精品解析：安徽省多校2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题

安徽2024-2025学年高一10月联考 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号搷写在试卷和签题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用被皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. 或 B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如果，且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，，若，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 定义运算：.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 若，，，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 设是一个数集，若对任意的，且，都有，，，，则称是一个数域，例如实数集是一个数域，则下列结论正确的是（ ） A. 数域中必含有0，1两个数 B. 集合是一个数域 C. 有理数集是一个数域 D. 数域中必含有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，.若，则实数____________. 13. 若命题“，”为假命题，则的取值范围是______ 14. 某中学在校园内开设了“希望之星小市场”，将获得的利润捐给希望工程.校学生会通过市场调研得知，某商品的进价为每件20元，设每件售价为元，则每天的销售件数，要想日利润最大，售价应定为每件_______________元.（利润=售价-进价） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，. （1）若，求； （2）设集合，若的子集有8个，求的取值集合. 16. 已知二次函数. （1）指出它的图象可以由函数的图象经过怎样的变换而得到； （2）指出它的图象的对称轴，请描述函数值的变化趋势及最大值或最小值. 17. 已知：关于的不等式的解集为，：不等式的解集为. （1）若，求； （2）若是的必要不充分条件，求的取值范围. 18. （1）当时，求的最小值； （2）已知，，都是正数，且，求证：. 19. 设集合是的非空子集，若对任意，，都有，则称集合具有性质. （1）试判断集合和是否具有性质，并说明理由； （2）已知集合，若具有性质且恰有4个元素，直接写出符合条件的集合；（写出3个即可） （3）已知集合，若具有性质，证明：中的元素个数不大于10. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽2024-2025学年高一10月联考 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号搷写在试卷和签题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用被皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合A的补集，再求交集运算即可. 【详解】因为，所以或， 所以. 故选：D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用全称命题的否定为特称命题可得. 【详解】由全称命题的否定为特称命题可得， 命题“”的否定是. 故选：C. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出二次不等式的解，利用充分条件、必要条件的定义求解即可 【详解】由 若成立，则不一定成立，即充分性不成立； 若成立，则一定成立，即必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B, 4. 如果，且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐一判断即可. 【详解】因为，且，所以或， 对于A，当时，故A错误； 对于B，若，则，此时，故B错误； 对于C，因为，所以，又因为或，所以不为0，所以，故C错误； 对于D，因为，且，所以，，故D正确. 故选：D. 5. 已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得恒成立，再利用基本不等式求出的最小值即可得答案. 【详解】解：因为，，恒成立， 即恒成立， 又因为， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以的最大值为. 故选：A. 6. 已知集合，，若，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，得到，构造不等式求解即可. 【详解】因为，所以，又， 所以解得： 故选：D 7. 若正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】正实数x，y满足，利用基本不等式的性质可得，设，即可求出的最小值． 【详解】∵正实数x，y满足，， ∴，当且仅当取等， 设 ，∴， ∴，即，，∴， 故的最小值为2. 故选：A． 8. 定义运算：.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据新定义将题干表达式转化成一元二次不等式在上恒成立的问题. 【详解】由题意可变形为，即， 化简可得恒成立， 所以恒成立， 化简可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用特殊值代入法排除A，利用不等式的基本性质可判断BCD，得出结论． 【详解】对于A，不妨令，，满足,，不满足，故A错误； 对于B，，由不等式的性质知，B正确； 对于C，由不等式的性质知，若则 所以，故C正确； 对于D，由不等式的性质知，若,，则，故D正确. 故选：BCD. 10. 若，，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A、B，利用基本不等式，对于等式进行部分整理，可得答案； 对于C、D，根据题意以及选项B，结合不等式性质，可得答案. 【详解】对于A，由，则， 由，当且仅当时等号成立， 可得，解得，故A错误； 对于B，由， 当且仅当时，等号成立，则，故B正确； 对于C、D，由， 由题意以及选项B可知：，且， 故C错误，D正确； 故选：BD. 11. 设是一个数集，若对任意的，且，都有，，，，则称是一个数域，例如实数集是一个数域，则下列结论正确的是（ ） A. 数域中必含有0，1两个数 B. 集合是一个数域 C. 有理数集是一个数域 D. 数域中必含有 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，只需令，则，即可证明；对于B，由即可淘汰；对于C，证明出有理数是最小的数域即可；对于D，由有理数是最小的数域，所以数域中必含有. 【详解】对于A，数域中必须有一个非零元素，令，则， 所以任何数域中均含有两个数，所以选项A正确； 对于B，由，而任何数域中均含有两个数，所以选项B错误； 对于C，由任何数域中均含有两个数，数域对加法封闭，所以， 所以所有的正整数都在数域中，再由数域对减法封闭，所以， 所以所有负整数都在数域中，即所有整数都在数域中； 再由数域对除法封闭，整数之间作除法，能得到所有有理数在数域中， 即有理数是最小的数域，任何数域都必须包含所有有理数，所以选项C正确； 对于D，由任何数域都必须包含所有有理数，而，所以数域中必含有，所以选项D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：利用集合理论证明有理数是最小的数域是本题解题的关键所在. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，.若，则实数____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两个集合元素之间的关系，解方程即可． 【详解】由题意，, 若时，解得， 则不成立； 若时，解得或， 当时，成立， 当时，不成立； 综上所述，. 故答案为：. 13. 若命题“，”为假命题，则的取值范围是______ 【答案】或 【解析】 【分析】根据原命题为假命题，则命题的否定为真命题，再通过二次函数判别式计算即可. 【详解】由题知，原命题“”为假命题， 所以命题的否定“”为真命题， 即判别式， 解得或. 故答案为：或. 14. 某中学在校园内开设了“希望之星小市场”，将获得的利润捐给希望工程.校学生会通过市场调研得知，某商品的进价为每件20元，设每件售价为元，则每天的销售件数，要想日利润最大，售价应定为每件_______________元.（利润=售价-进价） 【答案】30 【解析】 【分析】根据题意建立函数关系，利用换元法，构造二次函数，结合其性质求得最大值，可得答案. 【详解】设日利润为，则， 令，由，则，可得， 由二次函数的对称轴，当时，取得，此时日利润最大， 故当，即时，日利润最大. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，. （1）若，求； （2）设集合，若的子集有8个，求的取值集合. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求得，结合集合交集的概念及运算，即可求解；. （2）根据题意，转化为有3个元素，结合集合并集的概念及运算，分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，集合，， 由集合交集的概念及运算，可得. 【小问2详解】 解：由（1）知，集合 又由方程，解得或， 因为集合，若的子集有8个，可得集合有3个元素，即有3个元素， 当时，集合，符合题意； 当时，集合，符合题意； 当时，集合，符合题意； 当且且时，此时，集合，不符合题意， 所以实数的取值集合为. 16. 已知二次函数. （1）指出它的图象可以由函数的图象经过怎样的变换而得到； （2）指出它的图象的对称轴，请描述函数值的变化趋势及最大值或最小值. 【答案】（1）答案见详解 （2）答案见详解 【解析】 【分析】（1）将配方得，根据平移规律即可解答； （2）由（1）可得对称轴及函数图象的变化趋势，根据开口方向，可得函数的最值. 【小问1详解】 因为， 所以函数的图象由函数的图象上所有点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度可得. 【小问2详解】 由（1）可得函数图象开口向上，其对称轴为， 当时，函数值随自变量的增大而减小； 当时，函数值随自变量的增大而增大； 当时，函数值取到最小值，为，无最大值. 17. 已知：关于的不等式的解集为，：不等式的解集为. （1）若，求； （2）若是的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出当时集合A，解分式不等式求出集合，然后利用交集运算求解即可； （2）根据是的必要不充分条件求出集合和集合的关系，根据集合关系列不等式组求解即可. 【小问1详解】 由题知：当时，，解得，所以， 又，所以，解得，所以， 所以； 【小问2详解】 若是的必要不充分条件，则是的真子集， 由（1）知， 时，集合， 所以，则，又时，，符合是的真子集， 时，，符合是的真子集，所以， 综上，实数的取值范围为. 18. （1）当时，求的最小值； （2）已知，，都是正数，且，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将看作整体进行变形，再利用基本不等式的性质即可得解； （2）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论. 【详解】（1），， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当时，函数的最小值为. （2），且， ， 当且仅当， 即时，等号成立， 故. 19. 设集合是的非空子集，若对任意，，都有，则称集合具有性质. （1）试判断集合和是否具有性质，并说明理由； （2）已知集合，若具有性质且恰有4个元素，直接写出符合条件的集合；（写出3个即可） （3）已知集合，若具有性质，证明：中的元素个数不大于10. 【答案】（1）集合不具有，集合具有，理由如下： 对于集合， 因为，所以集合不具有性质. 对于集合， 因为， 所以集合具有性质. （2）（答案不唯一） （3）证明：将集合分成如下的5个集合： . 要证明中的元素个数不大于10，只需证明从上面每个集合中选出的元素不能超过2个. 以为例，该集合超过2个元素的子集有：， 因为，则这些子集均不具有性质. 其余4个集合同理. 因为具有性质，所以从每个集合中选出的元素不超过2个. 综上，集合中的元素个数不大于10. 【解析】 【分析】（1）根据的含义直接验证即可； （2）写出集合并根据的含义验证即可； （3）转化为证明从上面每个集合中选出的元素不能超过2个，举例，证明从每个集合中选出的元素不超过2个即可. 【小问1详解】 集合不具有，集合具有，理由略； 【小问2详解】 以下集合符合条件(答出其中任意3个即可)： ， ， 取其中3个， 证明：满足题意，因为，，， ，，， 则具有性质，同理可证明满足题意. 【小问3详解】 略. 【点睛】关键点点睛：本题（1）（2）问的关键是充分理解的含义，再代入证明即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $