精品解析：黑龙江省大庆市肇源县西部四校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

2024---2025学年度上学期第一次月考 初四数学试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数关系式中：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；二次函数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 中，，，则的值（ ） A. B. C. D. 4. 若锐角满足，则锐角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线绕原点O旋转，则旋转后抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 当时，与的图象大致是（　　） A. B. C. D. 7. 下列关于抛物线的说法正确的是 A. 抛物线开口向上 B. 顶点坐标为 C. 在对称轴的右侧，随的增大而增大 D. 抛物线与轴有两个交点 8. 如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，自行车右边是它的部分示意图，现测得，，，则点A到的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，都是锐角，且，则的形状是(　　) A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定 10. 若点，，都在二次函数的图象上，则有（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 已知锐角满足，则______． 12. 比较大小：sin48°___cos48°（填“＞”、“＜”或“＝”）． 13. 在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为_____． 14. 若函数是二次函数，则m的值为_________． 15. 在中，，，点D在BC上，且，则______． 16. 已知α为锐角，且，则α等于________． 17. 在二次函数：①；②；③中，图像开口大小顺序用序号表示为___________． 18. 如图所示，在中，，点D是上的一点，且，则___________． 三、解答题（本大题共9小题，共66分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，中，于点D，，， ，求，，，，的值． 21. 用描点法画出函数的图象，结合图象，回答下列问题： （1）该抛物线可由抛物线向____平移___个单位得到； （2）开口方向________；对称轴________；顶点坐标________； （3）当时，y随x的增大而________； （4）当x________时，； （5）当时，y的取值范围是________． 22. 如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理． （1）求证：． （2）求需要绿化的空地的面积． 23. 抛物线与直线的一个交点为， （1）求和． （2）求另一个交点的坐标． 24. 在中，，，为锐角且． （1）求的面积； （2）求的值； （3）求的值． 25. 已知函数 （1）当为何值时，是的一次函数？ （2）当为何值时，是的二次函数？ 26. 如图，在一次数学实践活动中，小明同学为了测量学校旗杆 的高度，在观测点A处观 测旗杆顶点E 的仰角为，接着小明朝旗杆方向前进了到达C 点，此时，在观测点D处观 测旗杆顶点E 的仰角为．假设小明的身高为，求旗杆的高度．（结果保留一位小数．参考数据：≈1.414， 1.732) 27. 安阳红旗渠机场于2023年11月29日正式通航，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡上的处看见飞机A的仰角为30°，若斜坡的坡比，铅垂高度米（点、、、在同一水平线上）．求飞机距离地面的高度．（结果保留根号） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024---2025学年度上学期第一次月考 初四数学试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了求角的三角函数值，勾股定理，先利用勾股定理求出，然后根据正弦的定义即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵，， ∴由勾股定理得：， ∴， 故选：． 2. 下列函数关系式中：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；二次函数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如为常数，的函数叫做二次函数．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成为常数，的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是． 【详解】解：（1）是二次函数，故符合题意； （2），不是二次函数，故不符合题意； （3）是二次函数，故符合题意； （4）不是二次函数，故不符合题意； （5）不是二次函数，故不符合题意； （6），不确定m是否为0，不一定是二次函数，故不符合题意； 综上所述，二次函数有2个． 故选：B． 3. 中，，，则的值（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角函数，三角形内角和定理，先设的度数为x，则的度数为，根据题意得出，求出，，进而可求出答案． 【详解】解：设的度数为x，则的度数为， 所以， 解得， 所以，， 所以． 故选：C． 4. 若锐角满足，则锐角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，以及余弦的性质，根据余弦值随着锐角度数的增大而减小，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选C． 5. 将抛物线绕原点O旋转，则旋转后抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求得旋转后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式求解即可． 【详解】解：的顶点坐标为， ∵抛物线绕原点O旋转， ∴旋转后的抛物线的顶点坐标为， ∴旋转后的抛物线的解析式为， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化是解题的关键． 6. 当时，与的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．根据题意，，即a、b同号，分与两种情况讨论，分析选项可得答案． 【详解】解：根据题意，、则a、b同号， 当时，则，抛物线开口向上，过原点、一次函数过一、二、三象限； 此时，没有选项符合， 当时，则，抛物线开口向下，过原点、一次函数过二、三、四象限； 此时，D选项符合， 故选：D． 7. 下列关于抛物线的说法正确的是 A. 抛物线开口向上 B. 顶点坐标为 C. 在对称轴的右侧，随的增大而增大 D. 抛物线与轴有两个交点 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知二次函数二次项系数为负数，故开口方向向上；顶点坐标为（0，2）；在对称轴的右侧y随x的增大而减小. 【详解】由题可知二次函数二次项系数为负数，故开口方向向下；顶点坐标为（0，2）；在对称轴的右侧y随x的增大而减小， 故选D. 【点睛】了解二次函数的图像特点是解题的关键. 8. 如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，自行车右边是它的部分示意图，现测得，，，则点A到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，三角形内角和定理，过A作，根据三角形内角和定理得到，结合正弦的定义求解即可得到答案 【详解】解：过A作， ， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 9. 在中，都是锐角，且，则的形状是(　　) A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据非负数的性质得出，，进而求得，，根据三角形内角和定理求得，即可求解． 【详解】解：由题意得，，， 则，， 则， 故为钝角三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了根据特殊角的三角函数值求角度，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 10. 若点，，都在二次函数的图象上，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是y轴，根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：∵的图象开口向下，对称轴是y轴，关于y轴的对称点是， ∴时，y随x的增大而减小， 又∵ ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 已知锐角满足，则______． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查正弦余弦关系．根据题意利用正弦余弦等值则角度互余，即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴，即：， 故答案为：35． 12. 比较大小：sin48°___cos48°（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】＞ 【解析】 【分析】作一个含有48°的直角三角形，根据大角对大边可知，，再根据三角函数的定义有即可比较出大小． 【详解】解：作一个含有48°的直角三角形，如图， ∵， ∴， ∵ ∴ 故填：＞． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，解题关键是掌握三角函数的定义；在直角三角形中，任意一锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作；在直角三角形中，任意一锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作． 13. 在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为_____． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，过作于，利用勾股定理可以求出的长，再根据余弦的定义即可求出的值，正确理解锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】如图，过作于， ∴， 由网格可知：，， ∴， 故答案为：． 14. 若函数是二次函数，则m的值为_________． 【答案】9或0##0或9 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得到，解之即可得到答案． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得或， 故答案为：9或0． 15. 在中，，，点D在BC上，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知， 在中利用勾股定理求出的长，，进而得出结果． 【详解】解： 在中， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形，勾股定理与三角函数值．解题的关键在于角度的转化． 16. 已知α为锐角，且，则α等于________． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题考查特殊角度三角函数，根据求解即可． 【详解】∵，， ∴， 解得， 故答案为：． 17. 在二次函数：①；②；③中，图像开口大小顺序用序号表示为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数图像开口大小的影响因素是解题关键．根据二次函数的性质可得，的绝对值越大，开口越小，求解即可． 【详解】解：二次函数：①；②；③中， ，，， ∵，，，即， ∴①的开口小于③的开口小于②的开口， 即． 故答案为：． 18. 如图所示，在中，，点D是上的一点，且，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识点，证得并根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 如图：过D作交于H，由平行线的性质得到，由勾股定理求出，由，推出，求出得到，然后根据正切的定义即可解答． 【详解】解：如图：过D作交于H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴, ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共66分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，二次根式的加减运算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的加减运算； （2）先代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的加减运算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 如图，中，于点D，，， ，求，，，，的值． 【答案】，，，， 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理，由正切的定义求出，再根据勾股定理求出，根据正弦的定义求出，由线段的和差求出，再根据勾股定理求出，再根据正弦和余弦的定义分别求出和即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，． 21. 用描点法画出函数的图象，结合图象，回答下列问题： （1）该抛物线可由抛物线向____平移___个单位得到； （2）开口方向________；对称轴________；顶点坐标________； （3）当时，y随x的增大而________； （4）当x________时，； （5）当时，y的取值范围是________． 【答案】（1）向下；1； （2）向上；轴；； （3）增大； （4） （5）． 【解析】 【分析】本题考查的是画二次函数的图象，二次函数的性质； （1）先利用描点法画二次函数的图象，再结合平移规律可得答案； （2）由二次函数的图象可得答案； （3）由二次函数的图象结合增减性可得答案； （4）由二次函数的图象与轴的交点坐标可得答案； （5）结合二次函数的图象与可得答案． 【小问1详解】 解：列表如下： 0 1 2 0 0 3 描点并画图： 该抛物线可由抛物线向下平移1个单位得到； 【小问2详解】 解：抛物线的开口方向上；对称轴为轴；顶点坐标； 【小问3详解】 解：抛物线，当时，y随x的增大而增大； 【小问4详解】 解：∵， 解得：， ∴当时， 【小问5详解】 解：由图象可得：当时，y的取值范围是． 22. 如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理． （1）求证：． （2）求需要绿化的空地的面积． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即． （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求得，根据勾股定理的逆定理即可推得； （2）根据代入公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， 在中，． ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 23. 抛物线与直线的一个交点为， （1）求和． （2）求另一个交点的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先把代入可得：，再把代入可得：； （2）联立两个函数解析式，再解方程组即可． 【小问1详解】 解：把代入可得： ， ∴交点坐标为：； 把代入可得： ， 解得：； 【小问2详解】 由（1）得：， ∴， ∴， 解得：，， ∴或， ∴函数的另一个交点坐标为：． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，求解抛物线与直线的交点坐标，熟练的建立方程组解题是关键． 24. 在中，，，为锐角且． （1）求的面积； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作，根据的正切值确定的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出、，最后利用三角形的面积公式算出的面积； （2）先利用线段的和差关系求出，然后在中利用勾股定理求出； （3）在中利用直角三角形的边角间关系求出的余弦值． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为， ∴， ∵为锐角且， ∴， ∴， ∴， ∴， 在， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴的面积为． 【小问2详解】 ∵，， ∴， 在中， ． ∴的值为． 【小问3详解】 在中，，， ∴． ∴的值为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键． 25. 已知函数 （1）当为何值时，是的一次函数？ （2）当为何值时，是的二次函数？ 【答案】（1）当时，是的一次函数； （2）当时，是的二次函数． 【解析】 【分析】（）根据一次函数的定义即可求解； （）根据二次函数的定义解答即可求解； 本题考查了一次函数和二次函数，掌握一次函数和二次函数的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得， ∴当时，是的一次函数； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴， ∴当时，是的二次函数． 26. 如图，在一次数学实践活动中，小明同学为了测量学校旗杆 的高度，在观测点A处观 测旗杆顶点E 的仰角为，接着小明朝旗杆方向前进了到达C 点，此时，在观测点D处观 测旗杆顶点E 的仰角为．假设小明的身高为，求旗杆的高度．（结果保留一位小数．参考数据：≈1.414， 1.732) 【答案】约 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形应用——仰角问题．熟练掌握等腰直角三角形性质，锐角三角函数解直角三角形，是解决问题的关键． 延长交于点G，设，证明四边形是矩形，，得到，得到，得到，根据，得到，求得，根据，即得故旗杆的高度约． 【详解】解：延长交于点G，设， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ． 故旗杆的高度约． 27. 安阳红旗渠机场于2023年11月29日正式通航，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡上的处看见飞机A的仰角为30°，若斜坡的坡比，铅垂高度米（点、、、在同一水平线上）．求飞机距离地面的高度．（结果保留根号） 【答案】飞机距离地面的高度为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键．过点作于点，先根据坡比的概念得到米，然后证明米，，设米，在中，根据三角函数的定义列方程，并求解即得答案． 【详解】解：过点作于点，如图， 斜坡的坡比，铅垂高度米， ， 米， ，， 四边形是矩形， 米，， ，， 是等腰直角三角形， ， 设米，则米， 米， 在中，， ， 解得， 米， 答：飞机距离地面的高度为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $