专题4.13 数列全章综合测试卷（基础篇）-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第二册）

第四章 数列全章综合测试卷（基础篇） 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（23-24高二下·安徽·期末）数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 2．（5分）（24-25高二·上海·随堂练习）用数学归纳法证明：，时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（24-25高二上·甘肃张掖·阶段练习）数列满足，若，，则（ ） A． B． C．1 D．2 4．（5分）（2024高二·全国·专题练习）数列是各项均为实数的等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（5分）（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）设等差数列的前项和为．若，则的公差为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）已知等差数列的公差不为0，且，，成等比数列，其前项和为，则（   ） A． B． C． D． 7．（5分）（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）已知等差数列的公差小于，前n项和为，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（24-25高二上·全国·课后作业）在公差不为零的等差数列中，成等比数列，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2024高三·全国·专题练习）下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列-2022，0，4与数列4，0，-2022是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第10项 C．数列1，，，2，，…的第8项是 D．数列0，，4，，…的一个通项公式为 10．（6分）（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知为数列的前项和，若，则（    ） A． B．数列为等比数列 C． D． 11．（6分）（23-24高二下·山东青岛·期中）等差数列中，，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，则的通项公式为 ． 13．（5分）（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）记为等差数列的前项和，若，则 ． 14．（5分）（24-25高二上·全国·课后作业）若数列满足，且，则使成立的的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：对任意的正整数． 16．（15分）（23-24高二·全国·课堂例题）分别写出下列数列的一个递推关系，并求出各个数列的第7项： (1)1，2，4，7，11，…； (2)，2，5，8，11，…； (3)1，，4，，16，…． 17．（15分）（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）记为等差数列的前项和，已知，. (1)求等差数列的通项公式； (2)求出数列的前项和． 18．（17分）（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)若，求满足条件的最大整数. 19．（17分）（2024·湖北·一模）在公差不为0的等差数列中，，且是与的等比中项. (1)求的通项公式； (2)若，，求数列的前项和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 数列全章综合测试卷（基础篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（23-24高二下·安徽·期末）数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意逐一检验选项即可. 【解答过程】对于选项A：令，可得，不合题意； 对于选项B：代入检验均可，符合题意； 对于选项C：令，可得，不合题意； 对于选项D：令，可得，不合题意； 故选：B. 2．（5分）（24-25高二·上海·随堂练习）用数学归纳法证明：，时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】列出增加的项，即可得解. 【解答过程】从到成立时，左边增加的项为，，…，， 因此增加的项数是. 故选：A． 3．（5分）（24-25高二上·甘肃张掖·阶段练习）数列满足，若，，则（ ） A． B． C．1 D．2 【解题思路】由递推公式可得答案. 【解答过程】因为，，， 则，， ，， 故选：C. 4．（5分）（2024高二·全国·专题练习）数列是各项均为实数的等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】由，可得，可得数列为递增数列；举反例说明反之不成立，根据充分不必要条件的定义即可得答案. 【解答过程】设数列的公比为q（）， ， ，可得， 于是数列为递增数列； 反之不成立，例如数列是递增数列，但． “”是“数列为递增数列”的充分不必要条件． 故选：A． 5．（5分）（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）设等差数列的前项和为．若，则的公差为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件，利用等差数列的前项和公式及等差数列的性质，可得，，即可求解. 【解答过程】因为，得到， 又，所以，所以， 故选：A． 6．（5分）（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）已知等差数列的公差不为0，且，，成等比数列，其前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据条件确定等差数列的通项公式，再逐项验证即可. 【解答过程】设数列的公差为， 由题意： . 又，所以. 所以. 所以，故A错误； 因为，，所以，故B错误； 因为，故C正确； 因为，所以，故D错误. 故选：C. 7．（5分）（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）已知等差数列的公差小于，前n项和为，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设等差数列的首项为，公差为，根据条件得到，，从而得到，即可求出结果. 【解答过程】设等差数列的首项为，公差为， 由，得到①，由，得到②， 由①②得到，，又，，由，解得， 所以，，， 又因为，所以当或时，的值最大，最大值为， 故选：A. 8．（5分）（24-25高二上·全国·课后作业）在公差不为零的等差数列中，成等比数列，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据等比中项结合等差数列的基本量运算得出通项公式，再应用错位相减法得出前n项和即可. 【解答过程】设等差数列的公差为， 由题可得，即，则， 所以，又，所以，解得，则， 所以， ①， ①得，②， ①-②得, 则 ． 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2024高三·全国·专题练习）下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列-2022，0，4与数列4，0，-2022是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第10项 C．数列1，，，2，，…的第8项是 D．数列0，，4，，…的一个通项公式为 【解题思路】 对于A,数列中的项与顺序有关判断；对于B,运用公式计算即可；对于C,D观察得出通项公式即可. 【解答过程】对于A，数列中的项与顺序有关，故数列-2022，0，4与数列4，0，-2022是两个不同的数列，故A错误； 对于B，当时， 又是递增数列，故110是该数列的第10项，故B正确； 对于C，数列的一个通项公式是，故第8项是，故C正确； 对于D，数列变形为所以通项公式为，故D正确． 故选:BCD． 10．（6分）（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知为数列的前项和，若，则（    ） A． B．数列为等比数列 C． D． 【解题思路】当时，，解得；根据，可得当时，，从而得，即；根据B可求得；从而可求出. 【解答过程】A：当时，，解得，故A错误； B：因为，当时，， 将两式相减可得，即， 则，因，则， 数列为首项为，公比为的等比数列，故B正确； C：由B可得，所以，故C正确； D：，故D正确. 故选：BCD. 11．（6分）（23-24高二下·山东青岛·期中）等差数列中，，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【解题思路】利用等差数列的性质，对于A，，计算即可；对于B，由已知计算数列公差，再求值即可； 对于C，结合数列单调性比大小；对于D，由，，得. 【解答过程】等差数列中，，设公差为， 若，则，A正确； 若，，则，得， ，B正确； 若，，所以公差， 当时，有，则有， 当时，有，得， 所以，则有，C错误； 若，则， 因为，所以，D正确． 故选：ABD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，则的通项公式为 ． 【解题思路】根据题意，由与的关系，代入计算，即可得到结果. 【解答过程】易知，当时，， 化简得，当依然成立，故． 故答案为：. 13．（5分）（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）记为等差数列的前项和，若，则 63 ． 【解题思路】先由等差数列的通项公式结合题意求出，再由等差数列的前n项和公式即可求解. 【解答过程】因为数列为等差数列，则由题意得， 解得，所以. 故答案为：63. 14．（5分）（24-25高二上·全国·课后作业）若数列满足，且，则使成立的的最小值为 3 ． 【解题思路】在等式左右同时取对数，设数列，构造等比数列求出，再求出，代入计算得出n的最小值. 【解答过程】因为，所以，则，即， 令，则，则， 所以，则数列是以为首项，5为公比的等比数列，所以， 即， 则， 则， 即， 由于当时，， 当时，， 当时，，所以的最小值为3． 故答案为：3. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：对任意的正整数． 【解题思路】应用数学归纳法证明即可. 【解答过程】当时，左边右边； 假设时，原等式成立，则时， 等式左边，因此时原等式也成立． 综上，都有． 16．（15分）（23-24高二·全国·课堂例题）分别写出下列数列的一个递推关系，并求出各个数列的第7项： (1)1，2，4，7，11，…； (2)，2，5，8，11，…； (3)1，，4，，16，…． 【解题思路】找出数列的规律，由此求得递推关系，从而求得第项. 【解答过程】（1）因为：，， ，， 所以，即． 从而． （2）因为， 所以3，即． 从而． （3）因为， 所以 ．即． 从而． 17．（15分）（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）记为等差数列的前项和，已知，. (1)求等差数列的通项公式； (2)求出数列的前项和． 【解题思路】（1）根据和的值先计算得到和，从而得到等差数列通项公式. （2）根据等差数列前项和公式计算. 【解答过程】（1）由题意，等差数列的公差，， 所以的通项公式为. （2）. 所以数列的前项和. 18．（17分）（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)若，求满足条件的最大整数. 【解题思路】（1）根据等比数列的定义证明数列为等比数列，再根据等比数列的通项公式写出数列的通项公式即可； （2）利用分组求和法求得 ，记，判断出单调递增，再分别取和验证即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列； 所以， 所以； （2）由（1）知 ， 记，则， 所以单调递增， 当时，，不符合； 当时，， 所以的最大值为12. 19．（17分）（2024·湖北·一模）在公差不为0的等差数列中，，且是与的等比中项. (1)求的通项公式； (2)若，，求数列的前项和. 【解题思路】（1）根据等差数列通项公式把、、都用与表示，结合已知解出，即可得出的通项公式； （2）先表示出，再表示出，用错位相减法即可求解. 【解答过程】（1）设的公差为，因为是与的等比中项， 所以，即， 整理得. 又，，所以， 则. （2）由（1）可得，， 则①， ②， ①-②得 则. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$