精品解析：天津市北辰区华辰学校2024-2025学年高一上学期第一次学习成果阶段性巩固数学试卷

天津市北辰区华辰学校高中部2024-2025（一）高一年级 第一次数学学习成果阶段性巩固 一、选择题：共10题，每题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列集合中，表示方程组的解集的是 A. B. C. D. 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若.则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 5. 设，则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，，且，则下列结论恒成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 设，则有（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，若，则的取值的集合为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，求的最大值为（ ） A. B. C. D. 10. 设，，，那么集合M，P，Q的关系是（ ） A.  B.  C.  D.  二、填空题：本题共6题，每题4分，共24分. 11. 已知集合，则集合的真子集个数为___________. 12. 已知集合，，若，则等于___________. 13. 已知，那么的大小关系是______.（用“”号连接） 14. 已知，，且，的最小值是________． 15. 已知实数、，满足，，则的取值范围是_______. 16. 对于，不等式恒成立，则实数m的取值范围是______． 三、解答题：本题共4题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 设全集为，集合，，. （1）求，，，； （2）若，求实数的取值范围. 18. 设集合，． （1）若，求实数a的值； （2）若，求实数a的取值范围． 19. 已知全集，集合，． （1）求； （2）若集合，且，求实数a的取值范围． 20. 已知函数和. （1）若，关于的不等式的解集是.求实数，的值； （2）若，，，解关于的不等式； （3）若，，，对，总，使得，求实数的取值范围､（注：表示的是函数中对应的函数值，表示的是中对应的函数值.） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市北辰区华辰学校高中部2024-2025（一）高一年级 第一次数学学习成果阶段性巩固 一、选择题：共10题，每题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集的概念，求出，进而与集合取交集即可. 【详解】∵集合，， ∴， 又∵，∴. 故选：A. 2. 下列集合中，表示方程组的解集的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 解出方程组，方程组的解构成的集合，即有序数对构成的集合. 【详解】解方程组，得即， 所以方程组的解集. 故选：C 【点睛】此题考查集合元素的辨析，正确解出方程组，方程组的解是有序数对，其解集是由有序数对构成的集合，容易出现概念混淆，把解集的形式弄错. 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据命题的否定的概念求解. 【详解】命题“”的否定是， 故选:C. 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若.则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质可判断选项A，D；通过举反例可判断选项B，C. 【详解】当时，若，则，故选项A错误； 当时，满足，但，故选项B错误； 当时，满足，但，故选项C错误； 若，，则由不等式的可加性得，即，选项D正确. 故选：D. 5. 设，则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出的解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】等价于，故推不出； 由能推出． 故“”是“”的必要不充分条件． 故选B． 【点睛】充要条件的三种判断方法： (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断； (2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断； (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题． 6. 已知，，且，则下列结论恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】举反例可判断A，C，D；利用绝对值的性质以及基本不等式可判断B，进而可得正确选项. 【详解】对于A，取，，则不成立,故选项A错误; 对于B，因为与同号，所以，当且仅当时取等号，故选项B正确； 对于C：取，，则不成立，故选项C不正确； 对于D：取，，则，故不成立，故选项D不正确； 故选：B. 7. 设，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作差法得到答案. 【详解】 ， 当且仅当时，等号成立，故. 故选：A 8. 已知，，若，则的取值的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解方程得集合，由得，结合方程可得可能为，，，分别代入解出即可. 【详解】因为， 由于得，结合可知： 当，即时，满足题意； 当，即时，满足题意； 当，即时，满足题意； 故的取值的集合为， 故选：C. 9. 已知，求的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意整理可得，利用基本不等式运算求解即可. 【详解】因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 10. 设，，，那么集合M，P，Q的关系是（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【解析】 【分析】首先要理解集合的定义以及元素之间的关系.对于这三个集合，需要通过对集合中元素表达式的变形来分析它们之间的包含关系.我们将分别对三个集合中的表达式进行分析和转化，然后比较它们的关系. 【详解】先化简集合、、的表达式： 对于集合，已知，将其通分可得. 对于集合，已知，通分得到. 对于集合，已知，通分得到. 再分析集合和的关系：对于集合中的表达式， 我们可以进行变形：，这里. 这意味着对于任意的，表示的数和（）表示的数是一样的形式，都是的某个整数倍加. 所以集合和中的元素是相同的，即. 最后分析集合与（）的关系：对于集合中的表达式，. 这表明表示的是的偶数倍加，而集合（）中的素是的整数倍加. 所以集合中的元素都是集合（）中的元素，但集合（）中存在元素不属于集合， 综上，. 故选：. 二、填空题：本题共6题，每题4分，共24分. 11. 已知集合，则集合的真子集个数为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再计算其真子集个数； 【详解】因为，即， 解得, 所以含有个元素， 所以集合的真子集个数为， 故答案为： 12. 已知集合，，若，则等于___________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据得，解出，并验证即可求解 【详解】因为，，， 所以， 解得或， 当时，不满足集合的互异性，应舍去； 当时，，符合要求 故答案为：5 13. 已知，那么的大小关系是______.（用“”号连接） 【答案】 【解析】 【分析】由不等式的性质易知，，，即可得出结果. 【详解】， 即 故答案为： 【点睛】本题考查了不等式的性质，考查了理解辨析能力和逻辑推理能力，属于一般题目. 14. 已知，，且，的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】将与已知条件结合起来，构造出可以使用基本不等式的形式来求解最小值. 【详解】因为，所以. 根据乘法分配律展开得到：. 整理上式得. 因为，根据基本不等式，这里，，则. 先计算，所以. 所以. 故的最小值是.当且仅当，即，时取得最值. 故答案为： 15. 已知实数、，满足，，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】 利用待定系数法得出，结合不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】设， ，解得，所以，， ，，所以，，， 所以，，即. 因此，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用不等式的基本性质求代数式的取值范围，考查了待定系数法的应用，考查计算能力，属于基础题. 16. 对于，不等式恒成立，则实数m的取值范围是______． 【答案】． 【解析】 【分析】先化简，然后利用基本不等式求其最小值，最后根据不等式恒成立的含义，利用一元二次不等式求解即可. 【详解】∵，∴， 则， 当且仅当，即时等号成立， ∴，即，解得或， 故实数m的取值范围是. 故答案为：． 三、解答题：本题共4题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 设全集为，集合，，. （1）求，，，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），，，或；（2） 【解析】 【分析】（1）根据交集并集补集的定义数形结合即可求解； （2），则，即可求解 【详解】（1）因为，， 所以，， 或，或， 所以，或； （2）因为，，， 所以，解得 所以实数的取值范围 18. 设集合，． （1）若，求实数a的值； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合A，由给定交集的结果，求出a并验证得解. （2）由给定条件，可得，再利用集合的包含关系讨论求解即得. 【小问1详解】 由题意可得：， 若，可得，则，解得或， 当时，则，满足； 当时，则，满足； 综上所述：或. 【小问2详解】 由（1）可知：， 若，等价于， 若，则，解得； 若，则，无解； 若，由（1）可知； 若，则，无解； 综上所述：实数的取值范围是. 19. 已知全集，集合，． （1）求； （2）若集合，且，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意先求集合，再结合集合间的运算求解； （2）根据题意可得，分和两种情况，结合包含关系列式求解. 【小问1详解】 对于，解得或，可得或， 对于，等价于，解得，即， 可得或，所以或. 【小问2详解】 由（1）可知：， 因为，则， 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述：实数a的取值范围为. 20. 已知函数和. （1）若，关于的不等式的解集是.求实数，的值； （2）若，，，解关于的不等式； （3）若，，，对，总，使得，求实数的取值范围､（注：表示的是函数中对应的函数值，表示的是中对应的函数值.） 【答案】（1）， （2）当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； （3） 【解析】 【分析】(1)由一元二次方程与一元二次不等式的解集的关系求a，b， (2)根据一元二次不等式的解法求解不等式； （3）根据不等式恒成立问题和存在性问题的处理方法转化条件，总，使得，求m的范围. 【小问1详解】 ∵ 关于的不等式的解集是， ∴ 和3是方程的根， ∴ ，，又， ∴ ，，， 【小问2详解】 ∵ ，， ∴ 不等式可化为， ∴ ， 当时，原不等式可化为 ∴ , 当时，方程的解为和，且， 不等式的解集为， 当时，不等式可化为 的解集为， 当时，方程的解为和，且， 不等式的解集为， ∴ 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； 【小问3详解】 ∵ 对，总，使得， ∴ ， 又在上的最小值为， ∵，，， ∴ ∴ 当时，在上的最小值为， ∴ ∴ ， 当时，在上的最小值为， ∴ ∴ 不存在， ∴ 当时，在上的最小值为， ∴ ∴ 不存在， 综上可得：实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $