精品解析：山东省聊城市莘县翔宇学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

九年级学业水平检测数学试题 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列说法不正确的是（ ） A. 含角的直角三角形与含角的直角三角形是相似的 B. 所有的矩形是相似的 C. 所有边数相等的正多边形是相似的 D. 所有的等边三角形都是相似的 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形与相似多边形的判定方法逐一进行判断即可得. 【详解】A. 含角的直角三角形可知另一个锐角为60°，与含角的直角三角形是相似的，故不符合题意； B. 若一个矩形的长与宽的比为2：1，另一个矩形的长与宽的比为3：1，则这两个矩形就不相似，故B选项符合题意； C. 所有边数相等的正多边形是相似的，正确，故不符合题意； D. 所有的等边三角形都是相似的，正确，故不符合题意， 故选：B. 【点睛】本题考查了相似三角形与相似多边形的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键. 2. 在中，，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦函数的定义和余弦函数的定义，即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟记锐角的正弦与余弦的定义是解题的关键． 3. 如图，已知和的相似比是，且的面积为2，则四边形的面积为（　　） A. 6 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，求出与的面积比，计算得到答案． 【详解】解：∵和的相似比是，且的面积为2， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 4. 如图，在正方形网格中：、的顶点都在正方形网格的格点上，，则的度数为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 【答案】B 【解析】 【分析】利用相似三角形的性质，证明，可得结论． 【详解】解：， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题关键是证明． 5. 如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，A错误，不符合题意； ∵， ∴，B正确，符合题意； ∵， ∴，C错误，不符合题意； ∵， ∴，D错误，不符合题意， 故选：B． 6. 如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，的顶点都在网格的交点处，则的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格可知，连接AD，则，利用正弦的定义即可求解． 【详解】解：根据表格可知， 连接AD，则， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理、求角的正弦值，从网格图中找出直角三角形是解题的关键． 7. 如图，菱形ABCD的周长为16，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝120°，则OE的长为（　　） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到∠OAE=∠DAB=30°，，即可得到OE=OA． 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD=4， ∵∠ADC=120°，CD∥AB， ∴∠DAB=60°，∠ADB=60°， ∴∠OAE=∠DAB=30°， ∴OE=OA， ∵AB=BC=CD=AD=4，∠ADB=60°， ∴ ∴OA=， ∴OE=， 故选：B． 【点睛】本题考查菱形的性质、30°直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 8. 如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明，根据题意得出，进而即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 9. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 10. 如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（　　） A. 1：3 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：25 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵DE∥AC， ∴△DOE∽△COA， 又S△DOE：S△COA=1：25， ∴， ∵DE∥AC， ∴△BDE∽△BAC， ∴， ∴， ∴S△BDE与S△CDE的比是1：4， 故选B． 11. 如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质得AF＝AD＝BC=5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理可求出BF的长，则CF可得，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可得到x，进一步可得DE的长，再根据正切的定义即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3， ∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处， ∴AF＝AD＝5，EF＝DE， 在Rt△ABF中，BF＝， ∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1， 设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x 在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2， ∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝， ∴DE＝EF＝3﹣x＝， ∴tan∠DAE＝， 故选：D． 【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、锐角三角函数和勾股定理等知识，属于常考题型，灵活运用这些性质进行推理与计算是解题的关键． 12. 如图，△ABC中，，，，过点C作于，过点作⊥BC于，过点作于，这样继续作下去线段 （n 为正整数）等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，数字类规律变化，解直角三角形分别求出即可找到变化规律，进而即可求解，通过计算找到变化规律是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 故选：D． 二、填空（每题3分，共15分） 13. 如图，直线AD∥BE∥CF，BC=AB，DE=6，那么EF的值是________ ． 【答案】4． 【解析】 【详解】∵AD∥BE∥CF，BC＝AB， ∴＝=， 即=， 解得EF=4. 故答案为4． 点睛：本题利用平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 14. 在中，，，，则_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，根据，结合，设，则，求解，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， 设，则， ∴， ∴，解得：， ∴， 故答案为6． 15. 在中，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值非负性，特殊角的三角函数，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握特殊角的三角函数是解题的关键． 由绝对值的非负性及完全平方式的非负性可得，，进而可得，，由特殊角的三角函数可得，，由三角形的内角和定理可得，由此即可求出的度数． 【详解】解：， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 16. 如图，是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是__________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明，再由相似三角形的性质得，求得该古城墙的高度． 【详解】解：由题意知：入射光线与反射光线，， 又， ， 所以 即， 解得米． 故答案为：8 17. 如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动如果点P、Q分别从点A、B同时出发问经过_____秒时，与相似． 【答案】1或2.5 【解析】 【分析】设经过t秒后，与相似，根据路程公式可得，，，然后利用相似三角形的性质对应边的比相等列出方程求解即可． 【详解】解：设经过t秒后，与相似，则有，，， 当时，有， 即， 解得， 当时，有，即， 解得， 所以，经过或时，与相似． 故答案为：1或2.5 【点睛】此题考查相似三角形的判定，本题综合了路程问题和三角形的问题，所以学生平时学过的知识要会融合起来． 三、解答题（共69分） 18. 计算 （1） （2）已知是锐角，且，计算的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先逐项化简，再算加减即可； （2）先根据求出α，然后代入所给代数式计算． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了二次根式的加减，负整数指数幂和零指数幂的意义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 19. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． （1）写出点的坐标为______； （2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）的内部一点M的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______． 【答案】（1） （2）如图： （3） 【解析】 【分析】本题考查位似图形及位似变换 （1）分别延长、、，它们的交点为点，再写出点坐标； （2）把、点的横纵坐标都乘以得到、点的坐标，然后描点并连线即可； （3）利用（2）中对应点的坐标变换规律求解即可． 解题的关键是掌握：当相似的两个图形的对应顶点的连线相交于一点时，就说这两个图形位似，此时的相似比称为位似比，交点称为位似中心；在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或；如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为，那么与原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或． 【小问1详解】 解：如图，分别延长、、，它们的交点为点， ∵与是关于点为位似中心的位似图形， 则点为所作，点坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 如图，，， 把、点的横纵坐标都乘以得：、， 连接、，， 则即为所作； 【小问3详解】 ∵的内部一点M的坐标为， 由（1）知：与是关于原点为位似中心的位似图形，且位似比为， ∴点在中的对应点的坐标为． 故答案为：． 20. 如图，在中，D为上一点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用相似三角形的判定与性质，正确推出比例线段是解题关键． （1）根据两角对应相等证明； （2）根据（1）的结论推，把有关线段的值代入计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ． ， ， ， ． 21. 如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是米，求车宽的长度． 【答案】米 【解析】 【分析】过点作，垂足为，交于点，根据题意，设米，由得，，证明，得出，根据列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，交于点， 则，设米， 由得，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴车宽的长度为米． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 22. 如图，一艘游轮在处测得北偏东的方向上有一灯塔．游轮以海里时的速度向正东方向航行2小时到达处，此时测得灯塔在处北偏东的方向上，求处与灯塔相距多少海里？（结果保留根号） 【答案】海里 【解析】 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题关键．直接过点作求出，的长，再利用锐角三角三角函数关系得出的长即可得出答案． 【详解】解：过点作，垂足为， 在中，，则， ， 由勾股定理得：， 解得：， ， ， ， 在中，，即， ， 海里， 答：处与灯塔相距海里． 23. 宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1米．参考数据：，） 【答案】米 【解析】 【分析】根据，米，设，则，根据勾股定理求得，又设米，则米，米，求出DE，根据列出方程，解方程进而根据即可求解． 【详解】解：在中，，米， 设，则，由， 得， 解得：， ∴米，米 又设米，则米，米 在中，， 则， ∴（米）， 在中，，则， ∴， ∴， 解得：， ∴（米）． ∴东楼的高度约为40米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角形中的边角关系是解题的关键． 24. 如图，在▱ABCD中 过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D． （1）求证：△ABF∽△BEC； （2）若AD=5，AB=8，sinD=，求AF的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC， ∴∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC， ∵∠AFB+∠AFE=180°， ∴∠C=∠AFB， ∴△ABF∽△BEC； （2）． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，得出∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，证出∠C=∠AFB，即可得出结论； （2）由勾股定理求出BE，由三角函数求出AE，再由相似三角形的性质求出AF的长． 【详解】（1） 略 （2）解：∵AE⊥DC，AB∥DC， ∴∠AED=∠BAE=90°， 在Rt△ABE中，根据勾股定理得： BE=, 在Rt△ADE中，AE=AD•sinD=5×=4， ∵BC=AD=5， 由（1）得：△ABF∽△BEC， ∴， 即， 解得：AF=2 ． 25. 如图1． （1）已知和均为等边三角形，D在上，E在上，易得线段和的数量关系是______． （2）将图1中的绕点C旋转到图2的位置，直线和直线交于点F． ①判断线段和的数量关系，并证明你的结论； ②图2中求的度数． 【答案】（1） （2） ①，证明如下： ∵和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． ② 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、旋转的性质、等边三角形的性质等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得,然后根据线段的和差即可解答； （2）①由“”可证即可证明结论；②由全等三角形的性质可得，然后再运用三角形的内角和定理即可解答． 【小问1详解】 解：∵和均为等边三角形， ∴， ∴ ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 ①略 ②∵， ∴， 设交于点O． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级学业水平检测数学试题 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列说法不正确的是（ ） A. 含角的直角三角形与含角的直角三角形是相似的 B. 所有的矩形是相似的 C. 所有边数相等的正多边形是相似的 D. 所有的等边三角形都是相似的 2. 在中，，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 如图，已知和的相似比是，且的面积为2，则四边形的面积为（　　） A. 6 B. 8 C. 4 D. 2 4. 如图，在正方形网格中：、的顶点都在正方形网格的格点上，，则的度数为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 5. 如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，的顶点都在网格的交点处，则的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，菱形ABCD的周长为16，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝120°，则OE的长为（　　） A. B. C. 1 D. 2 8. 如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（　　） A. 1：3 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：25 11. 如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，△ABC中，，，，过点C作于，过点作⊥BC于，过点作于，这样继续作下去线段 （n 为正整数）等于（ ） A. B. C. D. 二、填空（每题3分，共15分） 13. 如图，直线AD∥BE∥CF，BC=AB，DE=6，那么EF的值是________ ． 14. 在中，，，，则_______ ． 15. 在中，若，则_______． 16. 如图，是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是__________． 17. 如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动如果点P、Q分别从点A、B同时出发问经过_____秒时，与相似． 三、解答题（共69分） 18. 计算 （1） （2）已知是锐角，且，计算的值． 19. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． （1）写出点的坐标为______； （2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）的内部一点M的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______． 20. 如图，在中，D为上一点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是米，求车宽的长度． 22. 如图，一艘游轮在处测得北偏东的方向上有一灯塔．游轮以海里时的速度向正东方向航行2小时到达处，此时测得灯塔在处北偏东的方向上，求处与灯塔相距多少海里？（结果保留根号） 23. 宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1米．参考数据：，） 24. 如图，在▱ABCD中 过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D． （1）求证：△ABF∽△BEC； （2）若AD=5，AB=8，sinD=，求AF的长． 25. 如图1． （1）已知和均为等边三角形，D在上，E在上，易得线段和的数量关系是______． （2）将图1中的绕点C旋转到图2的位置，直线和直线交于点F． ①判断线段和的数量关系，并证明你的结论； ②图2中求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $