专题4.11 新情景、新定义下的必考六类数列问题-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题4.11 新情景、新定义下的必考六类数列问题 【人教A版（2019）】 【类型1 数列中的新概念问题】 1 【类型2 数列中的新运算问题】 3 【类型3 数列中的新情景问题】 4 【类型4 以数列和项与通项关系定义新数列】 6 【类型5 数列定义新性质问题】 8 【类型6 数列中的新定义问题】 9 【知识点1 数列中的新概念问题】 1．数列中的新概念问题的求解策略： 通过创新概念，以集合、函数、数列等的常规知识为问题背景，直接利用创新概念的内涵来构造相应的关系式(或不等式等)，结合相关知识中的性质、公式来综合与应用. 【知识点2 数列的新定义、新情景问题】 1．数列的新定义、新情景问题的解题策略 (1)新定义问题：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的 要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. (2)新情景问题：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. 2．以数列和项与通项关系定义新数列问题的解题策略 解决此类问题，关键是根据题干中的新定义、新公式、新定理、新法则、新运算等，将新数列转化为等差或等比数列，或者找到新数列的递推关系进行求解. 【类型1 数列中的新概念问题】 1．（24-25高二上·全国·课后作业）定义为个正数的“倒均数”．若数列的前项的“倒均数”为，数列满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江西抚州·期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：.其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记为“斐波那契数列”的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）若数列满足，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广西南宁·一模）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推，若该数列的前项和为，若，则称为“好数对”，如，，则都是“好数对”，当时，第一次出现的“好数对”是 ． 5．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）有无穷多个首项均为1的等比数列，记第个等比数列的第项为，公比为． (1)若，求的值； (2)若m为给定的值，且对任意n有，证明：存在实数，满足，； (3)若为等比数列，证明：． 6．（24-25高三上·安徽·阶段练习）设集合.对于数列，如果，，则称为“平方差数列”. (1)已知在数列中，，.求数列的通项公式，并证明数列是“平方差数列”； (2)已知，判断是否为“平方差数列”?说明理由； (3)已知数列为“平方差数列”，求证：，. 【类型2 数列中的新运算问题】 7．（23-24高二上·上海浦东新·期中）在自然数范围内定义一种新的运算“”，观察下列符号的算式：，，，...，“”具有如上式子拥有的运算性质.若，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列满足：，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（23-24高二下·广东广州·期中）给定数列，定义差分运算：．若数列满足，数列的首项为1，且，则（    ） A．存在，使得恒成立 B． C．对任意，总存在，使得 D．对任意，总存在，使得 10．（23-24高三上·山东·开学考试）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），当时， ． 11．（2024·湖北孝感·模拟预测）定义矩阵运算：．已知数列，满足，且． (1)证明：，分别为等差数列，等比数列． (2)求数列的前n项和． 12．（2024·山东青岛·一模）记集合无穷数列中存在有限项不为零，，对任意，设变换，．定义运算：若，则，． (1)若，用表示； (2)证明：； (3)若，，，证明：． 【类型3 数列中的新情景问题】 13．（2024·全国·模拟预测）九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，最早记载九连环的典籍是《战国策·齐策》，《红楼梦》第7回中有林黛玉解九连环的记载，我国古人已经研究出取下n个圆环所需的最少步骤数，且，，，，，，…，则取下全部9个圆环步骤数最少为（    ） A．127 B．256 C．341 D．512 14．（2024·安徽宿州·一模）我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将1，2，3，…，9填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，便得到一个3阶幻方.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫作n阶幻方. 记n阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为，如，那么下列说法错误的是（    ） A． B．7阶幻方第4行第4列的数字可以为25 C．8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为260 D．9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为396 15．（23-24高二上·河南信阳·期末）九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载．九连环一般是用金属丝制成圆形小环九枚，九环相连，套在条形横板或各式框架上，并贯以环柄．玩时，按照一定的程序反复操作，可使9个环分别解开，或合二为一，假设环的数量为，解开n连环所需总步数为，解下每个环的步数为，数列满足：，，，则（    ）    A． B． C． D．成等比数列 16．（23-24高二下·江西南昌·期末）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹， 用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术， 剪纸具有广泛的群众基础， 交融于各族人民的社会生活， 是各种民俗活动的重要组成部分， 其传承赓 (gêng) 续的视觉形象和造型格式， 蕴涵了丰富的文化历史信息， 是中国古老的民间艺术之一.已知某剪纸的裁剪工艺如下： 取一张半径为 1 的圆形纸片，记为，在内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为，并裁剪去该正方形与内切圆之间的部分 (如图所示阴影部分)，记为一次裁剪操作，，重复上述裁剪操作次，最终得到该剪纸，则第2024次操作后，所有被裁剪部分的面积之和为 . 17．（23-24高二下·河南信阳·期末）我国元代数学家朱世杰在《四元玉鉴》中研究过高阶等差数列问题，如数列满足为等差数列，称为二阶等差数列．已知二阶等差数列1，2，4，7，……． (1)求的通项公式； (2)设，求的前n项和． 18．（23-24高一下·上海浦东新·期末）公元263年，刘徽首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法，算得值为3.14，我国称这种方法为割圆术，直到1200年后，西方人才找到了类似的方法，后人为纪念刘徽的贡献，将3.14称为徽率.我们作单位圆的外切和内接正边形，记外切正边形周长的一半为，内接正边形周长的一半为.通过计算容易得到:（其中是正边形的一条边所对圆心角的一半） (1)求的通项公式; (2)求证:对于任意正整数依次成等差数列; (3)试问对任意正整数是否能构成等比数列?说明你的理由. 【类型4 以数列和项与通项关系定义新数列】 19．（23-24高二上·湖北·期末）定义：在数列中，若对任意的都满足为常数，则称数列为等差比数列．已知等差比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 20．（2024·江苏南通·模拟预测）定义：已知数列的首项，前项和为.设与是常数，若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列.若数列是“”数列，则数列的通项公式（    ） A． B． C． D． 21．（24-25高三上·江西·阶段练习）若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”.已知数列为“调和数列”，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，且，，则 C．若中各项均为正数，则 D．若，，则 22．（23-24高二上·北京顺义·期末）在数列中，若，（，，p为常数），则称为“等方差数列”，给出以下四个结论：①不是等方差数列；②若是等方差数列，则（，k为常数）是等差数列；③若是等方差数列，则（，k、l为常数）也是等方差数列；④若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列也一定是等比数列.其中所有正确结论的序号是 . 23．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）对于一个正项数列，若存在一正实数，使得且，有，我们就称是-有限数列. (1)若数列满足，，，证明：数列为1-有限数列； (2)若数列是-有限数列，，使得且，，证明：. 24．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）定义：若数列满足，则称数列为“线性数列”. (1)已知为“线性数列”，且，证明：数列为等比数列. (2)已知. （i）证明：数列为“线性数列”. （ii）记，数列的前项和为，证明：. 【类型5 数列定义新性质问题】 25．（2024·全国·模拟预测）若数列，对于 ，都有（为常数）成立，则称数列具有性质．已知数列的通项公式为，且具有性质，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高二下·北京·期中）已知无穷数列，．性质，，，性质，，，，给出下列四个结论： ①若，则具有性质； ②若，则具有性质； ③若具有性质，则； ④若等比数列既满足性质又满足性质，则其公比的取值范围为． 则所有正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 27．（2024·山东青岛·三模）若有穷整数数列满足：，且，则称具有性质.则（     ） A．存在具有性质的 B．存在具有性质的 C．若具有性质，则中至少有两项相同 D．存在正整数，使得对任意具有性质的，有中任意两项均不相同 28．（2024高三下·北京·专题练习）已知无穷数列，．性质，，；性质，，，下列说法中正确的有 . ①若，则具有性质s   ②若，则具有性质t ③若具有性质s，则 ④若等比数列既满足性质s又满足性质t，则其公比的取值范围为 29．（2024·河南·二模）已知无穷数列是首项为1，各项均为正整数的递增数列，集合，若对于集合中的元素，数列中存在不相同的项，使得，则称数列具有性质，记集合数列具有性质. (1)若数列的通项公式为，判断数列是否具有性质，若具有，写出集合与集合； (2)已知数列具有性质且集合中的最小元素为.集合中的最小元素为，当时，证明：. 30．（23-24高二下·北京顺义·阶段练习）已知数列：，，…，（，）具有性质：对任意，（），与两数中至少有一个是该数列中的一项，为数列的前项和. (1)分别判断数列0，1，3与数列0，1，3，4是否具有性质； (2)证明：，且； (3)证明：当时，，，，，成等差数列. 【类型6 数列中的新定义问题】 31．（23-24高二下·河南南阳·期末）设为正整数，数列是公比不为1的等比数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的3个数都能构成等比数列，则称数列是可分数列.现有下列3个命题： ①数列是可分数列； ②数列是可分数列； ③数列是可分数列. 其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 32．（2024·北京东城·二模）设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为内和数列，并令，称为的伴随数列，则（    ） A．若为等差数列，则为内和数列 B．若为等比数列，则为内和数列 C．若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列 D．若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列 33．（24-25高三上·山西大同·开学考试）记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”，下列说法正确的是（    ） A．若是等差数列，且公差，则是“和有界数列” B．若是等差数列，且是“和有界数列”，则公差 C．若是等比数列，且公比，则是“和有界数列” D．若是等比数列，且是“和有界数列”，则的公比 34．（2024·江苏镇江·三模）若对项数为的数列中的任意一项，也是该数列中的一项，则称这样的数列为“可倒数数列”.已知正项等比数列是“可倒数数列”，其公比为，所有项和为，写出一个符合题意的的值 . 35．（24-25高三上·全国·阶段练习）如果一个严格单调递增数列的每一项都是正整数，且对任意正整数，恒成立，则称数列为“奇特数列”． (1)设等差数列的首项，公差为．若，求证：为“奇特数列”； (2)已知数列，其中为“奇特数列”，为大于的最小的的正整数倍，． ①求证：为“奇特数列”； ②求证：当时，． 36．（24-25高三上·广东·阶段练习）对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”. (1)求20以内的质数“理想数”； (2)已知.求m的值； (3)将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.11 新情景、新定义下的必考六类数列问题 【人教A版（2019）】 【类型1 数列中的新概念问题】 1 【类型2 数列中的新运算问题】 6 【类型3 数列中的新情景问题】 10 【类型4 以数列和项与通项关系定义新数列】 14 【类型5 数列定义新性质问题】 19 【类型6 数列中的新定义问题】 25 【知识点1 数列中的新概念问题】 1．数列中的新概念问题的求解策略： 通过创新概念，以集合、函数、数列等的常规知识为问题背景，直接利用创新概念的内涵来构造相应的关系式(或不等式等)，结合相关知识中的性质、公式来综合与应用. 【知识点2 数列的新定义、新情景问题】 1．数列的新定义、新情景问题的解题策略 (1)新定义问题：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的 要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. (2)新情景问题：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. 2．以数列和项与通项关系定义新数列问题的解题策略 解决此类问题，关键是根据题干中的新定义、新公式、新定理、新法则、新运算等，将新数列转化为等差或等比数列，或者找到新数列的递推关系进行求解. 【类型1 数列中的新概念问题】 1．（24-25高二上·全国·课后作业）定义为个正数的“倒均数”．若数列的前项的“倒均数”为，数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由已知得出，再根据当时，求出通项，进而得出 【解答过程】由题可得，可得数列的前项和． 当时，； 当时，； 经验证，符合上式，故． 则，可得． 故选：C. 2．（23-24高二下·江西抚州·期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：.其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记为“斐波那契数列”的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意得当时，，变形的可证得，，再结合已知条件可求得结果. 【解答过程】由题意得当时，，则， 所以，，……，，， 所以 ， 所以，所以， 因为当时，，则， 所以， 所以， 所以 ， 所以， 所以. 故选：A. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）若数列满足，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用斐波那契数列的定义结合递推关系一一判定选项即可. 【解答过程】由题意得，故A正确； ，故B正确： ①， 又②， 所以①+②得，故C正确； ，故D错误. 故选:ABC. 4．（2024·广西南宁·一模）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推，若该数列的前项和为，若，则称为“好数对”，如，，则都是“好数对”，当时，第一次出现的“好数对”是 ． 【解题思路】结合数列的项的规律求出该数列前项的和为，令，求出k的范围，即可确定当时，满足为2的整数幂的n的最小值，即可求得答案. 【解答过程】若，则为2的整数幂，将数列排成如下形式： …… 第k行为，第k行的和为， 该数列前项的和为， 令，则，此时可用以2为底的整数幂表示， 当时，有，此时共有项，不满足总项数； 当时，有，此时共有项，不满足总项数； 当时，有，此时共有项，满足总项数； 所以n的最小值为，此时，， 所以当时，第一次出现的“好数对”是， 故答案为：. 5．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）有无穷多个首项均为1的等比数列，记第个等比数列的第项为，公比为． (1)若，求的值； (2)若m为给定的值，且对任意n有，证明：存在实数，满足，； (3)若为等比数列，证明：． 【解题思路】（1）根据给定定义，利用等比数列的通项公式代入计算即得. （2）根据给定定义，结合等比数列的通项公式，推理计算即得. （3）根据给定定义，结合等比数列的通项公式，作差得，再求和即可得证. 【解答过程】（1）依题意，，所以． （2）由，得，则， 因此，又，则， 所以存在实数，满足，. （3）由为等比数列，得，其中q为的公比，则， 当时， ，而， 因此，又<0，则， 于是，即， 所以． 6．（24-25高三上·安徽·阶段练习）设集合.对于数列，如果，，则称为“平方差数列”. (1)已知在数列中，，.求数列的通项公式，并证明数列是“平方差数列”； (2)已知，判断是否为“平方差数列”?说明理由； (3)已知数列为“平方差数列”，求证：，. 【解题思路】（1）先根据所给递推式求出数列的通项公式，再将通项公式转化为的形式来证明是“平方差数列”.这里涉及到数列通项公式的求解方法，如通过对递推式变形构造新数列等； （2）判断是否能表示成的形式，若不能则不是“平方差数列”； （3）根据将其表示为的形式，然后通过运算证明，也能表示成的形式. 【解答过程】（1）由，变形可得. 当时，. 因为，，，，. 所以，则. 因为，且，，所以， 所以数列是“平方差数列”. （2）假设. 因为与同奇偶性. 若与都是奇数，那么也是奇数，而是偶数，矛盾. 若与都是偶数，设，，则，即. 当时，（），所以，不是“平方差数列”. （3）证明 因为，设，，设. 则. 因为，所以，，所以. 【类型2 数列中的新运算问题】 7．（23-24高二上·上海浦东新·期中）在自然数范围内定义一种新的运算“”，观察下列符号的算式：，，，...，“”具有如上式子拥有的运算性质.若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意得出运算“”的意义，即表示的是从开始（包含）的个连续的正整数之和，结合可得出关于的方程，解出即可. 【解答过程】由题意可知，表示的是从开始（包含）的个连续的正整数之和， 由，得，整理得， ，解得. 故选C. 8．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列满足：，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据“冰霓猜想”结合递推关系，可知数列从开始，是以3为周期的数列，进而即可求解. 【解答过程】由题意可知，，，，，， ，，，，，……， 所以根据“冰霓猜想”可知. 故选：B. 9．（23-24高二下·广东广州·期中）给定数列，定义差分运算：．若数列满足，数列的首项为1，且，则（    ） A．存在，使得恒成立 B． C．对任意，总存在，使得 D．对任意，总存在，使得 【解题思路】由已知求出、即可判断A；利用累加法结合错位相减法求和求出，即可判断B，结合数列的单调性判断C，求出及的范围判断D. 【解答过程】对于A，由，得， 则， 显然当时，恒成立，故A正确； 对于B：由，得， 当时， 即， 于是， 两式相减得， 因此，显然满足上式，则，故B正确； 对于C：由， 所以数列是递增数列，则有最小值，无最大值， 当时，不存在，使得，故C错误； 对于D，，由选项B得， 显然数列是递减数列，且 ， 因此当时，不存在，使得成立，故D错误. 故选：AB. 10．（23-24高三上·山东·开学考试）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），当时， 265 ． 【解题思路】首先根据题意得到，再根据求解即可. 【解答过程】， ， ，所以． 所以． 故答案为：265. 11．（2024·湖北孝感·模拟预测）定义矩阵运算：．已知数列，满足，且． (1)证明：，分别为等差数列，等比数列． (2)求数列的前n项和． 【解题思路】（1）根据矩阵运算的定义得出关于和的等式，根据消元法得出和在时的通项公式，检验和是否满足时的通项公式，即可证明； （2）写出数列的通项公式，根据等差数列和等比数列求和公式，分组求和即可． 【解答过程】（1）证明：因为， 所以， 消去，得， 当时，，则， 当时，由及，得， 所以， 因为，， 所以为公差为1的等差数列，为公比为2的等比数列． （2）由（1）知， 则 ． 12．（2024·山东青岛·一模）记集合无穷数列中存在有限项不为零，，对任意，设变换，．定义运算：若，则，． (1)若，用表示； (2)证明：； (3)若，，，证明：． 【解题思路】（1）根据新定义，由项系数相等可得； （2）利用新定义证明即可； （3）根据多项式的乘法可得，然后利用通项公式整理化简即可得证. 【解答过程】（1）因为 ， 且， 所以，由可得， 所以. （2）因为， 所以 又因为 所以， 所以. （3）对于， 因为， 所以， 所以， 所以， ， 所以 . 【类型3 数列中的新情景问题】 13．（2024·全国·模拟预测）九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，最早记载九连环的典籍是《战国策·齐策》，《红楼梦》第7回中有林黛玉解九连环的记载，我国古人已经研究出取下n个圆环所需的最少步骤数，且，，，，，，…，则取下全部9个圆环步骤数最少为（    ） A．127 B．256 C．341 D．512 【解题思路】由题意可推出数列的递推关系，由递推关系进行构造等比数列，可求得答案． 【解答过程】由观察可得若时，当n为奇数时，，当n为偶数时，， ∴当n为奇数时，，∴， 又，∴，∴， 故选：C． 14．（2024·安徽宿州·一模）我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将1，2，3，…，9填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，便得到一个3阶幻方.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫作n阶幻方. 记n阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为，如，那么下列说法错误的是（    ） A． B．7阶幻方第4行第4列的数字可以为25 C．8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为260 D．9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为396 【解题思路】根据n阶幻方的定义，n阶幻方的数列有项，为首项为1，公差为1的等差数列，故，每行、每列、每条对角线上的数的和均为，且n为奇数时，n阶幻方行列的数字为该数列的中间值. 【解答过程】根据n阶幻方的定义，n阶幻方的数列有项，为首项为1，公差为1的等差数列，故，每行、每列、每条对角线上的数的和均为. 对A，，A对； 对B，7阶幻方有7行7列，故第4行第4列的数字可以为该数列的中间值，即，B对； 对C，8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为，C对； 对D，9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为，D错. 故选：D. 15．（23-24高二上·河南信阳·期末）九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载．九连环一般是用金属丝制成圆形小环九枚，九环相连，套在条形横板或各式框架上，并贯以环柄．玩时，按照一定的程序反复操作，可使9个环分别解开，或合二为一，假设环的数量为，解开n连环所需总步数为，解下每个环的步数为，数列满足：，，，则（    ）    A． B． C． D．成等比数列 【解题思路】根据题意逐一计算与的前6项，从而判断ABC，利用，结合等比数列的定义判断D，从而得解. 【解答过程】因为，，， 所以，， ，，故AC正确，B错误； 当时，，即， 则，所以不是等比数列，故D错误. 故选：AC. 16．（23-24高二下·江西南昌·期末）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹， 用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术， 剪纸具有广泛的群众基础， 交融于各族人民的社会生活， 是各种民俗活动的重要组成部分， 其传承赓 (gêng) 续的视觉形象和造型格式， 蕴涵了丰富的文化历史信息， 是中国古老的民间艺术之一.已知某剪纸的裁剪工艺如下： 取一张半径为 1 的圆形纸片，记为，在内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为，并裁剪去该正方形与内切圆之间的部分 (如图所示阴影部分)，记为一次裁剪操作，，重复上述裁剪操作次，最终得到该剪纸，则第2024次操作后，所有被裁剪部分的面积之和为 . 【解题思路】设的半径为，分析正方形边长与半径的关系可得，进而可得的面积为，再分析第次裁剪操作的正方形边长，进而可得每次操作减去的面积，再求和即可. 【解答过程】设的半径为，则， 的半径为，即，故， 的面积为， 又第次裁剪操作的正方形边长为， 故第次裁剪操作裁剪掉的面积为 ， 所以第次裁剪操作后，裁剪掉的面积之和为 ， 所以第2024次操作后，所有被裁剪部分的面积之和为. 故答案为：. 17．（23-24高二下·河南信阳·期末）我国元代数学家朱世杰在《四元玉鉴》中研究过高阶等差数列问题，如数列满足为等差数列，称为二阶等差数列．已知二阶等差数列1，2，4，7，……． (1)求的通项公式； (2)设，求的前n项和． 【解题思路】（1）根据题意可得，然后利用累加法可求出， （2）由（1）得，然后利用错位相法可求得. 【解答过程】（1）由，，， ∴，∴． 所以，当时， 又，也适合，所以． （2），   ①   ②   ①－②，得 ， ∴． 18．（23-24高一下·上海浦东新·期末）公元263年，刘徽首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法，算得值为3.14，我国称这种方法为割圆术，直到1200年后，西方人才找到了类似的方法，后人为纪念刘徽的贡献，将3.14称为徽率.我们作单位圆的外切和内接正边形，记外切正边形周长的一半为，内接正边形周长的一半为.通过计算容易得到:（其中是正边形的一条边所对圆心角的一半） (1)求的通项公式; (2)求证:对于任意正整数依次成等差数列; (3)试问对任意正整数是否能构成等比数列?说明你的理由. 【解题思路】（1）利用圆内接正多边形的意义，结合直角三角函数求解作答. （2）（3）利用（1）的结论及已知，借助三角恒等变换、等差数列、等比数列定义推理作答. 【解答过程】（1）如图，等腰中，，则， 所以.    （2）显然，， 由已知及（1）得，，，，， 并且，因此， 所以对于任意正整数依次成等差数列. （3）因为，， 则，，并且， 因此， ， 所以，对任意正整能构成等比数列. 【类型4 以数列和项与通项关系定义新数列】 19．（23-24高二上·湖北·期末）定义：在数列中，若对任意的都满足为常数，则称数列为等差比数列．已知等差比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题中条件可求得数列的通项公式，继而，利用通项公式计算即可. 【解答过程】因为为等差比数列，，，， 所以是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以， 所以 故选： 20．（2024·江苏南通·模拟预测）定义：已知数列的首项，前项和为.设与是常数，若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列.若数列是“”数列，则数列的通项公式（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题可知，根据定义得，根据平方差公式化简得，求得，最后根据，即可求出数列的通项公式. 【解答过程】因为数列是“”数列，则， 所以，而， ， ， ， ， ，， ， . 故选：B. 21．（24-25高三上·江西·阶段练习）若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”.已知数列为“调和数列”，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，且，，则 C．若中各项均为正数，则 D．若，，则 【解题思路】根据“调和数列”的定义可以确定为等差数列，再利用等差数列的性质可以确定错误；利用等差数列的定义求得其通项公式，则正确；根据等差数列的性质结合基本不等式可得证，则正确；构造函数，得，得，再求和即可得到正确. 【解答过程】依题意可得为等差数列,由,根据等差数列的性质得，则可得，，，故错误； 由，且，，可得，，，，，故正确； 由为等差数列，可得，，当且仅当时取等号，故正确； 由，，可求得，令，，，则在上单调递减，在上单调递增，则，即恒成立，即在时恒成立，恒成立，，，， ，所以正确. 故选：. 22．（23-24高二上·北京顺义·期末）在数列中，若，（，，p为常数），则称为“等方差数列”，给出以下四个结论：①不是等方差数列；②若是等方差数列，则（，k为常数）是等差数列；③若是等方差数列，则（，k、l为常数）也是等方差数列；④若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列也一定是等比数列.其中所有正确结论的序号是 ②③ . 【解题思路】根据等方差数列定义可判断①③；根据等方差数列定义结合等差数列的定义判断③④. 【解答过程】对于①，时，为常数， 故是等方差数列，①错误； 对于②，若是等方差数列，即有，（，，p为常数） 则为常数， 故（，k为常数）是等差数列，②正确； 对于③，若是等方差数列，即有，（，，p为常数）， 则， 故为常数， 则（，k、l为常数）也是等方差数列，③正确； 对于④，若既是等方差数列，又是等差数列， 则时，，且（d为常数）， 则， 当时，则为常数列，满足是等方差数列， 若，则不为等比数列，④错误； 故答案为：②③. 23．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）对于一个正项数列，若存在一正实数，使得且，有，我们就称是-有限数列. (1)若数列满足，，，证明：数列为1-有限数列； (2)若数列是-有限数列，，使得且，，证明：. 【解题思路】（1）利用累加法可得，结合数列的单调性及1-有限数列的定义可知为1-有限数列； （2）利用放缩法和裂项相消法可证不等式成立. 【解答过程】（1）因为且为正项数列，故， 而，，故当时，， 因为，故， 由累加法可得， 故， 故数列为1-有限数列； （2） 因为且，， 故 . 24．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）定义：若数列满足，则称数列为“线性数列”. (1)已知为“线性数列”，且，证明：数列为等比数列. (2)已知. （i）证明：数列为“线性数列”. （ii）记，数列的前项和为，证明：. 【解题思路】（1）依题意可得，则，即可求出、，从而得到，结合等比数列的定义证明即可； （2）（i）首先求出，令，求出、，再计算即可证明； （ii）由（i）可得 ，利用裂项相消法求出，即可得证. 【解答过程】（1）因为为“线性数列”，所以， 所以，即，解得， 所以， 所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列； （2）（i）因为，则， 令，即，解得，所以， 因为 ， 所以，所以数列为“线性数列”； （ii）因为，则 ， 所以 ， 因为，，所以， 所以. 【类型5 数列定义新性质问题】 25．（2024·全国·模拟预测）若数列，对于 ，都有（为常数）成立，则称数列具有性质．已知数列的通项公式为，且具有性质，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意，先将成立变形为时成立，将通项公式代入，从而将问题转化为恒成立问题，研究新数列的单调性即可解决问题． 【解答过程】依题意，得，故只需考虑时，，． 因为，只需要 ， 即 ，整理得． 令，则 ， 所以对任意的恒成立，所以数列为递增数列， 则，所以，即的取值范围为 ． 故选：C． 26．（23-24高二下·北京·期中）已知无穷数列，．性质，，，性质，，，，给出下列四个结论： ①若，则具有性质； ②若，则具有性质； ③若具有性质，则； ④若等比数列既满足性质又满足性质，则其公比的取值范围为． 则所有正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据性质的定义可判断①；根据性质的定义可判断②；根据性质的定义可得，，利用累加法可证③；对于④，结合③，可得，由满足性质，分和讨论求出，再由满足性质得，构造，求导结合函数单调性可验证满足题意. 【解答过程】对于①，因为，对，， 即，所以不具有性质，故①错误； 对于②，，对，， ， ，即具有性质，故②正确； 对于③，若具有性质，令，则， 即，， ，又， 所以，，故③正确； 对于④，是等比数列，设其公比为，又，， 若满足性质，由选项③得，即，，， 由，，得， 当时，得，即，对，又，， 当时，不妨设，则， ，解得，， 综上，若满足性质，则. 若满足性质，对，，， 可得，即，令，则， 又，所以函数在上单调递增，又由满足性质，， 成立， 所以等比数列既满足性质s又满足性质t，则其公比的取值范围为. 故④正确. 故正确的为②③④共个. 故选：C. 27．（2024·山东青岛·三模）若有穷整数数列满足：，且，则称具有性质.则（     ） A．存在具有性质的 B．存在具有性质的 C．若具有性质，则中至少有两项相同 D．存在正整数，使得对任意具有性质的，有中任意两项均不相同 【解题思路】对A、D：举出符合题意的例子即可得；对B：根据所给定义，借助反证法设，，，中有个，个，从而有，推出矛盾；对C：，，，，中的最大值为，则存在，使得或，若存在，使，先证：，，，可以取遍到之间所有的整数，再对分类讨论，即可得证； 【解答过程】对A：取数列，易得其满足题意，此时该数列具有性质，故A正确； 对B：假设存在数列具有性质，则， 且， 设中有个，则有个， 则有 ，即， 其与为整数矛盾，故假设错误，故B错误； 对C：设，，，，中的最大值为， 则存在，使得或， 若存在，使，下证：，，，可以取遍到之间所有的整数， 假设存在正整数使得，，，中各项均不为， 令集合，设是集合中元素的最大值， 则有， 这与矛盾， 所以，，，可以取遍到之间所有的整数， 若，则，，，，的取值只能为，中的数， 此时，，，，中必有两项相同， 若，则，，，，的取值只能为，，中的数， 此时，，，，中必有两项相同， 若，则，，，，中一定有异于和的正整数， 再由，，，可以取遍到之间所有的整数， 所以，，，，中必有两项相同， 当，同理可证：，，，可以取遍到之间所有的整数， 从而，，，，中必有两项相同，故C正确； 对D：取数列，此时该数列具有性质， 且中任意两项均不相同，即存在，故D正确. 故选：ACD. 28．（2024高三下·北京·专题练习）已知无穷数列，．性质，，；性质，，，下列说法中正确的有 ②③④ . ①若，则具有性质s   ②若，则具有性质t ③若具有性质s，则 ④若等比数列既满足性质s又满足性质t，则其公比的取值范围为 【解题思路】根据性质的定义可判断选项A；根据性质的定义可判断选项B；根据性质的定义可得，，利用累加法可证选项C；对于D，结合选项C，可得，由满足性质，分和讨论求出，再由满足性质得，构造，求导结合函数单调性可验证满足题意. 【解答过程】对于①，因为，对，， 即，所以不具有性质，故①错误； 对于②，，对，， ， ，故②正确； 对于③，若具有性质，令，则， 即，， ，又， 所以，，故③正确； 对于④，是等比数列，设其公比为，又，， 若满足性质，由选项C 得，即，，， 由，，得， 当时，得，即，对，又，， 当时，不妨设，则， ，解得，， 综上，若满足性质，则. 若满足性质，对，，， 可得，即，令，则， 又，所以函数在上单调递增，又由满足性质，， 成立， 所以等比数列既满足性质s又满足性质t，则其公比的取值范围为. 故④正确. 故答案为：②③④. 29．（2024·河南·二模）已知无穷数列是首项为1，各项均为正整数的递增数列，集合，若对于集合中的元素，数列中存在不相同的项，使得，则称数列具有性质，记集合数列具有性质. (1)若数列的通项公式为，判断数列是否具有性质，若具有，写出集合与集合； (2)已知数列具有性质且集合中的最小元素为.集合中的最小元素为，当时，证明：. 【解题思路】（1）定义，可知，结合题中通项公式分析求解； （2）根据题意可知，可得，即可分析证明； 【解答过程】（1）定义，由题意可知， 若数列的通项公式为， 可知， 所以， 因为2只能写成，不合题意，即， ，符合题意，即， ，符合题意，即， ，符合题意，即， ，符合题意，即， ，符合题意，即， 所以. （2）因为是各项均为正整数的递增数列，， 集合中的最小元素为，故当为连续正整数， 即取， 因为前至少有连续两个正整数1，2， 即，存在正整数， 因为集合中的最小元素为，故. 因为，故数列具有性质， 故存在使得，且， 而为数列具有性质且集合中的最小元素，故 所以. 30．（23-24高二下·北京顺义·阶段练习）已知数列：，，…，（，）具有性质：对任意，（），与两数中至少有一个是该数列中的一项，为数列的前项和. (1)分别判断数列0，1，3与数列0，1，3，4是否具有性质； (2)证明：，且； (3)证明：当时，，，，，成等差数列. 【解题思路】（1）利用数列新定义直接判断即可. （2）由定义知，，证得，再利用累加法求和即可证得结论. （3）由（2）可证得，利用定义知是数列A中的项，可知，即可证得数列是以0为首项，公差为的等差数列． 【解答过程】（1）由于，，所以数列不具有性质； ；；；；；， 六组数中，每一组至少有一个数属于，所以数列具有性质． （2）由数列具有性质， 则与中至少有一个属于A， 又，，则，于是，即； 由A具有性质可知，， 因此， 即，，，，， 上边n个式子累加得：， 则，所以. （3）由（2）知，，，则， 而不是数列A中的项，则是数列A中的项， 于是，则有， 因此， 所以数列是以0为首项，公差为的等差数列. 【类型6 数列中的新定义问题】 31．（23-24高二下·河南南阳·期末）设为正整数，数列是公比不为1的等比数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的3个数都能构成等比数列，则称数列是可分数列.现有下列3个命题： ①数列是可分数列； ②数列是可分数列； ③数列是可分数列. 其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】根据可分数列的定义即可验证结论 【解答过程】对于①，由于从数列中删去两项后，剩余的项可被平均分为组，能构成等比数列，所以数列是可分数列，故①正确； 对于②，由于从数列中删去两项后，剩余的项可被平均分为组，都能构成等比数列，所以数列是可分数列，故②正确；对于③，由于从数列中删去两项后，剩余的项可被平均分为组，都能构成等比数列，所以数列是可分数列，故③正确；所以真命题有个. 故选：D. 32．（2024·北京东城·二模）设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为内和数列，并令，称为的伴随数列，则（    ） A．若为等差数列，则为内和数列 B．若为等比数列，则为内和数列 C．若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列 D．若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列 【解题思路】对于ABD：举反例说明即可；对于C：根据题意分析可得，结合单调性可得，即可得结果. 【解答过程】对于选项AB：例题，可知即为等差数列也为等比数列， 则，但不存在，使得， 所以不为内和数列，故AB错误； 对于选项C：因为， 对任意，，可知存在， 使得， 则，即， 且内和数列为递增数列，可知， 所以其伴随数列为递增数列，故C正确； 对于选项D：例如， 显然是所有正整数的排列，可知为内和数列，且的伴随数列为递增数列， 但不是递增数列，故D错误； 故选：C. 33．（24-25高三上·山西大同·开学考试）记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”，下列说法正确的是（    ） A．若是等差数列，且公差，则是“和有界数列” B．若是等差数列，且是“和有界数列”，则公差 C．若是等比数列，且公比，则是“和有界数列” D．若是等比数列，且是“和有界数列”，则的公比 【解题思路】对于A,B项，利用给定定义结合等差数列的前项和，并借助一次函数、二次函数性质分析判断；对于C项，结合等比数列的前项和，并借助即可推理判断；对于D项，通过举反例判断可排除. 【解答过程】若是等差数列，公差为，则. 对于A，由可得，若，则当时，， 故不是“和有界数列”，A错误； 对于B，若是“和有界数列”，则， 当时，是关于的二次函数，故不存在符合题意的实数， 当，时，存在符合题意的实数，故B正确； 对于C，若是公比为的等比数列，则， 因，则，即，， 即存在符合题意的实数，使数列为“和有界数列”，故C正确； 对于D，若等比数列是“和有界数列”，当时，若为偶数，则 若是奇数，则，即，即此时存在符合题意的实数，故D错误. 故选：BC. 34．（2024·江苏镇江·三模）若对项数为的数列中的任意一项，也是该数列中的一项，则称这样的数列为“可倒数数列”.已知正项等比数列是“可倒数数列”，其公比为，所有项和为，写出一个符合题意的的值 或（答案不唯一） . 【解题思路】由题意依次得出，，进一步结合已知列方程求出即可. 【解答过程】已知正项等比数列是“可倒数数列”， 首先， 若，结合，解得，此时，但不在这5个数中，矛盾，故， 则若，则也在数列中，若在数列中，则（且）也在数列中， 因为正项等比数列是“可倒数数列”， 所以数列严格单调，而， 所以只能， （否则，不妨设，那么或一定有三个数小于1，而他们的倒数都大于1，这必定导致有一个数的倒数不在中）， 从而，所以， 解得或（舍去）， 所以解得或. 故答案为：或（答案不唯一）. 35．（24-25高三上·全国·阶段练习）如果一个严格单调递增数列的每一项都是正整数，且对任意正整数，恒成立，则称数列为“奇特数列”． (1)设等差数列的首项，公差为．若，求证：为“奇特数列”； (2)已知数列，其中为“奇特数列”，为大于的最小的的正整数倍，． ①求证：为“奇特数列”； ②求证：当时，． 【解题思路】（1）根据“奇特数列”的定义结合糖水不等式求解证明； （2）①根据结合“奇特数列”的定义可证明；②根据为“奇特数列”， 设，利用分析法将所要证问题转化为只需证，即证.先由，可证，再证明，只需证，即证．利用“奇特数列”的定义求解得证. 【解答过程】（1）先证明已知，，则， ， ，，， ，即. 由题易知数列的每一项都是正整数， 由，所以数列严格单调递增， 又， 所以，所以为“奇特数列”． （2）①因为为“奇特数列”， 所以严格单调递增，且每一项都是正整数． 因为， 所以严格单调递增，且每一项都是正整数． 又，即，即， 所以，所以，即． 所以为“奇特数列”． ②由为“奇特数列”的定义，设． 要证，即证，只需证，即证. 因为，所以． 所以． 因为，所以要证，只需证，即证，只需证，即证． 因为， 所以． 因为成立，所以． 又，所以．得证． 36．（24-25高三上·广东·阶段练习）对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”. (1)求20以内的质数“理想数”； (2)已知.求m的值； (3)将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：. 【解题思路】（1）根据“理想数”概念，结合列举法可解； （2）分析题意知道必为奇数，则必为偶数，结合整除知识得解； （3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可. 【解答过程】（1）以内的质数为， ，故，所以为“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； 和5为两个质数“理想数”； （2）由题设可知必为奇数，必为偶数， 存在正整数，使得，即： ，且， ，或，或，解得，或， ，或，即的值为12或18． （3）显然偶数"理想数"必为形如的整数， 下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间：， 若奇数，不妨设， 若为"理想数"，则，且，即，且， ①当，且时，； ②当时，； ，且， 又，即， 易知为上述不等式的唯一整数解， 区间]存在唯一的奇数"理想数"，且， 显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为， 所有的奇数"理想数"的倒数为， ，即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$