第十五章 分式压轴训练（单元复习 5类压轴）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（人教版）

第十五章 分式压轴训练 01 压轴总结 目录 压轴题型一　求使分式为正(负)数时未知数的取值范围 1 压轴题型二　求使分式值为整数时未知数的整数值 4 压轴题型三　与分式有关的规律性问题 9 压轴题型四　与分式方程有关的规律性问题 18 压轴题型五　与分式及分式运算有关的新定义型问题 24 02 压轴题型 压轴题型一　求使分式为正(负)数时未知数的取值范围 例题：（23-24八年级下·广东揭阳·阶段练习）已知分式的值是非负数，那么x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 巩固训练 1．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若分式的值为正，则的取值范围是(    ) A． B． C． D．且 2．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）若分式的值为负数，则的取值范围是 ． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）若分式的值为正数，则x的取值范围是 ． 4．（23-24八年级上·山东威海·阶段练习）若分式的值为正，则的取值范围为 ． 5．（23-24八年级下·全国·假期作业）当的取值范围是多少时： (1)分式的值为负数？ (2)分式的值为正数？ (3)分式的值为负数？ 压轴题型二　求使分式值为整数时未知数的整数值 例题：（2024七年级下·浙江·专题练习）对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24八年级上·全国·课堂例题）若分式的值是正整数，则可取的整数有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若及都是正整数，则所有满足条件的的值的和是 ． 3．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）若分式的值为整数，则整数x的值为 ． 4．（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）若代数式的值为正整数，则整数x的值为 ． 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个． 6．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如． 解决下列问题： (1)分式是　　（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为带分式； (3)先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 压轴题型三　与分式有关的规律性问题 例题：（2024九年级下·安徽·专题练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； ； 按照以上规律，解决下列问题 (1)写出第6个等式： ； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 巩固训练 1．（2024·安徽六安·模拟预测）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 根据以上规律，解决下列问题． (1)直接写出第5个等式：________________； (2)写出你猜想的第n个等式：________________（用含n的等式表示），并证明． 2．（24-25九年级上·安徽宣城·开学考试）；；；… (1)根据上面个等式存在的规律写出第个等式； (2)用含的代数式表示出第个等式，并证明． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）观察下面一列分式：，，，，…（其中）． (1)根据上述分式的规律写出第6个分式； (2)根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由． 4．（22-23八年级下·山东青岛·阶段练习）观察下列各式： ，，， (1)由此推测________ (2)请你用含字母m的等式表示一般规律（m表示整数） (3)请直接用（2）的规律计算的值． 5．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第5个等式：___________________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 6．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）有下列等式： ①， ②， ③， ④， …… 按照以上规律，解决下面问题： (1)写出第⑤个等式：____________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含正整数n的等式表示），并说明猜想的正确性． 7．（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第5个等式：___________________________； (2)写出你猜想的第n个等式：______________________________（用含n的等式表示），并证明． 压轴题型四　与分式方程有关的规律性问题 例题：（2024八年级下·全国·专题练习）解方程： ①的解　 　． ②的解　 　． ③的解　 　． ④的解　 　． …… (1)根据你发现的规律直接写出⑤，⑥个方程及它们的解； (2)请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解． 巩固训练 1．（22-23八年级下·江苏常州·期中）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； … (1)根据上面的规律，猜想关于x的方程的两个解是 ． (2)解方程：，可以变形转化为的形式，写出你的变形求解过程，运用（1）的结论求解． (3)方程的解为 ． 2．（23-24八年级下·甘肃天水·阶段练习）解方程： ①的解是； ②的解是； ③的解是； ④的解是 ； (1)请完成上面的填空； (2)根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解 ； (3)请你用一个含正整数 的式子表述上述规律，并写出它的解? 3．（21-22八年级下·江苏盐城·阶段练习）阅读理解：下列一组方程：①，②，③，…小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，他的解过程如下：由①得或；由②得或；由③得或， (1)问题解决：请写出第四个方程______________； (2)规律探究：若n为正整数，则第n个方程是____________其解为_____________； (3)变式拓展：若n为正整数，关于x的方程的一个解是，求n的值． 4．（21-22八年级上·云南昭通·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； … (1)观察上述方程的解，猜想关于x的方程的解是 ； (2)根据上面的规律，猜想关于x的方程的解是 ； (3)由（2）可知，在解方程时，可以变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． (4)利用（2）的结论解方程：． 压轴题型五　与分式及分式运算有关的新定义型问题 例题：（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)当x取什么整数时，“和谐分式”的值为整数． 巩固训练 1．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）定义一种新运算：，例：．根据这种运算法则，完成下列各题： (1)计算：； (2)计算：； (3)计算：． 2．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”． (1)下列3组分式： ①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有____________（只填序号）； (2)若正实数互为倒数，求证与属于“友好分式组”； (3)若均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值． 3．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：形如的式子，若，则称为“勤业式”；若，则称为“求真式”；若的值为整数，则称为“至善式”． (1)下列式子是“求真式”的有______（只填序号）； ①    ②    ③ (2)若，，请判断为“勤业式”还是“求真式”，并说明理由； (3)若，，且x为整数，当为“至善式”时，求x的值． 4．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如若，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）： ①；②；③；④；⑤ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为． (3)应用先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 5．（23-24八年级下·全国·期中）阅读理解: 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如： 我们称 是 的“差分式”， 解答下列问题： (1)分式 是分式 的“ 差分式”． (2)分式 是分式 的“差分式”． ① （含的代数式表示）； ②若 的值为正整数，为正整数，求的值． (3)已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值． 6．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“差常分式”，这个常数称为A关于B的“差常值”．如分式，，，则A是B的“差常分式”，A关于B的“差常值”为2． (1)已知分式，，判断C是否是D的“差常分式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“差常值”． (2)已知分式，，其中E是F的“差常分式”，E关于F的“差常值”为2，求的值； (3)已知分式，，其中M是N的“差常分式”，M关于N的“差常值”为1．若x为整数，且M的值也为整数，求满足条件的x的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十五章 分式压轴训练 01 压轴总结 目录 压轴题型一　求使分式为正(负)数时未知数的取值范围 1 压轴题型二　求使分式值为整数时未知数的整数值 4 压轴题型三　与分式有关的规律性问题 9 压轴题型四　与分式方程有关的规律性问题 18 压轴题型五　与分式及分式运算有关的新定义型问题 24 02 压轴题型 压轴题型一　求使分式为正(负)数时未知数的取值范围 例题：（23-24八年级下·广东揭阳·阶段练习）已知分式的值是非负数，那么x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求不等式组的解集 【分析】本题考查分式值的正负性问题，也考查了解一元一次不等式．根据的值是非负数得到且，进而能求出x的取值范围． 【详解】解：∵， ∴且， ∴且． 故选：D． 巩固训练 1．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若分式的值为正，则的取值范围是(    ) A． B． C． D．且 【答案】D 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题考查不等式的解法和分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母是正数，主要分子的值是正数则可，从而列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，，且， ∵分式的值为正， ∴， ∴， ∴且． 故选：D． 2．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）若分式的值为负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】分式有意义的条件、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、分式值为负数时未知数的取值范围；根据分式的分母不能为0得出，再根据分式的值为负数得出，进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， ， 分式的值为负数，， ， ， 的取值范围是且， 故答案为：且． 【点睛】 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）若分式的值为正数，则x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】根据平方的非负性、分式的值为正数可得，，由此即可得． 【详解】∵分式的值为正数，， ∴，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的值为正数，正确列出不等式是解题关键． 4．（23-24八年级上·山东威海·阶段练习）若分式的值为正，则的取值范围为 ． 【答案】且 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题考查的是分式性质，根据分式为正数的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：分式的值为正， ，， 解得，且 故答案为：且． 5．（23-24八年级下·全国·假期作业）当的取值范围是多少时： (1)分式的值为负数？ (2)分式的值为正数？ (3)分式的值为负数？ 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查的是分式的值为正数或负数时，字母的取值范围，一元一次不等式组的应用，理解题意是关键； （1）由分式的值为负数可得，再解不等式即可； （2）由分式的值为正数可得或，再解不等式组即可； （3）结合（2）的结论可得分式的值为负数时的范围． 【详解】（1）解：，， ， ， 时，分式值为负数． （2）∵分式的值为正数， ∴或， 当时， 解得：， 当时， 不等式组无解， 综上：当时；分式的值为正数， （3）∵由（2）得：当时；分式的值为正数， ∴分式的值为负数时，则或； 压轴题型二　求使分式值为整数时未知数的整数值 例题：（2024七年级下·浙江·专题练习）对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题主要考查了分式的化简变形，解题时要能熟练掌握并理解．依据题意，由，再结合为正整数，为非负整数，进而可以得解． 【详解】解：由题意，，且为正整数，为非负整数， 必为正整数． 为的正因数，可能为，，，， 为非负整数， 可能为，，． 又为正整数， 或或均符合题意，共种可能． 故选：A． 巩固训练 1．（23-24八年级上·全国·课堂例题）若分式的值是正整数，则可取的整数有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【答案】A 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题主要考查了分式的值，利用已知条件得到关于m的不等式，再利用有理数的整除的性质解答即可． 【详解】解：若分式的值是正整数，且为整数， 则是6的约数，． ∴或或或， 即的值为8或5或4或3，共4个． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若及都是正整数，则所有满足条件的的值的和是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了使分式值为整数时未知数的整数值，一元一次不等式的应用，根据题意建立不等式并求解是解题关键．根据为整数，且的值也为正整数，列出不等式，求出的取值范围，再枚举求出符合题意的的值，即可求解． 【详解】解：∵及都是正整数， ∴， 即， 解得：， 故当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故所有满足条件的的值有：、、， ∴所有满足条件的的值的和是． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）若分式的值为整数，则整数x的值为 ． 【答案】或或或 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值问题，将分式化为，分别代值计算，即可求解；掌握这类典型问题的解法是解题的关键． 【详解】解： ， 分式的值为整数，且x是整数， 或 或或， 解得：或或或， 故答案：或或或． 4．（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）若代数式的值为正整数，则整数x的值为 ． 【答案】3或7/7或3 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】分子为正整数5，若分式值为正整数，且x为整数，则等于1或5，从而问题可解． 【详解】解：的值为正整数， 或， 或， 故答案为：3或7． 【点睛】本题考查了分式求值，根据题意得出等于1或5是解题的关键． 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个． 【答案】4 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】先将假分式分离可得出，根据题意只需是6的整数约数即可． 【详解】解： 由题意可知，是6的整数约数， ∴ 解得：， 其中x的值为整数有：共4个． 故答案为：4． 【点睛】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分离假分式得到，从而使问题简单 6．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如． 解决下列问题： (1)分式是　　（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为带分式； (3)先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)真分式 (2) (3)化简得； 【知识点】分式的判断、求使分式值为整数时未知数的整数值、分式加减乘除混合运算、分式加减混合运算 【分析】本题考查分式的化简及分式的分离整数法，理解材料并掌握分式的运算是解题关键． （1）根据真分式的定义判断即可； （2）根据材料给出的方法运算即可； （3）先化简，再将分式化为带分式，最后再求解，注意分式有意义的条件． 【详解】（1）解：因为分式的分子次数0小于分母次数1， 所以分式是真分式， 故答案为：真分式； （2）； （3） ， ∵， ∵是整数， ∴或， 解得：，，或， ∵，，或时，原分式无意义， ∴， 即当时，该式的值为整数． 压轴题型三　与分式有关的规律性问题 例题：（2024九年级下·安徽·专题练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； ； 按照以上规律，解决下列问题 (1)写出第6个等式： ； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】此题考查了数字类规律探究，分式的加减运算； （1）根据前5个等式规律写出第6个等式； （2）根据前5个等式猜想出第个等式并验证． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：， 可得第6个等式为：， 故答案为：； （2）由题意可猜想得，第个等式为：， 证明： ， 第个等式为：． 巩固训练 1．（2024·安徽六安·模拟预测）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 根据以上规律，解决下列问题． (1)直接写出第5个等式：________________； (2)写出你猜想的第n个等式：________________（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【知识点】分式乘方、异分母分式加减法 【分析】此题考查的是归纳总结能力，分式的运算法则等知识，抓住题目中的相似点找到其中的规律是解题的关键． （1）观察前几个式子，然后进行仿写，即可得到答案； （2）对题目中给的等式进行比较、归纳，可以发现规律为，再利用分式的减法和乘方运算进行计算，得到左边等于右边，即可得到验证． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 则第5个等式为 故答案为： （2），证明如下： ∵左边， 右边， ∴左边=右边． 故原等式成立． 2．（24-25九年级上·安徽宣城·开学考试）；；；… (1)根据上面个等式存在的规律写出第个等式； (2)用含的代数式表示出第个等式，并证明． 【答案】(1)； (2)，证明见解析． 【知识点】异分母分式加减法、数字类规律探索 【分析】（）根据前个等式特点写出第个等式； （）根据第（）结论归纳出第个等式的规律； 此题考查了数字的变化规律，分式的运算，找出数字之间的运算规律，得出规律，利用规律，解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：； ； ； ∴第个等式； （2）解：； ； ； ； 第个等式； 证明：左边 右边． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）观察下面一列分式：，，，，…（其中）． (1)根据上述分式的规律写出第6个分式； (2)根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【知识点】分式的规律性问题 【分析】此题主要考查了分式的规律性问题以及数字规律的探索问题，得出分子与分母的变化规律即可解题． （1）根据已知分式的分子与分母的次数与系数关系进而得出答案； （2）利用（1）中数据变化规律，进而得出答案． 【详解】（1）解：观察各分式的规律可得第6个分式为． （2）解：根据题意得：第n（n为正整数）个分式为．理由： ∵分母的底数为y，次数是连续的正整数，分子的底数是x，次数是连续的奇数，且第偶数个分式的系数为负， ∴第n（n为正整数）个分式为． 4．（22-23八年级下·山东青岛·阶段练习）观察下列各式： ，，， (1)由此推测________ (2)请你用含字母m的等式表示一般规律（m表示整数） (3)请直接用（2）的规律计算的值． 【答案】(1) (2) (3)0 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查数字的变化类以及分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律，求出所求式子的值． （1）根据题目中的例子的计算方法可以解答本题； （2）根据（1）中的例子可以写出含m的等式； （3）根据（2）中的规律进行分式的混合运算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：由（）可得 ； （3）解： ． 5．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第5个等式：___________________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析． 【知识点】分式的规律性问题、分式加减乘除混合运算 【分析】此题考查的是归纳总结能力，抓住题目中的相似点找到其中的规律是解题的关键． （1）观察前几个式子，然后进行仿写，即可得到答案； （2）对题目中给的等式进行比较、归纳，可以发现规律为，第n个等式，左边第一项的分母为，分子是，第二项是，等式右边为．代入再进行验证正确性即可． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 则第5个等式为：； 故答案为：； （2）解：根据题意，则： 第n个等式为：； 证明：等式左边 ， 等式右边， ∴左边右边． 6．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）有下列等式： ①， ②， ③， ④， …… 按照以上规律，解决下面问题： (1)写出第⑤个等式：____________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含正整数n的等式表示），并说明猜想的正确性． 【答案】(1) (2)第n个等式为：（n为正整数），证明见解析． 【知识点】分式加减乘除混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了运算规律的探究、分式的混合运算等知识点，掌握“从具体到一般的探究方法”是解本题的关键． （1）根据题干前4个运算式的提示，直接写出第⑤个即可； （2）根据题干前4个运算式的提示，归纳出第n个等式，然后通过计算即可证明结论． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， 所以⑤为： 故答案为 （2）解： 由（1）归纳可得：第n个等式为：（n为正整数）， 证明如下：． 7．（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第5个等式：___________________________； (2)写出你猜想的第n个等式：______________________________（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【知识点】数字类规律探索、分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查的是运算规律的探究，掌握探究的方法是解本题的关键； （1）根据题干信息提示可得第5个等式； （2）根据前面5个等式发现并归纳变与不变的地方，再根据变化的规律总结归纳即可． 【详解】（1）解：第5个等式：； （2）第n个等式：；                     证明如下： 等式左边， 等式右边， 左边右边， 等式成立． 压轴题型四　与分式方程有关的规律性问题 例题：（2024八年级下·全国·专题练习）解方程： ①的解　 　． ②的解　 　． ③的解　 　． ④的解　 　． …… (1)根据你发现的规律直接写出⑤，⑥个方程及它们的解； (2)请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解． 【答案】(1)第⑤个方程：解为第⑥个方程：解为 (2)第个方程：解为． 【分析】本题主要考查了解分式方程： （1）等号左边的分母都是，第一个式子的分子是1，第二个式子的分子是2，那么第5个式子的分子是5，第6个式子的分子是6．等号右边被减数的分母是，分子的等号左边的分子的2倍，减数是1，第一个式子的解是，第二个式子的解是，那么第5个式子的解是第6个式子的解是． （2）由（1）得第个式子的等号左边的分母是，分子是，等号右边的被减数的分母是，分子是，减数是1，结果是 【详解】（1）解：①的解． ②的解． ③的解． ④的解 …… ①，②，③，④ （1）第⑤个方程：的解为 第⑥个方程：的解为 （2）解：第个方程：的解为 方程两边都乘得 解得 检验：当时， ， ∴原方程的解为． 巩固训练 1．（22-23八年级下·江苏常州·期中）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； … (1)根据上面的规律，猜想关于x的方程的两个解是 ． (2)解方程：，可以变形转化为的形式，写出你的变形求解过程，运用（1）的结论求解． (3)方程的解为 ． 【答案】(1)， (2)，，过程见解析 (3)， 【知识点】数字类规律探索、解分式方程 【分析】（1）从数字找规律，即可解答； （2）先将原方程进行变形可得：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答； （3）利用换元法将原方程化为：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：根据上面的规律，猜想关于的方程的两个解是，， 故答案为：，； （2）解：， ， ， 或， ，， 经检验：，是原方程的根； （3）解：令，则原方程可化为：， ， ，， 或， 解得：，， 经检验：，是原方程的根， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，规律型：数字的变化类，准确熟练地进行计算是解题的关键． 2．（23-24八年级下·甘肃天水·阶段练习）解方程： ①的解是； ②的解是； ③的解是； ④的解是 ； (1)请完成上面的填空； (2)根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解 ； (3)请你用一个含正整数 的式子表述上述规律，并写出它的解? 【答案】(1) (2)的解是； (3)的解是． 【知识点】分式的规律性问题、解分式方程 【分析】本题考查分式方程的解以及规律的探索，熟练掌握分式方程的解的求法并观察出方程的解与分子的关系是解题的关键． （1）由题意把方程两边都乘以把分式方程化为整式方程，然后求解即可； （2）由题意先观察①②③④中的方程及其解，根据前四个方程的规律可得第⑤个方程及其解； （3）根据题干中各个方程的规律，可写出含正整数n的方程，求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 经检验，为方程的解， 故答案为：． （2）解：由题意得：⑤的解是； 故答案为：的解是； （3）解：由题意得：第个式子及其解为：的解是． 3．（21-22八年级下·江苏盐城·阶段练习）阅读理解：下列一组方程：①，②，③，…小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，他的解过程如下：由①得或；由②得或；由③得或， (1)问题解决：请写出第四个方程______________； (2)规律探究：若n为正整数，则第n个方程是____________其解为_____________； (3)变式拓展：若n为正整数，关于x的方程的一个解是，求n的值． 【答案】(1) (2)， x=n或x=n+1 (3)n=12或11 【知识点】解分式方程 【分析】（1）根据已知分式方程的变化规律进而得出第四个方程； （2）利用发现的规律得出分子与后面常数的关系求出即可； （3）利用已知解题方法得出方程的解． 【详解】（1）第四个方程为：， 即． 故答案为：； （2）可得第n个方程为：， 解得：x=n或x=n+1； 故答案为：， x=n或x=n+1； （3）将原方程变形，， ∴x+2=n或x+2=n+1， ∴方程的解是x=n-2，或x=n-1， 当n-2=10时，n=12， 当n-1=10时，n=11， ∴n=12或11． 【点睛】此题主要考查了分式的解，利用已知得出分式的解与其形式的规律是解题关键． 4．（21-22八年级上·云南昭通·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； … (1)观察上述方程的解，猜想关于x的方程的解是 ； (2)根据上面的规律，猜想关于x的方程的解是 ； (3)由（2）可知，在解方程时，可以变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． (4)利用（2）的结论解方程：． 【答案】(1)， (2)， (3)见解析 (4)， 【知识点】解分式方程 【分析】（1）根据已知材料即可得出答案； （2）根据已知材料即可得出答案； （3）把方程转化成，由材料得出，，求出方程的解即可； （4）利用换元法，转化为材料中的规律解答． 【详解】（1）解：关于x的方程的解是：，， 故答案为：，； （2）关于x的方程的解是：，， 故答案为：，； （3）， ， ， 即，， 解得：，； （4）令，则方程可化为， 由（2）规律可得，，； 即或， 解得，． 【点睛】此题考查了解分式方程，读懂题意并灵活变形是解题的关键． 压轴题型五　与分式及分式运算有关的新定义型问题 例题：（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)当x取什么整数时，“和谐分式”的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3)或或或或或 【分析】此题考查分式的变形计算，同分母分式加法逆运算， （1）根据同分母分式加法将各分式变形，即可判断； （2）根据同分母分式加法将各分式变形； （3）根据（2）所求可得当x为整数时，的值为整数，据此讨论求解即可． 【详解】（1）解：①，②；③，④， ∴①③④的分式是“和谐分式”， 故答案为：①③④； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：∵的值为整数， ∴当x为整数时，的值为整数 当或或时，分式的值为整数， ∴或或或或或． 巩固训练 1．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）定义一种新运算：，例：．根据这种运算法则，完成下列各题： (1)计算：； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，分式的加减混合运算，掌握分式的加减混合运算的运算顺序是解本题的关键； （1）根据新定义列式再通分计算即可； （2）根据新定义列式再通分计算即可； （3）根据新定义列式再通分计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 2．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”． (1)下列3组分式： ①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有____________（只填序号）； (2)若正实数互为倒数，求证与属于“友好分式组”； (3)若均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值． 【答案】(1)②③ (2)见解析 (3)或 【知识点】异分母分式加减法、同分母分式加减法、分式的求值 【分析】本题考查了分式的加减运算，求解分式的值，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键． （1）根据给出的“友好分式组”定义把每一组的分式相减看结果来判断； （2）根据a，b互为倒数，得ab=1，把 代入计算出结果即可； （3）根据分式与属于“友好分式组”，得求出①a=-4b，②ab=4b2-2a2，分别把①②代入分式求出结果即可． 【详解】（1）解：① ②； ③ 则 ∴属于“友好分式组”的有②③． 故答案为：②③ （2）∵a，b互为倒数， ∴，， ∴ ∴与属于“友好分式组” （3） ∵a，b均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”， 或 把①代入 把②代入 ∴的值为或 3．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：形如的式子，若，则称为“勤业式”；若，则称为“求真式”；若的值为整数，则称为“至善式”． (1)下列式子是“求真式”的有______（只填序号）； ①    ②    ③ (2)若，，请判断为“勤业式”还是“求真式”，并说明理由； (3)若，，且x为整数，当为“至善式”时，求x的值． 【答案】(1)①③； (2)为“勤业式”，理由见解析； (3)x的值为0或1或． 【知识点】整式的加减运算、分式加减乘除混合运算、分式化简求值、分式方程的实际应用 【分析】（1）先比较A、B的大小，再根据定义进行判断即可得解； （2）先比较A、B的大小，再根据定义进行判断即可得解； （3）先求得，由为“至善式”，得为整数，从而有或或或，求解符合条件的x的值即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴为“求真式”，故①符合题意， ∵ ∴为“勤业式”， 故②不符合题意， ∵， ∴即， ∴为“求真式”， 故③不符合题意． 故答案为：①③； （2）解：为“勤业式”，理由如下： ∵， ∴， ∴为“勤业式”； （3）解：∵，，且x为整数， ∴ ∵为“至善式”， ∴的值为整数，即为整数， ∴为整数， ∴或或或， 解得或（舍去）或或， ∴x的值为0或1或． 【点睛】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，分式方程等知识，掌握以上知识是解题的关键． 4．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如若，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）： ①；②；③；④；⑤ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为． (3)应用先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④⑤ (2) (3)，或，或． 【知识点】分式化简求值、分式加减乘除混合运算、分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式的化简求值∶先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． （1）由“和谐分式”的定义对各式变形即可得； （2）利用题目所给的方法配一个出来，然后把分式写成两同分母的和，再约分，则原分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和； （3）先把把除法运算化为乘法运算，约分后进行同分母的减法运算得到原式为．把它化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式得到原式，利用整除性和分式有意义的条件确定x的值． 【详解】（1）解：①，属于“和谐分式”， ②不是分式，故不属于“和谐分式”， ③，属于“和谐分式”， ④，属于“和谐分式”， ⑤，属于“和谐分式”， 故答案为：①③④⑤ （2） （3） ∵x为整数，为整数， ∴，或， ∵且且 ∴，或，或．该式的值为整数． 5．（23-24八年级下·全国·期中）阅读理解: 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如： 我们称 是 的“差分式”， 解答下列问题： (1)分式 是分式 的“ 差分式”． (2)分式 是分式 的“差分式”． ① （含的代数式表示）； ②若 的值为正整数，为正整数，求的值． (3)已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值． 【答案】(1) (2)①；②的值为或 (3)的值为 【知识点】新定义下的实数运算、完全平方公式分解因式、异分母分式加减法、解分式方程 【分析】本题主要考查定义新运算，分式的混合运算，乘法公式的运用， （1）根据材料提示进行计算即可求解； （2）根据“差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解； （3）根据“差分式”的计算方法可得，根据分式的混合运算，乘法公式的运算可得，结合，由此即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①， ∴， 解得，； ②，为正整数， ∴当时，，则； 当时，，则； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； ∴的值为或； （3）解：， ，且， ∴， ∵为正整数， ∴， ∴的值为． 6．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“差常分式”，这个常数称为A关于B的“差常值”．如分式，，，则A是B的“差常分式”，A关于B的“差常值”为2． (1)已知分式，，判断C是否是D的“差常分式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“差常值”． (2)已知分式，，其中E是F的“差常分式”，E关于F的“差常值”为2，求的值； (3)已知分式，，其中M是N的“差常分式”，M关于N的“差常值”为1．若x为整数，且M的值也为整数，求满足条件的x的值． 【答案】(1)不是的“差常分式”； (2) (3)所有符合条件的的值为0，2，4，6． 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的加减法，理解新定义和掌握分式的运算是解题的关键． （1）根据新定义进行判断； （2）根据新定义，列出方程求解； （3）根据新定义列出方程，再根据整除的意义求解． 【详解】（1）解：不是的“差常分式”； 理由：， 不是的“差常分式”； （2）解：由题意得：， ， ， ， 解得：，， ； （3）解：由题意得：， ， ， 为整数，为整数， 的值为：或， 的值为：0，2，4，6， 所以所有符合条件的的值为0，2，4，6． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$