精品解析：江苏省扬州市扬州中学2024-2025学年高一上学期10月自主学习评估数学试题

江苏省扬州中学2024-2025学年度高一10月自主学习评估 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 集合和关系的图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素是（    ） A. B. 0 C. 1 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的韦恩图，利用交集的定义直接求解即得. 【详解】依题意，阴影部分表示的集合为， 所以阴影部分表示的集合中的元素是1. 故选：C 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案. 【详解】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 注意到要否定结论，所以原命题的否定是：，. 故选：A 3. 王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”．其名篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”（人在阵地在，人不在阵地在不在不知道），由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将不在的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 充分不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合题意分析判断即可 【详解】因为人在阵地在，所以胡马度过阴山说明龙城飞将不在， 因为人不在阵地在不在不知道，所以龙城飞将不在，不能确定胡马是否度过阴山， 所以胡马度过阴山是龙城飞将不在的充分不必要条件， 故选：D 4. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法比较的大小，再结合中间值比较即可. 【详解】易知， 因为，，所以， 则，即. 因为，，所以. 综上，. 故选：A 5. 已知关于的不等式的解集为，其中为常数，则不等式的解集是（ ） A. B. ，或 C. ，或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式的解集得出，再化简得出，即可得出不等式的解集. 【详解】关于的一元二次不等式的解集为， 则，且是一元二次方程的两根， 于是，解得， 则不等式化为， 即，解得， 所以不等式的解集是. 故选：A. 6. 不等式，对于任意及恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由于在不等式中出现两个变量，对其进行变形令则转化为含参数的不等式，在上恒成立的问题，然后进行分离参数求最值即可. 【详解】由，则不等式两边同时乘以不等式可化为：， 令，则不等式转化为：，在上恒成立，由可得即， 又，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值， 故可得. 故选：A． 7. 已知集合且，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据4和6的最小公倍数为12，得，而，进而逐项判断两集合之间关系即可. 【详解】因为且，4和6的最小公倍数为12， 所以， 又因为，而，但，所以A，C错误； 因为集合中元素为12的正整数倍，而为24的整数倍， 所以元素满足是24的正整数倍时，必满足是12的正整数倍， 则，故D正确； 对于B，若但，且，B错误； 故选：D 8. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将原式变形为，结合不等式的加法性质利用基本不等式即可求得最值. 【详解】由得，， 则， 因为，当且仅当即时取等号. 因为，当且仅当即时取等号. 当且仅当即时取等号. 所以的最小值为. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数有两个零点，，且，下列关于，的关系中错误的有（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】ABD 【解析】 【分析】转化函数零点为函数与函数图象交点的横坐标，数形结合即可得解. 【详解】令，则， ∴函数的零点就是函数与函数图象交点的横坐标， 在同一平面直角坐标系中作出函数的图象与的图象，如图， 数形结合可得且. 故选：ABD. 10. 已知，下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对A：举反例说明；对BCD：作差后根据条件判断大小. 【详解】对于选项A，当时，，故A错误; 对于选项B，，因为，所以， 所以，即，故B正确; 对于选项C，， 因为，所以， 所以，即，故C错误； 对于选项D，因为， 又因为，所以，所以，即，故D正确. 故选:BD. 11. 已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有（ ） A. ， B. ， C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由开点的定义和元素和集合的关系可求得结果． 【详解】对于，对任意的，存在，使得，故正确； 对于，假设集合，以0为“开点“，则对任意的，存在，， 使得，当时，该式不成立，故错误； 对于，假设集合以0为“开点“，则对任意的，存在， 使得，故正确； 对于，集合，，，当时，， 时，使得不成立，故错误． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 定义集合运算：且，若集合，，则集合的子集个数为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据定义先求出集合，再用子集定义求子集个数． 【详解】集合，， 由的定义可得，， 所以子集有，，，，共4个． 故答案为：4． 13. 已知，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】依据充分不必要条件求得需满足且等号不同时成立，可得. 【详解】根据题意可知，若p是q的充分不必要条件需满足，解得； 但且两端等号不同时成立，所以，即； 因此实数m的取值范围为. 故答案为： 14. 出入相补是指一个平面（或立体）图形被分割成若干部分后面积（或体积）的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理.在下面两个图中，若，，，图中两个阴影三角形的周长分别为，，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据图形中的相似关系先表示出，然后利用基本不等式求解出最小值. 【详解】如图1，易知，且， 所以，所以； 如图2，易知，且， 所以，所以， 所以, 又因为，所以，当且仅当时取等号， 所以， 所以最小值为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，每小题5分，共77分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 15. 设，，且. （1）求的值及集合，； （2）设全集，求； （3）写出的所有子集. 【答案】（1）；， （2） （3），，，,． 【解析】 【分析】（1）由与的交集中元素为2，将代入中的方程求出的值，即可确定出与； （2）根据与求出两集合的并集与交集，找出交集的补集，即为所求； （3）找出所求集合的所有子集即可． 【小问1详解】 根据题意得：，， 将代入中的方程得：，即， 则，； 【小问2详解】 全集，， ； 【小问3详解】 的所有子集为，，，． 16. （1）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. （2）命题且，命题，若与不同时为真命题，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由真包含于构造不等式即可求解； （2）通过与同时为真命题，求范围，再求补集即可. 【详解】（1）由“”是“”的充分不必要条件，得真包含于 而，显然 于是，解得， 所以的取值范围为； （2）当命题为真命题时， 当命题为真命题时，，即， 所以与同时为真命题时有，解得 故与不同时为真命题时，的取值范围是. 17. 已知正数a，b满足． （1）求的最小值； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2）18 【解析】 【分析】（1）利用常值代换法和基本不等式即可求出最小值； （2）将已知式分解因式为，利用常数分离法将所求式化成，再运用基本不等式即可求得最小值. 【小问1详解】 因为，，且，则， 所以， 当且仅当，即，即，时等号成立， 故的最小值为． 【小问2详解】 因为，，且，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为18． 18. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）当时，解不等式； （3）对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （3）. 【解析】 【分析】（1）对参数进行分类讨论，并结合一元二次函数性质即可求解； （2）当时，，即，因式分解，对进行讨论，可得解集； （3）转化为恒成立，分离参数，利用基本不等式求最值求解的取值范围． 【小问1详解】 当时，由，得到，所以，不合题意， 当时，由解集为，得到，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 当时，，即， 可得，因为， ①当时，即，不等式的解集为； ②当时，，因为， 所以不等式的解集为； ③当时，．又， 所以不等式的解集为， 综上：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【小问3详解】 由题对任意，不等式恒成立， 即，因为时，恒成立， 可得，设，则，所以， 可得， 因为，当且仅当时取等号. 所以，当且仅当时取等号. 故得m的取值范围. 19. 若任意满足（），都有不等式恒成立，则称该不等式为“不等式” （1）已知不等式为“不等式”，求m的取值范围； （2）判断不等式是否为“不等式”，并说明理由； （3）若，，，证明：不等式是“不等式”. 【答案】（1） （2）不是“不等式”. 理由如下： （方法一）二次函数图象的对称轴为直线， 当时，二次函数取得最小值，且最小值为， 所以不是“不等式”. （方法二）由，得， 解得. 因为，所以对不恒成立， 所以不是“不等式”. （3）证明：由题意得， ①当时，，则，符合题意. ②当时，，研究二次函数的图象， 该二次函数图象的对称轴为直线， 则当时，二次函数取得最小值，且最小值为，符合题意. ③当时，，由二次函数的图象可知， 当或时，二次函数取得最小值， 当时，； 当时，. 故是“不等式”. 【解析】 【分析】（1）根据题意判断在上恒成立即可； （2）当时即可判断； （3）判断最小值，最大值都大于0即可. 【小问1详解】 由及，得. 因为，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬州中学2024-2025学年度高一10月自主学习评估 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 集合和关系的图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素是（    ） A. B. 0 C. 1 D. 5 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”．其名篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”（人在阵地在，人不在阵地在不在不知道），由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将不在的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 充分不必要条件 4. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的不等式的解集为，其中为常数，则不等式的解集是（ ） A. B. ，或 C. ，或 D. 6. 不等式，对于任意及恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合且，集合，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数有两个零点，，且，下列关于，的关系中错误的有（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 10. 已知，下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有（ ） A. ， B. ， C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 定义集合运算：且，若集合，，则集合的子集个数为______． 13. 已知，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为______. 14. 出入相补是指一个平面（或立体）图形被分割成若干部分后面积（或体积）的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理.在下面两个图中，若，，，图中两个阴影三角形的周长分别为，，则的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，每小题5分，共77分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 15. 设，，且. （1）求的值及集合，； （2）设全集，求； （3）写出的所有子集. 16. （1）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. （2）命题且，命题，若与不同时为真命题，求的取值范围. 17. 已知正数a，b满足． （1）求的最小值； （2）求的最小值． 18. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）当时，解不等式； （3）对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 19. 若任意满足（），都有不等式恒成立，则称该不等式为“不等式” （1）已知不等式为“不等式”，求m的取值范围； （2）判断不等式是否为“不等式”，并说明理由； （3）若，，，证明：不等式是“不等式”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $