答案． 【解答】解：∵矩形ABCD被分割成4个小矩形， 设AE＝a，EP＝b，则HP＝DF＝a， ∵矩形AEPH∽矩形HDFP， ∴， ∴， ∴ ∵矩形AEPH∽矩形PEBG， ∴， ∴， ∴， ∴矩形AEPH的面积为：ab，矩形HDFP的面积为：，矩形PEBG的面积为：， ∴， ∵EQ∥BC， ∴△AEQ∽△ABC， ∴， ∴， ∴S△APQ＝S△AEQ﹣S△AEP ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝， 故选：B． 6．（2023秋•鄞州区期末）如图，矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形AFED与原矩形ABCD相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是 　　． 【分析】设AF＝a，AD＝b，根据矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形，可得EC＝2a，NC＝b，矩形AFED与原矩形ABCD相似列出比例式即可解答． 【解答】解：设AF＝a，AD＝b， ∵矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形， ∴EC＝2a，NC＝b， ∴CD＝3a， ∵矩形AFED∽矩形ABCD， ∴， 即， ∴b＝a， ∴原矩形的较长边与较短边的比值为：． 故答案为：． 7．（2023•宁波模拟）矩形相邻的两边长分别为25和x（x＜25），把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则x的值为（　　） A．5 B．5 C．5 D．10 【分析】根据相似多边形的性质得出比例式，即可得到答案． 【解答】解：∵原矩形的长为25，宽为x， ∴小矩形的长为x，宽为＝5， ∵小矩形与原矩形相似， ∴， 解得：x＝5或﹣5（舍去）， 故选：B． 题型八　位似图形与位似变换 例题： 1．（2023秋•西湖区校级期中）如图，将视力表中的两个“E”放在平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的相似比为2：1．点P与Q为一组对应点，若点Q坐标为（﹣2，3），则点P的坐标为（　　） A． B．（﹣6，4） C． D．（﹣4，6） 【分析】根据位似变换的性质计算，将Q点的横、纵坐标乘以2，即可求解． 【解答】解：∵①号“E”与②号“E”的相似比为2：1，点Q坐标为（﹣2，3） ∴点P的坐标为（﹣2×2，3×2），即（﹣4，6）， 故选：D． 2．（2023秋•西湖区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A．（﹣1，2） B．（﹣9，18） C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2） 【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k解答． 【解答】解：∵点A（﹣3，6），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小， ∴点A的对应点A′的坐标是（﹣1，2）或（1，﹣2）， 故选：D． 3．（2023秋•海曙区期末）图①、图②都是6×6的网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成作图，并保留作图痕迹． （1）在图①中，以点C为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍； （2）在图②中，在线段AC上作点D，使得AD：CD＝2：3． 【分析】（1）根据位似的性质作图即可． （2）取格点M，N，使AM∥CN，且AM：CN＝2：3，连接MN，交AC于点D，则点D即为所求． 【解答】解：（1）如图①，△A'B'C即为所求． （2）如图②，取格点M，N，使AM∥CN，且AM：CN＝2：3， 连接MN，交AC于点D， 此时△ADM∽△CDN， 则， 则点D即为所求． 巩固训练 4．（2023秋•桐乡市期末）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，点A，B的对应点分别为点A′，B′．若AB＝6，则A′B′的长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．15 【分析】根据位似比的概念解答即可． 【解答】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3， ∴， ∵AB＝6， ∴A'B'＝9， 故选：B． 5．（2023•浦江县模拟）如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为 　（2，0）　． 【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点P，则P点为位似中心，然后写出P点坐标即可． 【解答】解：如图，点P为位似中心，P（2，0）． 故答案为：（2，0）． 6．（2023秋•定海区校级月考）如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1）、（2，﹣1）． （1）画出△OAB绕点O顺时针旋转180°后得到的图形． （2）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似三角形OCD，使新图与原图的相似比为2：1，并分别写出A、B的对应点C、D的坐标． 【分析】（1）根据中心对称的性质即可得到结论； （2）利用位似图形的性质得出C，D两点坐标在A，B坐标的基础上，同乘以﹣2，进而得出坐标画出图形即可；利用位似图形的性质得出C，D点坐标． 【解答】解：（1）如图所示，△OA′B′即为所求； （2）如图所示△OCD即为所求，D（﹣4，2），C（﹣6，﹣2）． 题型九　相似形综合题 例题： 1．（2024秋•诸暨市校级月考）（1）如图1，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，连接DE、EF，使DE∥BC，EF∥AB． ①求证：； ②若CF＝3DE，AB＝8，△ADE的面积为1，求四边形BFED的面积； （2）如图2，四边形ABCD中∠A＝∠B＝90°，AD＝8，AB＝20，BC＝24．点E、F、G分别在AB、CD、BC上，EF∥BC，FG∥AB．设FG＝x，四边形BEFG的面积为S，求出S与x之间的函数关系式，并求S的最大值． 【分析】（1）①证明△ADE∽△ABC即可求解； ②利用相似三角形的性质分别求出△ABC和△CEF的面积，即可求解； （2）过点D作DH⊥BC于点H，交EF于点M，设EF＝y，证明△DMF∽△DHC，得到y＝﹣x+24，根据矩形面积公式即可得到S与x之间的函数关系式，再根据函数的性质即可求出面积的最大值． 【解答】（1）①证明：∵DE∥BC，EF∥AB， ∴四边形BFED是平行四边形， ∴DE＝BF，DB＝EF， ∴DE∥BC， ∴△ADE∽△EFC， ∴＝， ∴； ②解：∵CF＝3DE， ∴BC＝4DE， ∴＝， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝＝，＝（）2＝（）2＝， ∵△ADE的面积为1， ∴＝， ∴S△ABC＝16， ∵AB＝8， ∴AD＝2， ∴BD＝8﹣2＝6， ∵四边形BFED是平行四边形， ∴EF＝BD＝6，EF∥AB， ∴△CEF∽△CAB，相似比为＝＝， ∴＝（）2＝， ∵S△ABC＝16， ∴S△CEF＝9， ∴平行四边形BFED的面积＝S△ABC﹣S△ADE﹣S△CEF＝16﹣1﹣9＝6， ∴平行四边形BFED的面积为6； （2）解：如图2，过点D作DH⊥BC于点H，交EF于点M，则MH＝FG＝x，AD＝EM＝BH＝8，DH＝AB＝20， ∴DM＝DH﹣MH＝20﹣x，CH＝BC﹣BH＝24﹣8＝16， 设EF＝y，则MF＝EF﹣EM＝y﹣8， ∵矩形BEFG， ∴EF∥BC， ∴△DMF∽△DHC， ∴＝， ∴＝， ∴y＝﹣x+24， ∴S＝xy＝x（﹣x+24）＝﹣x2+24x＝﹣（x﹣15）2+180， ∴当x＝15时，矩形BEFG面积最大，最大值为180． 2．（2023秋•定海区期中）【探究证明】 （1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明： 如图①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AD、BC于点E、F，GH分别交AB、DC于点G、H，求证：． 【结论应用】 （2）如图②，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，若AB＝4，BC＝6，求折痕EF的长； 【拓展运用】 （3）如图③，将矩形ABCD沿EF折叠．使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形EFPG，若AB＝4，BC＝6，，求BP的长． 【分析】（1）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，BQ交AP于T，如图1，易证AP＝EF，GH＝BQ，△ABP∽△BCQ，然后运用相似三角形的性质就可解决问题． （2）利用探究的结论解决问题即可． （3）如图③中，过点F作FH⊥EG于H，过点P作PJ⊥BF于J．利用探究的结论求出DG，利用勾股定理求出AG，设ED＝EG＝x，在Rt△AEG中，根据EG2＝AE2+AG2，求出DE，EG，证明△AEG∽△JFP，推出＝＝，求出FJ，PJ即可解决问题． 【解答】（1）证明：如图①，过点A作AP∥EF，交BC于P，过点B作BQ∥GH，交CD于Q，BQ交AP于T． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥DC，AD∥BC． ∴四边形AEFP、四边形BGHQ都是平行四边形， ∴AP＝EF，GH＝BQ． 又∵GH⊥EF， ∴AP⊥BQ， ∴∠BAT+∠ABT＝90°． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABP＝∠C＝90°，AD＝BC， ∴∠ABT+∠CBQ＝90°， ∴∠BAP＝∠CBQ， ∴△ABP∽△BCQ， ∴＝， ∴＝； （2）解：如图②中，连接BD． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝90°，AB＝CD＝4， ∴BD＝＝＝2， ∵D，B关于EF对称， ∴BD⊥EF， ∴＝， ∴＝， ∴EF＝； （3）解：如图③中，过点F作FH⊥EG于H，过点P作PJ⊥BF于J． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，∠A＝90°， ∴＝， ∴DG＝2， ∴AG＝＝＝2， 由翻折可知：ED＝EG，设ED＝EG＝x， 在Rt△AEG中，EG2＝AE2+AG2， ∴x2＝AG2+AE2， ∴x2＝（6﹣x）2+22， ∴x＝， ∴DE＝EG＝，AE＝6﹣＝， ∵FH⊥EG， ∴∠FHG＝∠HGP＝∠GPF＝90°， ∴四边形HGPF是矩形， ∴FH＝PG＝CD＝4， ∴EH＝＝＝， ∴GH＝FP＝CF＝EG﹣EH＝﹣＝2， ∵PF∥EG，EA∥FB， ∴∠AEG＝∠JFP， ∵∠A＝∠FJP＝90°， ∴△AEG∽△JFP， ∴＝＝， ∴＝＝， ∴FJ＝，PJ＝， ∴BJ＝BC﹣FJ﹣CF＝6﹣﹣2＝， 在Rt△BJP中，BP＝＝＝． 3．（2024秋•诸暨市校级月考）【阅读与思考】 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 如图1，在△ABC中，中线AD，CE相交于点G，连接DE， ∵D，E分别是BC，AB边的中点， ∴①　BE＝AE，BD＝CD　． ∴DE∥AC，且DE＝AC． ∴②　△BDE　∽　△BCA　，　△DEG　∽　△ACG　 ∴， 任务： （1）笔记中横线部分应填写①　BE＝AE，BD＝CD　； ②　△BDE　∽　△BCA　，　△DEG　∽　△ACG　． （2）如图2，在△MNH中，点K，L分别在MN，MH边上，连接HK，NL交于点F．若MK＝MN，ML＝MH，猜测KF与HF的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在平行四边形ABCD中，点E、F、G分别是AD、BC、CD的中点，BE⊥EG，AB＝3，AD＝2，求AF长． 【分析】（1）由三角形中位线定理可得出结论； （2）连接KL，证明△KML∽△NMH，得出∠MKL＝∠MNH，＝＝，证明△KFL∽△HFN，得出＝＝，则可得出答案； （3）连接AC，EC，由平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，证明四边形AFCE是平行四边形，得出AF＝CE，由平行线得出AF＝CE，可证△AEQ∽△CBQ，得出＝＝＝，设AQ＝a，EQ＝b，则CQ＝2a，BQ＝2b，证明EG是△ACD的中位线，由三角形中位线定理得出EG∥AC，得出BE⊥AC，由勾股定理得得出方程，求出a2，b2在Rt△EQC中，由勾股定理求出CE，即可得AF的长． 【解答】解：（1）∵D，E分别是BC，AB边的中点， ∴BE＝AE，BD＝CD， ∴DE∥AC，且DE＝AC， ∴△BDE∽△BCA，△DEG∽△ACG， ∴，， 故答案为：BE＝AE，BD＝CD；△BDE，△BCA；△DEG，△ACG； （2）KF与HF的数量关系是KF＝HF，理由如下： 如图2，连接KL， ∵MK＝MN，ML＝MH， ∴＝＝， ∵∠M＝∠M， ∴△KML∽△NMH， ∴∠MKL＝∠MNH，＝＝， ∴KL∥NH， ∴△KFL∽△HFN， ∴＝＝， ∴KF＝HF； （3）如图3，连接AC，EC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC，BC＝AD＝2， ∴点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点， ∴AE＝AD，CF＝BC， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∴AF＝CE， ∵AD∥BC， ∴△AEQ∽△CBQ， ∴＝＝＝， 设AQ＝a，EQ＝b，则CQ＝2a，BQ＝2b， ∵点E，G分别是AD，CD的中点， ∴EG是△ACD的中位线， ∴EG∥AC， ∵BE⊥EG， ∴BE⊥AC， 由勾股定理得：AB2﹣AQ2＝BC2﹣CQ2， ∴9﹣a2＝（2）2﹣4a2， ∴a2＝， ∴BQ2＝4b2＝（2）2﹣4×＝， ∴b2＝， 在Rt△EQC中， CE2＝EQ2+CQ2＝b2+4a2＝16， ∴CE＝4， ∴AF＝4． 巩固训练 4．（2023秋•浙江期末）【观察与猜想】 （1）如图1，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、AB上，连结DF与CE交于点O，若∠FOC＝90°，且AD＝9，CD＝5，则＝　　． 【类比探究】 （2）如图2，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AD、AB上，连结DF与CE交于点O，当∠FOC与∠A相等时，证明：①△COD∽△CDE；②． 【分析】（1）证明△DAF∽△CDE，根据相似比即可求解； （2）当∠FOC＝∠A时，可证明△ODE∽△ADF得到，再证明△DCE∽△OCD，得到，由此可得结论． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠CDE＝90°， ∴∠AFD+∠ADF＝90°， ∵∠FOC＝∠EOD＝90°， ∴∠ADF+∠CED＝90°， ∴∠CED＝∠AFD， ∴△DAF∽△CDE， ∴， ∵AD＝9，CD＝5， ∴， 故答案为：； （2）证明：①当∠FOC＝∠A时： ∵∠FOC＝∠A，∠DOE＝∠FOC， ∴∠DOE＝∠A， 又∵∠ODE＝∠ADF， ∴△ODE∽△ADF， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD//AB，AB＝CD， ∴∠A+∠ADC＝180°， 又∵∠FOC+∠COD＝180°， ∴∠ADC＝∠COD， ∵∠DCE＝∠OCD， ∴△COD∽△CDE； ②∵△COD∽△CDE， ∴， ∴， ∴， 即． 11．（2024•普陀区二模）在综合与实践课上，王老师以“等腰直角三角形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作验算 如图1，△ABC是等腰直角三角形纸片，∠ACB＝90°，D为AB上一点，∠ACD＝30°．甲同学沿EF对折，使点C的对应点落在射线CD上，折痕分别交射线CA、射线CB于点E、点F． ①求的值，②若，求BD、的值； （2）迁移探究 如图2，△ABC是等腰直角三角形纸片，∠ACB＝90°，D为线段AB上任意一点．乙同学沿EF对折，使点C的对应点落在射线CD上，折痕分别交射线CA、射线CB于点E、点F． 探究与的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用 如图3，△ABC是等腰直角三角形纸片，∠ACB＝90°，丙同学在AB取点D，使，沿EB对折，使点C的对应点落在射线CD上，折痕交线段CA于点E，连结DE，求证：BE＝3DE． 【分析】（1）①先得出∠ECD＝∠CFE＝30°，得到；②过点D作DG⊥AC交AC于点G，，，； （2）过点D作DH⊥AC交AC于点H，DK⊥BC交BC于点K，，BD＝DK，得出，根据CH＝DK，得出，再根据tan∠CFE＝，∠CFE＝∠ACD，得出； （3）过点A作BC的平行线交CD的延长线于点M，根据△ADM∽△BDC，得出，得到CM＝3DM，再证明△AMC≌△CEB（ASA），得到CM＝BE，△AED≌△AMD（SAS），得到DM＝ED，得出BE＝3DE． 【解答】解：（1）①由题意得：CD⊥EF， ∵∠ACD＝30°， ∴∠ECD＝∠CFE＝30°， ∴； ②过点D作DG⊥AC交AC于点G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 过点D作DH⊥AC交AC于点H，DK⊥BC交BC于点K， ∴四边形CHDK是矩形， ∴CH＝DK， ∵，BD＝DK， ∴， ∵CH＝DK， ∴， ∵tan∠CFE＝， 又∵∠CFE＝∠ACD， ∴； （3）过点A作BC的平行线交CD的延长线于点M， ∵，由（2）可得， ∴， ∴AE＝CE， ∵△ADM∽△BDC， ∴， ∴CM＝3DM， ∵AC＝BC，∠ACM＝∠CBE，∠CAM＝∠BCE＝90°， ∴△AMC≌△CEB（ASA）， ∴CM＝BE，AM＝CE＝AE， ∵AE＝AM，∠EAD＝∠MAD＝45°，AD＝AD， ∴△AED≌△AMD（SAS）， ∴DM＝ED， ∴BE＝3DE． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$