专题03 图形的相似（考题猜想，易错必刷23题9种题型专项训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（华东师大版）

专题03图形的相似（易错必刷23题9种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 规律型：点的坐标 · 三角形中位线定理 · 黄金分割 · 平行线分线段成比例 · 相似三角形的判定 · 相似三角形的判定与性质 · 位似变换 · 射影定理 · 相似三角形的性质 一．规律型：点的坐标（共1小题） 1．如图，等边三角形ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限．△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是　 　；翻滚2018次后AB中点M的纵坐标为　 　． 二．（共3小题） 2．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝10，F是DE上一点，连接AF，CF，DF＝1．若∠AFC＝90°，则BC的长度为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 3．如图，在△ABC中，M是BC边的中点，AP平分∠A，BP⊥AP于点P、若AB＝12，AC＝22，则MP的长为　 　． 4．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则EF为　 　． 三．黄金分割（共1小题） 5．宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（　　） A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH 四．平行线分线段成比例（共3小题） 6．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG＝2，GB＝1，BC＝5，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 7．如图l1∥l2∥l3，若＝，DF＝10，则DE＝（　　） A．4 B．6 C．8 D．9 8．如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，已知EF：DF＝5：8，AC＝24． （1）求AB的长； （2）当AD＝4，BE＝1时，求CF的长． 五．相似三角形的性质（共1小题） 9．如图所示，若△DAC∽△ABC，则需满足（　　） A．CD2＝AD•DB B．AC2＝BC•CD C． D． 六．相似三角形的判定（共3小题） 10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，点E是边AB上的动点，当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，则AE＝（　　） A． B． C．或 D．或1 11．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？ 12．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE； （1）求证：△ABE∽△ECD； （2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长； （3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由． 七．相似三角形的判定与性质（共9小题） 13．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　） A．15 B．20 C．25 D．30 14．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，若∠BAC＝∠BDC，则下列结论中正确的是（　　） ①； ②△ABE与△DCE的周长比； ③∠ADE＝∠ABC； ④S△ABE•S△DCE＝S△ADE•S△BCE． A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 15．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D为格点（即小正方形的顶点），AB与CD相交于点O，则AO的长为 　 　． 16．如图，AD是△ABC的中线，点E是线段AD上的一点，且AE＝AD，CE交AB于点F．若AF＝2cm，则AB＝　 　cm． 17．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝9，BP＝BC＝2，D在AC上，且∠APD＝∠B，则CD＝　 　． 18．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠AED＝∠B，AG分别交线段DE、BC于点F、G，且AD：AC＝DF：CG．求证： （1）AG平分∠BAC； （2）EF•CG＝DF•BG． 19．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB． （1）求证：△ADE∽△ACB； （2）若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的长． 20．已知：如图，△ABC中，AD⊥BC，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，连接EF， （1）若AD2＝BD•DC， ①求证：∠BAC＝90°． ②AB＝4，DC＝6，求EF． （2）如图2，若AD＝4，BD＝2，DC＝4，求EF． 21．【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题： △ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点，延长DE、AC交于点F，DE＝EF，AB＝5，求AE的长． 小白的想法是：过点E作EH∥BC交AC于H，再通过相似三角形的性质得到AE、BE的比，从而得出AE的长，请你按照小白的思路完成解答． 【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题： △ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，E为AB边上一点，AE＝AD，H、Q为BC上两点，CQ＝DH，DQ＝mDH，G为AC上一点，连接EQ交HG、AD于F、P，∠EFG+∠EAD＝180°，猜想并验证EP与GH的数量关系． 八．位似变换（共1小题） 22．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A．（2，） B．（1，2） C．（4，8）或（﹣4，﹣8） D．（1，2）或（﹣1，﹣2） 九．射影定理（共1小题） 23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＜BC，则下列结论中错误的是（　　） A．CD2＝AD•DB B．AC•DB＝BC•AD C．AD•BC＝AC•CD D．BC2＝BD•AB $$专题03图形的相似（易错必刷23题9种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 规律型：点的坐标 · 三角形中位线定理 · 黄金分割 · 平行线分线段成比例 · 相似三角形的判定 · 相似三角形的判定与性质 · 位似变换 · 射影定理 · 相似三角形的性质 一．规律型：点的坐标（共1小题） 1．如图，等边三角形ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限．△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是　（5，）　；翻滚2018次后AB中点M的纵坐标为　0　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示，把△ABO经3次翻滚后，点B落到点B3处，点M经过点N、点H落到点M’处，点A落到点K处，作B3E⊥x轴于点E 则∠B3KE＝60°，B3K＝2 ∴KE＝B3K＝1，B3E＝B3K＝ ∴OE＝2×2+1＝5 ∴B3（5，）． 由图象可知，翻滚三次为一个循环 ∵2018＝3×672+2 ∴翻滚2018次后AB中点M的纵坐标与点H的纵坐标相同 ∵点H的纵坐标为0 ∴翻滚2018次后AB中点M的纵坐标为0． 故答案为：（5，）、0． 二．三角形中位线定理（共3小题） 2．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝10，F是DE上一点，连接AF，CF，DF＝1．若∠AFC＝90°，则BC的长度为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【解答】解：如图，∵∠AFC＝90°，E是AC的中点， ∴Rt△ACF中，EF＝AC＝＝5， ∴DE＝1+5＝6； ∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴BC＝2DE＝12， 故选：B． 3．如图，在△ABC中，M是BC边的中点，AP平分∠A，BP⊥AP于点P、若AB＝12，AC＝22，则MP的长为　5　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：延长BP与AC相交于D， 因为∠BAP＝∠DAP，AP⊥BD，AP＝AP 所以△ABP≌△APD（ASA）， 于是AB＝AD＝12，BP＝PD 又∵M是BC边的中点 故PM∥AC 所以PM＝DC＝×10＝5 故MP的长为5． 故答案为5． 4．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则EF为　1　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AD平分∠ABC，CG⊥AD，∴∠GAF＝∠CAF，∠AFG＝∠AFC 在△AGF和△ACF中， ， ∴△AGF≌△ACF（ASA）， ∴AG＝AC＝6，GF＝CF， 则BG＝AB﹣AG＝8﹣6＝2． 又∵BE＝CE， ∴EF是△BCG的中位线， ∴EF＝BG＝1． 故答案为：1． 三．黄金分割（共1小题） 5．宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（　　） A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH 【答案】D 【解答】解：设正方形的边长为2，则CD＝2，CF＝1 在直角三角形DCF中，DF＝＝ ∴FG＝ ∴CG＝﹣1 ∴＝ ∴矩形DCGH为黄金矩形 故选：D． 四．平行线分线段成比例（共3小题） 6．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG＝2，GB＝1，BC＝5，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解答】解：∵AG＝2，GB＝1， ∴AB＝AG+BG＝3， ∵直线l1∥l2∥l3， ∴＝， 故选：D． 7．如图l1∥l2∥l3，若＝，DF＝10，则DE＝（　　） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【解答】解：l1∥l2∥l3， ∴＝＝， 又∵DF＝10， ∴DE＝DF＝6， 故选：B． 8．如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，已知EF：DF＝5：8，AC＝24． （1）求AB的长； （2）当AD＝4，BE＝1时，求CF的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）解：∵l1∥l2∥l3，EF：DF＝5：8，AC＝24， ∴＝＝， ∴＝， ∴BC＝15， ∴AB＝AC﹣BC＝24﹣15＝9． （2）解：∵l1∥l2∥l3 ∴＝＝， ∴＝， ∴OB＝3， ∴OC＝BC﹣OB＝15﹣3＝12， ∴＝＝， ∴＝， ∴CF＝4． 五．相似三角形的性质（共1小题） 9．如图所示，若△DAC∽△ABC，则需满足（　　） A．CD2＝AD•DB B．AC2＝BC•CD C． D． 【答案】B 【解答】解：由CD2＝AD•DB，可得CD：AD＝BD：CD，由此得不出结论； 由AC2＝BC•CD，可得AC：BC＝CD：AC， ∵∠C＝∠C， ∴△ABC∽△DAC，故B选项正确； 由得不出结论； 由＝及∠BAC＝∠ADC＝90°可得结论，但题目中未提及． 故选：B． 六．相似三角形的判定（共3小题） 10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，点E是边AB上的动点，当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，则AE＝（　　） A． B． C．或 D．或1 【答案】D 【解答】解：分两种情况： ①当∠CED＝90°时，如图1， 过E作EF⊥CD于F， ∵AD∥BC，AD＜BC， ∴AB与CD不平行， ∴当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时， ∴∠BEC＝∠CDE＝∠ADE， ∵∠A＝∠B＝∠CED＝90°， ∴∠BCE＝∠DCE， ∴AE＝EF，EF＝BE， ∴AE＝BE＝AB＝； ②当∠CDE＝90°时，如图2， ∵当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时， ∴∠CEB＝∠CED＝∠AED＝60°， ∴∠BCE＝∠DCE＝30°， ∵∠A＝∠B＝90°， ∴BE＝ED＝2AE， ∵AB＝3， ∴AE＝1， 综上，AE的值为或1； 故选：D． 11．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设经过t秒时，以△QBP与△ABC相似，则AP＝2t厘米，BP＝（8﹣2t）厘米，BQ＝4t厘米， ∵∠PBQ＝∠ABC， ∴当＝时，△BPQ∽△BAC，即＝，解得t＝2（s）； 当＝时，△BPQ∽△BCA，即＝，解得t＝0.8（s）； 即经过2秒或0.8秒时，△QBP与△ABC相似． 12．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE； （1）求证：△ABE∽△ECD； （2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长； （3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC， ∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°， ∵AE⊥DE， ∴∠AED＝90°， ∴∠AEB+∠DEC＝90°， ∴∠DEC＝∠BAE， ∴△ABE∽△ECD； （2）解：Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5， ∴BE＝3， ∵BC＝5， ∴EC＝5﹣3＝2， 由（1）得：△ABE∽△ECD， ∴， ∴， ∴CD＝； （3）解：线段AD、AB、CD之间数量关系：AD＝AB+CD； 理由是：过E作EF⊥AD于F， ∵△AED∽△ECD， ∴∠EAD＝∠DEC， ∵∠AED＝∠C， ∴∠ADE＝∠EDC， ∵DC⊥BC， ∴EF＝EC， ∵DE＝DE， ∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL）， ∴DF＝DC， 同理可得：△ABE≌△AFE， ∴AF＝AB， ∴AD＝AF+DF＝AB+CD． 七．相似三角形的判定与性质（共9小题） 13．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】B 【解答】解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x， ∵四边形EFGH是正方形， ∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∵AD是△ABC的高， ∴∠HDN＝90°， ∴四边形EHDN是矩形， ∴DN＝EH＝x， ∵△AEF∽△ABC， ∴＝（相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ∵BC＝120，AD＝60， ∴AN＝60﹣x， ∴＝， 解得：x＝40， ∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20． 故选：B． 14．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，若∠BAC＝∠BDC，则下列结论中正确的是（　　） ①； ②△ABE与△DCE的周长比； ③∠ADE＝∠ABC； ④S△ABE•S△DCE＝S△ADE•S△BCE． A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【解答】解：①∵∠BAC＝∠BDC，∠AEB＝∠DEC， ∴△AEB∽△DEC， ∴；故①正确； ②∵△AEB∽△DEC， ∴△ABE与△DCE的周长比；故②正确； ③∵∠BAC＝∠BDC， ∴A，B，C，D共圆， ∴∠ADE＝∠ACB， 如果∠ADE＝∠ABC， ∴∠ABC＝∠ACB， 但这两个角不一定相等，故③错误； ④假设S△ABE•S△DCE＝S△ADE•S△BCE． ∴＝， ∵△ABE和△ADE共高， ∴＝， ∵△BCE和△DCE共高， ∴＝， ∴＝，故④正确． ∴结论中正确的是①②④， 故选：C． 15．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D为格点（即小正方形的顶点），AB与CD相交于点O，则AO的长为 　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示： 在△BDF和△ECF中， ， ∴△BDF≌△ECF（AAS）， ∴BF＝EF＝， 又∵BF∥DA， ∴△BFO∽△ADO， ∴， 又∵AD＝4， ∴， 在Rt△ABD中，由勾股定理得， ， 又∵AB＝AO+BO， ∴AO＝， 故答案为． 16．如图，AD是△ABC的中线，点E是线段AD上的一点，且AE＝AD，CE交AB于点F．若AF＝2cm，则AB＝　10　cm． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示，过A作AG∥BC，交CF的延长线于G， ∵AE＝AD，AG∥BC， ∴△AEG∽△DEC， ∴＝＝， 又∵AD是△ABC的中线， ∴BC＝2CD， ∴＝， ∵AG∥BC， ∴△AFG∽△BFC， ∴＝＝， ∴BF＝4AF＝8cm， ∴AB＝AF+BF＝10cm， 故答案为：10． 17．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝9，BP＝BC＝2，D在AC上，且∠APD＝∠B，则CD＝　　． 【答案】． 【解答】解：∵BP＝BC＝2， ∴BC＝3BP＝6， ∴CP＝BC﹣BP＝6﹣2＝4， ∵AB＝AC＝9， ∴∠B＝∠C， ∴∠BAP+∠APB＝180°﹣∠B， ∵∠APD＝∠B， ∴∠APB+∠DPC＝180°﹣∠APD＝180°﹣∠B， ∴∠DPC＝∠BAP， ∴△ABP∽△PCD， ∴＝， ∴＝， ∴CD＝， 故答案为：． 18．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠AED＝∠B，AG分别交线段DE、BC于点F、G，且AD：AC＝DF：CG．求证： （1）AG平分∠BAC； （2）EF•CG＝DF•BG． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示： （1）∵∠DAE+∠AED+∠ADE＝180°， ∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∠AED＝∠B， ∴∠ADE＝∠C， 在△ADF和△ACG中， ∴△ADF∽△ACG， ∴∠DAF＝∠CAG， ∴AG平分∠BAC； （2）在△AEF和△ABG中， ， ∴△AEF∽△ABG， ∴， 在△ADF和△AGC中， ， ∴△ADF∽△AGC， ∴， ∴， ∴EF•CG＝DF•BG． 19．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB． （1）求证：△ADE∽△ACB； （2）若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB； （2）解：由（1）可知：△ADE∽△ACB， ∴＝， 设BD＝x，则AD＝2x，AB＝3x， ∵AE＝4，AC＝9， ∴＝， 解得：x＝（负值舍去）， ∴BD的长是． 20．已知：如图，△ABC中，AD⊥BC，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，连接EF， （1）若AD2＝BD•DC， ①求证：∠BAC＝90°． ②AB＝4，DC＝6，求EF． （2）如图2，若AD＝4，BD＝2，DC＝4，求EF． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠CDA＝90°， 又∵AD2＝BD•DC， ∴＝， ∴△ABD∽△CAD， ∴∠BAD＝∠C， 又∵∠B+∠BAD＝90°， ∴∠B+∠C＝90°， ∴∠BAC＝90°； ②∵DE⊥AB，DF⊥AC，∠BAC＝90°， ∴∠EAF＝∠AED＝∠AFD＝90°， ∴四边形AEDF是矩形， ∴EF＝AD， ∵∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴AB2＝BD×BC，即42＝BD×（BD+6）， 解得BD＝2， ∴Rt△ABD中，AD＝＝2， ∴EF＝2； （2）∵AD＝4，DC＝4，DF⊥AC，BD＝2， ∴AC＝4，AB＝2， ∴AF＝AC＝2， ∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD⊥BC， ∴AD2＝AE×AB，AD2＝AF×AC， ∴AE×AB＝AF×AC，即， 又∵∠EAF＝∠CAB， ∴△AEF∽△ACB， ∴＝， ∴＝， 解得EF＝． 21．【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题： △ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点，延长DE、AC交于点F，DE＝EF，AB＝5，求AE的长． 小白的想法是：过点E作EH∥BC交AC于H，再通过相似三角形的性质得到AE、BE的比，从而得出AE的长，请你按照小白的思路完成解答． 【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题： △ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，E为AB边上一点，AE＝AD，H、Q为BC上两点，CQ＝DH，DQ＝mDH，G为AC上一点，连接EQ交HG、AD于F、P，∠EFG+∠EAD＝180°，猜想并验证EP与GH的数量关系． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：【阅读理解】 如图1，过点E作EH∥BC交AC于H， ∴∠FEH＝∠FDC，∠FHE＝∠C， ∴△FEH∽△FDC， ∴， ∵DE＝EF， ∴， ∵BD＝DC， ∴， 同理得：△AEH∽△ABC， ∴， ∵AB＝5， ∴AE＝； 【解决问题】 猜想：＝，理由是： 如图2，过D作DM∥GH，交AC于M， ∴∠CMD＝∠CGH，∠CDM＝∠CHG， ∴△CDM∽△CHG， ∴， 设DH＝CQ＝x，则DQ＝mx， ∴＝＝， ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAP＝∠DAM， ∵∠EFG+∠EAD＝180°， ∴∠AEP+∠ANF＝180°， ∵GH∥DM， ∴∠ADM+∠DNG＝∠ADM+∠ANF＝180°， ∴∠ADM＝∠AFP， ∵AE＝AD， ∴△AEP≌△ADM， ∴EP＝DM， ∴＝． 八．位似变换（共1小题） 22．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A．（2，） B．（1，2） C．（4，8）或（﹣4，﹣8） D．（1，2）或（﹣1，﹣2） 【答案】D 【解答】解：以O为位似中心，把△OAB缩小为原来的， 则点A的对应点A′的坐标为（2×，4×）或[2×（﹣），4×（﹣）]， 即（1，2）或（﹣1，﹣2）， 故选：D． 九．射影定理（共1小题） 23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＜BC，则下列结论中错误的是（　　） A．CD2＝AD•DB B．AC•DB＝BC•AD C．AD•BC＝AC•CD D．BC2＝BD•AB 【答案】B 【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB ∴CD2＝AD•DB，BC2＝BD•AB， 故A、D选项正确； ∵△ACD∽△CBD， ∴＝＝， ∴AC•DB＝BC•CD，故B选项错误； AD•BC＝AC•CD，故C选项正确； 故选：B． $$