精品解析：山西省朔州市怀仁市第一中学校2025届高三上学期10月月考数学试题

山西省朔州市怀仁市第一中学校2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数，导数，三角函数，解三角形. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据子集的含义可得集合A为空集或非空集合，进而对参数a分类讨论即可求解. 【详解】，， 故当时，易求； 当时，由得， 或, 所以所有的取值构成的集合为， 故选：C. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用诱导公式即可求解. 【详解】解：， . 故选：B. 3. 下列函数中，存在极值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据极值定义逐一分析即可. 【详解】对于 ：函数是实数集上的增函数，不存在极值； 对于 ：函数在上单调递增，不存在极值； 对于：函数在区间上单调递减，不存在极值； 对于：在上单调递增，在上单调递减， 因此 是函数的极小值点，符合题意. 故选：D. 4. 若为偶函数，则 （ ） A. 1 B. 0 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由已知为偶函数，可得，列方程求解即可. 【详解】由， 得， 因为为偶函数，所以， 即， 所以，解得 . 故选： . 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指示函数，对数函数单调性让其和0，1比较大小，即可得解. 【详解】根据题意知单调递增，所以， 单调递增，所以， 单调递减，所以， 即可解得. 故选：C 6. 在 中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．若 ，则 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】将已知等式利用余弦定理统一成边的形式，化简变形可求得结果. 【详解】， ， ，． ，即． ，，即． 故选：D 7. 若函数存在零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意得，令，求 的取值范围可得答案. 【详解】由，则， 令， 则， 当 得， 单调递增，当 得， 单调递减， 所以，， 当趋向于正无穷大时， 也趋向于正无穷大， 所以函数 存在零点，则. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题考查函数零点问题．解题方法是把零点个数转化为方程解的个数，再转化为函数图象交点个数，由图象观察所需条件求得结论．考查了分析问题、解决问题的能力． 8. 设为函数在区间的两个零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质和诱导公式，可得再由二倍角公式和同角基本关系式求解. 【详解】因为，又因为，所以 则， 因为，所以， 所以. 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则使“”成立的一个充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式的性质及对数函数的单调性结合充分条件的定义即可得解. 【详解】对于A，因为，所以，选项A正确； 对于B，满足，选项错B错误； 对于C，，当时，，选项错C错误； 对于D，， 因为，所以，选项D正确. 故选：AD. 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数的最小值为 B. 当 时，函数的极大值点为 C. 存在实数使得函数在定义域上单调递增 D. 若 恒成立，则实数的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】由函数极值的求解以及极值点的辨析即可判断AB，由 在上恒成立即可判断C，分离参数，构造函数求得其最小值，即可判断D. 【详解】因为函数，则，其中， 当时，则，令 ，可得， 当时， ，则函数单调递减， 当时， ，则函数单调递增， 当时，有极小值，即最小值，故A正确； 当 时，则，令 ，可得 ， 当时， ，则函数单调递减， 当时， ，则函数单调递增， 当 时，函数有极小值，则 为极小值点，故B错误； 假设存在实数使得函数在定义域上单调递增， 则 在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立，因为的值域为， 所以函数无最小值， 故不存在实数使得函数在定义域上单调递增，故C错误； 若 恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则，令，则 ， 当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 当 时，有极小值，即最小值，所以，故D正确； 故选：AD 11. 定义域为的函数 满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数 为奇函数 C. D. 4为函数 的一个周期 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，令 可求出，对于B，令 ，再结合函数奇偶性的定义判断即可，对于C，分别令，分析求解，对于D，令，再结合周期的定义分析判断 【详解】对于A，令 ，可得，A选项正确； 对于B，令 ，有， 从而有，可知 为偶函数，B选项错误； 对于C，令，有； 令，有，可得， 从而有，有， 当时，，可得，与矛盾， 可知，可求得，，有，C选项正确； 对于D，令，有，有， 从而有，可知4是函数 的一个周期，D选项正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知 ，则的最小值为__________. 【答案】##4.5 【解析】 【分析】先根据，将函数解析式构造为；再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为 ，则. 因为，则， 所以 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为. 故答案为：. 13. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里的一个非常重要的不动点定理，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数 ，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数．函数有______个不动点． 【答案】1 【解析】 【分析】由题意可知即求函数的零点个数，当时，,当时，，当时，对 求导可得 的单调性和值域，即可求出 的零点个数. 【详解】令，即， 由题意可知即求函数的零点个数， 当时，，此时不存在零点； 当时，，此时不存在零点； 当时，， 令 ，，因为，解得：， 令 ，，因为，解得：， 所以 在上单调递增，在上单调递减，， 故 在上有且仅有一个零点， 综上所述，仅有一个不动点． 故答案为：1. 14. 若直线为曲线的一条切线，则的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】设，切点为，再根据导数的几何意义求出切线方程，再结合题意求出 的关系，再构造新的函数，利用导数求出最大值即可. 【详解】设，则， 设切点为，则， 则切线方程为，整理可得， 所以，解得， 所以，所以， 设，则， 当时，单调递增， 当 时，单调递减， 所以当 时，取得最大值， 所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：设出切点，根据直线为曲线的一条切线，求出 的关系，是解决本题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知为锐角，且满足. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方关系求出，再根据结合两角和的正弦公式即可得解； （2）利用倍角公式先求出，再根据结合两角差的余弦公式即可得解. 【小问1详解】 解：因为为锐角，所以， 所以，所以， 所以； 【小问2详解】 解：由（1）知， ， 所以 . 16. 已知 的内角的对边分别为的面积为． （1）求A； （2）若，且 的周长为5，设 为边中点，求 ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式结合正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解； （2）根据三角形的周长，结合余弦定理求出 ，再向量化即可得解． 【小问1详解】 依题意，， 所以， 由正弦定理可得，， 由余弦定理，，解得， 因为，所以； 【小问2详解】 依题意，， 因为，解得， 因为， 所以， 所以． 17. 已知函数且. （1）当时，求的值域； （2）若在上的最大值大于，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由对数真数大于零可求得定义域，由对数运算法则可整理得到，结合可求得的值域； （2）由对数运算法则得到，令，由对勾函数单调性可求得的值域，分别在 和 的情况下，由对数函数单调性可确定最大值，由最大值大于可构造不等式求得的范围. 【小问1详解】 由得：，则的定义域为； 当时，， 当时，（当且仅当时取等号）， ，则的值域为. 【小问2详解】 ； 令， 则在上单调递减，在上单调递增， 又，，，的值域为； 当 时，，，解得：（舍）； 当 时，，，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 18. 已知是函数的两个相邻的对称中心的点的横坐标. （1）求图象的对称轴方程； （2）若对任意，都有，求 的取值范围； （3）若关于的方程在区间上有两个不同的根，求 的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换化简 ，根据周期为求出，得到解析式，由解析式求对称轴方程即可； （2）不等式恒成立转化为求 在给定区间上的最大值，利用正弦型函数的图象与性质求解即可； （3）化简方程，求出自变量变化时的范围，在作出正弦函数的图象，数形结合求解即可. 【小问1详解】 ， 因为是函数相邻两个对称中心，所以，解得， ， 令，可得的对称轴方程为. 【小问2详解】 若对任意，都有，只需 由可得，故， 所以， 因此，即，因此； 【小问3详解】 关于的方程，化简后得 ，，， 作出图象，如图， 由图可知，当，即时，有两根. 19. 已知函数. （1）设函数，讨论的单调性； （2）设分别为的极大值点和极小值点，证明：. 【答案】（1） 当 时，在上单调递增， 当 时，在上单调递减，在上单调递增； （2） 分别是的极大值点和极小值点， ，且对于有 ， 且对称轴 ，所以 ， ， 所以， 综上，要证， 只需证， 因为， 即证： ， 设. 所以 ， 所以在上单调递增，所以 . 所以成立. 【解析】 【分析】（1）先求得，然后对进行分类讨论来求得的单调区间. （2）由极值点的知识求得的关系式，由此将要证明的不等式转化为证明 ，利用构造函数法，结合导数来证得不等式成立. 【小问1详解】 ， ， 当 时， 在上恒成立，则在上单调递增， 当 时，单调递减， 单调递增， 综上，当 时，在上单调递增， 当 时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 略 【点睛】求解函数单调区间的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间.如果导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.利用导数证明不等式，首先考虑将要证明的不等式进行转化，转化为可构造函数并能利用导数进行证明的结构，从而来对问题进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省朔州市怀仁市第一中学校2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数，导数，三角函数，解三角形. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则所有 的取值构成的集合为（    ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，存在极值的是（ ） A. B. C. D. 4. 若为偶函数，则 （ ） A. 1 B. 0 C. D. 2 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 在 中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．若 ，则 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 若函数存在零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设为函数在区间的两个零点，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则使“”成立的一个充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数的最小值为 B. 当 时，函数的极大值点为 C. 存在实数 使得函数在定义域上单调递增 D. 若 恒成立，则实数 的取值范围为 11. 定义域为的函数 满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数 为奇函数 C. D. 4为函数 的一个周期 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知 ，则的最小值为__________. 13. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里的一个非常重要的不动点定理，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数 ，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数．函数有______个不动点． 14. 若直线为曲线的一条切线，则的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知为锐角，且满足. （1）求的值； （2）求的值. 16. 已知 的内角的对边分别为的面积为． （1）求A； （2）若，且 的周长为5，设 为边 中点，求 ． 17. 已知函数且. （1）当时，求的值域； （2）若在上的最大值大于，求 的取值范围. 18. 已知是函数的两个相邻的对称中心的点的横坐标. （1）求图象的对称轴方程； （2）若对任意，都有，求 的取值范围； （3）若关于的方程在区间上有两个不同的根，求 的取值范围. 19. 已知函数. （1）设函数，讨论的单调性； （2）设分别为的极大值点和极小值点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $