第13讲 分式方程（2024）（2个知识点+4种题型+分层练习）-2024-2025学年七年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第13讲 分式方程（2024）（2个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．由实际问题抽象出分式方程 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系． （1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等． （2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路． 知识点2．分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间 等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 题型强化 题型一、解分式方程 1．（22-23七年级上·上海·期末）下列分式方程中，解为的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·上海普陀·期中）已知a和b两个有理数，规定一种新运算“*”为：（其中），若，则 ． 3．（23-24七年级上·上海金山·期末）阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为；方程的解为；方程的解为……． (1)观察上述方程的解，猜想关于的方程的解是_________； (2)根据上述的规律，猜想关于的方程的解是______； (3)由（2）可知，在解方程：时，可变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． 题型二、分式方程无解问题 4．（23-24七年级上·上海·单元测试）下列说法正确的是（　　） A．分式方程一定有解 B．分式方程就是含有分母的方程 C．分式方程中，分母中一定含有未知数 D．分母中含有字母的方程叫做分式方程 5．（23-24七年级上·上海普陀·期末）如果方程有增根，那么增根是 ． 6．（21-22七年级上·上海浦东新·期中）已知关于的方程无解，求的值． 题型三．由实际问题抽象出分式方程 7．（2023秋•奉贤区月考）某班组织学生参加植树活动，第一组植树12棵，第二组比第一组多6人，植树36棵，结果两组平均每人植树的棵数相等．设第一组学生有人，则可列方程为　　 A． B． C． D． 8．（2022秋•嘉定区校级期末）已知、两地相距1200千米，一辆“和谐号”动车组的行驶速度是原乘直快列车速度的2.5倍，乘坐“和谐号”动车组比乘坐直快列车的时间可以减少6小时，求直快列车的速度．设直快列车的速度为千米小时，根据题意可列出方程为：　　． 9．（2020秋•校级期中）一船在河流上游港顺流而下直达港，用一个小时将货物装船后返航，已知船在静水中的速度是50千米时，水流速度是千米时，、两地距离为千米，则该船从港出发到返回港共用多少时间？（只需列式表示，不必化简） 题型四．分式方程的应用 10．（2024秋•杨浦区校级月考）甲容器盛满酒精，乙容器盛满水，乙容器的容量是甲容器的2倍．现从两容器中各取出来，然后把酒精注入乙容器，把水注入甲容器，这时甲、乙两容器中酒精与水量的比相等，则甲容器原有酒精　　 A． B． C． D． 11．（闵行区期末）一小包柠檬茶冲剂， 用 235 克开水可冲泡成浓度为的饮料， 这包柠檬茶冲剂有　 　克 ． 12．（2022秋•松江区校级月考）某中学为配合开展“垃圾分类进校园”活动，新购买了一批不同型号的垃圾分类桶，学校先用4050元购买了一批给班级使用的小号垃圾桶，再用5400元购买了一批放在户外永久使用的大号垃圾桶，已知每个大号垃圾桶的价格是小号垃圾桶的4倍，且购买的数量比小号垃圾桶少60个，求每个小号垃圾桶的价格是多少元？ 分层练习 一、单选题 1．分式方程的解为（　　） A． B． C． D． 2．甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的，则乙施工队单独完成此项工程需（    ）天． A．18 B．20 C．25 D．30 3．某项道路改造工程工效平均提速，用相同的时间，工程提效前能完成，提效后比提效前多完成66km，则方程所表达的等量关系是（　　） A．提效前工程完成与提效后完成的时间相等 B．提效后工程每小时比提效前每小时多完成 C．提效后工程完成的时间比提效前工程完成多 D．提效后工程用相同的时间可以比提效前多完成66km 4．已知关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．0 B．0或－8 C．－8 D．0或－8或－4 5．已知关于的分式方程的解为整数，则符合条件的整数可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 6．赛龙舟是端午节重要习俗之一，凝聚着团结、协作和勇往直前的精神．已知某地龙舟赛的总赛程为，在同一场比赛中龙舟A队的平均速度是B队的倍，最终A队冲刺终点的时间比B队提前分钟，若设B队的平均速度是，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．若关于的方程的解是，则 ． 8．分式方程的解是 ． 9．若关于x的分式方程有增根，则= ． 10．若关于x的分式方程有增根，则m的值是 ． 11．设m，n为实数，定义如下一种新运算：，若关于x的方程无解，则a的值是 ． 12．为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种1000棵树．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种25%，结果提前5天完成任务，则该村原计划每天种树 棵． 13．某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过，则每立方米收费元；若每户每月用水超过，则超出部分每立方米收取较高的费用．1月份，张家用水量是李家用水量的，张家当月水费是元，李家当月水费是元，则超出的部分每立方米收费 元． 14．方程的解是 ． 15．分式方程的解是 ． 16．若关于的方程无解，则的值为 ． 17．关于的分式方程无解，则的值为 ． 18．符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，请你根据运算法则求出等式中x的值．若，那么x＝ ． 三、解答题 19．某工厂有甲、乙两个生产小组，甲组生产某种产品比乙组每小时多生产件，且甲组生产件所用的时间与乙组生产件所用的时间相等，求这两组每小时分别生产这种产品多少件？ 20．中山市某施工队负责修建1800米的绿道，为了尽量减少施工对周边环境的影响，该队提高了施工效率，实际工作效率比原计划每天提高了，结果提前两天完成，求实际平均每天修绿道的长度？ 21．蜜桔丰收，桔农小王家有两片果园A，B，为方便统一运输，小王计划在公路l上建一个蜜桔装卸站P，并在果园和装卸站之间铺设机械轨道，果园和公路位置如图所示． (1)为使铺设轨道长度最短，请你为小王设计运输轨道铺设路线，并标出桔子装卸站P位置．（不写作法，保留作图痕迹） (2)测量得轨道最短路线全长720米，为赶在桔子采摘前完工，实际施工时每天铺设轨道的长度是原计划的倍，结果比原计划提前2天完成任务，求原计划每天铺设轨道的长度． 22．今年的春节假期是文旅行业近三年来最火爆的一年，零陵作为湖南历史文化名城，由于其悠久的历史无疑成为最具吸引力的旅游城市之一．零陵古城某景点的A，B两种纪念品深受广大游客们的喜爱，经过了解发现，已知B种纪念品每个进价比A种纪念品的2倍少50元．采购相同数量的A，B两种纪念品，分别用了1200元和900元，请问A，B两种纪念品每个进价分别为多少元？ 23．计算： (1)； (2)解分式方程：； (3)分解因式：． 24．某校计划投资8万元建设几间多功能教室，实际上每间多功能教室的费用增加了，所以多花了4万元，但比原计划多建了一间多功能教室，求原计划每间多功能教室的费用是多少？ 25．为倡导节能理念，国家实施了中央财政补贴条例支持高效节能电器的推广使用．某款节能空调扇在条例实施后，每购买一台，客户可获财政补贴100元，若同样用8万元所购买的此款空调扇的台数条例实施后比实施前多20%，求条例实施前此款空调扇每台的售价为多少元？ 26．某项工程总造价为21.6万．若由甲队单独做，恰好在规定日期完成；若由乙队单独做，要超出规定日期3天才能完成．现在甲、乙两队合做两天，甲队因参与其他突击任务离开，剩下的任务由乙队单独做，刚好按期完成．若按照各队的工作量计算报酬，那么甲、乙两队分别得到多少万元？ 27．观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式： （用含正整数n的等式表示），并加以证明； (3)若的值为，求正整数n的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 分式方程（2024）（2个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．由实际问题抽象出分式方程 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系． （1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等． （2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路． 知识点2．分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间 等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 题型强化 题型一、解分式方程 1．（22-23七年级上·上海·期末）下列分式方程中，解为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解分式方程、分式方程无解问题 【分析】根据方程解的意义，使方程左右两边相等的式子值叫方程的解，分别代入判断即可． 【详解】当时， A． 中，左边，右边，A不符合题意； B．中，，分母等于0，分式无意义，B不符合题意； C． 中，左边右边，C符合题意； D． 中，分母，D不符合题意． 故答案是：C 【点睛】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是正确理解分式方程解的意义，做题时要考虑分母是否为0的情况． 2．（23-24七年级上·上海普陀·期中）已知a和b两个有理数，规定一种新运算“*”为：（其中），若，则 ． 【答案】 【知识点】解分式方程 【分析】利用新定义运算的含义，建立方程即可求出m的值． 【详解】解：∵，， ∴ ，即 整理得：， 移项合并得：， 解得： ， 检验当时， ， ∴是分式方程的解， 则． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键，还要注意要验根． 3．（23-24七年级上·上海金山·期末）阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为；方程的解为；方程的解为……． (1)观察上述方程的解，猜想关于的方程的解是_________； (2)根据上述的规律，猜想关于的方程的解是______； (3)由（2）可知，在解方程：时，可变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】解分式方程 【分析】此题考查了解分式方程，读懂题意并灵活变形是解题的关键． （1）根据已知材料即可得出答案； （2）根据已知材料即可得出答案； （3）把方程转化成，由材料得出，，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：关于x的方程的解是：，， 故答案为：，； （2）关于x的方程的解是：，， 故答案为：，； （3）解： ， ， ， 即，， 解得：，， 经检验：，是方程的解. 题型二、分式方程无解问题 4．（23-24七年级上·上海·单元测试）下列说法正确的是（　　） A．分式方程一定有解 B．分式方程就是含有分母的方程 C．分式方程中，分母中一定含有未知数 D．分母中含有字母的方程叫做分式方程 【答案】C 【知识点】分式方程的定义、分式方程无解问题 【分析】本题考查分式方程的定义，根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程判断即可． 【详解】A、分式方程有无解的情况，故该选项错误； B、分母中含有未知数的方程叫做分式方程，故该选项错误； C、分式方程中，分母中一定含有未知数，故该选项正确； D、分母中含有未知数的方程叫做分式方程，故该选项错误； 故选：C． 5．（23-24七年级上·上海普陀·期末）如果方程有增根，那么增根是 ． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的增根，最简公分母为零是解题关键．根据分式方程的最简公分母为零，可得分式方程的增根． 【详解】解：方程的最简公分母是， 依题意，，解得：， ∴分式方程的增根是， 故答案为：． 6．（21-22七年级上·上海浦东新·期中）已知关于的方程无解，求的值． 【答案】或或 【知识点】分式方程无解问题 【分析】直接利用分式方程的解的意义分别分析得出答案． 【详解】解：方程两边同乘以，得： ， 化简得：， 当时，原方程无解， 可能的增根是或， 当时，，当时，， 当或时，原方程唯一的实根是增根，原方程无解， 或或时原方程无解． 【点睛】本题考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题的关键． 题型三．由实际问题抽象出分式方程 7．（2023秋•奉贤区月考）某班组织学生参加植树活动，第一组植树12棵，第二组比第一组多6人，植树36棵，结果两组平均每人植树的棵数相等．设第一组学生有人，则可列方程为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题干中的等量关系列式即可． 【解答】解：根据两组平均每人植树的棵数相等可得，． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是能够找出等量关系． 8．（2022秋•嘉定区校级期末）已知、两地相距1200千米，一辆“和谐号”动车组的行驶速度是原乘直快列车速度的2.5倍，乘坐“和谐号”动车组比乘坐直快列车的时间可以减少6小时，求直快列车的速度．设直快列车的速度为千米小时，根据题意可列出方程为：　　． 【分析】设直快列车的速度为千米小时，则“和谐号”动车组的速度为千米时，根据乘坐“和谐号”动车组比乘坐直快列车的时间可以减少6小时，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【解答】解：设直快列车的速度为千米小时，则“和谐号”动车组的速度为千米时， 依题意得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 9．（2020秋•校级期中）一船在河流上游港顺流而下直达港，用一个小时将货物装船后返航，已知船在静水中的速度是50千米时，水流速度是千米时，、两地距离为千米，则该船从港出发到返回港共用多少时间？（只需列式表示，不必化简） 【分析】从港出发到返回港共用的时间顺流时间逆流时间顺流路程顺流速度逆流路程逆流速度． 【解答】解：船从到所需时间为，逆流而上从返回所需时间为， 船从港出发到返回港共用时间为． 【点评】找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题需注意时间等于相应的路程相应的速度；顺流速度静水速度水流速度；逆流速度静水速度水流速度． 题型四．分式方程的应用 10．（2024秋•杨浦区校级月考）甲容器盛满酒精，乙容器盛满水，乙容器的容量是甲容器的2倍．现从两容器中各取出来，然后把酒精注入乙容器，把水注入甲容器，这时甲、乙两容器中酒精与水量的比相等，则甲容器原有酒精　　 A． B． C． D． 【分析】设甲容器的容积为 ，则乙容器的容积为 ，根据从两容器中各取出来，然后把酒精注入乙容器，把水注入甲容器，这时甲、乙两容器中酒精与水量的比相等，列出分式方程，解分式方程即可． 【解答】解：设甲容器的容积为 ，则乙容器的容积为 ， 由题意得：， 解得：，， 经检验，都是原方程的根，但不符合题意，舍去， 甲容器原有酒精， 故选：． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 11．（闵行区期末）一小包柠檬茶冲剂， 用 235 克开水可冲泡成浓度为的饮料， 这包柠檬茶冲剂有　 15 　克 ． 【分析】根据百分比， 可得关于的方程， 根据解方程， 可得答案 ． 【解答】解： 设柠檬有克， 根据题意， 得 ， 解得， 故答案为： 15 ． 【点评】本题考查了分式方程的应用， 理解题意得出方程是解题关键 ． 12．（2022秋•松江区校级月考）某中学为配合开展“垃圾分类进校园”活动，新购买了一批不同型号的垃圾分类桶，学校先用4050元购买了一批给班级使用的小号垃圾桶，再用5400元购买了一批放在户外永久使用的大号垃圾桶，已知每个大号垃圾桶的价格是小号垃圾桶的4倍，且购买的数量比小号垃圾桶少60个，求每个小号垃圾桶的价格是多少元？ 【分析】设每个小号垃圾桶的价格是元，则每个大号垃圾桶的价格是元，由购买大号垃圾桶的数量比小号垃圾桶少60个列出方程解答即可． 【解答】解：设每个小号垃圾桶的价格是元，则每个大号垃圾桶的价格是元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：每个小号垃圾桶的价格是45元． 【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的相等关系，列方程求解． 分层练习 一、单选题 1．分式方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】解：， 方程两边都乘，得， ， 解得， 检验：当，时，， 所以分式方程的解是． 故选：C． 2．甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的，则乙施工队单独完成此项工程需（    ）天． A．18 B．20 C．25 D．30 【答案】B 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】设甲施工队单独完成此项工程需天，依据等量关系列方程求解．等量关系为：甲10天的工作总量乙12天的工作总量． 【详解】解：设甲施工队单独完成此项工程需天，则乙施工队单独完成此项工程需天． 根据题意得：． 解这个方程得：． 经检验：是所列方程的解． 当时，． 乙施工队单独完成此项工程需20天． 故选B． 【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 3．某项道路改造工程工效平均提速，用相同的时间，工程提效前能完成，提效后比提效前多完成66km，则方程所表达的等量关系是（　　） A．提效前工程完成与提效后完成的时间相等 B．提效后工程每小时比提效前每小时多完成 C．提效后工程完成的时间比提效前工程完成多 D．提效后工程用相同的时间可以比提效前多完成66km 【答案】B 【知识点】列分式方程 【分析】利用提效后工程每小时比提效前工程每小时多完成的任务分析． 【详解】解：方程表达的等量关系是提效后工程每小时比提效前每小时多完成， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，设出未知数，以时间作为等量关系列方程． 4．已知关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．0 B．0或－8 C．－8 D．0或－8或－4 【答案】D 【知识点】分式方程无解问题 【分析】把分式方程转化为整式方程，分分母为零无解，分母为零时，对应的字母值求解． 【详解】∵ ∴， ∴， ∴， ∴当m+4=0时，方程无解， 故m= -4； ∴当m+4≠0，x=2时，方程无解， ∴ 故m=0； ∴当m+4≠0，x= -2时，方程无解， ∴ 故m=-8； ∴m的值为0或－8或－4， 故选D． 【点睛】本题考查了分式方程的无解，正确理解无解的条件和意义是解题的关键． 5．已知关于的分式方程的解为整数，则符合条件的整数可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式有意义的条件 【分析】解该分式方程得，结合该分式方程的解为整数和分式有意义的条件，即得出为2的倍数且，即选B． 【详解】解：， 方程两边同时乘，得：， 解得：， ∵该分式方程的解为整数， ∴为2的倍数， ∴为2的倍数． ∵， ∴， ∴， ∴， 综上可知为2的倍数且． ∴只有B选项符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查解分式方程，分式方程有意义的条件．掌握解分式方程的步骤和注意分式的分母不能为0是解题关键． 6．赛龙舟是端午节重要习俗之一，凝聚着团结、协作和勇往直前的精神．已知某地龙舟赛的总赛程为，在同一场比赛中龙舟A队的平均速度是B队的倍，最终A队冲刺终点的时间比B队提前分钟，若设B队的平均速度是，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】本题考查了分式方程的应用．根据题意确定分式方程是解题的关键． 设B队的平均速度是，则A队的平均速度是，依题意得，，然后判断作答即可． 【详解】解：设B队的平均速度是，则A队的平均速度是， 依题意得，，即， 故选：A． 二、填空题 7．若关于的方程的解是，则 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】把方程的解代入方程得关于的一次方程，求解即可． 【详解】解：把代入方程，得， 解得． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了方程的解，掌握分式方程的解的意义及一元一次方程的解法是解决本题的关键． 8．分式方程的解是 ． 【答案】 【知识点】解分式方程 【分析】先去分母，求出整式方程的解，再对所求的根进行检验，最后得出正确结果即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得，， 解得：， 将代入得，， ∴原分式方程的解为：． 故答案为． 【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意对所求的根进行检验是解题的关键． 9．若关于x的分式方程有增根，则= ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到，求出的值，代入整式方程即可求出的值． 【详解】∵原分式方程有增根， ∴增根为． 原分式方程化为整式方程为， 把代入，解得 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，掌握分式方程增根的概念是解题的关键． 10．若关于x的分式方程有增根，则m的值是 ． 【答案】1 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】先将分式方程去分母化为整式方程求出解，再根据分式方程有增根得，即可求出答案． 【详解】解：将方程去分母，得， 整理，得 ∵关于x的分式方程有增根， ∴ ∴ ∴ 故答案为：1． 【点睛】此题考查了利用分式方程的根的情况求参数，正确掌握分式方程的解法及增根的意义是解题的关键． 11．设m，n为实数，定义如下一种新运算：，若关于x的方程无解，则a的值是 ． 【答案】或/或 【知识点】分式方程无解问题 【分析】由新定义运算可得，再去分母化为整式方程，结合原方程无解，可得答案． 【详解】解：∵，，而， ∴， ∴， ∴， 当时，即时，方程无解， 当时，当时，原方程有增根， ∴， 解得：； 综上：或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是新定义运算，分式方程的无解问题，理解题意，构建出新的分式方程是解本题的关键． 12．为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种1000棵树．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种25%，结果提前5天完成任务，则该村原计划每天种树 棵． 【答案】40 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】设该村原计划每天种树x棵，则实际每天种数（1+25%）x棵，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前5天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设该村原计划每天种树x棵，则实际每天种数（1+25%）x棵， 依题意得：， 解得：x=40， 经检验，x=40是原方程的解，且符合题意． 故答案为：40． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 13．某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过，则每立方米收费元；若每户每月用水超过，则超出部分每立方米收取较高的费用．1月份，张家用水量是李家用水量的，张家当月水费是元，李家当月水费是元，则超出的部分每立方米收费 元． 【答案】2 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】设超出的部分每立方米收费元，从交水费判断用水量都超过，则张家当月水量为，李家当月水量为27.5−1.5×5x+5，根据张家用水量是李家用水量的，列方程求解即可． 【详解】点拨：设超出的部分每立方米收费a元， 由题意得， 解得． 经检验是原方程的根，且符合题意． 超出的部分每立方米收费元 故答案为． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解本题的关键是要表示出两家的用水量，根据题意建立等量关系列出方程． 14．方程的解是 ． 【答案】 【知识点】解分式方程 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：将原分式方程变形为， 去分母得 ， 去括号得 ， 移项并合并同类项得 ， 即， ∴， 解得，， 经检验，是原分式方程的增根，是原分式方程的根， ∴原分式方程的解是． 【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 15．分式方程的解是 ． 【答案】 【知识点】解分式方程 【分析】先去分母，将方程化成整式方程求解，再检验即可求解． 【详解】解：方程两边同时乘以，得 ， 解得：， 检验：把代入，得， ∴原方程的解为：． 【点睛】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的方法：将分式方程转化成整式方程求解，再检验即可求解． 16．若关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】0或4/4或0 【知识点】分式方程无解问题 【分析】先将分式方程化为整式方程（m-4）x=2，根据题意分m-4=0、x=0和x=情况求解即可． 【详解】解：原方程可化为2（2x+1）=mx，即（m-4）x=2， ∵方程无解， ∴m-4=0或x=0或x=， 当m-4=0即m=4时，方程（m-4）x=2无解，即原分式方程无解， 当x=0时，m无解， 当x=时，m=0， 综上，m的值为0或4， 故答案为：0或4． 【点睛】本题考查解分式方程，熟知分式方程无解时的等价关系是解答的关键． 17．关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或或 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．根据分式方程无解的两种情况即可求出的值． 【详解】解： 去分母得， ， 当增根为或时， 或 解得或， 即或时，分式方程无解， 当时，即时，整式方程无解，分式方程无解， 综上可知，当的值为或或． 故答案为：或或 18．符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，请你根据运算法则求出等式中x的值．若，那么x＝ ． 【答案】-2 【知识点】解分式方程 【分析】根据题意，将化为，解方程即可． 【详解】解：， ∴，即，解得， 经检验，是原方程的解． 故答案为． 【点睛】本题考查了解分式方程，理解题意将二阶行列式转化为分式方程是解题关键，注意分式方程解得后，需要检验． 三、解答题 19．某工厂有甲、乙两个生产小组，甲组生产某种产品比乙组每小时多生产件，且甲组生产件所用的时间与乙组生产件所用的时间相等，求这两组每小时分别生产这种产品多少件？ 【答案】甲每小时加工件产品，乙每小时加工件产品． 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】本题考查了分式方程的应用，乙组每小时生产件产品，则甲组每小时生产件产品，根据题意列出方程，解之即可求解，认真审题，找到等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设乙组每小时生产件产品，则甲组每小时生产件产品， 依题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：甲每小时加工件产品，乙每小时加工件产品． 20．中山市某施工队负责修建1800米的绿道，为了尽量减少施工对周边环境的影响，该队提高了施工效率，实际工作效率比原计划每天提高了，结果提前两天完成，求实际平均每天修绿道的长度？ 【答案】实际平均每天修绿道的长度为180米． 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】根据提高了施工效率，实际工作效率比原计划每天提高了20%，结果提前两天完成，得出等式求出即可．此题主要考查了分式方程的应用，根据已知施工天数得出等式是解题关键． 【详解】解：解：设原计划平均每天修绿道的长度为x米，则 ， 解得： 经检验：是原方程的解，且符合实际， （米）． 答：实际平均每天修绿道的长度为180米． 21．蜜桔丰收，桔农小王家有两片果园A，B，为方便统一运输，小王计划在公路l上建一个蜜桔装卸站P，并在果园和装卸站之间铺设机械轨道，果园和公路位置如图所示． (1)为使铺设轨道长度最短，请你为小王设计运输轨道铺设路线，并标出桔子装卸站P位置．（不写作法，保留作图痕迹） (2)测量得轨道最短路线全长720米，为赶在桔子采摘前完工，实际施工时每天铺设轨道的长度是原计划的倍，结果比原计划提前2天完成任务，求原计划每天铺设轨道的长度． 【答案】(1)见解析； (2)60米． 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】（1）作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接、即可； （2）设原计划每天铺设轨道x米，根据原计划的天数=实际天数列方程解答即可． 【详解】（1）解：如下图，线段、为运输轨道铺设路线，点P为桔子装卸站； （2）解：设原计划每天铺设轨道x米， 解得 经检验是原分式方程的解 答：原计划每天铺设轨道60米． 【点睛】本题考查了利用轴对称作图以及分式方程的应用，熟练掌握轴对称的性质以及找出等量关系列分式方程是解题的关键． 22．今年的春节假期是文旅行业近三年来最火爆的一年，零陵作为湖南历史文化名城，由于其悠久的历史无疑成为最具吸引力的旅游城市之一．零陵古城某景点的A，B两种纪念品深受广大游客们的喜爱，经过了解发现，已知B种纪念品每个进价比A种纪念品的2倍少50元．采购相同数量的A，B两种纪念品，分别用了1200元和900元，请问A，B两种纪念品每个进价分别为多少元？ 【答案】每个A种纪念品的进价为40元，每个B种纪念品的进价为30元 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】设每个A种纪念品的进价为x元，则每个B种纪念品的进价为元，利用数量＝总价÷单价，结合采购相同数量的A，B两种纪念品，分别用了1200元和900元，即可得出关于x的分式方程，求解即可． 【详解】解：设每个A种纪念品的进价为x元，则每个B种纪念品的进价为元， 依题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：每个A种纪念品的进价为40元，每个B种纪念品的进价为30元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 23．计算： (1)； (2)解分式方程：； (3)分解因式：． 【答案】(1) (2)原方程无解 (3) 【知识点】分式加减乘除混合运算、解分式方程、提公因式法分解因式、平方差公式分解因式 【分析】（1）本题考查分式的化简求值，先通分计算括号，再因式分解约分，化到最简即可得到答案； （2）本题考查解分式方程，去分母，解一元一次方程，检验即可得到答案； （3）本题考查因式分解，先提取公因式，再根据平方差公式分解即可得到答案； 【详解】（1）原式 ； （2）解：方程两边都乘以得， ， 解这个方程得， ， 检验：当时，， 所以为方程的增根，舍去， ∴原方程无解； （3）解：原式 ． 24．某校计划投资8万元建设几间多功能教室，实际上每间多功能教室的费用增加了，所以多花了4万元，但比原计划多建了一间多功能教室，求原计划每间多功能教室的费用是多少？ 【答案】2万元 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设原计划每间多功能教室的费用是万元，则实际每间多功能教室的费用是万元，根据比原计划多建了一间多功能教室，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设原计划每间多功能教室的费用是万元，则实际每间多功能教室的费用是万元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是所列方程的解，且符合题意， 答：原计划每间多功能教室的费用是2万元． 25．为倡导节能理念，国家实施了中央财政补贴条例支持高效节能电器的推广使用．某款节能空调扇在条例实施后，每购买一台，客户可获财政补贴100元，若同样用8万元所购买的此款空调扇的台数条例实施后比实施前多20%，求条例实施前此款空调扇每台的售价为多少元？ 【答案】条例实施前此款空调扇每台的售价为元 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】设条例实施前此款空调扇每台的售价为元，根据题意，列出分式方程进行求解即可． 【详解】解：8万元元， 设条例实施前此款空调扇每台的售价为元，由题意，得： ， 解得：； 经检验：是原方程的解； ∴条例实施前此款空调扇每台的售价为元． 【点睛】本题考查分式方程的应用．根据题意，正确的列出分式方程，是解题的关键． 26．某项工程总造价为21.6万．若由甲队单独做，恰好在规定日期完成；若由乙队单独做，要超出规定日期3天才能完成．现在甲、乙两队合做两天，甲队因参与其他突击任务离开，剩下的任务由乙队单独做，刚好按期完成．若按照各队的工作量计算报酬，那么甲、乙两队分别得到多少万元？ 【答案】甲队所得报酬为万元，乙队所得报酬为万元． 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】本题主要考查了分式方程的应用．首先设工作总量为1，规定日期为天．则单独做甲需天，乙队需天．由工作总量工作时间工作效率列方程易求解，进一步计算即可得到结论． 【详解】解：设工作总量为1，规定日期为天，则若单独做，甲队需天，乙队需天， 根据题意列方程得 ， 解方程可得， 经检验是分式方程的解． 则规定日期是6天． 则甲队所得报酬为（万元）， 乙队所得报酬为（万元）， 答：甲队所得报酬为万元，乙队所得报酬为万元． 27．观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式： （用含正整数n的等式表示），并加以证明； (3)若的值为，求正整数n的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)7 【知识点】分式的规律性问题、异分母分式加减法、解分式方程 【分析】（1）根据前四个式子的规律，写出第5个式子，即可求解； （2）由（1）中的式子得到规律，即可求解； （3）根据题意把原式变形为，可得，再化简可得到，然后得到关于n的方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 第5个等式： 故答案为： （2）由（1）得：第n个等式： 证明： 右边 =左边； （3） ∵的值为， ∴， 整理得： 解得：， 检验：当n=7时，， ∴是原方程的解． 【点睛】本题主要考查了分式的规律性问题，分式加减的应用，解分式方程，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$