精品解析：浙江省精诚联盟2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

2024学年第一学期浙江省精诚联盟10月联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，且，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 直线：与直线：的距离是（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间向量，，，若四点共面，则实数x的值为（ ） A. B. 0 C. D. 2 5. 已知点关于直线对称的点Q在圆C：外，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 6. 已知点A坐标为，直线经过原点且与向量平行，则点A到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，直线：上存在点P，满足，则的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 正三角形边长为2，D为的中点，将三角形沿折叠，使.则三棱锥的体积为（ ） A B. 2 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ）. A. 直线恒过第一象限 B. 直线关于x轴的对称直线为 C. 原点到直线的距离为 D. 已知直线过点，且在x，y轴上截距相等，则直线的方程为 10. 已知点在曲线上，点，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 11. 正方体的棱长为2，点M为侧面内的一个动点（含边界），点P、Q分别是线段、的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点M，使得二面角大小为 B. 最大值为6 C. 直线与面所成角为时，则点M的轨迹长度为 D. 当时，则三棱锥体积为定值. 非选择题部分 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分. 12. ，，则在上的投影向量为________（用坐标表示） 13. 已知直线：，：，若满足，则两直线的交点坐标为________. 14. 如图所示试验装置中，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面互相垂直.长度为的金属杆端点在对角线上移动，另一个端点在正方形内（含边界）移动，且始终保持，则端点的轨迹长度为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C圆心在y轴上，并且过原点和. （1）求圆C的方程； （2）若线段的端点，端点B在圆C上运动，求线段的中点M的轨迹方程. 16. 在四面体中，，，E是的中点，F是上靠近A的三等分点， （1）设，，，试用向量、、表示向量； （2）证明：． 17. 在长方体中，，点M为棱上的动点（含端点）． （1）当点M为棱的中点时，求二面角的余弦值； （2）当的长度为何值时，直线与平面所成角的正弦值最小，并求出最小值． 18. 已知，点，点B，C在直线上运动（点B在点C上方）. （1）已知以点A为顶点的是等腰三角形，求边上的中线所在直线方程； （2）已知，试问：是否存在点C，使得的面积被x轴平分，若存在，求直线方程；若不存在，说明理由? 19. 出租车几何或曼哈顿距离（Manhattan Distance）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在空间（平面）直角坐标系上的绝对轴距总和.例如：在平面直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离. （1）已知点，，求的值； （2）记为点B与直线上一点的曼哈顿距离的最小值.已知点，直线：，求； （3）已知三维空间内定点，动点P满足，求动点P围成的几何体的表面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期浙江省精诚联盟10月联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得直线的斜率，从而求得对应的倾斜角. 【详解】由于直线的倾斜角为，则直线的斜率， 再由，可得. 故选：C 2. 已知，，且，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量减法的坐标运算求出，再根据得出数量积等于零，建立等式求解． 【详解】， ， ， 解得：， 故选：A． 3. 直线：与直线：的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线间的距离公式可直接求解. 【详解】设 与的距离为d， 则 故选：B. 4. 已知空间向量，，，若四点共面，则实数x的值为（ ） A. B. 0 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量共面定理得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】因为四点共面， 所以向量共面，即存在实数使得， 又，，， 所以， 所以，解得，则. 故选：A. 5. 已知点关于直线对称的点Q在圆C：外，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用点关于线对称列方程求得Q坐标，代入圆方程得出不等式计算即可. 【详解】设点关于直线对称的点，则，解得. 因为在外，所以，可得 且表示圆可得，即得 综上可得. 故选：C. 6. 已知点A坐标为，直线经过原点且与向量平行，则点A到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量垂直，以及两点间的距离公式即可得到结论． 【详解】由题意得，直线的一个方向向量为， 所以，点到直线的距离为：， . 故选：C． 7. 已知，，直线：上存在点P，满足，则的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到动直线的定点，由动直线与线段有，结合图形判断出倾斜角的范围. 【详解】将代入得， 将代入得， 所以，不在直线上， 又∵， 所以点在线段上， 直线的方程为：， 直线过定点且斜率一定存在， 故由数形结合可知：或 故倾斜角， 故选：D 8. 正三角形边长为2，D为的中点，将三角形沿折叠，使.则三棱锥的体积为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正三角形折叠后得出平面,设夹角为，进而得,再应用三棱锥体积公式计算即可. 【详解】 正三角形边长为2，D为的中点，将三角形沿折叠， 因为平面,所以平面, 设夹角为， 使 . 则, . 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ）. A. 直线恒过第一象限 B. 直线关于x轴的对称直线为 C. 原点到直线的距离为 D. 已知直线过点，且在x，y轴上截距相等，则直线的方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】求出直线过得定点判断A，求得直线关于x轴的对称直线方程判断B，由点到直线的距离判断C，讨论直线在轴上截距是否为0，求出直线方程判断D. 【详解】直线即直，当时，， 即直线恒过定点 ，由在第一象限知A正确； 直线关于x轴的对称直线为，即，故B错误； 由点到直线距离可得，故C正确； 因为直线过点，且在轴上截距相等，当截距都为0时，直线方程为， 当截距不为0时，可设直线方程为，则，，则直线方程为，故D错误. 故选：AC 10. 已知点在曲线上，点，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据对称性可知：只需讨论轴以及其上方的图象即可，分和两种情况， 结合圆的性质分析求的最值，结合选项分析判断. 详解】对于方程， 将换成可得：，即， 可知曲线关于轴对称， 且点在轴上，则只需讨论轴以及其上方图象即可， 当，则曲线方程化为，即， 此时曲线为以为圆心，半径的半圆， 可知，当且仅当为线段与曲线的交点时，等号成立； 当，则曲线方程化为，即， 此时曲线为以为圆心，半径， 可知，当且仅当为的延长线与曲线的交点时，等号成立； 即， 结合选项可知：AD错误；BC正确. 故选：BC. 11. 正方体的棱长为2，点M为侧面内的一个动点（含边界），点P、Q分别是线段、的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点M，使得二面角大小为 B. 最大值为6 C. 直线与面所成角为时，则点M的轨迹长度为 D. 当时，则三棱锥的体积为定值. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意得到二面角的平面角,其中，可得判定A错误；建系求出点及向量，再应用向量的数量积坐标表示计算最值判断B,根据线面角得出的轨迹，结合边长得出角进而应用弧长公式求出侧面内的劣弧判断C,应用向量垂直得出点的位置，再应用等体积法求体积即可判断D. 【详解】在正方体中，可得平面， 因为平面，平面，所以， 所以二面角的平面角为，其中，A错误；    如图建系，设， ， 存在时，取最大值为6，B正确；  设面法向量为，直线与面所成角为时， 可得，所以， 则点M轨迹是以为球心，2为半径的球， 点M为侧面内的一个动点，则点M的轨迹在侧面内是以为圆心，2为半径的劣弧， 如图所示，分别交，于，，如图所示，，则， 则，劣弧的长为，C正确 当时，， 所以，所以，可得为， 则三棱锥的体积为， 所以当时，三棱锥的体积为定值，D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解决轨迹长度的关键是先设点计算求轨迹方程，点M的轨迹是以为球心以2为半径的球，再结合侧面内的边长得出角进而得出弧长即可. 非选择题部分 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分. 12. ，，则在上的投影向量为________（用坐标表示） 【答案】 【解析】 【分析】直接利用向量的夹角运算及数量积运算求出投影向量． 【详解】由于空间向量，， 故向量在向量上的投影向量的坐标． 故答案为：． 13. 已知直线：，：，若满足，则两直线的交点坐标为________. 【答案】 【解析】 【分析】先由直线与直线垂直的性质能求出，再联立直线方程求交点即可. 【详解】直线与直线垂直， ， 解得， 所以，解得 故答案为：. 14. 如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面互相垂直.长度为的金属杆端点在对角线上移动，另一个端点在正方形内（含边界）移动，且始终保持，则端点的轨迹长度为________. 【答案】 【解析】 【分析】建系标点，设，根据垂直关系可得，结合长度可得， 分析可知端点的轨迹是以为圆心，半径的圆的部分，即可得结果. 【详解】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设， 可得， 因为，即，可得， 则，则，整理可得， 可知端点的轨迹是以为圆心，半径的圆的部分， 所以端点的轨迹长度为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C的圆心在y轴上，并且过原点和. （1）求圆C的方程； （2）若线段的端点，端点B在圆C上运动，求线段的中点M的轨迹方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可求解； （2）设，，由中点坐标公式可得，，代入圆C方程，整理即可求解. 【小问1详解】 设圆C方程：， 由已知，解得， ∴圆C的方程为. 【小问2详解】 设点，. ∵， ∴. 整理得，， ∵点B在圆C上，∴， ∴点M的轨迹方程为. 16. 在四面体中，，，E是的中点，F是上靠近A的三等分点， （1）设，，，试用向量、、表示向量； （2）证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由向量的加法与减法运算； （2）证明，得，可得． 【小问1详解】 ， 即； 【小问2详解】 所以． 17. 在长方体中，，点M为棱上的动点（含端点）． （1）当点M为棱的中点时，求二面角的余弦值； （2）当的长度为何值时，直线与平面所成角的正弦值最小，并求出最小值． 【答案】（1） （2），最小值为 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，找出坐标，求出平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，再利用公式求解即可； （2）引入参数，设，，表示出，，，．求出平面法向量，设与平面的所成角为，利用建立等式，再利用基本不等式求解． 【小问1详解】 如图，以为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． 设二面角为，则该角为锐角． 而，，，． 所以，． 设平面法向量 所以． 取，得平面的一个法向量为 易知平面一个法向量为 所以． 【小问2详解】 设， 所以，，，． 设平面法向量为． 所以 取，得平面的一个法向量为． 设与平面的所成角为 所以 令，则 即 当时，即，． 最小值为，此时． 18. 已知，点，点B，C在直线上运动（点B在点C上方）. （1）已知以点A为顶点的是等腰三角形，求边上的中线所在直线方程； （2）已知，试问：是否存在点C，使得的面积被x轴平分，若存在，求直线方程；若不存在，说明理由? 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质及垂直直线的斜率关系求得边的中线的斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可； （2）结合点到直线的距离公式求出的面积，设，，分点C在x轴下方和点C在x轴或x轴上方，两种情况讨论，根据面积列式求解点C的坐标，再求直线方程即可. 【小问1详解】 因为是以点A为顶点的等腰三角形，所以边的中线垂直直线， 所以边的中线的斜率，又过点， 所以边的中线方程为，即； 【小问2详解】 因为点A到直线的距离， 故. 假设存在C满足条件，设，，则，即， ①当点C在x轴下方时，即时，即， 所在直线的方程为，令，解得， 直线与x轴的交点， 又直线与x轴的交点，所以， ，解得或，舍去； ②当点C在x轴或x轴上方时，即时，即， 所在直线的方程为，令，解得， 直线与x轴的交点， 所以， ，解得或（舍去）； 综上，当时，存在点满足题意， 此时，直线的斜率为，故直线方程为. 19. 出租车几何或曼哈顿距离（Manhattan Distance）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在空间（平面）直角坐标系上的绝对轴距总和.例如：在平面直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离. （1）已知点，，求的值； （2）记为点B与直线上一点的曼哈顿距离的最小值.已知点，直线：，求； （3）已知三维空间内定点，动点P满足，求动点P围成的几何体的表面积. 【答案】（1）9 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由曼哈顿距离定义直接计算即可； （2）设直线上任意一点坐标为，然后表示，分类讨论求的最小值即可； （3）不妨将A平移到处，利用曼哈顿距离定义求得P围成的图形为八面体，即可求解其表面积. 【小问1详解】 ，所以. 【小问2详解】 设动点为直线上一点，则， 所以， 即， 当时，； 当时，； 当时，； 综上，为. 【小问3详解】 动点P围成的几何体为八面体，每个面均为边长的正三角形， 其表面积为. 证明如下： 不妨将A平移到处，设， 若，则， 当时，即， 设，，， 则， 所以P，，，四点共面， 所以当时，P在边长为的等边三角形内部（含边界）. 同理可知等边三角形内部任意一点，均满足. 所以满足方程的点P， 构成的图形是边长为的等边三角形内部（含边界）. 由对称性可知，P围成的图形为八面体，每个面均为边长为的等边三角形. 故该几何体表面积. 【点睛】思路点睛：本题考查了新概念问题，解决新概念问题首先要读懂新概念的定义或公式，将其当做一种规则和要求严格按照新概念的定义要求研究，再结合所学知识处理即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$