2024-—2025学年苏科版数学八年级上册10月考复习专题4（倍长中线和截长补短模型）（题型巩固练习）

2024-2025学年苏科版数学八年级上册 10月考复习专题4 （倍长中线和截长补短模型） （题型巩固练习） 【知识梳理】 （1）倍长中线：是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明） （2）截长法：在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证明剩下的线段与另一短边相等。 （3）补短法：延长较短线段至与另一条已知的较短线段的长度相等，然后证明新线段与最长的已知线段的关系。 【典型例题】 【例1】如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2】如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． 【例3】如图，是的中线，，，求中线的取值范围． 【例4】我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列问题： （1）求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形． (2)“取BD的中点P，连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题． ①请在图中通过作辅助线构造△BPE≌△DPO，并证明BE＝OD； ②求证：AC＝2OP． 【举一反三】 【变式1】在△ABC中，AB＝5，AC＝7，则中线AD的取值范围是（　　） A．1＜AD＜7 B．1＜AD＜8 C．1＜AD＜6 D．2＜AD＜5 【变式2】如图，在四边形中，是的平分线，且．若，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图在中，，、分别是、的平分线，、相交于点．   （1）请你判断并写出与之间的数量关系； （2）试判断线段、与之间的数量关系并说明理由． 【变式4】如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围． （1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD． ①请证明△CED≌△ABD； ②中线BD的取值范围是 　 　． （2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由． 【巩固练习】 1.如图，在四边形中，对角线平分，，下列结论正确的是（  ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 2.如图，在中，是中线，是角平分线，交延长线于点F，，，则的长为（　　） A． B．2 C． D．3 3.已知是中边上的中线，若，，则的取值范围是 ． 4.如图，是上一点，是的中点，交的延长线于.若，，则的长为 . 5.如图，五边形ABCDE中，AB＝BC＝7，AE＝ED＝8，∠ABC+∠AED＝180°，M为边CD的中点，BM＝9，EM＝10，则五边形ABCDE的面积为＝　 　． 6.（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接CE． ①证明△ABD≌△ECD； ②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是 　 　； （2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF． 7.如图，在△ABC中，已知：点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE. （1）请你添加一个条件使△ACD≌△EBD，并给出证明. （2）若，，求边上的中线的取值范围. 8.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线． （1）按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE． （2）求证：△ACD≌△EBD． （3）求证：AB+AC >2AD． （4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围． 9.阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明． （1）请完成下题的证明过程： 如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC．求证：AB+BD=AC． 证明：在AC上截取AE=AB，连接DE． （2）如图，，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB＝AD+BC． 10.【观察发现】如图①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围． 小明的解法如下：延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE． 在△ABD与△ECD中 ∴△ABD≅△ECD（SAS） ∴AB＝　 　． 又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5， ∴　 　＜AE＜　 　． 又∵AE＝2AD． ∴　 　＜AD＜　 　． 【探索应用】如图②，ABCD，AB＝25，CD＝8，点E为BC的中点，∠DFE＝∠BAE，求DF的长为 　 　．（直接写答案） 【应用拓展】如图③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，连接BE，P为BE的中点，求证：AP⊥DP． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$