第十四章 整式的乘法与因式分解知识归纳与题型突破（单元复习 11类题型清单）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（人教版）

第十四章 整式的乘法与因式分解知识归纳与题型突破 （题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、同底数幂的乘法性质 (其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）. 二、幂的乘方法则 (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释：（1）公式的推广： (，均为正整数) （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 三、积的乘方法则 (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 要点诠释：（1）公式的推广： (为正整数). （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 注意事项 （1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式. （2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 四、单项式乘单项式 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 要点诠释： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 五、单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 六、多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 七、平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 八、完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 九、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 十、补充公式 ；； ；. 十一、因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式. （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 十二、公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 十三、提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即 . （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 十四、公式法——平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式. 十五、公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式. 03 题型归纳 题型一　整式的运算正误判断 例题：（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式的运算，利用积的乘方法则、同底数幂相除法则、幂的乘方法则、完全平方公式逐项判定即可． 【详解】解∶A．，原计算正确，符合题意； B． ，原计算错误，不符合题意； C．，原计算错误，不符合题意； D．，原计算错误，不符合题意； 故选：A． 巩固训练 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查完全平方公式、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，掌握完全平方公式及同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 不正确，不符合题意； ， 不正确，不符合题意； ， 正确，符合题意； ， 不正确，不符合题意． 故选：． 2．（2023·四川资阳·中考真题）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】合并同类项、幂的乘方运算、计算单项式乘单项式、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，平方差公式，单项式乘单项式，幂的乘方的法则，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A．与不能合并，原式计算错误，故A不符合题意； B．，原式计算正确，故B符合题意； C．，原式计算错误，故C不符合题意； D．，原式计算错误，故D不符合题意； 故选：B． 3．（23-24七年级下·江西九江·阶段练习）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算、同底数幂的除法运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，完全平方公式，逐项计算各选项整式的值，再判断即可，解题关键是掌握幂的运算法则． 【详解】A、，故原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，故原计算错误，不符合题意； D、，故原计算错误，不符合题意； 故选：B． 题型二　判断是否是因式分解 例题：（2024上·山东济宁·八年级统考期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式． 【详解】解：A. ，是整式的乘法，不是因式分解； B. ，结果不是积的形式，不是因式分解； C. ，是因式分解；     D. ，是整式的乘法，不是因式分解； 故选C． 巩固训练 1．（2024上·河北保定·八年级统考期末）下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式积．根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案． 【详解】解：A、是多项式乘多项式的整式乘法，不是因式分解，故A错误； B、没把一个多项式转化成几个整式积，不是因式分解，故B错误； C、属于整式乘法运算，不是因式分解，故C错误； D、把一个多项式转化成几个整式积，属于因式分解，故D正确； 故选：D． 2．（2024上·山东威海·八年级统考期末）下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查因式分解：将一个多项式写成几个整式乘积的形式，叫因式分解，熟练掌握因式分解的定义及分解方法是解题的关键． 【详解】解：A. 不是因式分解，故不符合题意； B. ，错误，不符合题意； C. 不是因式分解，故不符合题意； D. 是因式分解，符合题意； 故选：D． 题型三　幂的混合运算 例题：计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的除法； （2）先计算同底数幂的乘法、乘方，再计算同底数幂的乘法与除法． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法与除法，，， （，，都是正整数），注意负数的奇次幂还是负数． 巩固训练 1．计算下列各题 (1) (2)（是整数） (3)（是整数） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据同底数幂的除法法则计算即可； （2）根据同底数幂的乘法和除法法则计算即可； （3）先化为同底数幂，再根据同底数幂的除法法则计算即可； 【详解】（1）； （2）； （3）； 【点睛】本题主要考查了幂的混合运算及其逆运用，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键． 2．计算： (1) (2)； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2) (3)，－25． 【分析】（1）先算幂的乘方，再算乘除，最后计算加减即可求解； （2）把 作为一个整体，从左往右计算，即可求解； （3）先算括号内的，再计算除法，最后再代入求值，即可求解． 【详解】（1）原式； （2）原式． （3）原式== =， 当=－5时，原式=－25． 【点睛】本题主要考查了幂的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握幂的运算法则，零指数幂，负整数指数幂法则是解题的关键． 题型四　逆用幂的相关公式求值 例题：已知：，，， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂的乘方的运算法则及有理数乘方的运算法则即可解答； （2）根据同底数幂的乘除混合运算法则：即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除混合运算法则，幂的乘方的运算法则，掌握同底数幂的乘除混合运算的法则是解题的关键． 巩固训练 1．已知，，求 (1)； (2) 【答案】(1)150 (2) 【分析】（1）先求出，再根据进行求解即可； （2）先求出，，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴； （2）解：∵，， ∴，，即，， ∴． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂乘除法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 2．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）8；（2）1025 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算和积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂乘法的逆运算法则得到，据此代值计算即可； （2）先根据积的乘方将所求式子变形为，再根据幂的乘方的逆运算法则进一步变形为，据此代值计算即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴． （2）∵， ∴ ． 3．回答下列问题． (1)填空： ① ， ② ， (2)比一比，（1）中每组中的两个算式的结果是否相等？猜一猜：当n为正整数时， ． (3)试一试，计算：的值． 【答案】(1)①，；②， (2)相等， (3) 【分析】（1）①第1个先计算括号内的运算，再计算乘方运算，第2个先计算乘方运算，再计算乘法运算；②第1个先计算括号内的运算，再计算乘方运算，第2个先计算乘方运算，再计算乘法运算； （2）由（1）归纳可得：； （3）由，可得，再利用规律进行简便运算即可． 【详解】（1）解：①；； ②，； （2）（n为正整数） （3）． 【点睛】本题考查的是乘方运算的含义，积的乘法运算的应用，理解题意，归纳总结规律是解本题的关键． 4．小红学习了七年级下册“第八章幂的运算”后，发现幂的运算法则如果反过来写，式子可以表达为：；；，可以起到简化计算的作用． (1)在括号里填空：；； (2)已知：，． ①求的值．    ②求的值． (3)已知，求的值． 【答案】(1)，， (2)①；② (3)的值为： 【分析】（1）根据同底数幂的乘除法的逆运算即可求解； （2）①根据同底数幂的乘的逆运算即可求解；②根据同底数幂的乘除法的逆运算即可求解； （3）根据乘方的运算，将等式左边化成底数相同的数，再根据同底数幂的乘法运算法则列式解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵同底数幂的乘法是底数不变，指数相加，即， ∴； ∵同底数幂的除法是底数不变，指数相减，即， ∴； ∵幂的乘方是底数不变，指数相乘，即， ∴； 故答案为：，，． （2）解：， ①∵， ∴原式， ∴的值为：； ②∵， ∴原式， ∴的值为：． （3）解：变形得，， ∴， ∴，解得，， ∴的值为：． 【点睛】本题主要考查整式的乘除法的逆运算，掌握同底数幂的乘除法运算法则，及逆运算的计算方法，解方程的方法是解题的关键． 题型五　整式的四则运算 例题:（24-25八年级上·全国·单元测试）计算： (1)． (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是正确掌握相关运算法则． （1）首先计算单项式乘以多项式，去括号然后合并同类项，即可解题； （2）首先计算单项式乘以多项式，去括号然后合并同类项，即可解题； （3）先提取公因式，计算括号内的，再计算单项式乘以多项式，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)（用简便方法计算）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】整式四则混合运算、幂的乘方运算、积的乘方运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，包括幂的乘方与积的乘方、平方差公式，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据幂的乘方、同底数幂的乘除法计算即可得出答案； （2）根据单项式乘以多项式、幂的乘方与积的乘方法则去括号，再合并即可得出答案； （3）先去括号，再合并同类项即可得出答案； （4）利用平方差公式计算即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 2．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）计算下列各题 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】（）利用完全平方公式、平方差公式展开，再合并即可求解； （）利用完全平方公式展开，再合并即可求解； 本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则和乘法公式是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， ； （2）解：原式 ， ． 3．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）化简 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、计算多项式乘多项式、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了整式的混合计算： （1）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可； （2）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （3）根据完全平方公式求解即可； （4）根据同底数幂乘法计算法则求解即可； （5）先根据平方差公式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可； （6）根据平方差公式和完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 4．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）某学生化简出现了错误，解答过程如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)该学生解答过程是从第______步开始出错，其错误原因是______； (2)请你帮助他写出正确的简化过程． 【答案】(1)二；去括号未变号； (2)见解析． 【知识点】整式的加减运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式的运算，涉及到了完全平方公式的展开，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． （1）根据运算法则逐步判断即可； （2）根据运算法则运算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：该学生解答过程是从第二步开始出错，其错误原因是去括号未变号； 故答案为：二；去括号未变号； （2）解：正确过程为： 原式 题型六　整式的化简求值 例题：（23-24七年级下·广东深圳·期末）先化简，再求值：， 其中， 【答案】， 【知识点】整式四则混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了整式的四则混合运算，涉及完全平方公式及运用；平方差公式及应用，多项式除以单项式等知识，求代数式的值．利用完全平方公式和平方差公式计算乘方，乘法，然后将括号内的式子去括号，合并同类项进行化简，再算括号外面的除法，最后代入求值． 【详解】解：原式= = =， 当，时， 原式=． 巩固训练 1．（23-24八年级上·福建福州·单元测试）先化简，再求值：．其中 【答案】， 【知识点】实数的混合运算、整式四则混合运算 【分析】本题考查了整式的化简求值，实数的运算等知识，先利用积的乘方法则、单项式除以单项式法则、多项式除以单项式法则以及合并同类项法则化简，然后把代入计算即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，1 【知识点】整式的加减中的化简求值、整式四则混合运算 【分析】根据去括号，合并同类项，整式的乘除，进行化简，然后代入求值计算即可． 本题考查了整式的乘除，整式的化简求值，正确化简是解题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【知识点】整式的加减中的化简求值、整式四则混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先利用完全平方公式、多项式乘以多项式去括号，再合并同类项，最后利用多项式除以单项式计算即可化简，代入，计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 当，时，原式． 4．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，5 【知识点】整式四则混合运算、绝对值非负性 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式的运用，整式的混合运算、绝对值非负性的应用等知识，先利用平方差公式，完全平方公式将中括号内的算式进行化简，再进行除法运算，再根据平方和绝对值的非负性得到，的值，代入求解即可．能够熟练掌握运算顺序是解决本题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴，， ∴，， 则，原式． 5．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】；22 【知识点】整式四则混合运算 【分析】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键．直接利用多项式乘以多项式进而计算，再合并同类项，把已知数据代入求出答案． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 题型七　整式运算与图形面积 例题：三张大小不一的正方形纸片按如图1和图2方式分别置于相同的长方形中，它们既不重叠也无空隙．已知正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为． (1)用代数式表示图1中阴影部分的面积，并计算当，，时阴影部分的面积． (2)记图1中阴影部分周长为，图2阴影部分周长之和为，判断的值是否与正方形A、B、C的边长有关，若有关请说明理由，若无关，求出的值． 【答案】(1) (2)的值与三个小正方形的边长无关，值为0 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，整式的加减，解题的关键是掌握运算法则． （1）用长方形的面积减去3个正方形的面积即可； （2）分别求出m，n的值相减即可． 【详解】（1）由题意知：长方形的长为，宽为 长方形的面积 所以图1中阴影部分的面积 当，，时，阴影部分的面积 （2）图1中阴影部分的周长 图2中阴影部分的周长 即的值与三个小正方形的边长无关，值为0． 巩固训练 1．如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块长为，宽为；另一块长为，宽为．现将两块空地进行改造，计划在中间边长为的正方形（阴影部分）中种花，其余部分种植草坪． (1)求计划种植草坪的面积； (2)已知，，若种植草坪的价格为30元/ ，求种植草坪应投入的资金是多少元？ 【答案】(1)计划种植草坪的面积为 (2)种植草坪应投入的资金是243000元 【分析】本题考查了列代数式，多项式乘多项式，以及整式的混合运算-化简求值，弄清楚题意是解答本题的关键． （1）计划种植草坪的面积等于2个矩形的面积减去阴影部分的面积，利用多项式乘多项式法则，平方差公式和完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果即可； （2）将a与b的值代入（1）中求得的栽花面积和草坪面积，再根据总价=单价×数量计算即可求解． 【详解】（1）解：（1）两块空地总面积：， ， 栽花面积：， 草坪面积：． （2），，草坪价格为30元/， 应投入的资金元． 2．如图，一个长方形运动场被分隔成，，，，，共个区，区是边长为的正方形，区是边长为的正方形．    (1)列式表示每个区长方形场地的周长，并将式子化简；（用含、的代数式表示） (2)列式表示整个长方形运动场的周长，并将式子化简；（用含、的代数式表示） (3)如果，，求整个长方形运动场的面积． 【答案】(1)右上方区长方形场地的周长为：，左下角区长方形场地的周长为： (2)整个长方形运动场的周长为： (3)整个长方形运动场的面积为 【分析】本题主要考查整式的混合运算与图形周长、面积的计算，掌握整式的混合运算，代入求值是解题的关键． （1）区是边长为的正方形，区是边长为的正方形，图形结合即可求解； （2）根据长方形的周长的计算方法，整式的加减运算进行化简即可求解； （3）根据长方形的面积的计算方法列式，代入，计算即可． 【详解】（1）解：区是边长为的正方形，区是边长为的正方形， ∴区长方形场地的长为：，宽为：， ∴右上方区长方形场地的周长为：， 左下角区长方形场地的周长为：． （2）解：由（1）可知，区长方形场地的长为：，宽为， ∴整个长方形运动场的长为：，宽为：， ∴整个长方形运动场的周长为：． （3）解：整个长方形运动场的长为：，宽为：， ∴整个长方形运动场的面积为：， 当，时，原式， ∴整个长方形运动场的面积为． 题型八　公因式 例题：多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查公因式，找出多项式中各项的系数的最大公约数，以及相同字母的最低指数次幂，即可得到答案． 【详解】解：系数的最大公约数是，相同字母的最低指数次幂是， ∴公因式为． 故选：C． 巩固训练 1．下列各式中，没有公因式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据公因式的定义逐一分析即可． 【详解】解：A、，与有公因式，故本选项不符合题意； B、与没有公因式，故本选项符合题意； C、与有公因式，故本选项不符合题意； D、与有公因式，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了公因式的含义，熟记公因式的定义与公因式的确定是解题的关键． 2．多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．按照公因式的确定方法，公因式的系数应取，字母x取x，字母y取y, 字z取z． 【详解】∵多项式中， 各项系数绝对值的最大公约数是4， 各项相同字母x的最低次幂是x， 各项相同字母y的最低次幂是y， 各项相同字母z的最低次幂是z， ∴多项式的公因式是． 故选：C． 题型九　判断能否用平方差或完全平方公式因式分解 例题1：（2024上·湖北襄阳·八年级统考期末）下列多项式能用平方差公式分解因式的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了运用平方差公式分解因式，掌握平方差公式的形式是解题关键． 【详解】解：由题意得：只有B选项能用平方差公式分解因式， 故选：B 例题2：（2024下·全国·七年级假期作业）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中能用完全平方公式进行因式分解的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【解析】略 巩固训练 1．（2024上·重庆江津·八年级统考期末）下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差；用字母表示为，本题利用平方差公式判断即可． 【详解】A、，可以用平方差公式分解因式，故不符合题意； B、不可以用平方差公式分解因式，故符合题意； C、，可以用平方差公式分解因式，故不符合题意； D、，可以用平方差公式分解因式，故不符合题意． 故选：B． 2．（2024上·河北唐山·八年级统考期末）对于下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（   ） ①    ②    ③    ④ A．①② B．①④ C．③④ D．②③ 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的因式分解，根据平方差公式的形式：逐项判断即得答案． 【详解】解：①不能用平方差公式进行因式分解， ②，能用平方差公式进行因式分解， ③，能用平方差公式进行因式分解， ④不能用平方差公式进行因式分解， 故选：D． 3．（2024上·广东广州·八年级统考期末）已知多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，熟知完全平方公式是解答的关键． 【详解】解：∵多项式可以用完全平方公式进行因式分解， ∴由得， 故选：D 4．（2024上·山东泰安·八年级统考期末）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（    ） （1）    （2）    （3）    （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解中的公式法，涉及完全平方公式以及平方差公式，据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：，故（1）符合题意； 不能运用公式法分解因式，故（2）不符合题意； ，故（3）符合题意； ，不能运用公式法分解因式，故（4）不符合题意； 所以能运用公式法分解因式的有（1）和（3）， 故选：B 题型十　综合提公因式和公式法因式分解 例题：（2024上·山东东营·八年级统考期末）因式分解： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查因式分解： （1）采用提公因式法求解； （2）先提公因式，再采用公式法求解； （3）先提公因式，再采用公式法求解． 【详解】（1）原式； （2）原式 ； （3）原式 ． 巩固训练 1．（2024上·山东临沂·八年级统考期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了因式分解，解决问题的关键是熟练掌握提公因式法分解因式，运用公式法分解因式． （1）先提公因式，再用完全平方公式分解因式； （2）先用完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式． 【详解】（1）解： （2） 2．（2024上·湖北黄石·八年级统考期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查因式分解， （1）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十一　运用因式分解求多项式的值 例题：（2024上·上海普陀·七年级统考期末）如果，那么的值是（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，根据已知可得，根据完全平方公式因式分解代数式，进而代入即可求解． 【详解】解：∵ ∴，则， ∴， 故选：A． 巩固训练 1．长方形的长和宽分别为a，b，若长方形的周长为16，面积为12，则值为 ． 【答案】 【分析】根据长方形的周长与面积公式确定出与的值，原式分解后代入计算即可求出值． 【详解】解：∵长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为16，面积为12， ∴，， 整理得：，， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了提公因式法，完全平方公式的变形应用，熟练掌握因式分解的方法、正确变形是解本题的关键． 2．（2023上·湖北武汉·八年级期末）若，则代数式值为 . 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是将式子进行适当的变形； 将变形得，再将所求代数式整理变形得出含的因式，再采用整体代入求值即可． 【详解】解：， ， 即， ， ； 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 整式的乘法与因式分解知识归纳与题型突破 （题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、同底数幂的乘法性质 (其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）. 二、幂的乘方法则 (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释：（1）公式的推广： (，均为正整数) （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 三、积的乘方法则 (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 要点诠释：（1）公式的推广： (为正整数). （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 注意事项 （1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式. （2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 四、单项式乘单项式 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 要点诠释： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 五、单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 六、多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 七、平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 八、完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 九、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 十、补充公式 ；； ；. 十一、因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式. （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 十二、公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 十三、提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即 . （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 十四、公式法——平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式. 十五、公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式. 03 题型归纳 题型一　整式的运算正误判断 例题：（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2023·四川资阳·中考真题）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·江西九江·阶段练习）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 题型二　判断是否是因式分解 例题：（2024上·山东济宁·八年级统考期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（2024上·河北保定·八年级统考期末）下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024上·山东威海·八年级统考期末）下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 题型三　幂的混合运算 例题：计算： (1)； (2)． 巩固训练 1．计算下列各题 (1) (2)（是整数） (3)（是整数） 2．计算： (1) (2)； (3)先化简，再求值：，其中． 题型四　逆用幂的相关公式求值 例题：已知：，，， (1)求的值； (2)求的值． 巩固训练 1．已知，，求 (1)； (2) 2．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 3．回答下列问题． (1)填空： ① ， ② ， (2)比一比，（1）中每组中的两个算式的结果是否相等？猜一猜：当n为正整数时， ． (3)试一试，计算：的值． 4．小红学习了七年级下册“第八章幂的运算”后，发现幂的运算法则如果反过来写，式子可以表达为：；；，可以起到简化计算的作用． (1)在括号里填空：；； (2)已知：，． ①求的值．    ②求的值． (3)已知，求的值． 题型五　整式的四则运算 例题:（24-25八年级上·全国·单元测试）计算： (1)． (2)． (3) 巩固训练 1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)（用简便方法计算）． 2．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）计算下列各题 (1)； (2)． 3．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）化简 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 4．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）某学生化简出现了错误，解答过程如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)该学生解答过程是从第______步开始出错，其错误原因是______； (2)请你帮助他写出正确的简化过程． 题型六　整式的化简求值 例题：（23-24七年级下·广东深圳·期末）先化简，再求值：， 其中， 巩固训练 1．（23-24八年级上·福建福州·单元测试）先化简，再求值：．其中 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中，． 3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）先化简，再求值：，其中，． 4．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）先化简，再求值：，其中． 5．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）先化简，再求值：，其中，． 题型七　整式运算与图形面积 例题：三张大小不一的正方形纸片按如图1和图2方式分别置于相同的长方形中，它们既不重叠也无空隙．已知正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为． (1)用代数式表示图1中阴影部分的面积，并计算当，，时阴影部分的面积． (2)记图1中阴影部分周长为，图2阴影部分周长之和为，判断的值是否与正方形A、B、C的边长有关，若有关请说明理由，若无关，求出的值． 巩固训练 1．如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块长为，宽为；另一块长为，宽为．现将两块空地进行改造，计划在中间边长为的正方形（阴影部分）中种花，其余部分种植草坪． (1)求计划种植草坪的面积； (2)已知，，若种植草坪的价格为30元/ ，求种植草坪应投入的资金是多少元？ 2．如图，一个长方形运动场被分隔成，，，，，共个区，区是边长为的正方形，区是边长为的正方形．    (1)列式表示每个区长方形场地的周长，并将式子化简；（用含、的代数式表示） (2)列式表示整个长方形运动场的周长，并将式子化简；（用含、的代数式表示） (3)如果，，求整个长方形运动场的面积． 题型八　公因式 例题：多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．下列各式中，没有公因式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 题型九　判断能否用平方差或完全平方公式因式分解 例题1：（2024上·湖北襄阳·八年级统考期末）下列多项式能用平方差公式分解因式的是(   ) A． B． C． D． 例题2：（2024下·全国·七年级假期作业）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中能用完全平方公式进行因式分解的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 巩固训练 1．（2024上·重庆江津·八年级统考期末）下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024上·河北唐山·八年级统考期末）对于下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（   ） ①    ②    ③    ④ A．①② B．①④ C．③④ D．②③ 3．（2024上·广东广州·八年级统考期末）已知多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为（    ） A．4 B．8 C． D． 4．（2024上·山东泰安·八年级统考期末）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（    ） （1）    （2）    （3）    （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十　综合提公因式和公式法因式分解 例题：（2024上·山东东营·八年级统考期末）因式分解： (1) (2) (3) 巩固训练 1．（2024上·山东临沂·八年级统考期末）分解因式： (1)； (2)． 2．（2024上·湖北黄石·八年级统考期末）分解因式： (1)； (2)． 题型十一　运用因式分解求多项式的值 例题：（2024上·上海普陀·七年级统考期末）如果，那么的值是（    ） A． B． C．1 D．0 巩固训练 1．长方形的长和宽分别为a，b，若长方形的周长为16，面积为12，则值为 ． 2．（2023上·湖北武汉·八年级期末）若，则代数式值为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$