专题2.9 直线和圆的方程综合检测2-2024-2025学年高二数学特色专题卷（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2.9 直线和圆的方程综合检测2 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（23-24高一下·北京西城·期末）已知圆：与圆：，则两圆的位置关系是 A．相交 B．相离 C．内切 D．外切 2．（2024高二·新疆·学业考试）直线上的点到原点距离的最小值为(    ) A． B． C． D． 3．（23-24高二上·辽宁本溪·期中）圆与圆的公共弦长为 A． B． C． D． 4．（2024·河南·一模）以A（－2，1），B（1，5）为半径两端点的圆的方程是 A．（x＋2）2＋（y－1）2＝25 B．（x－1）2＋（y－5）2＝25 C．（x＋2）2＋（y－1）2＝25或（x－1）2＋（y－5）2＝25 D．（x＋2）2＋（y－1）2＝5或（x－1）2＋（y－5）2＝5 5．（24-25高二上·安徽六安·阶段练习）已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则（    ） A．4 B． C． D． 6．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知圆，若过点可作圆的两条切线，则的取值范围是 A． B． C． D． 7．（2024·陕西·二模）已知圆的方程为，若过点的直线与此圆交于两点，圆心为，则当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·江苏苏州·期末）已知线段AB的端点B在直线l：y=-x+5上，端点A在圆C1：上运动，线段AB的中点M的轨迹为曲线C2，若曲线C2与圆C1有两个公共点，则点B的横坐标的取值范围是（　　） A．（-1，0） B．（1，4） C．（0，6） D．（-1，5） 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高二·全国·课后作业）（多选）若经过和的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值可能为（    ） A．-2 B．0 C．1 D．2 10．（23-24高二上·安徽·期中）已知直线，其中，，的图象如图所示，直线，的斜率分别为，，纵截距分别为，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·福建福州·期中）已知直线与，若点P为直线l上的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与圆相交 B．与直线平行且截圆的弦长为的直线为或 C．若点为圆上的动点，则的取值范围为 D．过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为2． 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高三上·湖北孝感·阶段练习）写出一个圆心在直线上，且经过原点的圆的方程： ． 13．（23-24高二上·四川绵阳·期中）已知两条直线，若，则＝ . 14．（24-25高三上·江苏苏州·阶段练习）已知直线是圆的对称轴，过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程是 . 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（23-24高二上·辽宁阜新·期中）（1）已知圆C经过坐标原点和点，且与直线相切，则圆C的方程； （2）已知，，动点P满足.求点P的轨迹方程C. 16．（23-24高一上·广东潮州·期末）已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直． (1)求直线的一般式方程； (2)若圆的圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程． 17．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知圆C与两坐标轴都相切，圆心C到直线的距离等于. （1）求圆C的方程； （2）若圆心在第一象限，点P是圆C上的一个动点，求的取值范围． 18．（23-24高一上·河南驻马店·期末）已知圆的圆心在直线上，且与轴和直线都相切． （1）求圆的方程； （2）当圆心位于第一象限时，设是直线上的动点，，是圆的两条切线，，为切点，求四边形面积的最小值． 19．（23-24高一下·广东中山·期末）在平面直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C． （1）是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程;若不存在，请说明理由； （2）求证:过A，B，C三点的圆过定点，并求出该定点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.9 直线和圆的方程综合检测2 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（23-24高一下·北京西城·期末）已知圆：与圆：，则两圆的位置关系是 A．相交 B．相离 C．内切 D．外切 【答案】C 【详解】分析：求出圆心的距离，与半径的和差的绝对值比较得出结论． 详解：圆，圆,，所以内切．故选C 点睛：两圆的位置关系判断如下：设圆心距为，半径分别为，则： ，内含；，内切；，相交；，外切；，外离． 2．（2024高二·新疆·学业考试）直线上的点到原点距离的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】解：直线上的点与原点的距离的最小值为原点到直线的距离. 故选：A. 3．（23-24高二上·辽宁本溪·期中）圆与圆的公共弦长为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆方程作差可求得公共弦所在直线方程，利用垂径定理即可求得结果. 【详解】由得：，即公共弦所在直线方程为：. 圆方程可整理为，则圆心，半径， 圆心到的距离， 公共弦长为. 故选：. 【点睛】本题考查两圆相交公共弦长的求解，涉及到垂径定理的应用；关键是明确两圆相交的公共弦所在直线方程可通过两圆方程直接作差求得. 4．（2024·河南·一模）以A（－2，1），B（1，5）为半径两端点的圆的方程是 A．（x＋2）2＋（y－1）2＝25 B．（x－1）2＋（y－5）2＝25 C．（x＋2）2＋（y－1）2＝25或（x－1）2＋（y－5）2＝25 D．（x＋2）2＋（y－1）2＝5或（x－1）2＋（y－5）2＝5 【答案】C 【分析】根据题干条件得到圆心，由两点间距离公式得到半径，进而得到结果. 【详解】根据条件知，圆心为A（－2，1）或B（1，5），半径为两点AB间的距离，根据两点间距离公式得到.根据圆心和半径依次判断选项得到方程为：（x＋2）2＋（y－1）2＝25或（x－1）2＋（y－5）2＝25. 故答案为C. 【点睛】这个题目考查了圆的标准方程的求法，一般已知圆的半径和圆心，则考虑用圆的标准方程，已知圆上3个点，则考虑用圆的一般方程. 5．（24-25高二上·安徽六安·阶段练习）已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【解析】先根据垂径定理得圆心到直线距离，再根据圆心到直线距离解得，最后根据直角三角形得结果. 【详解】根据垂径定理得圆心到直线距离为， 所以，从而直线倾斜角为， 因此， 故选：B.. 【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆的有关问题，可以从以下几个方面入手： （1）根据圆的半径，半弦长和弦心距构成直角三角形，利用勾股定理求得弦心距； （2）利用点到直线的距离求得参数，确定直线的倾斜角； （3）结合圆中相关量之间的关系，求得结果. 6．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知圆，若过点可作圆的两条切线，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出方程是表示圆的范围，根据条件点在圆外，代入圆方程左式大于零，再求出可的取值范围，二者取交集，即为所求的结果. 【详解】，化为， 方程表示圆故或  ① 过点可作圆的两条切线，故在圆外，   ② 由①②可得，的取值范围是或. 故选：B 【点睛】本题考查圆的方程一般式，以及圆外的点满足的条件，注意方程表示圆的隐含条件不要遗漏，属于中档题. 7．（2024·陕西·二模）已知圆的方程为，若过点的直线与此圆交于两点，圆心为，则当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由最小时，，求得，再由点斜式写出直线的方程即可. 【详解】 最小，弦最短，则圆心到直线的距离最大，最大即为，此时，又，则， 由点斜式可得直线的方程为：，即. 故选：A. 8．（23-24高二上·江苏苏州·期末）已知线段AB的端点B在直线l：y=-x+5上，端点A在圆C1：上运动，线段AB的中点M的轨迹为曲线C2，若曲线C2与圆C1有两个公共点，则点B的横坐标的取值范围是（　　） A．（-1，0） B．（1，4） C．（0，6） D．（-1，5） 【答案】D 【分析】设，AB的中点，由中点坐标公式求得，代入圆C1：得点点M的轨迹方程，再根据两圆的位置关系建立不等式，代入，求解即可得点B的横坐标的取值范围. 【详解】解：设，AB的中点，则，所以， 又因为端点A在圆C1：上运动，所以，即， 因为曲线C2与圆C1有两个公共点，所以， 又因B在直线l：y=-x+5上，所以，所以， 整理得，即，解得， 所以点B的横坐标的取值范围是， 故选：D. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高二·全国·课后作业）（多选）若经过和的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值可能为（    ） A．-2 B．0 C．1 D．2 【答案】BCD 【分析】由两点的斜率公式求得，由此得，求解即可. 【详解】由题意得，即，所以， 故选：BCD． 10．（23-24高二上·安徽·期中）已知直线，其中，，的图象如图所示，直线，的斜率分别为，，纵截距分别为，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据倾斜角和斜率的关系以及截距的定义判断. 【详解】解：由图可知，，， 故选：AC． 11．（23-24高二上·福建福州·期中）已知直线与，若点P为直线l上的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与圆相交 B．与直线平行且截圆的弦长为的直线为或 C．若点为圆上的动点，则的取值范围为 D．过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为2． 【答案】BCD 【分析】A选项，圆心到直线的距离与圆的半径比较；B选项，设与直线平行直线方程为，利用弦长公式求出；C选项，设，由圆心到直线的距离列不等式求的范围；D选项，推导出要想最小，只需的面积最小，由三角形面积得到只需最小，数形结合得到最小值为，从而得到答案． 【详解】A选项，圆的圆心为，半径为1， 则圆心到的距离为， 故直线与圆相离，A错误； B选项，设与直线平行直线方程为， 则圆心到的距离为， 由垂径定理得，解得，故，解得或， 故与直线平行且截圆的弦长为的直线为或，B正确； C选项，设，由点为圆上的动点， 圆心到直线的距离，解得，C正确； D选项，由题意可知，与相垂直，且四边形的面积为， 故要想取得最小值，则只需四边形的面积最小， 因为四边形的面积等于面积的2倍，故只需的面积最小， 因为， 其中最小值为圆心到的距离， 故四边形的面积最小值为， 则最小值为2，D正确． 故选：BCD． 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高三上·湖北孝感·阶段练习）写出一个圆心在直线上，且经过原点的圆的方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用圆心在直线上设圆心坐标为，由于圆过原点，得半径，对赋值，可得一个符合条件的圆的方程. 【详解】解：因为圆心在直线，则设圆心坐标为 又圆经过原点 则圆的半径为，且 故取，得圆心为，半径 所以圆的方程为：. 故答案为：（答案不唯一） 13．（23-24高二上·四川绵阳·期中）已知两条直线，若，则＝ . 【答案】0 【分析】由题意得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值. 【详解】由直线垂直的条件可得：，解得：. 故答案为：0． 14．（24-25高三上·江苏苏州·阶段练习）已知直线是圆的对称轴，过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程是 . 【答案】 【分析】先把圆化为标准方程求出圆心，由直线是圆的对称轴知，圆心在直线上，求出，过作圆的切线，由切点弦公式即可求出答案. 【详解】圆化为标准方程为， 圆心，半径为2， 是圆的对称轴，圆心在直线上， 则， ∴， ， 过作圆的切线，切点为，切点弦:，即. 故答案为： 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（23-24高二上·辽宁阜新·期中）（1）已知圆C经过坐标原点和点，且与直线相切，则圆C的方程； （2）已知，，动点P满足.求点P的轨迹方程C. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由圆的几何特征得圆心在直线上，设圆心为，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程，解出m，即可得圆的方程. （2）设点，用坐标表示，化简方程. 【详解】（1）因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点和，所以设圆心为.又圆与直线相切，所以， 即，解得， 所以圆C的方程为. （2）设点，由， 得， 化简得，因此点P的轨迹方程为. 16．（23-24高一上·广东潮州·期末）已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直． (1)求直线的一般式方程； (2)若圆的圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意求出两直线的交点，再求出所求直线的斜率，用点斜式写出直线的方程； （2）根据题意求出圆的半径，由圆心写出圆的标准方程． 【详解】（1）解：由题意知，解得， 直线和的交点为； 设直线的斜率为，与直线垂直，； 直线的方程为，化为一般形式为； （2）解：设圆的半径为，则圆心为到直线的距离为 ，由垂径定理得， 解得， 圆的标准方程为． 17．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知圆C与两坐标轴都相切，圆心C到直线的距离等于. （1）求圆C的方程； （2）若圆心在第一象限，点P是圆C上的一个动点，求的取值范围． 【答案】（1）或；（2）． 【分析】（1）待定系数法去求圆C的方程； （2）几何意义法去求x2+y2的取值范围． 【详解】（1）根据题意设出圆心C坐标为（a，a），半径r＝|a|， ∴ 圆心C到直线y＝﹣x的距离d＝，又d＝， ∴ |2a|＝2，即|a|＝1，解得a＝1或a＝﹣1， 则圆C的方程为：或； （2）∵圆心在第一象限， ∴圆C的方程为： 又P（x，y）为圆C上的动点， ∴x2+y2的表示圆上的点P到原点距离的平方， ∵圆心C到原点的距离d＝，圆的半径r＝1， ∴圆上的点到原点距离的最大值为d+r＝+1，最小值为d﹣r＝﹣1， 则x2+y2的范围是，，即[3﹣2，3+2]． 18．（23-24高一上·河南驻马店·期末）已知圆的圆心在直线上，且与轴和直线都相切． （1）求圆的方程； （2）当圆心位于第一象限时，设是直线上的动点，，是圆的两条切线，，为切点，求四边形面积的最小值． 【答案】（1）或；（2）. 【解析】（1）首先设圆心为，半径为，根据条件，列出关于的方程组，求解；（2）利用四边形的对称性，转化，转化为求的最小值. 【详解】（1）设圆圆心，半径为 ，即，两边平方后得， 解得：或， 当时，，，此时圆的方程是， 当时，，，此时圆的方程是 （2）当圆心在第一象限时，圆为 连接，可知 ∴要求的最小值，只需求的最小值即可 ∵点在直线上 ∴ ∴. 【点睛】结论点睛：本题第二问考查与圆的几何性质有关的最值，具体结论如下： （1）设为圆的圆心，半径为，圆外一点到圆上的距离的最小值为，最大值为； （2）过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为中点的弦； （3）记圆的半径为，圆心到直线的距离为，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为，最小值为； 19．（23-24高一下·广东中山·期末）在平面直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C． （1）是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程;若不存在，请说明理由； （2）求证:过A，B，C三点的圆过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】（1）存在，（2）证明见解析，圆方程恒过定点或 【分析】（1）将曲线Γ方程中的y＝0，得x2﹣mx+2m＝0．利用韦达定理求出C，通过坐标化，求出m得到所求圆的方程． （2）设过A，B，C的圆P的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2列出方程组利用圆系方程，推出圆P方程恒过定点即可． 【详解】由曲线Γ：y＝x2﹣mx+2m（m∈R）， 令y＝0，得x2﹣mx+2m＝0． 设A（x1，0），B（x2，0）， 则可得△＝m2﹣8m＞0，x1+x2＝m，x1x2＝2m． 令x＝0，得y＝2m，即C（0，2m）． （1）若存在以AB为直径的圆过点C，则，得， 即2m+4m2＝0， 所以m＝0或．由△＞0，得m＜0或m＞8，所以， 此时C（0，﹣1），AB的中点M（，0）即圆心，半径r＝|CM| 故所求圆的方程为． （2）设过A，B，C的圆P的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2 满足 代入P得 展开得（﹣x﹣2y+2）m+x2+y2﹣y＝0 当，即时方程恒成立， ∴圆P方程恒过定点（0，1）或． 【点睛】本题考查圆的方程的应用，圆系方程恒过定点的求法，考查转化思想以及计算能力． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$