安徽省临泉田家炳实验中学2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题

临泉田家炳实验中学2025届高三上学期9月份联考数学试题 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1．已知集合，则A∩B=（    ） A． B． C． D． 2．复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，是空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，且，，则点B的坐标为（　　） A. （1，-1，1） B. （4，1，1） C. （1，4，2） D. （4，1，2） 4．下列命题中，正确的是（　　） A. 若ac＜bc，则a＜b B. 若a＞b，c＞d，则ac＞bd C. 若a＞b＞0，则a2＞b2 D. 若a＜b，c＜d，则a-c＜b-d 5．一批花盆堆成三角形垛，顶层一个，以下各层排成正三角形，逐层每边增加一个花盆，若第n层与第n+1层花盆总数分别为f（n）和f（n+1），则f（n）与f（n+1）的关系为（　　） A. f（n+1）-f（n）=n+1 B. f（n+1）-f（n）=n C. f（n+1）=f（n）+2n D. f（n+1）-f（n）=1 6．下列说法中不正确的是（　　） A. 已知命题P：“存在x0∈（-∞，0），2x0＜3x0；命题q：“△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B，则（¬p）∧q为真命题 B. 存在无数个α，β∈R，使得等式sin（α-β）=sinαcosβ+cosαsinβ成立 C. 命题“在△ABC中，若sinA=sinB，则A=B”的逆否命题是真命题 D. 设a∈R，则a=1是直线l1：ax+2y-1=0与直线l2：（a+1）x-ay+4=0垂直的充分必要条件 7． 如图，在△ABC中，=2，=2，AE与CD交于点F，过点F作直线QP，分别交AB，AC于点Q，P，若=λ，=μ，则λ+μ的最小值为（　　） A. B. C. 2 D. 8． 2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：+=（R+r）． 设α=．由于α的值很小，因此在近似计算中≈3α3，则r的近似值为（　　） A. R B. R C. R D. R 二、多选题(共3题，共18.0分) 9．设z是复数，则下列说法正确的有（　　） A. 若z2≥0，则z是实数 B. 若z是虚数，则z2≥0 C. 若z2＜0，则z是虚数 D. 若z是纯虚数，则z2＜0 10．已知x∈R，则下列等式恒成立的是（　　） A. sin（3π-x）=sinx B. C. D. 11．已知各项均为正数的数列{an}的前n项之积为Tn，且an+1=（n∈N*），则（　　） A. 当n≥2时，0＜an≤2 B. 当＜a1＜1时，T4n=1 C. 无论a1取何值，均存在λ∈N*使得an+λ=an对任意n∈N*成立 D. 无论a1取何值，数列{an}中均存在与a1的数值相同的另一项 三、填空题(共3题，共15.0分) 12．已知a＞0，b＞0，且a++b+=10，则-的最大值为 _____． 13．若函数f（x）=在（-∞，+∞）上为增函数，实数b的取值范围是_____． 14．三角形ABC的AB边在平面α内，C在平面α外，AC和BC分别与面α成30°和45°的角，且平面ABC与平面α成60°的二面角，那么∠ACB的大小为_____． 四、解答题(共5题，共77.0分) 15．(13分)已知函数f（x）=-2cos2x-asinx-a+1（a∈R）的最小值为g（a），且g（a）=． （1）求实数a的值； （2）求函数f（x）的最大值，并求此时x的取值集合． 16．(15分)已知点A（-2，0），B（2，0），动点S（x,y）满足直线AS与直线BS的斜率之积为．记动点S的轨迹为曲线C． （Ⅰ）求曲线C的方程； （Ⅱ）设经过点（-1，-1）且不经过点P（0，1）的直线l与曲线C相交于M，N两点，求证：kPM+kPN为定值． 17．(15分)人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策．某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如表： 月份 1 2 3 4 5 销售量y（万件） 4.9 5.8 6.8 8.3 10.2 该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了y关于x的回归模型：． （1）根据所给数据与回归模型，求y关于x的回归方程（的值精确到0.1）； （2）已知该公司的月利润z（单位：万元）与x,y的关系为，根据（1）的结果，问该公司哪一个月的月利润预报值最大？ 参考公式：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=，=-． 18．(17分)某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： A配方的频数分布表 指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110] 频数 8 20 42 22 8 B配方的频数分布表 指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110] 频数 4 12 42 32 10 （Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率； （Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y= 从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率） 19．(17分)已知函数． (1)当时，证明：； (2)现定义：阶阶乘数列满足．若，证明：． 试卷答案 1．【答案】C 【分析】解一元二次不等式可求得，再结合集合的特征即可计算得出结果. 【详解】解不等式可得， 又可得只有当时，的取值分别为在集合中， 所以. 故选C. 2．【答案】D 【分析】根据复数的除法运算化简化简可得，即可得共轭复数，由虚部定义即可求解. 【详解】由，得，故，进而可得，即的虚部是. 故选D. 3．【答案】B 【解析】由题意先求出的坐标，然后利用待定系数法设出点B的坐标，由向量的坐标表示，求解即可． 解：由题意可知，， 设B（x,y,z）， 则， 解得x=4，y=1，z=1， 所以点B的坐标为（4，1，1）． 故选：B． 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】D 【解析】（A）利用命题否定定义即可判断出正误； （B）利用正弦的和差公式验证即可． （C）有原命题的真假判断逆否命题的真假． （D）根据充分必要条件的定义，结合直线垂直的性质及判定分别进行判断即可． 解：对于A：因为当x＜0时，（）x＞1，即2x＞3x，所以命题p为假，从而﹁p为真． △ABC中，有sinA＞sinB⇒a＞b⇒A＞B，所以命题q为真．由真值表可知（﹁p）∧q为真．故A正确； 对于B：sin（α-β）=sinαcosβ-sinβcosα=sinαcosβ+cosαsinβ．可得sinβcosα=0，所以只要β=kπ，α任意，或者α=2kπ+，β任意．故B正确； 对于C：在△ABC中，若sinA=sinB，则A=B”为真命题，则其逆否命题为真命题．故C正确； 对于D：两直线垂直，得到：a（a+1）+2（-a）=0，解得：a=0或a=1，所以应是充分不必要条件，故D不正确， 故选：D． 7．【答案】A 8．【答案】D 【解析】由α=．推导出=≈3α3，由此能求出r=αR=． 解：∵α=．∴r=αR， r满足方程：+=（R+r）． ∴+=（1+）M1， 把代入，得：=（1+α）M1， ∴=[（1+α）-]M1==M1， ∴=≈3α3， ∴r=αR=． 故选：D． 9．【答案】ACD 10．【答案】AB 【解析】由题意利用诱导公式，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 解：由于sin（3π-x）=sin（π-x）=sinx,故A正确； 由于sin（）=sin（-）=cos，故B正确； 由于cos（+3x）=cos（+3x）=-sin3x,故C错误； 由于cos（+2x）=sin2x,故D错误， 故选：AB． 11．【答案】AB 12．【答案】4 【解析】先变形，再利用基本不等式求最值即可． 解：∵a＞0，b＞0，且a++b+=10， ∴-=-+-=10-（a+b++）， ∵a+≥2=4，当且仅当a=2时，等号成立， b+≥2=2，当且仅当b=1时，等号成立， ∴a+b++的最小值为6， ∴-的最大值为4． 故答案为：4． 13．【答案】[1，2] 【解析】由题意可得，解此不等式组求得实数b的取值范围． 解：∵函数f（x）=在（-∞，+∞）上为增函数，∴，解得 1≤b≤2， 故实数b的取值范围是[1，2]， 故答案为[1，2]． 14．【答案】90°或arccos 【解析】从C向平面作垂线CD，连接AD，BD，作CE⊥AB，连接DE，根据三垂线定理，DE⊥AB，设CD=h,∠CBD=45°，BC=h,∠CAD=30°，AC=2CD=2h,∠CED是二面角的平面角，∠CED=60°，CE=，由勾股定理求出∠ACB的大小；另一种是∠B是钝角，CE在三角形ABC之外，AB=AE-BE=，由余弦定理，求出∠ACB的大小． 解：从C向平面作垂线CD，连接AD，BD，作CE⊥AB，连接DE， 根据三垂线定理，DE⊥AB， 设CD=h,∠CBD=45°，BC=h,∠CAD=30°， AC=2CD=2h,∠CED是二面角的平面角， ∠CED=60°，CE=h, 根据勾股定理，AE=h,BE=h,AB=AE+BE=h, 根据勾股定理逆定理，AB2=BC2+AC2， （h）2=（h）2+（2h）2， ∴∠ACB=90°， 另一种是∠B是钝角，CE在三角形ABC之外， AB=AE-BE=h, 根据余弦定理，AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cosC， （h）2=（2h）2+（h）2-2×2h×hcosC， cos∠ACB=，∴∠ACB=arccos． 综上，∠ACB的大小为90°或arccos． 15．【解析】（1）直接利用分类讨论思想的应用，讨论区间和对称轴的关系求出a的值． （2）利用正弦型函数的性质的应用求出函数的最值． 解：（1）根据题意：函数f（x）=-2cos2x-asinx-a+1（a∈R）， 令t=sinx,（-1≤t≤1）， 则g（t）=2t2-at-a-1（-1≤t≤1）， ①当时，即a≤-4， f（a）=，所以无解． ②当时，即-4＜a≤4， f（a）=，即a2+8a+12=0， 所以a=-2或a=-6（舍去）， ③当时，即a＞4时， ，所以a=（舍去）， 综上所述：a=-2． （2）当a=-2时，f（x）=， 当sinx=1时，即x=2k（k∈Z）时，函数的最大值为5． 即当{x|x=2k（k∈Z）}时，函数的最大值为5． 16．【解析】（Ⅰ）利用两点间斜率公式求出直线AS，BS的斜率，由已知得到关于x,y的关系式，化简即可得到答案； （Ⅱ）分直线l的斜率是否存在进行证明，当斜率l不存在时，求出点M，N的坐标，即可证明；当斜率l存在时，设直线l的方程，与椭圆方程联立，得到韦达定理，利用两点间斜率公式表示出kPM+kPN，结合韦达定理以及直线l经过点（-1，-1），即可证明． （Ⅰ）解：由斜率公式求得直线AS，BS的斜率分别为， 所以，化简可得， 所以曲线C的方程为； （Ⅱ）证明：①当直线l的斜率不存在时，t=x=-1， 将x=-1代入，可得， 则， 所以kPM+kPN=2； ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+b（b≠1）， 联立方程组，消去y可得，（4k2+1）x2+8kbx+4b2-4=0， 设M（x1，y1），N（x2，y2）， 所以，， 因为， 则kPM+kPN= = = = = = = =， 因为直线l经过点（-1，-1）， 所以b-k=-1，即b+1=k, 所以kPM+kPN==． 综上所述，kPM+kPN为定值2． 17．【解析】（1）根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解． （2）由（1）可知，y=0.2x2+5，=24-=，再利用导数研究函数的单调性，即可求解． 解：（1）令w=x2， 则=，=， ==，=7.2-0.2×11=5， 故y关于x的回归方程为y=0.2x2+5． （2）由（1）可知，y=0.2x2+5， =24-=， 令g（x）=， 则g'（x）===（x＞0）， 令g'（x）＞0，解得0＜x＜9，令g'（x）＜0，解得x＞9，令g'（x）=0，解得x=9， 故g（x）在x=9处取得极大值，也为最大值， 故g（x）max=g（9）=72-27-9=36， 故第9个月的月利润预报值最大． 18．【解析】（I）根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用两种配方的产品的优质品率的估计值． （II）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值． 解：（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为 ∴用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3． 由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为 ∴用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42； （Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间 [90，94），[94，102），[102，110]的频率分别为0.04，0.54，0.42， ∴P（X=-2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42， 即X的分布列为 X -2 2 4 P 0.04 0.54 0.42 ∴X的数学期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 19．19．【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）合理构造函数，利用导数求解最值，证明不等式即可. （2）利用给定定义结合累加法对目标式进行化简，再结合换元法转化后利用导数证明即可. 【详解】（1）令函数， 要证明时，，即证明， ， ， 所以当时，单调递减，所以，故原不等式成立. （2）将左右同除以， 有 即，累加有， 即， 由（1）知，，即， 所以， 所以，所以， 当时也满足，所以 所以， 下面证明， 令数列，， 因为 ， 因为，故只需判断的符号， 令，则， 令， 当时，，所以单调递增， 所以，所以， 即故数列单调递增， 所以， 故原不等式成立. 学科网（北京）股份有限公司 $$