第十五章 分式（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（人教版）

第十五章 分式（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．的倒数是（    ） A． B． C．2024 D．－2024 2．当时，分式的值是（    ） A．3 B． C．2 D． 3．“桃花春色暖先开，明媚谁人不看来．”每年4月橘子洲的桃花竞相开放，灿若云霞，芳香四溢，吸引众多市民和游客前来赏花踏春，桃花花粉直径约为0.00003米，其中0.00003用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．下列各式：，，，，，其中分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．下列说法正确的是（    ） A．代数式是分式 B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C．分式是最简分式 D．分式有意义 6．2023年我市在创建全国文明典范城市的进程中，为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（    ） A． B． C． D． 7．已 知， 且   ，则等于（   ） A．x B．x +1 C． D． 8．已知，， 则P与Q 的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 9．根据分式的性质，可以将分式（为整数）进行如下变形：，其中为整数． 结论Ⅰ：依据变形结果可知，的值可以为0； 结论Ⅱ：若使的值为整数，则的值有3个． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 10．若关于x的不等式组 的解集为，且关于y的分式方程 的解为正整数，则符合条件的所有整数a的和为（    ） A．4 B． C．8 D．10 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．比较大小： ． 12．若分式 的值为零，那么x的值为 ． 13．不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得 ． 14．若（，为有理数），那么 ， ． 15．使等式成立的有理数x的值有 ． 16．若关于x的分式方程无解，则的值为 ． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．解方程： (1)； (2)． 18．化简与求值： (1)计算：； (2)先化简，再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值． 19．小明的作业如下： 解： （第一步） ．（第二步） (1)指出小明的作业是从哪一步开始出现错误的，请更正过来，并计算出正确结果； (2)若，是不等式组的整数解（），求原分式的值． 20．观察以下等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：；      (1)写出第个等式：________； (2)用含的等式写出你猜想的第个等式，并说明理由． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．现有甲、乙、丙三张正方形卡片，卡片的边长如图1所示．某同学将甲和丙卡片的一个直角重叠在一起拼成图2，其阴影部分面积记为；图3为乙卡片，其面积记为． (1)化简式子，并求当时，该式子的值； (2)当时，求的值． 22．阅读理解： 例题：已知实数满足，求分式的值． 解：． 的倒数 ∴ (1)已知实数满足，求分式的值． (2)已知实数满足，求分式的值． 23．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．综合与实践：对x，y定义一种新运算T，规定（其中a，b是非零常数，且），这里等式右边是通常的四则运算．如：，． (1)填空：_________．（用含a，b的代数式表示） (2)若，且． ①求a，b的值； ②若，求m的值． 25．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如：． 解决下列问题： (1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． (3)若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十五章 分式（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．的倒数是（    ） A． B． C．2024 D．－2024 【答案】C 【知识点】倒数、负整数指数幂 【分析】本题主要考查了负整数指数幂和求一个数的倒数，根据负指数的运算规则运算求出的结果，再根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案． 【详解】解：=， ∴的倒数是2024， 故选：C． 2．当时，分式的值是（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】分式的求值 【分析】本题考查了求分式的值，将代入计算即可得出答案． 【详解】解：当时，， 故选：A． 3．“桃花春色暖先开，明媚谁人不看来．”每年4月橘子洲的桃花竞相开放，灿若云霞，芳香四溢，吸引众多市民和游客前来赏花踏春，桃花花粉直径约为0.00003米，其中0.00003用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：． 故选：A 4．下列各式：，，，，，其中分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，式子、是整式）中，分母中含有字母，则叫分式．根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：在，，，，中，其中分式有，，共2个， 故选：B 5．下列说法正确的是（    ） A．代数式是分式 B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C．分式是最简分式 D．分式有意义 【答案】C 【知识点】最简分式、分式的判断、分式有意义的条件、利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】此题主要考查分式的定义、性质、最简分式以及分式有意义的条件．根据分式的定义及性质依次判断即可求解． 【详解】解：A、代数式是整式，不是分式，故本选项不符合题意； B、分式中，都扩大3倍后为，分式的值扩大3倍，故本选项不符合题意； C、分式是最简分式，故本选项符合题意； D、当时，分式有意义，故本选项不符合题意； 故选：C． 6．2023年我市在创建全国文明典范城市的进程中，为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查列分式方程解决实际问题．设原计划每天植树x万棵，则实际每天植树万棵，根据“提前2天完成任务”即可列出方程． 【详解】解：设原计划每天植树x万棵，由题意得 ． 故选：A 7．已 知， 且   ，则等于（   ） A．x B．x +1 C． D． 【答案】C 【知识点】数字类规律探索、分式化简求值 【分析】本题考查了数字的变化规律以及分式化简，解题的关键是能根据求出的结果得出规律，再利用规律求解．分别求出，，，，根据求出的结果得出每三个数就循环一次，再根据得出的规律进行求解． 【详解】解：， ， ， ， 该数列每三个数就循环一次， ， ， 故选：C． 8．已知，， 则P与Q 的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】D 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先利用分式的运算法则化简、，再计算与的差，最后分类讨论得结论． 【详解】解析：， ， ∵， ∴时，， 即； 当且时，， 即． 故无法确定P 与 Q的大小关系， 故选：D． 9．根据分式的性质，可以将分式（为整数）进行如下变形：，其中为整数． 结论Ⅰ：依据变形结果可知，的值可以为0； 结论Ⅱ：若使的值为整数，则的值有3个． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】C 【知识点】分式值为零的条件、求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题主要考查了分式的化简及性质，掌握最简公分母不为零是解题的关键． 由分式的性质可知，，从而可得结论Ⅰ不对，由的值为整数且为整数，则，即可得出结论Ⅱ正确． 【详解】解：， 由化简过程可知，，， ， ； 由题意可知，若使的值为整数且为整数，则， ， 综上所述，． 所以，Ⅰ不对Ⅱ对． 故选：C． 10．若关于x的不等式组 的解集为，且关于y的分式方程 的解为正整数，则符合条件的所有整数a的和为（    ） A．4 B． C．8 D．10 【答案】B 【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查一元一次不等式组、分式方程的解，熟练掌握一元一次不等式组的解法、分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键． 先分别解不等式组里的两个不等式，根据解集求出a的取值范围，再由分式方程的解求出a的范围，得到两个a的范围必须同时满足，即求得可得到的整数a的值． 【详解】解：解不等式组得， ∵不等式组的解集为， ∴ ， 解得， 解关于y的分式方程 ， 得， ∵分式方程的解为正整数， ∴且， ∴且， ， 或或， 所有满足条件的整数a的值有：，，， 符合条件的所有整数a的和为．故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．比较大小： ． 【答案】 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂的计算，分别根据零指数幂，负整数指数幂的计算法则求出两个数，再比较大小即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．若分式 的值为零，那么x的值为 ． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，熟记分子等于零，且分母不等于零是解题的关键．根据分式的值为零的条件建立等式或不等式求解，即可解题． 【详解】解：分式 的值为零， 且， 解得且， ， 故答案为：． 13．不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得 ． 【答案】 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，分式的分子分母都乘以，再化简即可，解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于的数，分式的值不变． 【详解】解：原式， 故答案为：． 14．若（，为有理数），那么 ， ． 【答案】 【知识点】已知分式恒等式，确定分子或分母 【分析】本题考查分式的加法的应用，熟练掌握异分母分式的加法运算法则是解题的关键．先计算，再利用待定系数法列式求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：；． 15．使等式成立的有理数x的值有 ． 【答案】或或 【知识点】有理数的乘方运算、零指数幂 【分析】此题考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方运算，分类讨论得出是解题关键． 利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则得出即可． 【详解】解：当时， ， ，符合题意， 当时， ，，符合题意， 当时， ， ，符合题意， 综上所述．使等式成立的有理数x的值有或或． 故答案为：或或． 16．若关于x的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或或 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，根据分式方程无解的两种情况即可求出的值． 【详解】解： 去分母得， ， 当增根为或时， 或 解得或， 即或时，分式方程无解， 当时，即时，整式方程无解，分式方程无解， 综上可知，当的值为或或． 故答案为：或或． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【知识点】解分式方程 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可． 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 18．化简与求值： (1)计算：； (2)先化简，再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值． 【答案】(1) (2)，当时，值为． 【知识点】分式化简求值、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了分式的化简求值，零指数幂、负整数指数幂的运算． （1）由零指数幂、负整数指数幂以及有理数的除法运算法则进行计算即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 由于，，即， ∴或， 当时，原式； 当时，原式． 19．小明的作业如下： 解： （第一步） ．（第二步） (1)指出小明的作业是从哪一步开始出现错误的，请更正过来，并计算出正确结果； (2)若，是不等式组的整数解（），求原分式的值． 【答案】(1)小明的作业是从第一步开始出现错误的，正确结果为； (2)． 【知识点】分式化简求值、求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】（）根据分式的混合运算顺序和运算法则可判断正误及结果； （）先求出不等式组解集，再根据题意得出的值，然后代入计算即可； 本题考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，求一元一次不等式组的整数解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）小明的作业是从第一步开始出现错误的，正确过程如下： ； （2）由得， 由得， ∴不等式组的解集为， ∴整数解为，， ∵， ∴，， ∴原式． 20．观察以下等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：；      (1)写出第个等式：________； (2)用含的等式写出你猜想的第个等式，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】分式的规律性问题、分式加减乘除混合运算 【分析】（1）根据题目中前4个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第6个等式； （2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可． 本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性． 【详解】（1）第个等式：； （2）解：第个等式为， 理由如下：等式左边， 等式右边， 因为等式左边等式右边， 所以该等式成立． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．现有甲、乙、丙三张正方形卡片，卡片的边长如图1所示．某同学将甲和丙卡片的一个直角重叠在一起拼成图2，其阴影部分面积记为；图3为乙卡片，其面积记为． (1)化简式子，并求当时，该式子的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】分式化简求值、解分式方程 【分析】本题主要考查了分式的化简、解分式方程，掌握分式方程的运算法则是解题的关键． （1）由题意分别列出和的表达式，再求并化简即可，将代入式子即可得出结果； （2）利用十字相乘解分式方程即可，注意结果要检验． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ， 当时，． （2）， ， 解得，， 经检验，是原分式方程的解． 22．阅读理解： 例题：已知实数满足，求分式的值． 解：． 的倒数 ∴ (1)已知实数满足，求分式的值． (2)已知实数满足，求分式的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式的求值 【分析】本题主要考查了分式的求值： （1）仿照题意求解即可； （2）先求出，再根据求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ， ∴． 23．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3)时，该式的值为整数 【知识点】同分母分式加减法 【分析】此题考查分式的变形计算，同分母分式加法逆运算， （1）根据同分母分式加法将各分式变形，即可判断； （2）根据同分母分式加法将各分式变形； （3）将分式变形结果为，根据分式的性质得到x的值． 【详解】（1）①，②；③，④， 故答案为①③④； （2）， 故答案为； （3）原式 当或时，分式的值为整数， 此时或或1或， 又分式有意义时， ． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．综合与实践：对x，y定义一种新运算T，规定（其中a，b是非零常数，且），这里等式右边是通常的四则运算．如：，． (1)填空：_________．（用含a，b的代数式表示） (2)若，且． ①求a，b的值； ②若，求m的值． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】用代数式表示式、构造二元一次方程组求解、解分式方程 【分析】（1）利用新运算的规定解答即可； （2）①利用新运算的规定得到关于的方程，解方程即可求得结论； ②利用新定义的规定列出关于的等式，再将的值代入求解即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）①∵， ∴，整理，可得①， ∵， ∴， ∴②， 由①、②组成二元一次方程组， 解得； ②∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的根， ∴． 【点睛】本题主要考查了新定义下的运算、解分式方程、二元一次方程组等知识，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键． 25．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如：． 解决下列问题： (1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． (3)若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求的最小值． 【答案】(1)假分式 (2)或 (3)27 【知识点】整式乘法混合运算、分式的判断、分式化简求值、分式加减的实际应用 【分析】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． （1）根据定义即可求出答案； （2）先化为带分式，然后根据题意列出方程即可求出x的值； （3）化简，根据分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，得出，求出，代入中，得出，根据，，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意得：分式是假分式， 故答案为：假分式； （2）解：， ∵的值为整数，且为整数； 的值为或； ∴的值为或． （3）解： ， ∵分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最小值为27． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$