专题05 圆中弦长切线六种考法-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（苏教版2019选择性必修第一册）

专题05 圆中弦长切线六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、圆中弦长 2 类型二、圆中切线 3 类型三、圆中切点弦 5 类型四、圆中周长与面积 6 类型五、圆中过定点…………………………………………………………………10 类型六、与其他章节融合……………………………………………………………12 压轴能力测评（10题） 14 1. 圆中弦长 解决有关弦长问题的常用方法及结论: 1、几何法：如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 2、代数法：若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点， 则|AB|＝·＝ ·|yA－yB| (其中k≠0)． 特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|， 2.圆中切线 切线长度最值问题 （1）代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值； （2）几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题． 已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为. 3.圆中切点弦 切点弦方程求解，可以有如下两种思路 （1）公共弦法：过圆外一点作圆的切线，则切点与四点共圆，线段就是圆的一条直径．两圆方程相减可得公共弦所在直线方程． （2）二级结论法：外一点做切线，切点所在直线方程（切点弦方程）为： 4. 圆中周长与面积 将问题转化为弦长或者切线长最值问题 5. 圆中过定点 一般情况下，过定点，如果两条直线都有参数，则两条直线可能存在“动态”垂直。则直线交点必在定点线段为直径的圆上，每一条直线都可以通过“直线系”得到直线过定点。 6. 与其他章节融合 常常与三角函数、基本不等式等章节结合起来考查最值范围 类型一、圆中弦长 例．过点M（2，2）的直线l与圆x2+y2﹣2x﹣8＝0相交于A，B两点，则|AB|的最小值为_____；此时直线l的方程为_______． 【答案】     4     【解析】∵圆x2+y2﹣2x﹣8＝0，即（x﹣1）2+y2＝9，圆心C（1，0），半径为3， 点M（2，2）在圆内，， 要使|AB|的值最小，则MC⊥AB，此时|MC|＝， |AB|＝； 直线l的斜率为，则直线l的方程为y﹣2＝（x﹣2），即x+2y﹣6＝0． 故答案为：4；． 【变式训练1】已知直线与圆有公共点，则的取值范围为______，所有的弦中，最长的弦的长度为______． 【答案】          【解析】由于直线与圆有公共点， 所以； 又弦长，可知当时，有最大值， 其最大值为． 故答案为：， 【变式训练2】已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 【答案】（中任意一个皆可以） 【解析】设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得：或， 由，所以或，解得：或 故答案为：（中任意一个皆可以） 【变式训练3】已知直线与圆相交于A，B两点当的面积最大时， ， 【答案】0或 【解析】由圆得：圆心，圆的半径， 因为， 所以当的面积最大时，，此时， 则为等腰直角三角形，则圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式得，解得或. 故答案为：0或 类型二、圆中切线 例．设点为直线上一点，则由该点向圆所作的切线长的最小值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【解析】由题知， 圆化简为：，则圆心，半径为， 所以由点向圆所作的切线长为： ， 当时，切线长取得最小值4， 故选：C 【变式训练1】已知圆，点在直线上，过直线上的任一点引圆的两条切线，若切线长的最小值为2，则直线的斜率（ ） A．2 B． C．或 D．2或 【答案】C 【解析】圆的圆心为，半径为， 因为切线长的最小值为2，所以， 所以圆心到直线的距离为，所以直线必有斜率，设，即， 所以圆心到直线的距离为， 所以，整理得，解得或. 故选：C 【变式训练2】（多选）瑞士著名数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（ ） A．圆上的点到直线的最小距离为 B．圆上的点到直线的最大距离为 C．若点在圆上，则的最小值是 D．圆与圆有公共点，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】因为，所以是等腰三角形，可得的外心、重心、垂心都位于的垂直平分线上，由点，点可得线段的中点为，且直线的斜率，所以线段的垂直平分线的方程为，即.又圆的圆心为，直线与圆相切，所以点到直线的距离为，所以圆. 对于选项A、B：圆的圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的最小距离为，最大距离为，故选项A正确，选项 B错误； 对于C，令，即，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离为，解得或，则的最小值是，故选项C正确； 对于D，圆的圆心为，半径为，若该圆与圆有公共点，则，即，解得，故选项D正确. 故选：ACD. 类型三、圆中切点弦 例．在平面直角坐标系中，已知圆，，直线与圆相切，与圆相交于，两点，分别以点，为切点作圆的切线，设直线，的交点为，则的最大值为__________． 【答案】/ 【分析】设，，由相切关系，建立点A，B坐标所满足的方程，即弦所在直线的方程，由直线与圆相切，得，求出m的最大值. 【详解】设点，，，， 因为分别以点A，B为切点作圆的切线，． 设直线，的交点为，所以，则， 即，所以，因为， 所以，即是方程的解， 所以点在直线上， 同理可得在直线上， 所以弦所在直线的方程为， 因为直线与圆相切，所以， 解得，得， 即的最大值为． 故答案为：3.5 【变式训练1】过原点作圆的两条切线，设切点分别为、，则线段的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，可化为， ∴圆心，半径，则有，故切线段长， 若线段的长为，则，得． 故选：B 【变式训练2】过直线上任一点P作圆O：的两条切线，切点分别为A，B，若直线AB与圆M：恒有公共点，则t的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出切线方程，然后求出直线AB方程，根据直线和圆有公共点解出t的取值范围. 【详解】解：设，，，过直线上任意一点P作圆O：的两条切线分别为，，则，，结合，可得切线，切线，又， 从而直线AB的方程为，且过定点， 因为直线AB与圆M：恒有公共点，故有定点在圆M上或是圆内， 故可得，解得，则t的取值范围是. 故选：B 类型四、圆中周长与面积 例．设P为直线上的动点，PA、PB为圆的两条切线，A、B为切点，则四边形APBC面积的最小值为__________ . 【答案】 【解析】圆的圆心，半径， 连接，，，可得，，且，， ， 的最小值是圆心到直线的距离， 所以四边形面积的最小值为． 故答案为：． 【变式训练1】过点作圆的两条切线，设切点分别为A，B，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解出直线的方程，在圆中求出弦长，再求出点到直线的距离，从而得出的面积. 【详解】解：设圆的圆心为， 因为过点作圆的两条切线，设切点分别为，， 所以，，，四点在以为直径的圆上，设为， 故的方程为，即， 将两圆联立方程组，解得， 故直线：， 点到直线：的距离为， 在圆中，点到直线：的距离为， 所以，解得， 所以的面积为. 故选：B. 【变式训练2】已知圆C：，过点的相互垂直的两条直线分别交圆于点和，则四边形面积的最大值为 . 【答案】7 【分析】先判断点和圆的关系，再求出两条弦长，最后根据均值不等式求最大值. 【详解】圆C：，即：，点在圆内部， 设圆心到直线和的距离分别为，，则有： ，，且， 所以，四边形面积， 当且仅当时等号成立，故四边形面积的最大值为7. 故答案为：7 【变式训练3】（多选）已知圆：，圆：，P，Q分别是，上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，四边形的面积可能为7 B. 当时，四边形的面积可能为8 C. 当直线PQ与和都相切时，的长可能为 D. 当直线PQ与和都相切时，的长可能为4 【答案】ACD 【解析】 【详解】圆：的圆心，半径； 圆：的圆心，半径； 可知，可知两圆外离， 对于选项AB：设， 因为，可知梯形的高为， 所以四边形的面积为， 可知四边形的面积可能为7，不可能为8，故A正确，B错误； 对于选项CD：设直线与x轴的交点为，根据对称性可知： 如图，因为，可知， 则，可知， 所以； 如图，因为，可知， 则，可知， 所以； 故CD正确； 故选：ACD. 类型五、圆中过定点 例．已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，则点坐标为 ；的最小值为 ． 【答案】 / / 【分析】联立圆的方程，可得公共弦方程及其恒过的定点，利用两点间距离公式可得，再利用二次函数性质可得最值. 【详解】由，， 可得，即， 所以，解得， 所以点， 又，， 则， 所以当时，取最小值为， 经检验，当时，两个方程均表示圆，且两圆相交，满足题意. 故答案为：，. 【变式训练1】点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标. 【详解】设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、. 故选：D. 【变式训练2】已知圆，过动点分别做直线、与圆相切，切点为、，设经过、两点的直线为，则动直线恒过的定点坐标为__________． 【答案】 【解析】设点为圆上一点，当的斜率存在且不为零时，直线的斜率为， 此时，圆在点处的切线方程为， 即， 当与轴重合时，，，此时切线方程为，满足， 当与轴重合时，，，此时切线方程为，满足. 综上所述，圆在其上一点处的切线方程为. 设点、，则直线的方程为， 直线的方程为， 由题意可得， 所以，点、的坐标满足方程， 故直线的方程为，即， 由，解得，因此，直线恒过的定点坐标为. 故答案为： 类型六、与其他章节融合 例．（多选）设动直线l：（）交圆C：于A，B两点（点C为圆心），则下列说法正确的有（ ） A．直线l过定点（2，3） B．当取得最大值时， C．当∠ACB最小时，其余弦值为 D．的最大值为24 【答案】ABD 【分析】将直线方程变形为，即可求出直线l过的定点进而判断A； 结合选项A可知定点在圆C的内部，进而当直线l过圆心时最大，即可判断B； 根据点线之间的距离可知当时最小，结合余弦定理计算即可判断C； 根据题意可知当为直径时取得最大值，即可判断D. 【详解】选项A，由整理得， 当即时，不论m为何值时，都成立， 所以直线l过定点，故A正确； 选项B，因为直线l过定点，将定点代入圆， 所以定点在圆C的内部，当直线l过圆心时，取得最大值， 此时，解得：，故B正确； 选项C，设直线l过的定点，当时，圆心到直线的距离最大， 即的余弦值最大，结合余弦在上单调递减，可得最小， 而，所以， 所以在中，，故C不正确； 选项D，， 所以当为直径时，取得最大值， 此时，所以的最大值为24，故D正确. 故选：ABD 【变式训练1】已知圆，圆，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线，切点分别为，则的最小值是（ ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】两圆的圆心距为5，大于两圆的半径之和，可以知道两圆相离，结合下图（见解析）的最小值是的值，求出即可． 【详解】由题意，圆的圆心为（1，0），半径为1，圆的圆心（，），半径为2，所以，而，所以两圆相离．，要使取得最小值，需要和越小，且越大才能取到，设直线和圆交于两点（如下图）．则的最小值是. =，，则.所以. 故选：D. 【变式训练2】若且，圆：和圆：有且只有一条公切线，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】首先根据题意得到圆与圆内切，从而得到，再利用基本不等式求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为2；圆的圆心为，半径为3. 因为圆和圆只有一条公切线， 所以圆与圆内切，所以，即， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为4． 故答案为：4 1．已知直线是圆的对称轴．过点作圆的两条切线，切点分别为、，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，圆C的标准方程为，即圆心为 C（2，1），半径为2． 点（2，1）在直线上，即 点A的坐标为（-4，-1） 过点A作圆C的切线所得切线长为 以点A为圆心，6为半径的圆A的方程为 圆A与圆C的方程作差得，即直线BD的方程为 故选：A． 2．已知是直线上一点，是圆的一条切线，是切点，若长度的最小值为，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由切线的性质可得，利用勾股定理可知当长度取最小值时，的长度取得最小值，即圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式可求得正实数的值. 【详解】圆的标准方程为，该圆的圆心为，半径为， 由圆的切线的性质可知，由勾股定理可得，因为，则，即圆心到直线的距离为，所以，，，解得. 故选：D. 3．过直线上一点P作圆M：的两条切线，切点分别为A，B，若使得四边形PAMB的面积为的点P有两个，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】利用圆的性质可得，进而可得，结合题意可得，即得. 【详解】由圆M：可知，圆心，半径为1，∴， ∴四边形PAMB的面积为， ∴，要使四边形PAMB的面积为的点P有两个， 则，解得. 故选：A. 4．已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线过定点（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，圆心C的坐标为，可得以线段为直径的圆N的方程，两圆方程作差，得两圆公共弦的方程可得答案． 【详解】因为P为直线l上的动点，所以可设，由题意可得圆心C的坐标为， 以线段为直径的圆N的圆心为，半径为，所以方程为，两圆方程作差， 即得两圆公共弦的方程为，，所以直线过定点． 故选：A. 5．（多选）已知圆，直线是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则当切线长取最小值时，下列结论正确的是（ ） A． B．点的坐标为 C．的方程可以是 D．的方程可以是 【答案】BCD 【解析】圆圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 因为是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为， 则切线长的最小值为，故A错误； 设过点与直线垂直的直线方程为，则，解得， 所以，由，解得，所以，故B正确； 显然过点的切线的斜率存在， 设切线的方程为，则，解得或， 所以切线的方程为或，故CD正确. 故选：BCD 6．（多选）设直线l：，圆C：，若直线l与圆C恒有两个公共点A，B，则下列说法正确的是（ ） A．r的取值范围是 B．若r的值固定不变，则当时∠ACB最小 C．若r的值固定不变，则的面积的最大值为 D．若，则当的面积最大时直线l的斜率为1或 【答案】BD 【分析】A选项，先整理直线方程，得到直线过的定点，再根据直线与圆的位置关系得到半径r的范围；B选项，利用平面几何知识分析出当时，∠ACB最小，再利用斜率之间的关系即可判断；C选项，先将的面积用半径r和圆心C到直线l的距离d表示，再利用二次函数的知识求最值即可；D选项，利用C选项得到半径r和圆心C到直线l的距离d之间的关系，再利用点到直线的距离公式建立方程，求得a，b之间的关系，即可得到结果． 【详解】A选项：因为直线l：，即， 令，解得， 所以直线l过定点， 因为直线l与圆C恒有两个公共点， 所以，故A错误； B选项：因为直线l过定点， 所以当时，∠ACB最小， 因为，所以此时直线l的斜率为， 即，即，故B正确； C选项：设圆心C到直线l的距离为d， 则的面积， 因为，所以， ①，即，则当时，的面积最大，且； ②若，即，则函数S随着d的增大而增大，所以， 综上的面积的最大值为或，故C错误； D选项：由C选项知，当时的面积最大，因为，所以，整理得，所以或， 因为，所以直线l的斜率，所以或，故D正确． 故选：BD． 7．过圆上的动点作圆的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为__________． 【答案】 【解析】作出图形，过圆上一动点作圆的两条切线、，切点分别为、，计算出圆的圆心到直线的距离为，可知圆内不在任何切点弦上的点形成以原点为圆心，半径为的圆的内部，利用圆的面积公式可求得结果. 【详解】如下图所示，过圆上一动点作圆的两条切线、，切点分别为、， 则，，， 则，且为锐角，所以，同理可得， 所以，，则为等边三角形，连接交于点， 为的角平分线，则为的中点，， 且，， 若圆内的点不在任何切点弦上，则该点到圆的圆心的距离应小于， 即圆内的这些点构成了以原点为圆心，半径为的圆的内部， 因此，圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为. 故答案为： 8．已知圆，过动点分别做直线、与圆相切，切点为、，设经过、两点的直线为，则动直线恒过的定点坐标为__________． 【答案】 【解析】设点为圆上一点，当的斜率存在且不为零时，直线的斜率为， 此时，圆在点处的切线方程为， 即， 当与轴重合时，，，此时切线方程为，满足， 当与轴重合时，，，此时切线方程为，满足． 综上所述，圆在其上一点处的切线方程为． 设点、，则直线的方程为， 直线的方程为， 由题意可得， 所以，点、的坐标满足方程， 故直线的方程为，即， 由，解得，因此，直线恒过的定点坐标为． 故答案为：． 9．在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，0），B（4，0），点M满足.记M的轨迹为C. (1)求C的方程； (2)设圆C1，若直线l交曲线C于P，Q两点，l交圆C1于R，S两点，且，证明：直线l过定点. 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）设，根据列出方程，整理即可得解； （2）设直线的方程为，根据圆的弦长公式分别求得，再根据，得出之间的关系，从而可得出结论. 【详解】（1）解：设， 则， 因为， 所以， 整理得：， 所以C的方程为； （2）证明：由（1）知，曲线的轨迹为以为圆心，2为半径的圆， 由圆C1， 得圆的圆心，半径为1， 则，所以两圆外离， 则直线的斜率一定存在，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，则， 圆心到直线的距离为，则， 因为， 所以， 即，即， 所以或， 当时，直线的方程为，所以直线过定点， 当时，直线的方程为，所以直线过定点， 所以直线l过定点. 10．已知圆． (1)若圆的切线在轴和轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程； (2)从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且有，求使得的长度取得最小值的点的坐标． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，设所求切线方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可得出关于实数的等式，解出的值，即可得出所求切线的方程； （2）利用两点间的距离公式结合勾股定理可知点在直线上，再由可知当与直线垂直时，取最小值，求出此时的方程，与直线的方程联立可求得点的坐标. 【详解】（1）解：切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零，设切线方程为， 又圆的标准方程为， 所以，圆心到切线的距离等于圆的半径， 则，解得或， 因此，所求切线的方程为或. （2）解：，， 又，， 所以，，则． 所以，点在直线上． ，的长度的最小值就是长度的最小值， 而长度的最小值为到直线的距离， 此时直线的方程为． 由，解得， 因此，使得的长度取得最小值的点的坐标为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 圆中弦长切线六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、圆中弦长 2 类型二、圆中切线 2 类型三、圆中切点弦 3 类型四、圆中周长与面积 3 类型五、圆中过定点…………………………………………………………………4 类型六、与其他章节融合……………………………………………………………4 压轴能力测评（10题） 4 1. 圆中弦长 解决有关弦长问题的常用方法及结论: 1、几何法：如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 2、代数法：若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点， 则|AB|＝·＝ ·|yA－yB| (其中k≠0)． 特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|， 2.圆中切线 切线长度最值问题 （1）代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值； （2）几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题． 已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为. 3.圆中切点弦 切点弦方程求解，可以有如下两种思路 （1）公共弦法：过圆外一点作圆的切线，则切点与四点共圆，线段就是圆的一条直径．两圆方程相减可得公共弦所在直线方程． （2）二级结论法：外一点做切线，切点所在直线方程（切点弦方程）为： 4. 圆中周长与面积 将问题转化为弦长或者切线长最值问题 5. 圆中过定点 一般情况下，过定点，如果两条直线都有参数，则两条直线可能存在“动态”垂直。则直线交点必在定点线段为直径的圆上，每一条直线都可以通过“直线系”得到直线过定点。 6. 与其他章节融合 常常与三角函数、基本不等式等章节结合起来考查最值范围 类型一、圆中弦长 例．过点M（2，2）的直线l与圆x2+y2﹣2x﹣8＝0相交于A，B两点，则|AB|的最小值为_____；此时直线l的方程为_______． 【变式训练1】已知直线与圆有公共点，则的取值范围为______，所有的弦中，最长的弦的长度为______． 【变式训练2】已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 【变式训练3】已知直线与圆相交于A，B两点当的面积最大时， ， 类型二、圆中切线 例．设点为直线上一点，则由该点向圆所作的切线长的最小值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式训练1】已知圆，点在直线上，过直线上的任一点引圆的两条切线，若切线长的最小值为2，则直线的斜率（ ） A．2 B． C．或 D．2或 【变式训练2】（多选）瑞士著名数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（ ） A．圆上的点到直线的最小距离为 B．圆上的点到直线的最大距离为 C．若点在圆上，则的最小值是 D．圆与圆有公共点，则的取值范围是 类型三、圆中切点弦 例．在平面直角坐标系中，已知圆，，直线与圆相切，与圆相交于，两点，分别以点，为切点作圆的切线，设直线，的交点为，则的最大值为__________． 【变式训练1】过原点作圆的两条切线，设切点分别为、，则线段的长为（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】过直线上任一点P作圆O：的两条切线，切点分别为A，B，若直线AB与圆M：恒有公共点，则t的取值范围是（ ） A． B． C． D． 类型四、圆中周长与面积 例．设P为直线上的动点，PA、PB为圆的两条切线，A、B为切点，则四边形APBC面积的最小值为__________ . 【变式训练1】过点作圆的两条切线，设切点分别为A，B，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知圆C：，过点的相互垂直的两条直线分别交圆于点和，则四边形面积的最大值为 . 【变式训练3】（多选）已知圆：，圆：，P，Q分别是，上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，四边形的面积可能为7 B. 当时，四边形的面积可能为8 C. 当直线PQ与和都相切时，的长可能为 D. 当直线PQ与和都相切时，的长可能为4 类型五、圆中过定点 例．已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，则点坐标为 ；的最小值为 ． 【变式训练1】点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式训练2】已知圆，过动点分别做直线、与圆相切，切点为、，设经过、两点的直线为，则动直线恒过的定点坐标为__________． 类型六、与其他章节融合 例．（多选）设动直线l：（）交圆C：于A，B两点（点C为圆心），则下列说法正确的有（ ） A．直线l过定点（2，3） B．当取得最大值时， C．当∠ACB最小时，其余弦值为 D．的最大值为24 【变式训练1】已知圆，圆，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线，切点分别为，则的最小值是（ ） A． B．3 C． D． 【变式训练2】若且，圆：和圆：有且只有一条公切线，则的最小值为 ． 1．已知直线是圆的对称轴．过点作圆的两条切线，切点分别为、，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 2．已知是直线上一点，是圆的一条切线，是切点，若长度的最小值为，则的值是（ ） A． B． C． D． 3．过直线上一点P作圆M：的两条切线，切点分别为A，B，若使得四边形PAMB的面积为的点P有两个，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C．或 D．或 4．已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线过定点（ ） A． B． C． D． 5．（多选）已知圆，直线是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则当切线长取最小值时，下列结论正确的是（ ） A． B．点的坐标为 C．的方程可以是 D．的方程可以是 6．（多选）设直线l：，圆C：，若直线l与圆C恒有两个公共点A，B，则下列说法正确的是（ ） A．r的取值范围是 B．若r的值固定不变，则当时∠ACB最小 C．若r的值固定不变，则的面积的最大值为 D．若，则当的面积最大时直线l的斜率为1或 7．过圆上的动点作圆的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为__________． 8．已知圆，过动点分别做直线、与圆相切，切点为、，设经过、两点的直线为，则动直线恒过的定点坐标为__________． 9．在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，0），B（4，0），点M满足.记M的轨迹为C. (1)求C的方程； (2)设圆C1，若直线l交曲线C于P，Q两点，l交圆C1于R，S两点，且，证明：直线l过定点. 10．已知圆． (1)若圆的切线在轴和轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程； (2)从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且有，求使得的长度取得最小值的点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$