精品解析：人教版2023-2024学年八年级数学上册第一次月考试卷1

八下第一次月考1 一.选择题（每题2分，共12分） 1. 正五边形每个外角的度数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，为促进某地旅游业的发展，当地旅游部门要在三条公路AB，AC，BC两两相交后围成的三角形区域内修建一个度假村，若这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应建在（　　） A. 三边垂直平分线的交点上 B. 三条角平分线的交点上 C. 三条高线的交点上 D. 三边中线的交点上 3. 若点M（4-2m，m-1）关于x轴的对称点在第三象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，设一质点自处向上运动1个单位至，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，…，如此继续运动下去，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在和中，，．连接交于点M，连接．下列结论： ①，②，③平分，④平分．其中正确的结论个数有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 6. 小明在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少计算了一个内角，结果得1345°，则未计算的内角的大小为（ ） A. 80° B. 85° C. 95° D. 100° 二.填空题（每题3分，共24分） 7. 在△ABC中，∠A＞∠B＞∠C，且∠A＝4∠C，则∠B的取值范围为________________． 8 已知△ABC≌△DEF，顶点A、B分别对应顶点D、E，若 ，则∠F=____ 9. 如图，P为AB上任意一点，分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF，设，则∠AFP的度数为 _____． 10. 如图，在中，点分别为的中点，且，则阴影部分的面积为______． 11. 全球棉花看中国，中国棉花看新疆．新疆长绒棉花是世界顶级棉花，品质优，产量大，常年供不应求．丰都县某超市为了支持新疆棉花，在“五一节”进行促销活动，将新疆棉制成的A、B、C三种品牌毛巾混装成甲、乙、丙三种礼包销售．其中甲礼包含1条A品牌毛巾、2条B品牌毛巾；乙礼包含2条A品牌毛巾、2条B品牌毛巾，3条C品牌毛巾；丙礼包含2条A品牌毛巾、4条C品牌毛巾，每个礼包的售价等于礼包各条毛巾售价之和．5月1日当天，超市对A、B、C三个品牌毛巾的售价分别打8折、7折、5折销售，5月2日恢复原价，小明发现5月1日一个甲礼包的售价等于5月2日一个乙礼包售价的40%，5月1日一个乙礼包的售价比5月2日一个丙礼包售价少0.8元，若A、B、C三个品牌的毛巾原价都是正整数，且B品牌毛巾的原价不超过11元，则小明在5月1日购买一个丙礼包，应该付________元． 12. 如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形……照此规律作下去，则的长为_______ 13. 常见的统计图有条形图、折线图、扇形图、直方图，其中能够显示数据的变化趋势的统计图是 _____． 14. 如图，点为直线外一动点，，连接，点分别是的中点，连接交于点，当四边形的面积为时，线段的长度最小值为______． 三.解答题（每题5分，共20分） 15. 已知：在中，，于D，平分，求． 16. 如图，A，B，C，D依次在同一条直线上，，BF与EC相交于点M．求证：． 17. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点D，且，的周长等于，则的长为． 18. 已知2a+1的平方根是±3，3a+2b+4的立方根是﹣2，求4a﹣5b+5的算术平方根． 四.解答题（每题7分，共28分） 19. 2021年7月21日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》．某学校积极响应“双减”政策，为了丰富学生校园生活，经研究决定准备购买一批体育健身器材．已知购买2个篮球和3个排球共花费440元，购买4个篮球和1个排球共花费480元．求篮球和排球的单价． 20. 如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，．求证： （1）； （2）． 21. 如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC 的顶点均在格点上的点，其中 A，B 的坐标分别为（0，3）和（﹣4，2）． （1）画出平面直角坐标系并直接写出点 C 坐标； （2）△ABC 中AB 边上任意一点，经平移后对应点，将△ABC 作同样的平移得到，请画出 并直接写出△ABC 的面积； 22. 如图，线段AB两个端点的坐标分别是A（-4， 3）B（-2，-3） （1）求AOB的面积； （2）求AB与x轴的交点C的坐标． 五.解答题（每题8分，共16分） 23. 如图（1），点O是线段AD中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC． （1）求证：AC＝BD； （2）求∠AEB的大小； （3）如图（2），△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小． 24. 如图，在等边三角形中，，，是上的一点，是上一点，，求的最小值． 六.解答题（每题10分，共20分） 25. △ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，点D在AB边上（不与点A、B重合），以CD为腰作等腰直角△CDE，∠DCE＝90°． （1）如图1，作EF⊥BC于F，求证：△DBC≌△CFE； （2）在图1中，连接AE交BC于M，如图2，求的值； （3）如图，3，过点E作EH⊥CE交CB的延长线于点H，过点D作DG⊥DC，交AC于点G，连接GH，当点D在边AB上运动时，探究线段HE，HG与DG之间的数量关系，并证明你的结论． 26. 如图，在等边的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由A向B和由C向A爬行，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处，请问 （1）爬行过程中，和始终相等吗？并说明理由 （2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着和的延长线爬行”，与交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中的大小保持不变．请利用图（2）情形，求证：； （3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着的延长线爬行，连接交于F”，其他条件不变，如图（3），则爬行过程中，始终等于是否正确．并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八下第一次月考1 一.选择题（每题2分，共12分） 1. 正五边形每个外角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据多边形的外角和以及正多边形的性质进行计算即可． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，且正五边形的每个外角相等， ∴正五边形的每个外角为． 故选B． 【点睛】本题主要考查多边形的外角和以及正多边形的性质，熟练掌握多边形的外角和以及正多边形的性质是解题的关键． 2. 如图，为促进某地旅游业的发展，当地旅游部门要在三条公路AB，AC，BC两两相交后围成的三角形区域内修建一个度假村，若这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应建在（　　） A. 三边的垂直平分线的交点上 B. 三条角平分线的交点上 C. 三条高线的交点上 D. 三边中线的交点上 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质即可得出结论． 【详解】解：∵度假村在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等， ∴度假村应该在△ABC三条角平分线的交点处． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线性质的实际应用，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键． 3. 若点M（4-2m，m-1）关于x轴的对称点在第三象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出M对应点，进而利用第三象限点的坐标特点得出答案． 【详解】解：点M（4-2m，m-1）关于x轴的对称点为：（4-2m，1-m）． ∵（4-2m，1-m）在第三象限， ∴4-2m＜0，1-m＜0， 解得m＞2． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质以及不等式组的解法，正确解不等式是解题关键． 4. 如图，在平面直角坐标系中，设一质点自处向上运动1个单位至，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，…，如此继续运动下去，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据第一象限中点的特征，探究规律，利用规律解决问题． 【详解】解：由题意P1（1，1），P5（3，3），P9（5，5），…，P21（11，11）， P20的纵坐标与P21的横坐标相同， ∴P20（11，﹣10）， 故答案为：D． 【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 5. 如图，在和中，，．连接交于点M，连接．下列结论： ①，②，③平分，④平分．其中正确的结论个数有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，等边对等角，先证明，，则可对②进行判断；利用三角形内角和得到，则可对①进行判断，利用邻补角的定义可对④进行判断；过O点作于E，于F，如图，根据全等三角形的性质得到，则根据角平分线的性质定理的逆定理得到平分，然后根据三角形内角和可判断，于是可对③进行判断． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵， 而， ∴，故①正确； 过O点作于E，于F，如图， ∵， ∴， ∴平分，故④正确， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，故③错误． ∴正确的有①②④， 故选：B． 6. 小明在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少计算了一个内角，结果得1345°，则未计算的内角的大小为（ ） A. 80° B. 85° C. 95° D. 100° 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形的内角和与1345°的差一定小于180度，并且大于0度，列出不等式组，解不等式组可得多边形的边数，然后求出内角和，进而求出少计算的内角． 【详解】解：设多边形的边数是n， 依题意有：0°＜（n−2）×180°－1345°＜180°， 解得：， 则多边形的边数n＝10； ∴多边形的内角和是（10−2）×180°＝1440°； 则未计算的内角的大小为1440°−1345°＝95°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，一元一次不等式组的应用，正确确定多边形的边数是解题的关键． 二.填空题（每题3分，共24分） 7. 在△ABC中，∠A＞∠B＞∠C，且∠A＝4∠C，则∠B的取值范围为________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理，列出一元一次不等式组，求解即可． 【详解】解：∵∠A＝4∠C，∠A+∠B+∠C=180°， ∴， ∴， ∴， ∵∠A＞∠B＞∠C， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，解一元一次不等式组，熟知三角形内角和为180度是解题的关键． 8. 已知△ABC≌△DEF，顶点A、B分别对应顶点D、E，若 ，则∠F=____ 【答案】80°##80度 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质求出∠D、∠E，根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】∵△ABC≌△DEF，顶点A、B分别对应顶点D、E， ， ∴∠D=，∠E=， ∴在中，． 故答案为：80°． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形对应角相等是解题的关键． 9. 如图，P为AB上任意一点，分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF，设，则∠AFP的度数为 _____． 【答案】##65度 【解析】 【分析】根据正方形性质先表示出∠PBC的度数，然后利用“SAS”证明△APF≌△CPB，证得∠AFP＝∠PBC即可求得答案． 【详解】∵四边形PBEF为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形APCD、PBEF是正方形， ∴AP＝CP，，PF＝PB， 在△APF和△CPB中， ， ∴△APF≌△CPB（SAS）， ∴． 故答案： 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，对于解决四边形的问题往往是通过解决三角形的问题而实现的． 10. 如图，在中，点分别为的中点，且，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据中点性质求面积，涉及三角形中线将三角形面积等分的性质，熟练根据这个性质，逐渐找到各个三角形之间面积的关系，代值求解即可得到答案，熟记三角形中线将三角形面积等分，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：点分别为的中点， ， 点分别为的中点， ， ， ， ，则， 故答案：． 11. 全球棉花看中国，中国棉花看新疆．新疆长绒棉花是世界顶级棉花，品质优，产量大，常年供不应求．丰都县某超市为了支持新疆棉花，在“五一节”进行促销活动，将新疆棉制成的A、B、C三种品牌毛巾混装成甲、乙、丙三种礼包销售．其中甲礼包含1条A品牌毛巾、2条B品牌毛巾；乙礼包含2条A品牌毛巾、2条B品牌毛巾，3条C品牌毛巾；丙礼包含2条A品牌毛巾、4条C品牌毛巾，每个礼包的售价等于礼包各条毛巾售价之和．5月1日当天，超市对A、B、C三个品牌毛巾的售价分别打8折、7折、5折销售，5月2日恢复原价，小明发现5月1日一个甲礼包的售价等于5月2日一个乙礼包售价的40%，5月1日一个乙礼包的售价比5月2日一个丙礼包售价少0.8元，若A、B、C三个品牌的毛巾原价都是正整数，且B品牌毛巾的原价不超过11元，则小明在5月1日购买一个丙礼包，应该付________元． 【答案】40.4 【解析】 【分析】设A品牌毛巾原售价为x元，B品牌毛巾原售价为y元，C品牌毛巾原售价为z元，根据题意，可列出关于x，y，z的两个三元一次方程，经过化简，可得到三者之间的关系，然后利用B品牌毛巾售价不超过11元，且各毛巾是价格均为整数，可得三种品牌毛巾的价格，代入5月1日打折后的礼包价格求解即可． 【详解】解：设A品牌毛巾原售价为x元，B品牌毛巾原售价为y元，C品牌毛巾原售价为z元，则5月1日，A品牌毛巾售价为0.8x元，B品牌毛巾售价为0.7y元，C品牌毛巾原售价为0.5z元． 则5月1日打折后礼包售价分别为： 甲礼包：（0.8x+1.4y）元； 乙礼包：（1.6x+1.4y+1.5z）元； 丙礼包：（1.6x+2z）元； 5月2日礼包恢复原价后售价分别为： 甲礼包：（x+2y）元； 乙礼包：（2x+2y+3z）元； 丙礼包：（2x+4z）元； 根据题意可得： ， 化简得， 将①代入②可得： ， 综上可得：，． ∵B品牌毛巾售价不超过11元，且各毛巾是价格均为整数， ∴， ∴， ∴， ∴z只能取4， 则，， ∴， 则5月1日购买甲、乙礼包花费为： ， 代入可得：（元）． 故答案为：40.4． 【点睛】本题主要考查三元一次方程应用及根据不等式关系确定未知数的取值，对三元一次方程组的化简及利用不等式求解是题目难点． 12. 如图，在平面直角坐标系中有一边长为1正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形……照此规律作下去，则的长为_______ 【答案】 【解析】 【分析】首先根据各点的坐标求出，，，，，，，，的长度，找出这些长度之间的规律，然后根据规律计算出OB2022的长度即可． 【详解】解：∵正方形OABC边长1， ∴OB=， ∵正方形OBB1C1是正方形OABC的对角线OB为边， ∴OB1=2， ∴B1点坐标为（0，2）， 同理可知； ∴B2点坐标为（-2，2）， 同理可知； B3点坐标为（-4，0）， 可知； ∴B4点坐标为（-4，-4）， 可知， ∴B5点坐标为（0，-8）， 可知， ∴B6（8，-8）， 可知， ∴B7（16，0）， 可知， ∴B8（16，16）， ··· 由规律可以发现，， 所以 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，坐标与图形的性质，解答本题的关键是由点坐标的规律变化发现． 13. 常见的统计图有条形图、折线图、扇形图、直方图，其中能够显示数据的变化趋势的统计图是 _____． 【答案】折线图 【解析】 【分析】根据折线统计图的定义即可作答． 【详解】能够显示数据的变化趋势的统计图是折线统计图． 故答案为：折线统计图． 【点睛】本题考查了折线统计图的定义（以折线的上升或下降来表示统计数量的增减变化的统计图，叫作折线统计图），熟练的掌握以上定义是解决此题的关键． 14. 如图，点为直线外一动点，，连接，点分别是的中点，连接交于点，当四边形的面积为时，线段的长度最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，垂线段最短，如图所示，连接，过点作垂直于直线于，根据三角形中线的性质求出，从而求出，再根据垂线段最短即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，连接，过点作垂直于直线于， ∵分别是的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 又∵垂线段最短， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 三.解答题（每题5分，共20分） 15. 已知：在中，，于D，平分，求． 【答案】 【解析】 【分析】在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，结合角平分线的定义可得出的度数，再在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数． 【详解】解：在中，， , 在中，， ， ， 又平分， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是”是解题的关键． 16. 如图，A，B，C，D依次在同一条直线上，，BF与EC相交于点M．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由AB=CD，得AC=BD，再利用SAS证明△AEC≌△DFB，即可得结论． 【详解】证明：， ， ． 在和中， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 17. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点D，且，的周长等于，则的长为． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，注意转化思想的应用．由的垂直平分线交于点，交于点，可得，又由的周长等于，可得，继而求得答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ，的周长等于， ， ． 18. 已知2a+1的平方根是±3，3a+2b+4的立方根是﹣2，求4a﹣5b+5的算术平方根． 【答案】9 【解析】 【分析】先根据平方根和立方根的定义列方程求出a和b的值，代入4a﹣5b+5计算之后求算术平方根即可． 【详解】解：∵2a+1的平方根是±3， ∴2a+1＝9， 解得a＝4， ∵3a+2b+4的立方根是﹣2， ∴3a+2b+4＝﹣8， ∴12+2b+4＝﹣8， 解得b＝﹣12， 当a＝4，b＝﹣12时， 4a﹣5b+5 ＝16+60+5 ＝81， ∴4a﹣5b+5的算术平方根为9． 【点睛】本题考查平方根、立方根的定义和算术平方根的求解，根据定义求出a和b的值是解题的关键． 四.解答题（每题7分，共28分） 19. 2021年7月21日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》．某学校积极响应“双减”政策，为了丰富学生校园生活，经研究决定准备购买一批体育健身器材．已知购买2个篮球和3个排球共花费440元，购买4个篮球和1个排球共花费480元．求篮球和排球的单价． 【答案】篮球的单价是100元，排球的单价是80元． 【解析】 【分析】设篮球的单价是x元，排球的单价是y元，根据“购买2个篮球和3个排球共花费440元，购买4个篮球和1个排球共花费480元”列二元一次方程组，求解即可； 【详解】解：设篮球的单价是x元，排球的单价是y元， 根据题意，得， 解得， ∴篮球的单价是100元，排球的单价是80元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，理清题中的等量关系，根据题意列方程组是解题的关键． 20. 如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得．再根据，得； （2）利用角平分线性质证明，得到，再将线段进行转化． 【小问1详解】 证明：∵是的平分线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 21. 如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC 的顶点均在格点上的点，其中 A，B 的坐标分别为（0，3）和（﹣4，2）． （1）画出平面直角坐标系并直接写出点 C 的坐标； （2）△ABC 中AB 边上任意一点，经平移后对应点，将△ABC 作同样的平移得到，请画出 并直接写出△ABC 的面积； 【答案】（1）画出直角坐标系见解析；C（-5，5）． （2）画出见解析；△ABC 的面积=6.5 【解析】 【分析】（1）根据A，B两点坐标，确定平面直角坐标系即可； （2）利用平移变换的性质，分别作出A，B，C的对应点即可； 【小问1详解】 平面直角坐标系如图所示，C（-5，5）． 【小问2详解】 如图所示． △ABC的面积= 【点睛】本题考查作图-平移变换，三角形的面积，平面直角坐标系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 22. 如图，线段AB两个端点的坐标分别是A（-4， 3）B（-2，-3） （1）求AOB的面积； （2）求AB与x轴的交点C的坐标． 【答案】（1）9 （2）（-3，0） 【解析】 【分析】（1）如图所示，过点A作AD⊥y轴于D，过点B作BE⊥y轴于E，则四边形ABED是梯形，根据进行求解即可； （2）如图所示，过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E，根据进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过点A作AD⊥y轴于D，过点B作BE⊥y轴于E，则四边形ABED是梯形， ∵A（-4， 3）B（-2，-3）， ∴AD=4，OD=3，OE=3，BE=2， ∴DE=6， ∴ ； 【小问2详解】 解：如图所示，过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E， ∴AD=BE=3， ∵， ∴，即 ∴， ∴点C的坐标为（-3，0）； 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积，正确作出辅助线是解题的关键． 五.解答题（每题8分，共16分） 23. 如图（1），点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC． （1）求证：AC＝BD； （2）求∠AEB的大小； （3）如图（2），△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小． 【答案】（1）见解析 （2）60° （3）60° 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形线相等及角相等求三角形全等． （2）通过第一问的全等得到角度等量关系，等量代换得到答案． （3）通过△AOC≌△BOD证明∠CAO＝∠DBO，再结合等量代换得到∠AEB大小不随旋转而变化，永远为60°． 【小问1详解】 如图1，∵△ODC和△OAB都是等边三角形，∴OD＝OC＝OA＝OB，∠COD＝∠AOB＝60°， ∴∠BOD＝∠AOC＝120°， 在△AOC和△BOD中， ∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD； 【小问2详解】 由（1）知，△AOC≌△BOD，∴∠CAO＝∠DBO， ∵∠1＝∠2， 【小问3详解】 ∴∠AEB＝∠AOB＝60°； 如图2，∵△ODC和△OAB都是等边三角形， ∴OD＝OC＝OA＝OB，∠COD＝∠AOB＝60°， ∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中 ∴△AOC≌△BOD（SAS）； ∴∠CAO＝∠DBO， ∵∠1＝∠2， ∴∠AEB＝∠AOB＝60°． 【点睛】本题考查三角形全等中的手拉手模型判定三角形全等及其相应的结论证明，能够熟练运用条件判定三角形全等并运用三角形全等的性质得到角度的关系是解题关键． 24. 如图，在等边三角形中，，，是上的一点，是上一点，，求的最小值． 【答案】 【解析】 【分析】由等边三角形的性质可得，，，在上取一点，使得，连接，可得，即得，进而得，由，可得的最小值为的长，过点作于点，利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 如图，在上取一点，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为的长， 过点作于点，则，， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 六.解答题（每题10分，共20分） 25. △ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，点D在AB边上（不与点A、B重合），以CD为腰作等腰直角△CDE，∠DCE＝90°． （1）如图1，作EF⊥BC于F，求证：△DBC≌△CFE； （2）在图1中，连接AE交BC于M，如图2，求的值； （3）如图，3，过点E作EH⊥CE交CB的延长线于点H，过点D作DG⊥DC，交AC于点G，连接GH，当点D在边AB上运动时，探究线段HE，HG与DG之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析 （2）2 （3）HE=GH+GD，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到CD=CE，再利用等角的余角相等得到∠DCB=∠CEF，然后根据AAS可证明△DBC≌△CFE； （2）由△DBC≌△CFE得到BD=CF，BC=EF，再利用△ABC为等腰直角三角形得到AB=BC，所以AB=EF，AD=BF，接着证明△ABM≌△EFM，得到BM=FM，所以=2； （3）在EH上截取EQ=DG，如图3，先证明△CDG≌△CEQ得到CG=CQ，∠DCG=∠ECQ，由于∠DCG+∠DCB=45°，则∠ECQ+∠DCB=45°，所以∠HCQ=45°，再证明△HCG≌△HCQ，则得到HG=HQ，然后可计算出HE=GD+GH． 【小问1详解】 证明：∵△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=90°． ∴CD=CE，∠DCB+∠ECF=90°， ∵EF⊥BC， ∴∠ECF+∠CEF=90°， ∴∠DCB=∠CEF， 在△DBC和△CEF中， ∴△DBC≌△CFE（AAS）； 【小问2详解】 ∵△DBC≌△CFE， ∴BD=CF，BC=EF， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴AB=BC， ∴AB=EF，AD=BF， 在△ABM和△EFM中， ∴△ABM≌△EFM（AAS） ∴BM=FM， ∴BF=2BM， ∴AD=2BM， ∴的值为2； 【小问3详解】 解：HE=GH+GD， 在EH上截取EQ=DG，如图， 在△CDG和△CEQ中 ∴△CDG≌△CEQ（SAS）， ∴CG=CQ，∠DCG=∠ECQ， ∵∠DCG+∠DCB=45°， ∴∠ECQ+∠DCB=45°， 而∠DCE=90°， ∴∠HCQ=45°， ∴∠HCQ=∠HCG， 在△HCG和△HCQ中， ∴△HCG≌△HCQ（SAS）， ∴HG=HQ， ∴HE=HQ+QE=HG+DG． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质；在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 26. 如图，在等边的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由A向B和由C向A爬行，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处，请问 （1）在爬行过程中，和始终相等吗？并说明理由 （2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着和的延长线爬行”，与交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中的大小保持不变．请利用图（2）情形，求证：； （3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着的延长线爬行，连接交于F”，其他条件不变，如图（3），则爬行过程中，始终等于是否正确．并说明理由． 【答案】（1）和始终相等，理由见解析 （2）证明见解析 （3）始终等于正确，理由见解析 【解析】 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质证明； （2）证明，得到，再根据三角形的外角性质计算，得到答案； （3）过点作交于，证明，根据全等三角形的性质证明即可． 【小问1详解】 解：和始终相等，理由如下： 为等边三角形， ，， 由题意得：， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ，， ； 【小问3详解】 解：始终等于正确，理由如下， 过点作交于， ， 为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 为等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质与判定、平行线的性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$