专题09 相似三角形压轴题的六大类型（专项训练）数学华东师大版九年级上册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题09相似三角形压轴题的六大类型 (原卷版) 目录 A题型建模·专项突破 题型一、相似三角形与特殊三角形的综合 题型二、相似三角形与特殊四边形的综合 题型三、相似三角形与折叠问题的综合 题型四、相似三角形与坐标系的综合 题型五、相似三角形与动点运动问题的综合 题型六、相似三角形与函数问题的综合 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、相似三角形与特殊三角形的综合 1.若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫作比例三角形. 图1 图2 (1)已知△ABC是比例三角形，AB=4,BC=6,请直接写出所有满足条件的AC的长； (2)如图1，在四边形ABCD中，ADIBC,对角线BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADC,求证：△ABC是比 例三角形； 3)如图2，在(2)的条件下，当∠ADC=90时，求哭的值. 2.(25-26九年级上·吉林长春阶段练习)【问题提出】 (1)如图①，在△ABC中，D为边BA延长线上的点，过点D作DEBC交CA延长线于点E.若器= 1/33 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ,DE=5,求BC的长. 【学以致用】 (2)如图②，在△ABC中，D是边AB上的点，E为边AC的中点，连接BB、CD交于点F.若器=方， 则器的值为一· 温馨提示：可以过点E作AB的平行线或过点D作AC的平行线.如有更好的解法，请尝试. 【拓展延伸】 如图③，在△ABC中，D是边AB上的点，E为边CA延长线的点，连接BE、CD交CD延长线点F.若 部=，器=专，且△ACD的面积为1，则四边形ADFE的面积为一， E E 7 D B 图① 图② 图③ 3.(2025湖北模拟预测)己知：如图，BD=BC=2AC,∠DBC=∠ACB,CD交线段AB于点E 2/33 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 图① 图② 图③ (1)如图①，当∠ACB=90°时.则线段DE、CE之间的数量关系为； (2)如图②，当∠ACB=120°时.试探究DE与CE之间的数量关系，并说明理由： (3)如明③，在(2)的条件下，点F是边BC的中点，连接DF,DF与AB交于点G,试探究DG与FG之间 的数量关系 4.(24-25九年级上四川成都期中)如图1，己知△ABC中，AB=V10,AC=5,△ADE顶点D、E 在直线AB,AC右侧，满足∠ADE=∠ABC,∠BAD=∠CAE, C 图1 图2 (1)求证：△ABC∽△ADE; 2连接BD,CE,求焉的值； (3)如图2，过点A作ANLDE于点N,AN交边BC于点M.当BC=5,AM=AB,且点E在线段BC延长线 上时，求DE的长。 5.（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨阶段练习)阅读下列材料： 3/33 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如图1，点A、D、E在直线1上，且∠BDA=∠BAC=∠AEC,则∠CAE+∠BAC+∠BAD=180·,又 ∠ABD+∠BDA十∠BAD=180°，故∠CAE=∠ABD.像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们 把它称为一线三等角”图形 请根据以上阅读解决下列问题： D CB E 图1 图2 图3 图4 (1)如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于点D,过B作 BE⊥ED于点E.可证∠ACD=,进而可证△BEC兰· 2)如图3，在△ABC中，点D在BC上，∠CAD=90°，AC=AD,∠DBA=∠DAB,AB=2N3,则 点C到AB边的距离为 (3)如图4，在平行四边形ABCD中，E为边BC上一点，F为边AB上一点.若∠DEF=∠B,AB=10, BE=4,EF=6,求DE的长. 题型二、相似三角形与特殊四边形的综合 6.(25-26九年级上山东枣庄阶段练习)【问题提出】 己知正方形ABCD和正方形AEGF共顶点A,把正方形AEGF绕点A顺时针旋转一定的度数，连接BG,探 究BG的长. G 图1 图2 图3 【问题探究】 (1)已知正方形ABCD的边长为5，正方形AEGF的边长为3.如图1，若正方形AEGF的边AF落在正方 4/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 形ABCD的边AD上，求BG的长 (2)己知正方形ABCD的边长为5，正方形AEGF的边长为6，如图2，将正方形AEGF由图1中的位置绕 点A顺时针旋转45°，求BG的长. 【拓展应用】 (3)如图3，己知矩形ABCD和矩形AEFG全等，把矩形AEFG绕点A顺时针旋转，使AE所在的直线恰好 过BG的中点O,当AB=8,BC=4时，求BG的长. 7.如图，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，BE=BC,EF⊥CD,垂足为F,将四边形CBEF绕点C 5/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 顺时针旋转a(0°<a<90°)，得到四边形CBEF,BE所在的直线分别交直线BC于点G,交直线 AD于点P,交CD于点K.EF所在直线分别交BC于点H,交直线AD于点Q,连接BF交CD于点O. DO E B F G B C 图(1) 图(2) (1)如图(1)，求证：四边形BEFC是正方形； (2)如图(2)，当点Q和点D重合时. ①求证：GC=DC; ②若0K=1,C0=2,求线段GP的长. 8.(24-25九年级上广东清远阶段练习)【问题背景】在平行四边形ABCD中，E是CD边上一点，延长 6/33 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BC至点F,使得CF=CE,连接DF,延长BE交DF于点G: D A A D G G E E H 图1 图2 图3 【特例感知】(1)如图1，若四边形ABCD是正方形，求证：△BCE△DGE 【深入研究】(2)如图2，若四边形ABCD是菱形，AB=4,当G为DF中点时，求CE的长； 【拓展提升】(3)如图3，若四边形ABCD是矩形，AB=3,AD=4,点H在BE的延长线上且满足 BE=6EH,当∠EHF=90°时，求CE的长. 9.(2025九年级新疆乌鲁木齐.专题练习)【课本再现】 7/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点.在实验与探究 中，小明发现通过证明△BOE兰△COF,可得0E=OF.请帮助小明完成证明过程 【类比探究】 (2)如图②，若四边形ABCD是矩形，O为对角线BD上任意一点，过O作OF⊥OA,交BC于点F,当 BC=2AB时，求证：OA=20F. (3)如图③，若四边形ABCD是平行四边形，O为对角线BD上任意一点，点F在BC上，且 ∠AOF=∠BAD,求证：OF,AD=OA·AB 图① 图② 图③ 10.(2025山东济南·模拟预测)综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究. 8/33 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D H 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) (1)操作判断 ①如图(1)，在正方形ABCD中，点E,F,G,H分别在边AB,CD,AD,BC上，且EF⊥GH,若 EF=5,则GH的长为 ②如图(2)，在矩形ABCD中，BC=2AB,点E,F,G,H分别在边AB,CD,AD,BC上，且 EF⊥GH,若EF=8,则GH的长为一 (2)迁移探究 如图(3)，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D,E分别在边AC,BC上，且AE⊥BD, 试证明：器=器。 (3)拓展应用 如图(4)，在矩形ABCD中，AB=6,BC=10,BE平分∠ABC交AD于点E,点F为AE上一点， AGL BF交BE于点H,交矩形ABCD的边于点G,当F为AE的三等分点时，请直接写出AG的长. 题型三、相似三角形与折叠问题的综合 11.(23-24八年级下·吉林长春期末)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=15,AB=9,动点 D从点C出发沿CA以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，同时动点E从点A出发沿AB以每秒3个单 位长度的速度向终点B运动.设点D运动的时间是t秒(O<t<3).过点D作DF⊥BC于点F,连结 9/33 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 DE、EF. F D E B A B 图① 图② (1)AE=一，AD=一；（用含t的代数式表示） (2)当四边形AEFD是菱形时，t的值为一 (3)当DE垂直于△ABC的一边时，求t的值； (4)如图②，将△DEA沿DE翻折，点A的对应点为点A,，直接写出点A在△ABC外部时t的取值范围. 12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4,AC=3,CD是AB边上的中线，点E是BC边上的 一个动点，连接DE,将△BDE沿直线DE翻折得到△FDE: 10/33 专题09 相似三角形压轴题的六大类型（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、相似三角形与特殊三角形的综合 题型二、相似三角形与特殊四边形的综合 题型三、相似三角形与折叠问题的综合 题型四、相似三角形与坐标系的综合 题型五、相似三角形与动点运动问题的综合 题型六、相似三角形与函数问题的综合 B综合攻坚・能力跃升 题型一、相似三角形与特殊三角形的综合 1．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫作比例三角形． (1)已知是比例三角形，，，请直接写出所有满足条件的的长； (2)如图1，在四边形中，，对角线平分，，求证：是比例三角形； (3)如图2，在（2）的条件下，当时，求的值． 【答案】(1)的长为或9或 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、比例三角形的定义以及分类讨论等知识，证明三角形相似是解题的关键． （1）根据比例三角形的定义分、、三种情况分别代入计算可得； （2）①先判断出，得出即可； ②由得出，再由知，即可得出结论； （3）过点作于点，证，得，即，再由推出，据此可得答案． 【详解】（1）解：①当时，， ， ，（成立）； ②当时，， ，（成立）； ③当时，， ，（成立）； 综上所述，满足条件的的长为或9或； （2）证明：， ， ，， ， ， 即， ， ， 平分， ， ， ， ， 是比例三角形． （3）解：如图2，过点作于点， ， ， ，， ， ， 又， ， ， 即， ， 又， ， ， ，， ， ． 2．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）【问题提出】 （1）如图①，在中，D为边延长线上的点，过点D作交延长线于点E．若，，求的长． 【学以致用】 （2）如图②，在中，D是边上的点，E为边的中点，连接、交于点F．若，则的值为______． 温馨提示：可以过点E作的平行线或过点D作的平行线．如有更好的解法，请尝试． 【拓展延伸】 如图③，在中，D是边上的点，E为边延长线的点，连接、交延长线点F．若，，且的面积为1，则四边形的面积为______． 【答案】（1）10；（2）；拓展延伸： 【分析】本题考查相似三角形的综合应用． （1）证明，通过对应边成比例求解； （2）作交于点M，通过，导出各边长比． 拓展延伸：连接，作交于点R，通过相似三角形导出线段比，再通过等底等高利用线段比导出面积比，分别求出与而求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）作交于点M， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 拓展延伸：连接，作交于点R， ∴，， 设，则，， ∴， ∵的面积为1， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 故答案为：． 3．（2025·湖北·模拟预测）已知：如图，，，交线段于点． (1)如图，当时．则线段、之间的数量关系为______； (2)如图，当时．试探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)如明，在（2）的条件下，点是边的中点，连接，与交于点，试探究与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）易证∽，然后只需运用相似三角形的性质就可解决问题； （2）过点作于，如图3.根据等腰三角形的性质可得，，从而可得，，进而可得≌，则有，即可证到； （3）延长到点，使得，连接、，如图3，易证四边形是平行四边形，从而可得 ，，即可得到∽，然后由相似三角形的对应边成比例，求得与的比值，继而求得答案． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ∽， ． ， ； 故答案为：； （2）猜想：． 理由：过点作于，如图2． 又，， ，， ，， ∵， ， 在和中， ， ≌， ， ， ； （3）延长到点，使得，连接、，如图3， ，， 四边形是平行四边形， ，， ∽，， ． 设，则有，， ， ， ． 【点睛】此题属于相似三角形的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行线的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键 4．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图1，已知中，顶点、在直线右侧，满足． (1)求证：； (2)连接，求的值； (3)如图2，过点作于点交边于点．当，且点在线段延长线上时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证明，结合，可得结论． （2）由（1）可得：，可得，证明，可得，再进一步求解即可． （3）如图，过作于，证明，设，求解，可得，，，由，可得，证明，设，则，证明，求解，证明，进一步可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图，过作于， ∵，，， ∴，设， ∴， ∴， 解得：， ∴，，， ∴， ∵， ∴，而， ∴，， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：，经检验符合题意， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 5．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下列材料： 如图，点在直线上，且，则，又，故．像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形． 请根据以上阅读解决下列问题： (1)如图，中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．可证______，进而可证______． (2)如图，在中，点在上，，，，，则点到边的距离为______． (3)如图，在平行四边形中，为边上一点，为边上一点．若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】()由可证，由可证，进一步可证； ()过点作于点，过点作，交延长线于点，由等腰三角形三线合一，得，进一步证得，可证，于是，得解点到的距离为； ()以点为端点，作线段，交延长线于点，则，可证，于是，得，从而求得． 【详解】（1）解：， ∴， ∵， ， ∴， ∴ 在与中， ， ∴； （2）过点作于点，过点作，交延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 即点到的距离为； （3）以点为端点，作线段，交延长线于点， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴，. ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质；添加辅助线构造全等三角形，相似三角形得到线段之间的数量关系是解题的关键． 题型二、相似三角形与特殊四边形的综合 6．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）【问题提出】 已知正方形和正方形共顶点，把正方形绕点顺时针旋转一定的度数，连接，探究的长． 【问题探究】 （1）已知正方形的边长为，正方形的边长为．如图，若正方形的边落在正方形的边上，求的长． （2）已知正方形的边长为，正方形的边长为，如图，将正方形由图中的位置绕点顺时针旋转，求的长． 【拓展应用】 （3）如图，已知矩形和矩形全等，把矩形绕点顺时针旋转，使所在的直线恰好过的中点，当，时，求的长． 【答案】； ； ． 【分析】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、矩形的性质．解决本题的关键是根据矩形的性质和相似三角形的性质找边之间的关系，再利用勾股定理求解． 利用勾股定理求出的长； 连接，可证点、、三点共线，利用正方形的性质可求，再利用勾股定理求出的长度； 过点作垂足在的延长线上，可证，利用相似三角形的性质求出，，再利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：正方形的边长为，正方形的边长为， ，， ， 在中，， ； 解：如下图所示，连接， 四边形是正方形， ， 由旋转可知，， 点、、三点共线， 正方形的边长为， ， 正方形的边长为， ，， 在中，； 解：如下图所示，过点作垂足在的延长线上， ， 四边形是矩形， ， ， ， 又， ， ， 由旋转可知， 四边形是矩形， ，，， 在中，， ， ， ，， 在中，． 7．如图，在矩形中，E是边上一点，，，垂足为F，将四边形绕点C顺时针旋转，得到四边形，所在的直线分别交直线于点G，交直线于点P，交于点K．所在直线分别交于点H，交直线于点Q，连接交于点O． (1)如图（1），求证：四边形是正方形； (2)如图（2），当点Q和点D重合时． ①求证∶； ②若，，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析； 【分析】本题考查矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练以上判定和性质，并能够利用参数构建方程解决问题， （1）根据邻边相等的矩形是正方形，即可证明； （2）①证明可得结论；②设正方形的边长为，利用勾股定理构建方程求出，再证明,求出,求出可得结论． 【详解】（1）证明：在矩形中，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， （2）①证明：∵， ∴，， ∴， ∵,， ∴， ∴； ②设正方形的边长为， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由,可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 由①知， ∴， ∴， ∵,,， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（24-25九年级上·广东清远·阶段练习）【问题背景】在平行四边形中，是边上一点，延长至点，使得，连接，延长交于点． 【特例感知】（1）如图1，若四边形是正方形，求证：． 【深入研究】（2）如图2，若四边形是菱形，，当为中点时，求的长； 【拓展提升】（3）如图3，若四边形是矩形，，点在的延长线上且满足，当时，求的长． 【答案】证明见详解 的长为 或 【分析】（1）根据正方形的性质可证，得，结合对顶角相等即可求证； （2）如图所示，过点G作，交于点M，且当G为中点，可证，得是中位线，再证，根据相似三角形的性质即可求解； （3）根据题意，是直角三角形，设,则,运用勾股定理可得的值，再证，根据相似三角形的性质列式求解． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，且，， ∴， ∴， ∵， ∴； 解：∵四边形是菱形， ∴， 如图，过点G作，交于点M，且当G为中点时， ∵， ∴， ∴， ∴点M是中点， 则， ∴是的中位线， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， 即， 整理得， 解得（不符合题意，舍去），， ∴的长为； 解：设则， 在中，， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴, 即， 整理得， 解得，， 检验，当时，原分式方程的分母有意义， ∴或． 【点睛】本题考查相似形综合应用，主要考查正方形，菱形，矩形的性质，勾股定理，中位线的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合运用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 9．（2025九年级·新疆乌鲁木齐·专题练习）【课本再现】 （1）如图①，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点．在实验与探究中，小明发现通过证明，可得．请帮助小明完成证明过程． 【类比探究】 （2）如图②，若四边形是矩形，O为对角线上任意一点，过O作，交于点F，当时，求证：． （3）如图③，若四边形是平行四边形，O为对角线上任意一点，点F在上，且，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）由正方形的性质得，，，，由可判定，由全等三角形的性质即可得证； （2）过点O作于点M，反向延长交于点N，结合矩形的性质及相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，相似三角形的判定方法得，即可得证； （3）过O作，交于点G，结合平行四边形的性质及相似三角形的判定方法得，，由相似三角形的性质即可得证． 【详解】证明：（1）∵四边形和四边形都是正方形， ，，，， ，， ， ， ； （2）过点O作于点M，反向延长交于点N， ∵四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 又，， ， ∴， ∴， ； （3）过O作，交于点G，如图③， ∵四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴； 又∵，是公共角， ， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，掌握正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，并能添加恰当的辅助线，构建全等三角形和相似三角形是解题的关键． 10．（2025·山东济南·模拟预测）综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 ①如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． ②如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． (2)迁移探究 如图（3），在中，，点D，E分别在边AC，BC上，且，试证明：． (3)拓展应用 如图（4），在矩形中，，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G，当F为的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】(1)①5；②4 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）①过点E作于点P，过点H作于点Q，则，证得四边形是矩形，设交于点O，则，证明，即可解答； ②过点E作于点P，过点H作于点Q，则，证明是矩形，设交于点O，则，证明，列出比例式，即可解答； （2）过点C作交的延长线于点F，证明，，列出比例式，即可得证； （3）根据题意得到，分情况讨论，当时，如图，点G在上，利用勾股定理求出，证明，列出比例式求解即可解答；当时，如图，点G在上，利用勾股定理求出，证明，列出比例式求解即可解答． 【详解】（1）解：①如图，过点E作于点P，过点H作于点Q，则， 四边形是矩形， ， 设交于点O，则， ， 又， ， ； 故答案为：5； ②如图，过点E作于点P，过点H作于点Q，则， 四边形是矩形， ， 设交于点O，则， ， 又， ， ， ； 故答案为：4； （2）证明：如图，过点C作交的延长线于点F， ， ． 又， ， ， ， ， ， 又， ， （3）解：或3． 在矩形中，平分，， ， ， 当时，如图，点G在上， ， ， ， ， ； 当时，如图，点G在上， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查相似形综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． 题型三、相似三角形与折叠问题的综合 11．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图①，在中，，动点D从点C出发沿以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，同时动点E从点A出发沿以每秒3个单位长度的速度向终点B运动．设点D运动的时间是t秒．过点D作于点F，连结．    (1)　　，　　；（用含t的代数式表示） (2)当四边形是菱形时，t的值为 　　； (3)当垂直于的一边时，求t的值； (4)如图②，将沿翻折，点A的对应点为点，直接写出点在外部时t的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)t的值为或 (4)或 【分析】（1）先根据动点意义用含t的代数式表示出，再用减去即可求出； （2）先证明，求出，证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质得到，列出关于t的方程，解方程即可求出结果； （3）分两种情况进行讨论，根据相似三角形的判定与性质列出关于t的方程即可求出每种情况下的t值； （4）当或是钝角时将沿翻折，点A的对应点在外部，然后看t值在什么范围时这两个角是钝角即可求出将沿翻折，点A的对应点在外部时t的取值范围． 【详解】（1）解：∵动点D从点C出发沿以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t秒， ∴， 又∵， ∴， ∵动点E从点A出发沿以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，运动时间为t秒， ∴； （2）解：， ， ， ，即， ， ， 四边形是平行四边形， 当四边形是菱形时，， ∴， ∴； （3）解：当时，， ∴， ∴，即， 解得： ， 当时，， ∴， ∴，即， 解得： ． ∴t的值为或； （4）解：由（3）知当时，是钝角， 此时将沿翻折，点A的对应点在外部， 当时，是钝角， 此时将沿翻折，点A的对应点在外部， ∴将沿翻折，点A的对应点在外部时，t的取值范围为或． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查平行四边形、菱形的性质，折叠的性质，以及相似三角的判定与性质等知识，考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力，特别注意分类讨论，分别求出t的值，避免漏解． 12．如图，在中，，，，是边上的中线，点是边上的一个动点，连接，将沿直线翻折得到． (1)如图，线段与线段相交于点，当点是边的中点时，求的长； (2)如图2，当点与点重合时，线段与线段相交于点，求的长； (3)如图3，线段与线段相交于点，是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的长为； (2)； (3)的长为或． 【分析】（1）由勾股定理求得，根据直角三角形的性质可得，再由三角形中位线定理求得，由翻折的性质得，，求得，再由勾股定理求解即可； （2）根据相似三角形的判定和性质即可求解； （3）分两种情况：①当时，②当时，根据相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：中，，，， ， 是边上的中线， ， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ，， 将沿翻折得到， ，， ， 是的中位线， ， ， 设，则， 在中，， ， 即当点是边的中点时，的长为； （2）解：由（1）知， ， 将沿翻折得到， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则，， ， （经检验是原方程的根） ； （3）解：①如图，当时， ，， ， ， ， 作于， ，， ， ， ， ，， ， ； ②如图，当时， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，存在点，使得为直角三角形，的长为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 13．（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，平行四边形中，．    (1)如图1，将平行四边形沿对角线折叠，点A的对应点落在点E处，与交于点F． ①求证：； ②连接与交于点G，求的长； (2)如图2，点M，N分别在平行四边形的边上，连接，且，将平行四边形沿折叠，使点B的对应点Q落在边上，求的面积． 【答案】(1)①证明见解析；②的长为 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质、折叠的性质，掌握折叠后图形是轴对称图形，对应点连线垂直于对称轴是解题关键． （1）①根据平行四边形的性质得出，由折叠得到，则，得到，则可证明； ②过点A作于点H，根据特殊的直角三角形的性质可得，，再根据勾股定理可求出的值，最后根据同一三角形面积的两种表示，结合折叠的对称性即可求解． （2）连接交于点，交于点，过点A作于点H．由折叠可知：，进而证明，由此可得，再利用证明，可得，由此求出，，进而求出，继续利用三角形相似可得，求出，，由即可求出． 【详解】（1）解：①证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，且， ∴， 由折叠可知， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ②过点A作于点H．    在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴在中， 由折叠可知垂直平分， ∴，且， ∵， ∴ 解得， ∵， ∴； （2）解：如图，连接交于点，交于点，过点A作于点H．    由折叠可知：，，， ∵， ∴， 由（1）可知：， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ， ∴． 14．（2025·内蒙古·模拟预测）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当P为的中点，，时，求的长； (3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见详解； (2)； (3)． 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质得到两角相等，结合直角证明； （2）设，在中，利用勾股定理建立方程求解x；利用相似三角形的性质求出的值，从而求得的长； （3）延长交于M点，连接，设，用y分别表示出与即可得出两者的数量关系． 【详解】（1）证明：如图1， 四边形是矩形， ， ， 点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上， ， ， ， ; （2）四边形是矩形， P为的中点， ， 设， ， 在中，， 即， 解得：， ， ， ， ， 即， ， ， ; （3）．理由如下：如图2，延长交于M点，连接， 点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上， ∴垂直平分， ， 为中点， 设， ， H为中点， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质等知识点，掌握这些是解题的关键． 15．（24-25九年级上·山西长治·期末）综合与探究 【问题情境】在矩形中，，，E是边上一动点，将矩形沿所在直线翻折，点B的对应点为点 【猜想证明】 （1）如图1，过点F作交于点M，连接 ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②如图2，当点F恰好落在边上时，求出此时四边形的周长． 【深入探索】 （2）连接，当的面积为4时，直接写出的长． 【答案】（1）①四边形为菱形，理由见解析②（2）的长为或 【分析】本题主要考查了矩形与折叠、菱形的判定、勾股定理、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）①由折叠易得，由平行可得，进而得到，所以，据此得解； ②由折叠可知，利用勾股定理可得，进而可知，然后在中利用勾股定理建立方程求解即可； （2）分类讨论，当点F在上方或者下方时，利用一线三垂直相似求解即可． 【详解】解：（1）①四边形为菱形，理由如下： 连接， 将矩形沿所在直线翻折， 垂直平分，， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形； ②如图， ∵在矩形中，，， ∴， ∵折叠， ，，， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 菱形的周长； （2）设点到的距离为， 则：由题可知， ， ； 当点F在下方时，如图，过点作， 则，， ， 在中，， 设，则， ， ， ， ， ，即， 解得， ； 当点F在上方时，如图，过点作， 则， ， 在中，， 设，则， ， ， ， ， ，即， 解得， ； 综上，的长为或 题型四、相似三角形与坐标系的综合 16．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点在上，且． (1)如图①，求点的坐标； (2)如图②，将沿轴向右平移得到，连接、．当时，求平移的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题重点考查一次函数与几何图形的综合应用，利用相似三角形的性质解决角度相等及线段长度问题是解题的关键． （1）根据直线与轴交于点，与轴交于点，求出，，再根据，利用对应边成比例，求出，即得答案； （2）设平移的距离为，利用坐标，表示，化简求解即可． 【详解】（1）解：直线方程为，与轴交于点，与轴交于点， 令时，，所以，令时，，所以， 所以，， 又因为，， 所以， 所以，所以， 所以点的坐标． （2） 沿轴向右平移个单位长度得到， 已知点、、， 所以平移后点坐标：，，， 连接、后，，即， 根据勾股定理，在直角三角形中，有， 因为， ， ， 所以化简得，即， 解得， 所以平移的距离为． 17．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）在平面直角坐标系中（如图），已知直线l：交x轴于点A，交y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且．点D在线段上，且，过点C作的垂线，交的延长线于点E，连接． 在平面直角坐标系中（如图），已知直线l：交x轴于点A，交y轴于点B，点C在 (1)求点D的坐标； (2)求证：； (3)如果点P是直线上的动点，连接，当与相似时，求点P坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)P坐标是或 【分析】本题考查一次函数的性质、三角形相似的性质和判定、两点之间的距离公式，熟练掌握以上知识点、会用分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据直线解析式即可求出，，得到，，进而求出，证明，即可得，可得，进而求出，即可得出点D坐标； （2）由相似三角形的性质可得出，从而可得出，．过点作于点H，证明，即得出，，即，分别求出、、，结合勾股定理逆定理即可完成证明； （3）由，可确定当与相似时，点P只能在射线上．又可求出，，．分类讨论①当时，即，代入数据可求出，．过点作轴于点F，利用待定系数法可求出直线的解析式为．设，则，，再利用勾股定理即可求出此时；②当时，即，同理求解即可． 【详解】（1）对于，令，则， 令，则， ，， ，． ， ，． ，， ， ． 又∵在中，由勾股定理得， ， ， ， 点D坐标是； （2）证明： ，， ． ， ，． 过点作于点H，如图， ，， ． 又 ， , ，， ， ，． ， ， ； （3） ， 当与相似时，点P只能在射线上． ，，，， ，， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为, 令，则， ， ， ①当时，即， ， 解得：， ． 如图所示，过点作轴于点F， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为． 设，则，， 在中，， ， ， 解得：，（舍）， ， 此时； ②当时，即， ， 解得：， ， ， 点为中点， ，， ； 综上所述：点P坐标是或． 18．（2025九年级上·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，、分别是、轴上的两个动点，点从出发，在线段上以1个单位秒的速度向点移动，点从出发，在线段上以2个单位秒的速度向点移动．设点、同时出发，运动的时间为（秒） (1)当为何值时，平分四边形的面积？ (2)当为何值时，？ (3)当为何值时，？ (4)当为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1) (2) (3) (4)或或或 【分析】（1）由，及的坐标得出，及的长，利用梯形的面积公式求出梯形的面积，当平分四边形面积时，梯形面积为梯形面积的一半，由，表示出，利用梯形的面积公式列出关于的方程，求出方程的解，即可得到满足题意的值； （2）当时，过作垂直于于点，根据相似三角形的判定和相似三角形的对应边的比相等到关于的方程，求出方程的解，即可得到满足题意的值； （3）当时，根据平行四边形的判定定理得出得到为平行四边形，可得出，由表示出，列出关于的方程，求出方程的解，即可得到满足题意的值； （4）分三种情况考虑：当时；当时；当时，分别列出关于的方程，求出方程的解，即可得到满足题意的值． 【详解】（1）解：由题意可知，，，， 梯形的面积， 当平分四边形的面积时， 解得， 即当时，平分四边形的面积． （2）解：当时，作于点， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ， ， 解得， 即当时，． （3）解：当时，四边形为平行四边形， ∴， 又∵，， ， 解得， 即当时，． （4）解：分三种情况考虑： 当时，作于， 则， 又∵，， 即， 解得； 当时，， 在中，根据勾股定理得：， ， 解得（不合题意，舍去）， ∴； 当时，，，， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得，． 综上所述：当或或或时，是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，解一元二次方程等，正确理解平行四边形的判定方法，从而把问题转化为方程问题是解题的关键． 19．（24-25九年级上·四川眉山·期末）阅读理解． 如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中，，点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，过点B作交x轴于点E，连接交直线于点F，设运动时间为t秒． (1)当时，______，______； (2)当时，求运动时间t的值； (3)在运动过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；3 (2) (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、矩形的性质、一元二次方程，熟练掌握以上知识点，结合图形找到相似三角形是解题的关键． （1）通过证明和是等腰直角三角形，即可解答； （2）先证明，利用相似三角形的面积比是相似比的平方，可得，再证明，得到，代入数据求出的长，即可求出t的值； （3）由（2）得，可得，，根据以P、O、E为顶点的三角形与相似，且，需要分4种情况①点P在线段上，且；②点P在线段上，且；③点P在延长线上，且；④点P在延长线上，且；分别利用相似三角形对应边成比例列出方程，求出t的值即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：由题意得，当时，， 在矩形中，，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． 故答案为：；3． （2）解：， ， ， ，即， 又， ， 由（1）得，， ， ， 又 ， ，即， 解得：， ， 运动时间t的值为． （3）解：存在， 由题意得，， 由（2）得，， ，即， ， ， 以P、O、E为顶点的三角形与相似，且， 下面分4种情况讨论： ①当点P在线段上，且， 此时，即， 整理得：，无实数解，舍去； ②当点P在线段上，且， 此时，即， 解得：，（负值舍去）， ， ； ③当点P在延长线上，且， 此时，即， 解得：，（负值舍去）， ， ； ④当点P在延长线上，且， 此时，即， 整理得：，无实数解，舍去； 综上所述，点P的坐标为或． 题型五、相似三角形与动点运动问题的综合 20．如图，在中，，，，点P在线段上以每秒1个单位的速度从点B向点A运动，同时点Q在线段上以同样的速度从点A向点C运动，运动的时间用（单位：秒）表示． (1)求线段的长； (2)求当t为何值时，与相似？ (3)在P、Q两点移动过程中，四边形与的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)5 (2)或 (3)不能，见解析 【分析】（1）根据勾股定理解答即可； （2）根据题意，分与，两种情况求解即可． （3）过点Q作于点N，根据题意，得，，；故，根据四边形与面积相等，，得，此时，说明方程无实数根，解答即可． 本题考查了勾股定理，三角形相似的判定和性质，分类计算，一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握判定和性质，根的判别式是解题的关键． 【详解】（1）解：，，， 故． （2）解：根据题意，得，， 当时， ∴， ∴， 解得； 当时， ∴， ∴， 解得； 综上所述，运动秒或秒时，与相似． （3）解：过点Q作于点N， 根据题意，得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得； 故， ∵四边形与面积相等，， ∴， 整理，得， 此时， 故原方程无实数根， 故不存在时间t使得四边形与面积相等． 21．（2024·广东·二模）在平面直角坐标系中，已知，，点P从点O开始沿边向点A以的速度移动；点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动．如果P、Q同时出发，用表示移动的时间． (1)用含t的代数式表示：线段 ； ． (2)求当t为何值时，四边形的面积为． (3)当与相似时，求出t的值． (4)求当t为何值时，线段分三角形的面积比为． 【答案】(1)， (2)或3 (3)或1 (4)或3 【分析】本题考查了列代数式，相似三角形——动点问题，动态几何问题(一元二次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据题意用分别表示出，； （2）根据得到关于的方程求解； （3）根据，，列出比例式，分，两种情况，分别得到关于的方程求得即可； （4）根据当线段分三角形的面积比为时，得到，或，分别转化为关于的方程求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）， ∴， 解得：或3， ∴当或3时，四边形的面积为； （3），， ∴或， ①当时， 则， ∴， ②当时， 则， ∴， 综上所述，当或1时，与相似； （4）当线段分三角形的面积比为时， 则，或， ∴，或， 方程，解得或3， 方程，无解， ∴当或3时，线段分三角形的面积比为． 22．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，的两条直角边，，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接．设运动的时间为t秒，解答下列问题： (1)______，______．（用含t的代数式表示） (2)求当动点运动时间t为多少秒时，与相似； (3)在运动过程中，当时，求t的值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质：两组角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了勾股定理以及分类讨论思想的运用． （1）设运动的时间为t秒，根据题意可得出、含t的代数式； （2）分类：当，即时，；当，即时，，然后分别根据三角形相似的性质得到比例线段求出的值； （3）先计算出，若，则易证得，然后根据三角形相似的性质得到比例线段求出． 【详解】（1）解：∵的两条直角边，，， ∴， ∵点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒， ∴， ， ∴，， 故答案为：， （2）解：当，即时，， ， ， ； 当，即时，， ， ， ； 所以当动点运动秒或秒时，与相似； （3）解： 如图，过点作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ． 23．（24-25九年级下·湖南郴州·开学考试）如图，在矩形中，，，动点M以的速度从A点出发，沿向点B运动，同时动点N以的速度从点D出发，沿向点A运动，设运动的时间为秒（）． (1)______；______．（用含t的式子表示） (2)当为何值时，的面积等于矩形面积的？ (3)是否存在某一时刻，使得以A、M、N为顶点的三角形与相似?若存在，求出的值，若不存在,请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查了相似三角形—动点问题，一元二次方程的应用，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质和矩形的性质是解决问题的关键； （1）根据路程等于速度乘以时间，进一步列代数式即可； （2）由的面积等于矩形面积的，可得，即可求得或； （3）与相似，分为两种情况讨论即可得到或. 【详解】（1）解：由题意可得：，， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴； （2）解：由（1），，； ∵的面积等于矩形面积的， ∴， 解之得:，， ∴或时，的面积等于矩形面积的； （3）存在．理由如下： 解：∵与相似， ∴分为两种情况： ①当时 ∴，即， 解得：， ②当时， ∴，即， 解得：， 综上所述,当或时，以A、M、N为顶点的三角形与相似. 24．（2025·山东青岛·二模）已知：把和矩形ACBN按如图（1）摆放(点A与点Q重合)，点G、A(Q)、C在同一条直线上．．如图（2），从图（1）的位置出发，以的速度沿匀速移动，在移动的同时，点P从矩形的顶点B出发，以的速度沿向点A匀速移动．当的顶点Q移动到边上时，停止移动，点P也随之停止移动．设移动时间为t()． 解答下列问题： (1)为何值时，？ (2)为何值时，在的中垂线上？ (3)连接与，是否存在某一时刻，使得在上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）作于，作于，当时，，此时，根据∽得出，从而表示出，进而列出方程，进一步得出结果； （2）以和所在的直线为轴和轴建立坐标系，作于，作，可得出，直线的解析式为：，，将点坐标代入直线的解析式，进一步得出结果； （3）以和所在的直线为轴和轴建立坐标系，则，，，求出直线的解析式，再把点P的坐标代入，即可求解． 【详解】（1）解：如图，作于，作于， 当时，， 此时， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ∽， ， ， ， ，， ， ； （2）解：如图，以和所在的直线为轴和轴建立坐标系，作于，作，则， 在的中垂线上， ， ， ， ， 直线的解析式为：， 由（1）知，， ， ， ； （3） 解：如图，以和所在的直线为轴和轴建立坐标系，则， 由（2）得：， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 在上， ∴把点代入得： ， 舍去， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的运用等知识，解决问题的关键是建立坐标系，运用函数的有关知识． 题型六、相似三角形与函数问题的综合 25．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，四边形为矩形，点，点分别在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，点轴于点，轴于点，． (1)求证：． (2)请写出点和点的坐标（用表示）． (3)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】（1）由矩形得到，，再由互余关系得到，即可证明全等； （2）根据全等三角形的性质得到知，即可求解坐标； （3）将点代入反比例函数解析式得到，则①，证明∽，②，再化简证明即可． 【详解】（1）证明：如图，四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． 同理， ∴． ∵轴，轴， ∴， ∴． （2）解：由（1），知， ∴． （3）解：∵在反比例函数图象上 ∴， ∴①． ∵， ∴ ， ∴， ∴②． ①②得， ∴或（舍），即， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，涉及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，等腰三角形的性质等知识点． 26．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图1，在直角坐标系中，点，点，点，点是线段上一点． (1)求直线的函数表达式； (2)若，求的长； (3)如图2，过点作的垂线交延长线于点和的面积分别记为，，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设直线的函数表达式为，再将点，代入得到关于、的二元一次方程组，求解即可； （2）根据两点间距离得，，再证明得，可得答案； （3）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设，根据三角形的面积公式得，推出，证明得，求出，，，，得，进一步证明推出，得，求解后可得答案． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为，过点，， ∴， 解得：， ∴设直线的函数表达式为； （2）∵，，， ∴，，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：； （3）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设， ∴，，，， ∵，和的面积分别记为，，若， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴，， ∴， ∵，轴即， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 解得：，（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，两点间距离，坐标与图形，相似三角形的判定和性质等知识点，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 27．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴和轴正半轴上，点的坐标是，点是边上一动点（不与点，点重合），连接，过点作射线交的延长线于点，交边于点，且，令，． (1)当为何值时，？ (2)求与的函数关系式． (3)在点的运动过程中，是否存在，使的面积与的面积之和等于的面积？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时， (2) (3)点的运动过程中，存在，使的面积与的面积之和等于的面积 【分析】（）由题意知，，，，进而证明，得到，即得，解方程即可求解； （）证明，得到，即得，即可求解； （）假设存在符合题意，过点作交于点，交于点，则，由的面积与的面积之和等于的面积可得，即得，得到，再由可得，由（）所得函数关系式求出的值即可判断求解； 本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意知，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得，（不合题意，舍去）， ∴当时，； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； （3）解：假设存在符合题意，过点作于点，交于点，则， ∵的面积与的面积之和等于的面积， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴由（）得，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴在点的运动过程中，存在，使的面积与的面积之和等于的面积． 28．（2022·河南洛阳·一模）在平面直角坐标系中，为反比例函数的图象上一点，过点作直线，交轴于点，交反比例函数的图象于点，且． (1)直接写出、、三点的坐标； (2)若点在轴上，且的值最小，求点的坐标； (3)若点是直线上的一点，且点到轴和直线的距离相等，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)点坐标为：或 【分析】（1）将点坐标代入可求的值，通过证明∽，可得，可求长，可得点坐标，利用待定系数法可求直线解析式，即可求点坐标； （2）作点关于轴的对称点，当点，点，点三点共线时，有最小值，利用待定系数法可求直线的解析式，即可求解； （3）分两种情况讨论，由三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：为反比例函数的图象上一点， ， 点， 如图，过点作于，过点作于， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， 点， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 当时，， 点； 综上：，，． （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， 点，点关于轴对称， 点，， ， 当点，点，点三点共线时，有最小值， 设直线的解析式为， 由题意可得： 解得： 直线的解析式为， 当时，， 点； （3）解：如图，当点在轴上方时，过点作于点， 点到轴和直线的距离相等， ， ，， ， ， ， ， 点； 当点在轴下方时，过点作于点， 同理， 即 ∴， 点， 综上所述：点坐标为：或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 29．如图，一次函数的图象与反比例函数（且）的图象在第一象限交于点A、B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，与x轴的正半轴交于点F，过A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为E、D．已知． (1)求m的值和反比例函数的解析式； (2)若点M为一次函数图象上的动点（不与F，C重合），问：是否存在点M，使是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)m的值为4或， (2)存在点M使是等腰三角形．这样的点有3个，它的坐标分别是； 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）利用相似三角形的判定和性质得出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，求出直线与坐标轴的交点坐标，设，利用勾股定理求出等腰三角形的三边的平方，然后根据等腰三角形的性质分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得，， ∴m的值为4或； 反比例函数解析式为：； （2）解：存在点M，使是等腰三角形， 理由：∵轴，轴， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 将代入得， 解得，， ∴直线的解析式是：， ∵一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，与x轴的正半轴交于点F， 当时；当时； ∴， ∵点M在一次函数上，设， ∴， ， ， 要使是等腰三角形，则应分三种情况， ①当时， ， 解得：， ∴， 此时，点M的坐标为； ②当时， ， 解得：， ∴， 此时，点M的坐标为； ③当时， ， 解得：， ∴， 此时，点M的坐标分别与点重合，与点M不与F，C重合相矛盾，故应舍去． 综合所述，存在点M使是等腰三角形．这样的点有3个，它的坐标分别是：． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，利用等腰三角形的性质得出点的坐标，解一元二次方程，解题的关键是掌握反比例函数和一次函数的性质及分类讨论的数学思想． 30．在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数在第一象限内的图象与边交于点，与边交于点，的面积为2． (1)求与的数量关系； (2)当时，求反比例函数的解析式和直线的解析式； (3)设点是线段边上的点，在（2）的条件下，是否存在点，以为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，或 【分析】本题考查了反比例函数的性质（反比例函数上点的横纵坐标之积为定值）、锐角三角函数的定义、一次函数解析式的求法及相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用反比例函数点的坐标关系推导与的数量关系，结合三角函数和三角形面积求函数解析式，再通过分类讨论相似三角形的对应关系求点坐标． （1）根据反比例函数上点的横纵坐标之积为，得，化简得； （2）过作于，由得，结合面积为列方程求，进而得、，确定反比例函数解析式；再根据B、两点坐标求直线解析式； （3）分和两种情况，作，利用相似三角形的对应边成比例求的长度，结合直线解析式求点坐标． 【详解】（1）解：∵点、在反比例函数上， ∴，即，． ∴，化简得． （2）如图，过点作于点． 在中，， 由点、知，， 故，， ， ． ∵点在反比例函数上， ∴， ∴反比例函数的解析式． 由知，，则， ∴，又即， 设直线的解析式为，将点B与点D的坐标代入， ，解得， ∴直线的解析式为． （3）如图，作于， ①当时，， ， ， ， 即 ②当时， ， 即 ． 综合①②可知，或． 1．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，在坐标轴上，对角线相交于点P，点B的坐标为，双曲线分别交矩形的边，于D，E两点，连接，，． (1)若双曲线经过点，求该双曲线的函数解析式； (2)在（1）的条件下，求的面积； (3)若点D为线段上除B，C外的任意一点，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据矩形的性质及点的坐标，即可求出点的坐标，代入双曲线的解析式，即可求出的值，即可求出答案； （2）根据双曲线的解析式即可求出点，点的坐标，即可得到线段的长度，即可利用矩形的面积减去三个三角形的面积求出答案； （3）根据双曲线分别交矩形的边于两点，通过设点的坐标为，即可得到点的坐标为，即可得到线段的长度，即可得到，从而判断出，即可得到，故判断出结论成立． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，点的坐标为， ， ∵点是对角线的交点， ∴点的坐标为． ∵双曲线经过点， ， ∴该双曲线的函数解析式为． （2）解：∵双曲线分别交矩形的边于两点， ∴点的坐标为，点的坐标为． ， ∴， ， ． ∴的面积为． （3）解：∵四边形是矩形，点的坐标为， ∴设点的坐标为， 则该双曲线的函数解析式为， 则点的坐标为， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数、平行线的判定，矩形的性质以及相似三角形的判定方面的知识，属于综合型较强的题型，找到彼此间的联系是解决该类型题型的关键． 2．综合与实践 实践发现 （1）在初中几何学习中，利用两个特殊图形进行共点旋转，可以构造出全等三角形，进而推导出图形当中与线段、角有关的更多结论．如图1，与均为等边三角形，在B点进行共点旋转，当旋转至A、D、E三点共线时，连接，______°；如图2，与均为等腰直角三角形，，A、D、E三点共线，连接，______°． 拓展延伸 （2）如图3，与均为等腰三角形，，A、D、E三点共线，连接，求证：． （3）在（2）问的条件下，继续探究，我们可以发现与之间存在着数量关系为______． 解决问题 （4）如图4，已知与均为直角三角形，，，且D、E、C三点共线，，交 于F点，，请直接写出的长度． 【答案】（1）60，90；（2）见解析；（3）；（4） 【分析】（1）由题意知，当为等边三角形时；当为等腰直角三角形时，分别讨论即可； （2）由题意得，则，然后可证；，即可求证； （3）由（2）知：，可得，由于，即可求解； （4）由题得，在证，可得，则，即可求解. 【详解】解：（1）∵ ∴ ∵， ∴ ∴， 当与为等边三角形时， ∴， ∴ ； 当与是等腰直角三角形时， ∴ ∴ ∴ 故答案为：60；90； （2）∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （3）由（2）知： ∴ ∵，， ∴ 又∵ ∴ （4）∵ ∴ ∴ 由∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定；解题关键在于熟悉各个知识点内在的联系，综合运用难度较大，认真审题和理解是解题关键. 3．（2025九年级·湖南·学业考试）【初步感知】如图1，已知正方形，E是对角线上一点．连接，．则与的数量关系是 ； 【尝试探索】如图2，．判断的形状，请说明理由； 【拓展应用】如图3，F是延长线上一点，交于点G，，．求的值． 【答案】（1）；（2）是等腰三角形，理由见解析；（3） 【分析】（1）由正方形的性质得，，则，即可根据全等三角形的判定定理“”证明即可； （2）由，得，可推导出，得，得，得，从而可得是等腰三角形； （3）分别得出，，，，，再证明，得，可得出． 【详解】解（1）；理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴； （2）是等腰三角形，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1：已知在中，，，，点P由A点出发，沿方向向点B匀速运动，速度为；点Q由C出发沿CA方向向点A匀速运动，速度为，若设运动的时间为，解答下列问题： (1)如图1，连接，设的面积为，则y与t之间的函数关系式是__________； (2)如图2，连接，当，求t的值； (3)如图3，已知上有一点M，上有一点N，连接，使线段恰好把的周长和面积同时平分？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； 【答案】(1) (2)； (3)不存在． 【分析】（1）过点P作于H，则，推出，利用相似三角形的性质可求的长，由三角形面积公式可求解； （2）通过证明，可得，代入数据，计算可求解； （3）由平分的周长和面积，可得，方程无解，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过点P作于H，则， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：如图，过点P作于H， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：不存在．理由如下： 如图3，过点M作于E，则， ∵线段恰好把的周长平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵线段平分的面积， ∴， ∴， ∴方程无解， ∴不存在． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 5．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，已知在中，，，，，点 P 是射线上的一个动点，从点A 出 发沿射线方向运动． (1)直接写出的长： ； (2)点P 在线段上运动时，当时，求证：平分； (3)在点P 的整个运动过程中： ①当为何值时，是等腰三角形； ② 作点P关于的对称点，当是等腰三角形时，直接写出的长， ． 【答案】(1)4.8 (2)见解析 (3)①2或5或18；②或 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质； （1）先由勾股定理求出的长，再由面积法求的长； （2）先由勾股定理求出的长，进而可得的长，则，进而得是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得，再由等腰三角形三线合一的性质可得结论； （3）①分三种情况讨论：当点在线段上，时；当点是线段的中点时，；当点在的延长线上，时．分别求解即可． ②设交于点，设，根据在线段上和线段外分情况讨论，分别画图，求出，再证明得到，求出和，再根据垂线段最短比较三边大小，确定可能相等的线段，再据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4.8； （2）证明：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形， ∴平分； （3）解：①分以下三种情况讨论： 当点在线段上，时，是等腰三角形，则， ∴； 当点是线段的中点时，，是等腰三角形， ∴； 当点在的延长线上，时，是等腰三角形，则， ∴． 综上所述，当为2或5或18时，是等腰三角形； ②设交于点，设， 当在线段上时，连接，则， ∵点P关于的对称点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴，， ∵， ∴，， ∵当时，在垂直平分线上，不在右边，与矛盾 ∴当是等腰三角形时，， 中，， ∴， 解得（舍去）， ∴； 当在射线上，且在点右边时，过作于，则， ∵点P关于的对称点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴，， ∵，，， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴当是等腰三角形时，，此时在垂直平分线上， ∴， ∴， 解得， ∴， 综上所述，当是等腰三角形时，直接写出的长， 或， 故答案为：或． 6．（25-26九年级上·上海·阶段练习）在中，，，垂足为，且，点是边上一动点（点不与点、点重合），连接，过点作，交线段于点，交线段于点． (1)如图①，求证：． (2)如图②，若，求的面积． (3)若，，连接，且与相似，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的长为或． 【分析】（1）证明，对应边成比例即可解决问题； （2）由；，可得，设，则，可得，即可解得，，求出，；由三角形面积公式即可解决问题； （3）与相似，只需或，分两种情况讨论：①当时，②当时，根据相似三角形的判定与性质即可解决问题． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， ， （2）解：如图： 由（1）知， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得 ， ， ， 的面积为； （3）解：， 与相似，只需或， ①当时，此时如图：， ∵，，， ，， ， ， 设，则 由（1）知：， 解得： 负值舍去 ； ②当时，如图： ，， ， ， ，， ， ， 是的垂直平分线， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查相似三角形的综合应用、勾股定理、全等三角形的判定及性质以及直角三角形的性质，掌握相似三角形判定定理和分类论讨论思想的应用是解题的关键． 7．（2025·四川成都·模拟预测）综合与实践： 【特例】 （1）如图1，正方形中，E为边上一点，连接，过点E作交边于点F，连接，将沿直线折叠后，点A落在点处，当点恰好落在上时，求证：； 【探究】 （2）如图2，当四边形为矩形时，，其他条件不变，试判断与之间的数量关系，并证明； 【拓展】 （3）如图3，当四边形为菱形时，，，其他条件不变，当时，求的长．    【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）的长为． 【分析】（1）根据翻折的性质，全等三角形的性质，平角的概念求出，再根据相似三角形的性质，得出和的关系即可求解； （2）根据（1）中三角形的全等与相似条件不变，得出不变，再根据和的关系，和的关系即可； （3）根据相似三角形的性质和勾股定理求出的长，即为的长． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， 由翻折性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 由翻折性质可知，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（1）可知，，， ∵， ∴； （3）如图3，过E作，交延长线于H，作的平分线，交于G，    ∴， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， 即的长为． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形和菱形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等知识． 8．（25-26九年级上·重庆·开学考试）在中，，，为中点，为上一点． (1)如图1所示，且，求的长； (2)如图2所示，为中点，为外一点，连接，作于点且．连接、、，若，求证：； (3)如图3所示，点、分别在、上，连接，是的中点．若，，连接，，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）过点E作于点H，由题意易得，则有，然后根据勾股定理及含30度直角三角形的性质可进行求解； （2）连接，在上点M，使得，由题意易证，则有，然后可得，，进而证得，最后问题可求证； （3）连接，在上取一点N，使得，连接，由题意易得，则有，由三角形三边不等关系可知：，当且仅当B、O、N三点共线时，取最小值，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）解：过点E作于点H，如图所示： ∵， ∴是等腰直角三角形，即， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴； （2）解：连接，在上取点M，使得，如图所示： ∵分别为中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，在上取一点N，使得，连接，如图所示： ∵，是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 由三角形三边不等关系可知：，当且仅当B、O、N三点共线时，取最小值， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理、全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，解题的关键是正确构造辅助线． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $