专题13 双曲线中弦长与切线五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（苏教版2019选择性必修第一册）

专题13 双曲线中弦长与切线五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、双曲线中弦长………………………………………………………………2 类型二、双曲线中点弦………………………………………………………………4 类型三、双曲线相交弦 6 类型四、双曲线切点弦 14 类型五、双曲线的切线 18 压轴能力测评（10题） 20 1.双曲线中弦长： 直线与双曲线相交的弦长公式 （1）定义：连接双曲线上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与双曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被双曲线截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为： 2. 双曲线切点弦 若在双曲线（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是. 3. 双曲线切线： （1）直线与双曲线相切时，它们的方程组成的方程组消元后所得方程(二次项系数不为零)的判别式为零. （2）若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是. 类型一、双曲线中弦长 例．过双曲线的左焦点作直线，与双曲线交于两点，若，则这样的直线有（     ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式训练1】已知双曲线C：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式训练2】设双曲线的左、右焦点分别为，，且E的渐近线方程为． (1)求E的方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四边形ABCD面积的最小值． 类型二、双曲线中点弦 例．设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知直线与双曲线交于两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（     ） A．2 B． C． D．3 【变式训练2】已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)若为双曲线上的两点且不关于原点对称，直线过的中点，求直线的斜率. 类型三、双曲线相交弦 例．过双曲线的右焦点作斜率相反的两条直线、，与的右支交与、两点，与的右支交、两点，若、相交于点． (1)求证：点为定点； (2)设的中点为的中点为，当四边形的面积等于时，求四边形的周长． 【变式训练1】已知双曲线的左焦点坐标为，直线与双曲线交于两点，线段中点为. (1)求双曲线的方程； (2)经过点与轴不重合的直线与双曲线交于两个不同点，点，直线与双曲线分别交于另一点. ①若直线与直线的斜率都存在，并分别设为.是否存在实常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. ②证明：直线恒过定点. 【变式训练2】已知双曲线过点，且的渐近线方程为． (1)求的方程； (2)如图，过原点作互相垂直的直线，分别交双曲线于，两点和，两点，，在轴同侧． ①求四边形面积的取值范围； ②设直线与两渐近线分别交于，两点，是否存在直线使，为线段的三等分点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 类型四、双曲线中切点弦 例．已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线交于两点，是双曲线上一点（与不重合），直线的斜率分别为，且． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线，且与双曲线交于两点，为的中点，为坐标原点，且，若直线与圆相切，求直线的方程． 【变式训练1】双曲线C：的离心率为，圆O：与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被双曲线C截得的弦长为. (1)求双曲线C的方程； (2)设圆O上任意一点P处的切线交双曲线C于两点M、N，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由； (3)若将（2）中的双曲线改为椭圆，其他条件不变，试探讨的值. 【变式训练2】（多选）如图所示，已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的面积为，的内切圆的面积为，则（     ） A．圆和圆外切 B．圆心一定不在直线上 C． D．的取值范围是 类型五、双曲线的切线 例．已知双曲线：与双曲线有相同的焦点；且的一条渐近线与直线平行. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线于两点，为坐标原点，试判断的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由. 【变式训练1】已知双曲线，若点P在双曲线的左支上，且PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最小值． 1．已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（ ） A．2 B． C． D． 2．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A，B两点，若，则该双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 3．已知双曲线：斜率为的直线与的左右两支分别交于，两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点，如图1.若直线的斜率为，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 4．双曲线的一条渐近线方程为，半焦距为，则下列论述正确的是（     ） A．双曲线的离心率为3 B．顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为 C．直线与双曲线有两个不同的交点 D．过点有两条直线与双曲线相切 5．（多选）双曲线具有如下性质：双曲线在任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角.设为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，右顶点到一条渐近线的距离为2，右支上一动点处的切线记为，则（     ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率为 C．当轴时， D．过点作，垂足为 6．（多选）已知为坐标原点，双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且的最小值为6，则（     ） A．该双曲线的方程为 B．若，则直线的斜率为 C．的最小值为25 D．面积的最小值为12 7．已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于、两点，已知，若这样的直线有条，则实数的取值范围是____________ 8．已知中心在原点、焦点在x轴上的圆锥曲线E的离心率为2，过E的右焦点F作垂直于x轴的直线，该直线被E截得的弦长为6． (1)求E的方程； (2)若面积为3的的三个顶点均在E上，边过F，边过原点，求直线的方程： (3)已知，过点的直线l与E在y轴的右侧交于不同的两点P，Q，l上是否存在点S满足，且？若存在，求点S的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由． 9．已知双曲线的渐近线方程为，的半焦距为，且． (1)求的标准方程． (2)若为上的一点，且为圆外一点，过作圆的两条切线（斜率都存在），与交于另一点与交于另一点，证明： （ⅰ）的斜率之积为定值； （ⅱ）存在定点，使得关于点对称． 10．已知为坐标原点，双曲线的焦距为，且经过点. (1)求的方程： (2)若直线与交于，两点，且，求的取值范围： (3)已知点是上的动点，是否存在定圆，使得当过点能作圆的两条切线，时（其中，分别是两切线与的另一交点），总满足？若存在，求出圆的半径：若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 双曲线中弦长与切线五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、双曲线中弦长………………………………………………………………2 类型二、双曲线中点弦………………………………………………………………4 类型三、双曲线相交弦 6 类型四、双曲线切点弦 14 类型五、双曲线的切线 18 压轴能力测评（10题） 20 1.双曲线中弦长： 直线与双曲线相交的弦长公式 （1）定义：连接双曲线上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与双曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被双曲线截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为： 2. 双曲线切点弦 若在双曲线（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是. 3. 双曲线切线： （1）直线与双曲线相切时，它们的方程组成的方程组消元后所得方程(二次项系数不为零)的判别式为零. （2）若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是. 类型一、双曲线中弦长 例．过双曲线的左焦点作直线，与双曲线交于两点，若，则这样的直线有（     ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【解析】由题意得双曲线左焦点， 当直线垂直于横轴时，不符合题意，双曲线渐近线方程为； 故可设， 与双曲线联立可得， ， 由弦长公式知， 则或. 故存在四条直线满足条件. 故选：D 【变式训练1】已知双曲线C：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【解析】双曲线C：的一条渐近线方程是， ，即 ∵左焦点，，，，， 双曲线C的方程为 易知直线l的方程为，设，， 由，消去y可得， 故选：D 【变式训练2】设双曲线的左、右焦点分别为，，且E的渐近线方程为． (1)求E的方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四边形ABCD面积的最小值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意得到，结合，求得的值即可； （2）设直线，，求得，联立方程组，利用弦长公式，求得，，得到，令，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由题意，得的渐近线方程为， 因为双曲线的渐近线方程为，所以，即， 又因为，所以，则， 故的方程为． （2）根据题意，直线，的斜率都存在且不为0， 设直线，，其中， 因为，均与的右支有两个交点，所以，，所以， 将的方程与联立，可得， 设，则，， 所以 ，用替换，可得， 所以．令，所以， 则， 当，即时，等号成立，故四边形面积的最小值为．    类型二、双曲线中点弦 例．设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则的中点，可得， 因为在双曲线上，则，两式相减得，所以. 对于选项A： 可得，则， 联立方程，消去y得， 此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：可得，则， 联立方程，消去y得， 此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误； 对于选项C：可得，则 由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线， 所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D：，则， 联立方程，消去y得， 此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确； 故选：D. 【变式训练1】已知直线与双曲线交于两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（     ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【解析】设，则，且， 所以，整理得到：， 因为是弦的中点， 所以，所以即 所以， 故选：A. 【变式训练2】已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)若为双曲线上的两点且不关于原点对称，直线过的中点，求直线的斜率. 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）椭圆的焦点为，故， 由双曲线的渐近线为，故，故， 故双曲线方程为：. （2）设，的中点为， 因为在直线，故， 而，，故， 故， 由题设可知的中点不为原点，故，所以， 故直线的斜率为. 此时， 由可得，整理得到：， 当即或， 即当或时，直线存在且斜率为1. 类型三、双曲线相交弦 例．过双曲线的右焦点作斜率相反的两条直线、，与的右支交与、两点，与的右支交、两点，若、相交于点． (1)求证：点为定点； (2)设的中点为的中点为，当四边形的面积等于时，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）设直线的斜率为，则直线：，，，不妨设，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，根据对称性，可知点一定在轴上，设，又，由得到方程，求出，即可得证； （2）设、与轴的交点分别为、，则，且与互相平分，由面积推导出，即四边形为正方形，从而得到且斜率为，即可求出的方程，联立求出、坐标，从而得到、坐标，再计算周长即可. 【详解】（1）易知双曲线的右焦点， 由与的右支交与、两点，与的右支交、两点， 设直线的斜率为，则直线：， 由，得， 设，，不妨设， 则，解得或， 又与斜率相反，即与关于轴对称，又、相交于点， 则点与点对称，点与点对称，则与也关于轴对称， 根据对称性可知点一定在轴上，设，又， 所以，所以， 即，解得， 所以直线、相交于点. （2）依题意四边形为等腰梯形，为梯形的中位线， 设、与轴的交点分别为、，则，且与互相平分， 所以， 所以，则四边形为正方形， 所以且斜率为， 所以直线：，则，得，解得或， 则，， 所以，， 则，， 所以， ，， 所以四边形的周长为.    【变式训练1】已知双曲线的左焦点坐标为，直线与双曲线交于两点，线段中点为. (1)求双曲线的方程； (2)经过点与轴不重合的直线与双曲线交于两个不同点，点，直线与双曲线分别交于另一点. ①若直线与直线的斜率都存在，并分别设为.是否存在实常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. ②证明：直线恒过定点. 【答案】(1)；(2)①存在，；②证明见解析 【分析】（1）由点差法可得，结合及，可求得结果. （2）①又直线与双曲线相交可求得，再设，联立结合韦达定理可求得的坐标，进而得，代入可求解. ②由①知,由对称性知过的定点在轴上，计算可得解. 【详解】（1）由题意知，直线的斜率为，设， 由题意，两式相减得：， 整理得：，即， 又，所以，即双曲线， 经检验满足题意. （2）①因为的斜率存在且，设，， 联立，消去整理得：， 由题意得，解得 又，设直线， 联立，整理得， 由韦达定理得， 又，， 于是， 故，同理可得， ，， 为定值，所以的值 ②由①知（*）， 由对称性知过的定点在轴上，在（*） 令，得， 解得 直线恒过定点 【变式训练2】已知双曲线过点，且的渐近线方程为． (1)求的方程； (2)如图，过原点作互相垂直的直线，分别交双曲线于，两点和，两点，，在轴同侧． ①求四边形面积的取值范围； ②设直线与两渐近线分别交于，两点，是否存在直线使，为线段的三等分点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)①；②不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意求得，即可得解； （2）①易知直线，的斜率均存在且不为， 设，的方程为，则的方程为，联立，消元，则，利用韦达定理求得，再根据弦长公式可求得，同理可求得的范围及，再根据整理即可得出答案； ②设直线的方程为，，联立，消元，根据求得的关系，利用韦达定理求得，再利用弦长公式求得，易求得的坐标，即可求出，再根据，为线段的三等分点，可得，结合，可得两个等量关系，从而可得出结论. 【详解】(1)由题意有，则， 将点代入双曲线方程得， 联立解得， 故的方程为； (2)①，易知直线，的斜率均存在且不为， 设， 的方程为，则的方程为， 联立，消整理得， 直线与双曲线交于两点， 故且，则， 则， 则， 联立，消整理得， 直线与双曲线交于两点， 故且，解得， 则， 则， 根据对称性可知四边形为菱形， 其面积 ， ，∴，∴， ∴， ； ②，假设满足题意的直线存在， 易知直线斜率存在，设直线的方程为， ， 联立，整理得， 则且， 解得且， 由韦达定理有， 则 ， 不妨设为直线与渐近线的交点， 联立，解得， ， 同理可得点的坐标为， 则 ， 因为，为线段的三等分点，， 即， 整理得，① ，， 则，即， ， 整理得,② 联立①②得，无解， 故没有满足条件的直线． 类型四、双曲线中切点弦 例．已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线交于两点，是双曲线上一点（与不重合），直线的斜率分别为，且． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线，且与双曲线交于两点，为的中点，为坐标原点，且，若直线与圆相切，求直线的方程． 【答案】(1)；(2)或 【分析】（1）根据题意，利用点差法求得的关系，再利用双曲线的定义即可得解； （2）先利用直线与圆相切得到的关系，再联立直线与双曲线的方程，推得，进而利用弦长公式得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】（1）依题意，设， ， 点在双曲线上， ，两式相减得， 整理得，所以， ， 由双曲线的定义可知，||，解得，， 双曲线的标准方程为. （2）因为直线与圆相切， 所以点到直线的距离， ， 联立，消去，得且， 则，即， 设， ， ， 为的中点，为坐标原点且， ， 将代入上式，， 解得或， 所以直线的方程为或. 【变式训练1】双曲线C：的离心率为，圆O：与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被双曲线C截得的弦长为. (1)求双曲线C的方程； (2)设圆O上任意一点P处的切线交双曲线C于两点M、N，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由； (3)若将（2）中的双曲线改为椭圆，其他条件不变，试探讨的值. 【答案】(1)；(2)是，定值为2；(3)是，定值为2. 【分析】（1）由离心率为，可得，由圆在点处的切线被双曲线截得的弦长确定过的点，即可求解作答. （2）切线斜率存在时，设出其方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理、直角三角形射影定理可得为定值，验证切线斜率不存在的情况作答. （3）切线斜率存在时，设出其方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理、直角三角形射影定理可得为定值，验证切线斜率不存在的情况作答. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，依题意，，即有， 圆交x轴于点，则圆O在点A处的切线被双曲线截得的弦长为， 由双曲线的对称性知被截弦的端点在双曲线上， 因此，而，解得， 所以双曲线的方程为. （2）当圆在点处切线斜率不存在时，点或，切线方程为或， 由（1）及已知，得，则有， 当圆在点处切线斜率存在时，设切线方程为， 则有，即，由消去y得： ，显然， ，而， 则 ， 因此，在中，于点P，则， 综上得为定值2. （3）当圆在点处切线斜率不存在时，点或，切线方程为或， 把代入椭圆方程，得，即，则有， 当圆在点处切线斜率存在时，设切线方程为， 则有，即，由消去y得： ，显然， ，而， 则 ， 因此，在中，于点P，则， 综上得为定值2. 【变式训练2】（多选）如图所示，已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的面积为，的内切圆的面积为，则（     ） A．圆和圆外切 B．圆心一定不在直线上 C． D．的取值范围是 【答案】ABC 【解析】双曲线的，渐近线方程为、， 两渐近线倾斜角分别为和，设圆与x轴切点为G 过的直线与双曲线的右支交于两点，可知直线的倾斜角取值范围为 由双曲线定义和圆的切线长定理可知、的横坐标均为，即与x轴垂直. 故圆和圆均与x轴相切于，圆和圆两圆外切.选项A判断正确； 由双曲线定义知，中，，则AO只能是的中线，不能成为 的角平分线，则圆心一定不在直线上. 选项B判断正确； 在中，，， 则由直角三角形的射影定理可知，即 则，故.选项C判断正确； 由直线的倾斜角取值范围为，可知的取值范围为， 则的取值范围为， 故 则 令，则在单调递减，在单调递增. ，，，值域为 故的值域为.选项D判断错误. 故选：ABC 类型五、双曲线的切线 例．已知双曲线：与双曲线有相同的焦点；且的一条渐近线与直线平行. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线于两点，为坐标原点，试判断的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由. 【详解】（1）设双曲线的焦距为， 由题意可得：，则， 则双曲线的方程为. （2）由于直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），则直线的斜率存在， 设直线的方程为， 则，消得：， 则，可得：① 设与轴交点为， 则， ∵双曲线两条渐近线方程为：， 联立，解得，即， 同理可得：， 则（定值）. 【变式训练1】已知双曲线，若点P在双曲线的左支上，且PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最小值． 【答案】 【分析】设，由（1）可得到和，进而求得的方程，联立方程组，求得，利用点到直线的距离公式和弦长公式，求得，进而求得最小值. 【详解】设，由（1）可得，切线方程分别为和， 因为切线过点，可得，所以过点的方程为， 其中，其中，联立方程组，可得， 可得，且， 所以， 点到直线的距离为，所以 ，令，当，可得， 所以面积的最小值为. 1．已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（ ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】设、，则，， 两式相减可得， 为线段的中点，，， ，又，， ，即，， 故选：D. 2．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A，B两点，若，则该双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可设双曲线方程为，， 由得，则，， 不妨假设，则， 由图象的对称性可知，可化为， 即，解得， 故双曲线方程为：， 故选：C 3．已知双曲线：斜率为的直线与的左右两支分别交于，两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点，如图1.若直线的斜率为，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，线段AB的中点，代入双曲线的方程中可得，两式相减得，可得①，设，线段CD的中点，同理得②，由，得 三点共线， 从而求得，由此可求得双曲线的离心率. 【解析】设，线段AB的中点， 则，两式相减得， 所以①， 设，线段CD的中点，同理得②， 因为，所以，则三点共线， 所以，将①②代入得：，即， 所以，即， 所以， 故选：D. 4．双曲线的一条渐近线方程为，半焦距为，则下列论述正确的是（     ） A．双曲线的离心率为3 B．顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为 C．直线与双曲线有两个不同的交点 D．过点有两条直线与双曲线相切 【答案】C 【解析】由题易得，所以错误； 顶点到渐近线的距离为与焦点到渐近线的距离，距离之比为，B错误； 因为直线与渐近线平行，所以直线与双曲线的左支仅有1个交点， 与右支没有交点.又直线与直线都过点， 且直线的倾斜角比直线的倾斜角小， 直线与双曲线有两个不同的交点，正确； 因为，所以点位于双曲线右支的右侧位置， 显然过点的直线不可能与双曲线相切，D错误. 故选:C 5．（多选）双曲线具有如下性质：双曲线在任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角.设为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，右顶点到一条渐近线的距离为2，右支上一动点处的切线记为，则（     ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率为 C．当轴时， D．过点作，垂足为 【答案】ACD 【分析】由题意求出b的值，即可求得双曲线渐近线方程，判断A；根据离心率定义，求出离心率，判断B；利用双曲线定义可判断C；由题意结合角平分线性质推出，K为的中点，进而结合三角形中位线以及双曲线定义求得，判断D. 【详解】对于A，由双曲线可知，右顶点， 其渐近线方程为，右顶点到一条渐近线的距离为2， 不妨取渐近线，则，解得， 故双曲线的渐近线方程为，A正确； 对于B，由于， 故双曲线的离心率为，B错误； 对于C，，当轴时，将代入中， 得，即得， 由于P在双曲线右支上，故，C正确； 对于D，连接并延长交的延长线于E， 由题意知，为的角平分线，结合， 可知，K为的中点，而O为的中点， 故，D正确， 故选：ACD 6．（多选）已知为坐标原点，双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且的最小值为6，则（     ） A．该双曲线的方程为 B．若，则直线的斜率为 C．的最小值为25 D．面积的最小值为12 【答案】ACD 【分析】由题知，，进而可求得双曲线的方程判断A；设直线，由已知可知，联立直线与双曲线方程结合可判断B；利用两点之间的距离公式化简计算可判断C；利用面积公式及弦长公式可求得面积，再利用函数思想求得最值可判断D. 【解析】对于A，依题意可知，，，结合，得，，所以双曲线的方程为，故A正确； 对于B，易知，抛物线渐近线的斜率为，设，， 直线，由直线与双曲线的右支交于两点，所以，从而， 联立，得，则，，， 若，则，即，解得，不满足，故B错误； 对于C，由，则，， 所以 因为，所以，故C正确； 对于D，， 设，则，，令，函数在上单调递减，因此， 故D正确， 故选：ACD． 7.已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于、两点，已知，若这样的直线有条，则实数的取值范围是____________ 【答案】 【解析】记，若直线与轴重合，此时，； 若直线轴时，将代入双曲线方程可得，此时， 当时，则，此时，；当，可得，则， 所以，双曲线的实轴长和通径长不可能同时为； 当直线与轴不重合时，记，则点， 设直线的方程为，其中，设点、， 联立可得， 由题意可得，可得， ， 由韦达定理可得，， 所以，， 即， 所以，关于的方程由四个不等的实数解. 当时，即当时，可得， 可得，整理可得，因为，解得； 当时，即当，可得， 可得，整理可得，可得. 综上所述， 8.已知中心在原点、焦点在x轴上的圆锥曲线E的离心率为2，过E的右焦点F作垂直于x轴的直线，该直线被E截得的弦长为6． (1)求E的方程； (2)若面积为3的的三个顶点均在E上，边过F，边过原点，求直线的方程： (3)已知，过点的直线l与E在y轴的右侧交于不同的两点P，Q，l上是否存在点S满足，且？若存在，求点S的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)或；(3)不存在，理由见解析 【分析】（1）依题意设出双曲线方程，根据条件即可得结果； （2）根据直线与双曲线相交，由弦长公式及三角形面积公式可得结果； （3）根据直线与双曲线相交，由条件得出点S的轨迹可判断结果. 【详解】（1）圆锥曲线E的离心率为2，故E为双曲线，     因为E中心在原点、焦点在x轴上，所以设E的方程为，     令，解得，所以有    ①     又由离心率为2，得    ②，由①②解得， 所以双曲线E的标准方程是． （2）设，，由已知，得，根据直线过原点及对称性， 知，     联立方程，得，化简整理，得，     所以，且，     所以，解得，   所以直线的方程是或．    （3）若直线l斜率不存在，此时直线l与双曲线右支无交点，不合题意， 故直线l斜率存在，设直线l方程，联立方程，得， 化简整理，得， 依题意有，因为恒成立， 所以，故，解得：，         设，，则由韦达定理，得， 设点S的坐标为，由，得， 则，变形得到， 将，代入，解得， 将代入中，解得， 消去k，得到点S的轨迹为定直线：上的一段线段（不含线段端点，，设直线与双曲线切于，直线与渐近线平行时于交点为）．     因为，，且，取中点， 因为， 所以， 所以，故， 即S的轨迹方程为，表示以点H为圆心，半径为的圆H， 设直线与y轴，x轴分别交于，，依次作出直线，，，， 且四条直线的斜率分别为：，，，， 因为，所以线段是线段的一部分     经检验点，均在圆H内部，所以线段也必在圆H内部， 因此线段也必在圆H内部，所以满足条件的点S始终在圆H内部， 故不存在这样的点S，使得，且成立．     9．已知双曲线的渐近线方程为，的半焦距为，且． (1)求的标准方程． (2)若为上的一点，且为圆外一点，过作圆的两条切线（斜率都存在），与交于另一点与交于另一点，证明： （ⅰ）的斜率之积为定值； （ⅱ）存在定点，使得关于点对称． 【答案】(1)(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）利用渐近线方程可得，再由焦距为以及即可求得，，可得的标准方程； （2）（i）设切线方程为，利用直线和圆相切可得，再由韦达定理整理可得的斜率之积为定值，且定值为2； （ii）联立直线与双曲线方程，可得，同理可求出，化简得，所以，因此关于点对称. 【详解】（1）因为的渐近线方程为，所以， 则，所以， 因为，所以，得. 因为，所以，可得， 所以， 故的标准方程为. （2）证明：（i）设，如下图所示： 设过点的切线的斜率为，则切线方程为， 即，所以， 即， 因此的斜率是上式中方程的两根，即. 又因为，所以 所以的斜率之积为定值，且定值为. （ii）不妨设直线的斜率为，直线的斜率为， 联立，得. 因为， 所以， 则，同理可得， 所以. 因为，所以，所以， 得. 因为都在上，所以或（舍去）， 所以存在定点，使得关于点对称. 10．已知为坐标原点，双曲线的焦距为，且经过点. (1)求的方程： (2)若直线与交于，两点，且，求的取值范围： (3)已知点是上的动点，是否存在定圆，使得当过点能作圆的两条切线，时（其中，分别是两切线与的另一交点），总满足？若存在，求出圆的半径：若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)；(3)存在， 【分析】（1）根据焦距以及经过的点即可联立求解， （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，进而根据向量的数量积的坐标运算化简得，根据弦长公式，结合不等式即可求解， （3）根据圆心到直线的距离可得，进而根据数量积运算可判断，结合对称性即可求解；或者利用切线关系得,根据斜率相乘关系，代入韦达定理化简可得半径. 【详解】（1）由题意可得，解得， 故双曲线方程为 （2）当直线斜率不存在时，设, 将其代入双曲线方程， 又，解得， 此时， 当直线斜率存在时，设其方程为，设, 联立， 故， 则 ， 化简得，此时， 所以 ， 当时，此时， 当时，此时， ，故， 因此， 综上可得.    （3）    设，， 由于为圆的切线，平分，且,所以, 设过点与圆相切的直线方程为（直线斜率存在时） ， ，将两根记为， ， 同理可得 故 ， 故存在这样的圆，半径为 当或斜率不存在时，此时，，显然满足题意， 故存在这样的圆，半径为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$