精品解析：山东省济南市章丘区2024-2025学年上学期第一次质量检测九年级数学试卷

章丘区2024-2025学年度第一学期第一次质量检测 九年级数学试题 本试题分选择题和非选择题两部分．选择题部分共2页，满分为40分；非选择题部分共6页，满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间120分钟．本考试不允许使用计算器． 选择题部分共40分 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、当时，不是一元二次方程，故不合题意； B、不是整式方程，故不合题意； C、是一元一次方程，故不合题意； D、是一元二次方程，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2. 柜子里有双鞋，随机取出两只刚好配成一双鞋的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查画树状图，概率的意义及求法，熟练画树状图是解题的关键；根据概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：画树状图 所求概率 故选：D 3. 用配方法解一元二次方程，则方程可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将常数项移到等号的右边，在方程两边加上一次项系数一半平方，将方程左边配成一个完全平方式即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴； 故选B 【点睛】本题考查配方法，熟练掌握配方法的步骤是解题关键． 4. 如图，等宽的丝带重叠部分一定是（ ） A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 以上都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和菱形的判定，正确掌握平行四边形的判定和菱形的判定是解题的关键． 过点A作于点E，于点F，先证明四边形是平行四边形，再证明，然后根据菱形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：如图，过点A作于点E，于点F， 两条丝带宽度相同， ， 根据题意得：，， 四边形是平行四边形， 又， ， 是菱形， 即等宽的丝带重叠部分一定是菱形． 故选：C． 5. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　） A. 12 B. 9 C. 15 D. 12或15 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法求出x的值，再根据等腰三角形的性质分情况讨论求解 【详解】解：∵ x2﹣9x+18＝0， ∴（x﹣3）（x﹣6）＝0， 则x﹣3＝0或x﹣6＝0， 解得x＝3或x＝6， 当3是腰时，三角形的三边分别为3、3、6，不能组成三角形； 当6是腰时，三角形的三边分别为3、6、6，能组成三角形，周长为3+6+6＝15． 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，要注意分情况讨论． 6. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 故选：C． 7. 如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AD=4，点P是AB边上的一个动点，点E、F分别是DP、BP的中点，则线段EF的长为( ) A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】【分析】连接BD，利用菱形性质和三角形中位线性质可解得. 【详解】连接BD， 因为,四边形ABCD是菱形， 所以，AB=AD=4, 又因为∠A=60°， 所以，三角形ABD是等边三角形. 所以，BD=AB=AD=4 因为，E,F是DP、BP的中点， 所以，EF是三角形ABD的中位线， 所以，EF=BD=2 故选A 【点睛】本题考核知识点：菱形，三角形中位线.解题关键点：理解菱形，三角形中位线性质. 8. 手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．如图，墨涵同学装裱了一幅《雀华秋色图》的手卷，手卷长1000厘米，宽40厘米．引首和拖尾完全相同，其宽度都为100厘米，若隔水的宽度为x 厘米，画心的面积为15200厘米2，根据题意，可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的应用，设隔水的宽度为，分别表示出画心的长和宽，根据面积列出方程． 【详解】解：根据题意，得． 故选：D． 9. 如图，下列四组条件中，能判定是正方形的有(　 　) ①AB=BC，∠A=90°；②AC⊥BD，AC=BD；③OA=OD，BC=CD；④∠BOC=90°，∠ABD=∠DCA A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，矩形、菱形以及正方形的判定方法对各组条件进行判断即可得出答案． 【详解】①AB=BC， 根据有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形，能判定是正方形，故此选项正确； ②AC⊥BD，AC=BD； 由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形，能判定是正方形，故此选项正确； ③OA=OD，BC=CD； 由ABCD是平行四边形，可得AC与BD互相平分，而OA=OD，所以AC=BD，对角线相等的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，既是矩形又是菱形的四边形是正方形，能判定是正方形，故此选项正确； ④ 由，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得是菱形；由ABCD是平行四边形，可得AC与BD互相平分，AB∥CD，则∠ABD=∠CDB=∠DCA，所以OC=OD，又对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形，能判定是正方形，故此选项正确． 故选D 【点睛】考查正方形的判定，熟练掌握平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定是解题的关键. 10. 对于两个实数，，用表示其中较大的数，则方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意则有x2=2x+1和-x2=2x+1，然后解一元一次方程即可． 【详解】∵max（a，b）表示其中较大的数， ∴当x＞0时，max（x，-x）=x， 方程为x2=2x+1， x2-2x+1=2， （x-1）2=2， ∴x-1=±， ∴x=1±， ∴x＞0， ∴x=1+； 当x＜0时，max（x，-x）=-x． 方程为-x2=2x+1 x2+2x+1=0， （x+1）2=0， ∴x=-1， 故方程x×max（x，-x）=2x+1的解是-1，1+ 故选C． 【点睛】本题考查了配方法解一元一次方程，根据题意得出x2=2x+1和-x2=2x+1是本题的关键． 非选择题部分 共110分 二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 在某次试验数据整理过程中，某个事件发生的频率情况如表所示． 试验次数 10 50 100 200 500 1000 2000 事件发生的频率 0.245 0.248 0.251 0.253 0.249 0.252 0.251 估计这个事件发生的概率是_____（精确到0.01）． 【答案】0.25 【解析】 【详解】观察表格可知，随着实验次数的增加，某个事件发生的频率稳定在0.25左右， 由此可以估计这个事件发生的概率是0.25， 故答案为0.25. 12. 已知方程的两个根分别为，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，对于的两个根分别为，则． 利用根与系数的关系得到的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵方程的两个根分别为， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 直角三角形斜边的中线长是，则它的两条直角边中点的连线长为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形中位线定理，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以求出斜边的长，进而利用三角形中位线定理可求它的两条直角边中点的连线长． 【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴斜边的长为， ∴它的两条直角边中点的连线长为． 故答案为：4． 14. 如图，菱形的周长为26，对角线交于点O，过A作交延长线于点E，连接的长为5，则__________． 【答案】6 【解析】 【分析】由菱形的性质可得BDAC，AB=BC=，BO=DO=，AO=CO，由勾股定理可求CO的长，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：∵菱形ABCD的周长为26， ∴BDAC ，AB=BC=，BO=DO=，AO=CO， ∴CO==6， ∵，AO=CO， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 15. 如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③S△AOB＝S四边形DEOF；④AO＝OE；⑤∠AFB＋∠AEC＝180°，其中正确的有__________（填写序号）． 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】根据正方形的性质和已知条件可得AF＝DE，进而可用“边角边”证明△ABF≌△DAE，然后根据全等三角形的性质即可判断①；根据全等三角形的性质可得∠ABF＝∠DAE，然后利用角的代换和三角形的内角和定理可得∠AOB＝90°，从而可判断②；根据全等三角形的面积相等可得S△ABF＝S△ADE，然后都减去△AOF的面积，继而可判断③；假设AO＝OE，根据线段垂直平分线的性质可得AB＝BE，再根据直角三角形斜边大于直角边即可得出矛盾，从而可判断④；根据全等三角形的性质可得∠AFB=∠AED，进一步即可根据角的代换和平角的定义判断⑤，于是可得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAF＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD， ∵CE＝DF， ∴AD﹣DF＝CD﹣CE，即AF＝DE， ∴△ABF≌△DAE（SAS）， ∴∠ABF＝∠DAE，AE＝BF，故①正确； ∵∠DAE+∠BAO＝90°， ∴∠ABF+∠BAO＝90°， ∴∠AOB＝90°， ∴AE⊥BF，故②正确； ∵△ABF≌△DAE， ∴S△ABF＝S△DAE， ∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF， 即S△AOB＝S四边形DEOF，故③正确； 假设AO＝OE，连接BE，如图， ∵AE⊥BF（已证）， ∴AB＝BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）， ∵在Rt△BCE中，BE＞BC， ∴AB＞BC，这与正方形的边长AB＝BC相矛盾， 所以假设不成立，∴AO≠OE，故④错误； ∵△ABF≌△DAE， ∴∠AFB=∠AED， ∴∠AFB＋∠AEC＝∠AED＋∠AEC＝180°，故⑤正确； 综上所述，正确的有①②③⑤． 故答案为：①②③⑤． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质以及反证法等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识、证明△ABF≌△DAE是解题的关键． 三、解答题 16. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1）； （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握配方法、会因式分解和牢记公式． （1）两边同时加1，将左边配方后利用直接开平方即可求解； （2）先求出，再代入公式即可求解； （3）移项后提出公因式进行因式分解即可求解； （4）左边因式分解后分别令两个因式为零即可求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ∴ ∴． 【小问3详解】 解： 或 ∴． 【小问4详解】 解： 或 ∴． 17. 如图，在菱形中，点E、F分别在、边上，，求证：． 【答案】 证明：在菱形中， ，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质，全等三角形的判定与性质，先证明，再证明，从而可得结论． 【详解】略 18. 已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1），； （2）∵， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可； （2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可． 【详解】解：（1）设方程的另一根为x1， ∵该方程的一个根为1， ∴， 解得． ∴a的值为，该方程的另一根为． （2）略 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2，x1•x2，要记牢公式，灵活运用． 19. 如图，在中，，是中线，是的中点，过点作交的延长线于，连接． （1）求证：； （2）试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵是的中点，是边上的中线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． （2） 四边形是菱形，理由： 由（）知，， ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，是的中点， ∴， ∴四边形是菱形 【解析】 【分析】（1）根据证，即可得出结论； （2）利用（）中全等三角形的对应边相等得到．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到四边形是菱形，由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到，从而得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的判定及性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握平行四边形的判定及性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 20. 端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元，经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子，为了使每天获利的利润更多，该店决定把零售单价下降元． （1）零售单价下降元后，该店平均每天可卖出___________只粽子，利润为__________元． （2）不在考虑其他因素的条件下，当定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？ 【答案】（1）， （2）0.4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意，正确建立方程是解题关键． （1）零售单价下降m元，每天可多卖出只粽子，再加上300即可得卖出的粽子数量；然后根据“降价前卖出1只粽子的利润是1元”可得降价m元后，卖出1只粽子的利润为元，据此乘以卖出的粽子数量即可得； （2）根据“每天的利润每只粽子的利润每天卖出的粽子数量”可建立一个关于m的一元二次方程，解方程，取较大的根即可． 【小问1详解】 解：由题意得：零售单价下降m元，每天可多卖出粽子（只）， 则该店平均每天可卖出的粽子数量为只， 降价前卖出1只粽子的利润是1元， 降价m元后，卖出1只粽子的利润为元， 则每天的利润为元， 故答案为：，； 【小问2详解】 由题意得：， 整理得：， 解得或， 当时，每天可卖出的粽子数量为（只）， 当时，每天可卖出的粽子数量为（只）， ∵要求卖出的粽子更多， ， 答：当m定为时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多． 21. 有四张正面分别标有数字2，1，﹣3，﹣4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机地摸取一张不放回，将该卡片上的数字记为m，再随机地摸取一张，将卡片上的数字记为n． （1）请画出树状图并写出（m，n）所有可能的结果； （2）求所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限的概率． 【答案】（1）共有12种等可能的结果：（2，1），（2，﹣3），（2，﹣4），（1，2），（1，﹣3），（1，﹣4），（﹣3，2），（﹣3，1），（﹣3，﹣4），（﹣4，2），（﹣4，1），（﹣4，﹣3）； （2）所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限的概率为 【解析】 【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果； （2）根据题意可得m＜0，n＜0，从而得到能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限的有：（﹣3，﹣4），（﹣4，﹣3），再利用概率公式，即可求得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，画树状图得： ∴（m，n）共有12种等可能的结果：（2，1），（2，﹣3），（2，﹣4），（1，2），（1，﹣3），（1，﹣4），（﹣3，2），（﹣3，1），（﹣3，﹣4），（﹣4，2），（﹣4，1），（﹣4，﹣3）； 【小问2详解】 解：∵一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限， ∴m＜0，n＜0， ∴所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限的有：（﹣3，﹣4），（﹣4，﹣3），共2种， ∴所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限的概率为： =． 【点睛】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，一次函数图象与性质，熟练掌握一次函数图象与性质，准确画出树状图或列出表格是解题的关键． 22. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） （1）若设车棚宽度为，则车棚长度为______m； （2）若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； （3）若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）自行车车棚的宽为，自行车车棚的长为 （3） 解：不能，理由如下： 要围成面积为的自行车车棚，则由（1）可得： ， 整理得：， ， 故此方程没有实数根， 不能围成面积为的自行车车棚． 【解析】 【分析】本题考查用代数式表示式，一元二次方程的应用，根的判别式，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题关键． （1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽，需注意的是一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过，宽不超过7米； （3）根据（2）中方法列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断，即可解题． 【小问1详解】 解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口， 不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形， （）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）可得，车棚面积为： 解得：或， 又距院墙7米处，规划有机动车停车位， ，将代入得：，满足题干条件， 自行车车棚的宽为：， 自行车车棚的长为：； 【小问3详解】 略 23. 在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：__________，__________用t的代数式表示）； （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2t， （2） （3）存在， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出、的长度是解题关键． （1）根据距离=速度×时间解答即可； （2）根据的长度等于，利用勾股定理列方程求出值即可得答案； （3）根据五边形的面积加上的面积等于长方形面积列方程求解即可得答案． 【小问1详解】 解：∵在长方形中，，， 而，， ∴． 【小问2详解】 解：在中，， ∴， 整理，得：， 解得或2． 把舍去， 所以，当时，的长度等于． 【小问3详解】 解：∵， ∴， 即， 整理，得：， 解得：或4． 依题意，， ∴， ∴，故取． 因此，当时，五边形的面积等于． 24. 如图（1），四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图（2），过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 【答案】（1） 证明：∵在正方形中， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2） ①证明：如图，作于点P，于点Q， ∵在正方形中， ∴， ∴和均为等腰直角三角形， 由勾股定理可得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； ② 【解析】 【分析】本题考查四边形的综合应用，主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键，同时注意解题方法的延续性． （1）由正方形得，，可证得，可证得结果； （2）①作于点P，于点Q，利用角平分线的性质得，证明，即可得出，从而证明结论； ②过点E作于M，先证明，可得，最后由勾股定理求得的长 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：∵在正方形，正方形中， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点E作于M，则是等腰直角三角形， 根据勾股定理得， ∵， ∵， 即正方形的边长为； 故答案为： 25. 通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，试猜想、、之间的数量关系． （1）思路梳理 把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，由，得，即点F、D、G共线，易证______，故、、之间的数量关系为______．（要求写出必要的推理过程） （2）类比引申 如图2，点E、F分别在正方形的边、的延长线上，，连接，试猜想、、之间的数量关系为______，并给出证明． （3）联想拓展 如图3，在中，，，点D、E均在边上，且，若，，求的长． 【答案】（1）， （2） ； 证明：如图2，把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，则点G在上， 由旋转得：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，求出，证明△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质得出EF＝FG，即可得出答案； （2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，求出，证明，根据全等三角形的性质得出EF＝FG，即可得出答案； （3）把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，连接，求出，由勾股定理可得，然后证明（SAS），根据全等三角形的性质可得答案． 【小问1详解】 解：如图1，把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合， 由旋转得：，，，， ∴，即点F、D、G共线， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图3，把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，连接， 由旋转得：，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵，， ∴（SAS）， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形，综合性比较强，有一定的难度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 章丘区2024-2025学年度第一学期第一次质量检测 九年级数学试题 本试题分选择题和非选择题两部分．选择题部分共2页，满分为40分；非选择题部分共6页，满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间120分钟．本考试不允许使用计算器． 选择题部分共40分 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 柜子里有双鞋，随机取出两只刚好配成一双鞋的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程，则方程可化为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，等宽的丝带重叠部分一定是（ ） A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 以上都有可能 5. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　） A. 12 B. 9 C. 15 D. 12或15 6. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 7. 如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AD=4，点P是AB边上的一个动点，点E、F分别是DP、BP的中点，则线段EF的长为( ) A. 2 B. 4 C. D. 8. 手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．如图，墨涵同学装裱了一幅《雀华秋色图》的手卷，手卷长1000厘米，宽40厘米．引首和拖尾完全相同，其宽度都为100厘米，若隔水的宽度为x 厘米，画心的面积为15200厘米2，根据题意，可列方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，下列四组条件中，能判定是正方形的有(　 　) ①AB=BC，∠A=90°；②AC⊥BD，AC=BD；③OA=OD，BC=CD；④∠BOC=90°，∠ABD=∠DCA A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 对于两个实数，，用表示其中较大的数，则方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 非选择题部分 共110分 二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 在某次试验数据整理过程中，某个事件发生的频率情况如表所示． 试验次数 10 50 100 200 500 1000 2000 事件发生的频率 0.245 0.248 0.251 0.253 0.249 0.252 0.251 估计这个事件发生的概率是_____（精确到0.01）． 12. 已知方程的两个根分别为，则的值为_______． 13. 直角三角形斜边的中线长是，则它的两条直角边中点的连线长为__________． 14. 如图，菱形的周长为26，对角线交于点O，过A作交延长线于点E，连接的长为5，则__________． 15. 如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③S△AOB＝S四边形DEOF；④AO＝OE；⑤∠AFB＋∠AEC＝180°，其中正确的有__________（填写序号）． 三、解答题 16. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4） 17. 如图，在菱形中，点E、F分别在、边上，，求证：． 18. 已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 19. 如图，在中，，是中线，是的中点，过点作交的延长线于，连接． （1）求证：； （2）试判断四边形的形状，并证明你的结论． 20. 端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元，经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子，为了使每天获利的利润更多，该店决定把零售单价下降元． （1）零售单价下降元后，该店平均每天可卖出___________只粽子，利润为__________元． （2）不在考虑其他因素的条件下，当定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？ 21. 有四张正面分别标有数字2，1，﹣3，﹣4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机地摸取一张不放回，将该卡片上的数字记为m，再随机地摸取一张，将卡片上的数字记为n． （1）请画出树状图并写出（m，n）所有可能的结果； （2）求所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限的概率． 22. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） （1）若设车棚宽度为，则车棚长度为______m； （2）若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； （3）若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 23. 在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：__________，__________用t的代数式表示）； （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 24. 如图（1），四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图（2），过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 25. 通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，试猜想、、之间的数量关系． （1）思路梳理 把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，由，得，即点F、D、G共线，易证______，故、、之间的数量关系为______．（要求写出必要的推理过程） （2）类比引申 如图2，点E、F分别在正方形的边、的延长线上，，连接，试猜想、、之间的数量关系为______，并给出证明． （3）联想拓展 如图3，在中，，，点D、E均在边上，且，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $