第13讲 抛物线的几何性质（知识清单+2易错+3必考题型）（讲义）-2025-2026学年高二数学考试满分全攻略同步备考系列（苏教版2019选修一）

第13讲 抛物线的几何性质 题型梳理 易错分析 易错点一 忽视点与抛物线的位置关系而致错 易错点二 忽视焦点的位置而致错 题型方法 题型一 抛物线性质的应用 题型二 焦点弦的性质 题型三 直线与抛物线的位置关系 知识清单 知识点01抛物线的几何性质 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 顶点 O(0，0) 对称轴 x轴 y轴 离心率 e=1 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 知识点02抛物线的焦点弦 1. 焦点弦：过抛物线焦点的直线与抛物线相交所得的线段，称为抛物线的焦点弦 2. 通径：过抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所得的弦，称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p，是所有焦点弦中最短的弦. 3. 有关抛物线焦点弦的结论 　　如图，已知AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦，抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AA‘，BB'均垂直于准线，直线AB的倾斜角为θ. 则有：(1)AB=x1+x2+p=； (2)x1x2=，y1y2=-p2，·=-p2； (3)AF=，BF=； (4) +=； (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (6)以AB为直径的圆与准线相切； (7)A，O，B'共线，A'，O，B共线 (8)∠A'FB'=90°； (9)S△AOB=； (10)抛物线在A，B处的切线互相垂直且交点在准线上. 4. 圆锥曲线的统一定义 　　圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离之比等于常数e的点的轨迹. 当0<e<1时，它是椭圆；当e>1时，它是双曲线；当e=1时，它是抛物线. 其中e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线. 根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆或双曲线，与焦点F1(-c，0)，F2(c，0)对应的准线方程分别为x=-，x=. 知识点03抛物线几何性质的应用 　　涉及抛物线的几何性质的问题，常画出图形，结合抛物线的定义求解，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征. 知识点04抛物线的焦点弦问题 　　解决抛物线焦点弦问题的关键是熟记有关焦点弦的结论，并灵活运用. 知识点2中有关焦点弦的结论都是针对方程为y2=2px(p>0)的抛物线而言的，在实际应用中不能盲目套用 易错分析 【易错点一】忽视点与抛物线的位置关系而致错 【例1】过点(2，4)的直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知双曲线上存在两点M，N关于直线对称，且MN的中点在抛物线上，则实数的值为 ． 【变式2】在已知抛物线上存在两个不同的点M，N关于直线对称，则实数k的取值范围为 ． 【变式3】（2020高三·江苏·专题练习）过点A的直线l与抛物线有且只有一个公共点，这样的l的条数是 ． 【易错点二】忽视焦点的位置而致错 【例2】（24-25高二下·江苏南京·期末）抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（2020高三·江苏·专题练习）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x2－y2= 20的两条渐近线围成的三角形的面积等于，则抛物线的方程为 . 【变式2】一个正三角形的两个顶点在抛物线上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为，则该抛物线的标准方程为 ． 【变式3】顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线所得弦长为，则抛物线方程为 ． 题型方法 【题型一】抛物线性质的应用 【例1】（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点在抛物线上，为的焦点，，则（    ） A． B． C． D．16 解题技巧 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 (1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负． (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴． (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1. 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·江苏无锡·期中）斜率为1的直线经过抛物线（）的焦点，且与抛物线相交于两点，线段的长为8，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式2】（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，若为的中点，则直线的方程为 . 【变式3】（24-25高二上·江苏泰州·期中）倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于，两点. (1)求抛物线的准线方程及焦点坐标； (2)求弦长. 【题型二】焦点弦的性质 【例2】（24-25高二上·江苏扬州·期末）过抛物线的焦点作斜率为1的弦，点在第一象限，则（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（   ） A．6 B．4 C．3 D．2 【变式2】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为.若，四边形的面积为，则 ． 【变式3】（24-25高二上·江苏南京·期中）设过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且这两交点纵坐标分别为，，A，B在抛物线准线上的射影分别为，． (1)求值； (2)求证：是直角； (3)M是线段AB中点，求点M的轨迹方程． 【题型三】直线与抛物线的位置关系 【例3】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知抛物线，则抛物线上一点到直线的最小距离为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知抛物线，过点的直线与交于两点，在两点处的切线相交于点.下列四个点中，可以为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·江苏镇江·期末）抛物线的焦点为F，点，过焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，直线与C的另一个交点分别为M，N．当直线斜率不存在时， ；当直线斜率存在时， ． 【变式3】（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知抛物线的焦点为 F，点F到抛物线准线距离为2． (1)求抛物线E的标准方程； (2)已知的三个顶点都在抛物线E上， 顶点重心恰好是抛物线E的焦点 F．求所在的直线方程． 好题必刷 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知抛物线，弦过抛物线的焦点且满足，则弦的中点到轴的距离为（    ） A． B．3 C． D．4 2．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点F为抛物线的焦点，P为C上一点，若，则P点的横坐标为（    ） A． B．2 C． D．3 3．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）若直线过抛物线的焦点，与抛物线交于两点，且线段中点的横坐标为4，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 4．（21-22高三上·江苏·期末）已知拋物线的焦点为椭圆的右焦点，且与的公共弦经过，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高二下·江苏盐城·期末）若点是抛物线上一点，F为抛物线C的焦点，连交抛物线C于另一点Q，则（    ） A． B． C．（O为坐标原点） D． 6．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）抛物线上有A，B，C三点，且直线AB的斜率大于零，，点G为三角形ABC的重心，则直线AB横截距的取值可能是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与交于点，则下列结论正确的是（    ） A．的通径长为4 B．线段的中点在定直线上 C．直线的斜率之积为定值 D．若，直线与的准线交于点，则 三、填空题 8．（24-25高二上·江苏南通·期中）若抛物线上一点到坐标原点的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为 ． 9．（23-24高二上·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，，为抛物线上两个不同的点，为抛物线的焦点，若，则的面积为 ． 10．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，且过点的直线与相切于点．则抛物线的方程为 ． 四、解答题 11．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知抛物线． (1)若直线与抛物线交于、两点，的中点为，求直线的方程； (2)求过点的抛物线的切线方程． 12．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知点为抛物线的焦点，为抛物线上两点，且直线与直线斜率之和为0． (1)求抛物线的方程； (2)若为抛物线上一动点，直线，且，求到直线距离的最小值． 13．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知抛物线的焦点为F，位于第一象限的点在抛物线C上，且．直线l过焦点F且与抛物线C交于A，B两点． (1)若l的倾斜角为，求弦长的值； (2)若过F且与l垂直的直线交C于M，N两点，求四边形的面积的最小值， 14．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为. (1)求轨迹的方程. (2)已知直线与轨迹交于A，B两点，以A，B为切点作两条切线，分别为，，且，相交于点.若点在直线上，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 抛物线的几何性质 题型梳理 易错分析 易错点一 忽视点与抛物线的位置关系而致错 易错点二 忽视焦点的位置而致错 题型方法 题型一 抛物线性质的应用 题型二 焦点弦的性质 题型三 直线与抛物线的位置关系 知识清单 知识点01抛物线的几何性质 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 顶点 O(0，0) 对称轴 x轴 y轴 离心率 e=1 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 知识点02抛物线的焦点弦 1. 焦点弦：过抛物线焦点的直线与抛物线相交所得的线段，称为抛物线的焦点弦 2. 通径：过抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所得的弦，称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p，是所有焦点弦中最短的弦. 3. 有关抛物线焦点弦的结论 　　如图，已知AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦，抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AA‘，BB'均垂直于准线，直线AB的倾斜角为θ. 则有：(1)AB=x1+x2+p=； (2)x1x2=，y1y2=-p2，·=-p2； (3)AF=，BF=； (4) +=； (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (6)以AB为直径的圆与准线相切； (7)A，O，B'共线，A'，O，B共线 (8)∠A'FB'=90°； (9)S△AOB=； (10)抛物线在A，B处的切线互相垂直且交点在准线上. 4. 圆锥曲线的统一定义 　　圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离之比等于常数e的点的轨迹. 当0<e<1时，它是椭圆；当e>1时，它是双曲线；当e=1时，它是抛物线. 其中e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线. 根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆或双曲线，与焦点F1(-c，0)，F2(c，0)对应的准线方程分别为x=-，x=. 知识点03抛物线几何性质的应用 　　涉及抛物线的几何性质的问题，常画出图形，结合抛物线的定义求解，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征. 知识点04抛物线的焦点弦问题 　　解决抛物线焦点弦问题的关键是熟记有关焦点弦的结论，并灵活运用. 知识点2中有关焦点弦的结论都是针对方程为y2=2px(p>0)的抛物线而言的，在实际应用中不能盲目套用 易错分析 【易错点一】忽视点与抛物线的位置关系而致错 【例1】过点(2，4)的直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】根据题意，判断点(2，4)是否在抛物线上，即可求解. 【详解】因点(2，4)在抛物线y2＝8x上，所以过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点. 故选B. 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知双曲线上存在两点M，N关于直线对称，且MN的中点在抛物线上，则实数的值为 ． 【答案】0或3 【分析】我们先求出MN中点的坐标（设为），因为M，N关于直线对称，所以MN与直线垂直，可得到MN的斜率，再结合双曲线方程求出中点坐标，最后将中点坐标代入抛物线方程求出的值. 【详解】因为M，N关于直线对称，直线的斜率为， 两条垂直直线的斜率乘积为，所以直线MN的斜率. 设直线MN的方程为，将其代入双曲线可得. 展开得到，即. 设，，根据韦达定理，所以， 则中点横坐标. 因为中点在直线上，所以. 因为MN的中点在抛物线上，所以，解得或. 当时，中点为，因为中点在直线上，所以； 当时，中点为，在直线上，所以，解得. 故实数的值为或. 故答案为：或. 【变式2】在已知抛物线上存在两个不同的点M，N关于直线对称，则实数k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，，的中点为，由已知可得是线段的垂直平分线，结合点差法将坐标 用表示，再由点在抛物线内，建立的不等量关系，求解即可得出结论. 【详解】设，关于直线对称， ∴，∴，即． 设线段的中点为，则． ∵中点P在内，∴，解得或． 故答案为：. 【点睛】由抛物线的图像易知抛物线上的任意两点连线的中点在抛物线内，若忽略条件“中点在抛物线内部”，则难以求解． 【变式3】（2020高三·江苏·专题练习）过点A的直线l与抛物线有且只有一个公共点，这样的l的条数是 ． 【答案】1或2或3 【解析】讨论A在抛物线的外部，A在抛物线上，A在抛物线的内部三种情况，考虑切线和与对称轴平行的直线得到答案. 【详解】①当A在抛物线的外部时，共有三条直线与抛物线只有一个公共点(有两条是切线，一条与抛物线的对称轴平行)； ②当A在抛物线上时，有两条直线与抛物线只有一个公共点（一条是切线，一条与抛物线的对称轴平行）； ③当A在抛物线的内部时，只有一条直线与抛物线只有一个公共点（与抛物线的对称轴平行）； 故答案为：1或2或3 【点睛】本题考查了直线与抛物线的交点个数问题，没有考虑全面是容易发生的错误. 【易错点二】忽视焦点的位置而致错 【例2】（24-25高二下·江苏南京·期末）抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出的坐标，然后利用垂直关系列出等式求出，进而得到抛物线方程. 【详解】根据题意，设抛物线方程为， 则，准线方程为. 所以点. 因为，所以， 化简得，即，解得. 所以抛物线方程为. 故选：D. 【举一反三】【变式1】（2020高三·江苏·专题练习）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x2－y2= 20的两条渐近线围成的三角形的面积等于，则抛物线的方程为 . 【答案】 【解析】设出抛物线，得出其准线与双曲线5x2－y2= 20的两条渐近线方程，然后确定三角形的形状和边长利用面积公式求出三角形的面积，从而建立关于的方程求解即可. 【详解】抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，设抛物线的方程为， 则抛物线的准线方程为， 双曲线的渐近线方程为， 由面积为，可得， 所以. 抛物线的方程为. 故答案为：. 【点睛】本题是考查求抛物线的方程的题目，解题的关键是掌握双曲线及拋物线的标准方程及其渐近线方程，是基础题. 【变式2】一个正三角形的两个顶点在抛物线上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为，则该抛物线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】由三角形的面积求出正三角形边长，得到三角形的一个顶点坐标，带入，即可求出抛物线的标准方程. 【详解】设正三角形边长为x．由三角形的面积公式：，解得：． 由抛物线的对称性，可知正三角形在抛物线上的两点关于x轴对称，则当时，三角形的一个顶点坐标为，代入得；当时，三角形的一个顶点坐标为，代入得． 综上，. 所以抛物线的标准方程为． 故答案为： 【点睛】在求解与抛物线有关的问题时，常常会因为忽视抛物线的焦点位置而导致漏解．在解题时，不仅要注意焦点位置是在x轴上还是在y轴上，还要注意是在坐标轴的正半轴上还是负半轴上． 【变式3】顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线所得弦长为，则抛物线方程为 ． 【答案】或 【分析】设所求抛物线方程为，与直线方程联立，将弦长用表示出来，即可解得，进而得出抛物线方程. 【详解】设所求抛物线方程为，已知直线变形为， 设直线与抛物线交于， 联立消去y得，整理得． ， 由，解得或． ， 解得或，均符合题意. 所以所求抛物线方程为或． 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了已知弦长求抛物线标准方程，属于中档题. 题型方法 【题型一】抛物线性质的应用 【例1】（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点在抛物线上，为的焦点，，则（    ） A． B． C． D．16 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义，结合已知条件，求得，再把点代入抛物线得出，最后计算求解即可. 【详解】根据题意，连接，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，作图如下： 由抛物线定义可知，解得， 故抛物线方程为，又因为点在抛物线上， 所以，所以，所以. 故选：D. 解题技巧 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 (1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负． (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴． (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1. 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·江苏无锡·期中）斜率为1的直线经过抛物线（）的焦点，且与抛物线相交于两点，线段的长为8，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先设点和，设直线方程为，联立直线和抛物线方程，利用弦长公式可计算出的值. 【详解】设点和，设直线方程为， 联立方程：，可得：， ， 线段的长为：， 得， 故选：C. 【变式2】（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，若为的中点，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】设出，的坐标，代入抛物线方程，利用作差法，结合中点坐标公式代入先求出直线的斜率，再利用点斜式方程即可得到结论. 【详解】设，，由题意， 因为，在抛物线上，所以，，两式相减得， ，整理得，， 即直线的斜率， 直线的中点为， ， ， 所以直线的方程为，化简得. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·江苏泰州·期中）倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于，两点. (1)求抛物线的准线方程及焦点坐标； (2)求弦长. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据抛物线方程即可确定,进而可得抛物线准线方程及焦点坐标； （2）求出过焦点且倾斜角为的直线方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系，利用抛物线的弦长公式即可求得. 【详解】（1）由题意抛物线可知，则抛物线准线方程为，焦点; （2）过焦点且倾斜角为的直线的方程为， 联立可得， 设，则, 故. 【题型二】焦点弦的性质 【例2】（24-25高二上·江苏扬州·期末）过抛物线的焦点作斜率为1的弦，点在第一象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得两点的纵坐标，由此求得. 【详解】抛物线的焦点为， 直线的方程为， 由，解得， 所以. 故选：D 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（   ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】设，，，由，得是的重心，从而求得，然后由焦半径公式求得结论. 【详解】解：设，，. 由题意得抛物线焦点坐标为，准线方程为. 因为， 所以点是的重心， 故， . 故选：A. 【变式2】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为.若，四边形的面积为，则 ． 【答案】 【分析】设出的方程，与抛物线方程联立，可得，横坐标的积，结合已知向量等式求解，的坐标，即可由面积公式求解. 【详解】由题意可知直线有斜率且不为0,设所在直线方程为， 联立，得． 不妨设在第一象限，,，,， 则， 又，，即， 联立，解得或（舍， 则，即，进而可得 所以 解得， 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·江苏南京·期中）设过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且这两交点纵坐标分别为，，A，B在抛物线准线上的射影分别为，． (1)求值； (2)求证：是直角； (3)M是线段AB中点，求点M的轨迹方程． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）设直线为，联立抛物线并应用韦达定理即可求结果； （2）由题设有，且，进而得到，即可证结论； （3）根据题设有，结合（1）有，即可得轨迹方程. 【详解】（1）由题设，焦点，直线可设为，联立抛物线有， 所以，由直线与抛物线有两个交点，即，则. （2）如下图示，由题意易知，则，， 又，则，， 综上，，，即， 而，即， 所以，得证. （3）由题意，由（1）知：，， 所以，故， 所以轨迹为. 【题型三】直线与抛物线的位置关系 【例3】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知抛物线，则抛物线上一点到直线的最小距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得当点为平行于的直线且与抛物线相切的切点时，才能取最小值，求出切线方程，即可得点的坐标，即可得解. 【详解】解：由题意可知，当平行于的直线与抛物线相切， 且点为切点时， 点到直线的最小， 设切线方程为， 即， 由，可得， 所以，解得， 所以， 即， 所以点到直线的距离. 故选：A. 【举一反三】【变式1】（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知抛物线，过点的直线与交于两点，在两点处的切线相交于点.下列四个点中，可以为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，求出两切线的方程，利用切线相交于点，可推得直线的方程，代入点，求出，即得解. 【详解】不妨设，由可得，则， 于是抛物线在点处的切线方程为， 因，化简方程得：， 同理可得抛物线在点处的切线方程为， 又两切线交于点，故得， 即点都在直线上，也即直线的方程为， 因点在直线上，代入解得，即得， 故线段的中点为，故选项中可以为线段中点的是.    故选：B. 【变式2】（24-25高二上·江苏镇江·期末）抛物线的焦点为F，点，过焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，直线与C的另一个交点分别为M，N．当直线斜率不存在时， ；当直线斜率存在时， ． 【答案】 2 4 【分析】第一空：当直线斜率不存在时，求出的坐标即可求解； 第二空：当直线斜率存在时，设，由直线与抛物线方程联立结合韦达定理进行求解． 【详解】第一空： 抛物线的焦点为， 当直线斜率不存在时， ， 则． 第二空： 当直线斜率存在时，设， 如图所示： 直线的方程为：，代入，可得， 得，得， 同理得， 则， 设直线的方程为：，代入， 可得， 则，得， 故答案为：2；4 【变式3】（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知抛物线的焦点为 F，点F到抛物线准线距离为2． (1)求抛物线E的标准方程； (2)已知的三个顶点都在抛物线E上， 顶点重心恰好是抛物线E的焦点 F．求所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线的性质直接求出即可； （2）由重心坐标公式和中点坐标公式得到中点坐标为，再由点差法得到直线的斜率，然后求出直线方程验证即可； 【详解】（1）由题意得， 抛物线方程为：. （2） 设，由重心坐标公式得， 中点坐标为， 两式相减得， 方程：， 此时 直线的方程为. 好题必刷 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知抛物线，弦过抛物线的焦点且满足，则弦的中点到轴的距离为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】根据可得，再根据韦达定理即可求出的坐标，进而可求解. 【详解】 抛物线的焦点， 设，假设， 显然弦所在的直线的斜率存在且不等于零， 设弦所在的直线方程为， 联立，消去可得，， 所以， 因为，所以，则， 所以，解得，所以， 所以， 所以弦的中点的坐标为， 所以弦的中点轴的距离为， 故选:C. 2．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点F为抛物线的焦点，P为C上一点，若，则P点的横坐标为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据抛物线的焦半径公式得解. 【详解】抛物线C的方程为， ，可得， 设，由抛物线的定义得， 所以， 故选：C. 3．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）若直线过抛物线的焦点，与抛物线交于两点，且线段中点的横坐标为4，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】首先根据题意设，有，，相减可得结合，直线的斜率为，所以直线的方程为，得出即可得解. 【详解】根据题意抛物线方程为， 故，焦点坐标为， 设， 有，， 相减可得， 又， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 所以， 所以. 故选：C 4．（21-22高三上·江苏·期末）已知拋物线的焦点为椭圆的右焦点，且与的公共弦经过，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件求出椭圆两焦点坐标，再求出与的公共点的坐标，借助椭圆定义计算椭圆长轴长即可作答. 【详解】依题意，椭圆的右焦点，则其左焦点， 设过的与的公共弦在第一象限的端点为点P，由抛物线与椭圆对称性知，轴，如图， 直线PF方程为：，由得点，于是得， 在中，，，则，因此，椭圆的长轴长， 所以椭圆的离心率. 故选：A 二、多选题 5．（24-25高二下·江苏盐城·期末）若点是抛物线上一点，F为抛物线C的焦点，连交抛物线C于另一点Q，则（    ） A． B． C．（O为坐标原点） D． 【答案】ABD 【分析】求出抛物线的焦点及准线，结合抛物线定义及直线与抛物线交点坐标逐项判断. 【详解】抛物线的焦点，准线， 对于AB，由，得，，AB正确； 对于CD，直线方程为，即， 由消去得，则， ，不垂直，，C错误，D正确. 故选：ABD 6．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）抛物线上有A，B，C三点，且直线AB的斜率大于零，，点G为三角形ABC的重心，则直线AB横截距的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设，，由重心的性质可得，进而，直线方程联立抛物线方程，利用根的判别式和韦达定理可得，，结合直线的横截距为以及一次函数、反比例函数的性质即可求解. 【详解】由题意知，设，则， 又为的重心，所以， 得，代入方程，得①. 设直线AB方程为， ，消去y，得， ，得，， 代入①，得，即，则，解得， 所以，解得. 对于，令，得， 又函数在上单调递增，所以函数在上单调递增， 当时，，故A，D选项不正确； 故B，C选项正确. 故选：BC . 7．（24-25高二上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与交于点，则下列结论正确的是（    ） A．的通径长为4 B．线段的中点在定直线上 C．直线的斜率之积为定值 D．若，直线与的准线交于点，则 【答案】ACD 【分析】对A：求出直线与轴交点后即可得，即可得通径；对B：联立直线与曲线方程，结合韦达定理可计算出线段的中点坐标，即可得其轨迹；对C：结合斜率定义与所得韦达定理计算即可得解；对D：由可得点坐标，再计算出点坐标即可得解. 【详解】对A：由过点，且抛物线的焦点在轴正半轴上， 故点即为抛物线的焦点，则，即， 则的通径长为，故A正确； 对B：，消去得：， 设、，则，， 有，， 故线段的中点为，在曲线上，不在定直线上，故B错误； 对C：， 故直线的斜率之积为定值，故C正确； 对D：若，由，则，， 则，故，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 三、填空题 8．（24-25高二上·江苏南通·期中）若抛物线上一点到坐标原点的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为 ． 【答案】 【分析】求得点的坐标，将点到该抛物线焦点的距离转化为点到抛物线的准线的距离即可． 【详解】由抛物线可设点，焦点为， 因为点到坐标原点的距离为， 所以，解得， 即或， 根据抛物线定义知：点到焦点的距离等于点到准线的距离， 即， 故答案为： 9．（23-24高二上·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，，为抛物线上两个不同的点，为抛物线的焦点，若，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】根据抛物线的标准方程及几何性质，求出直线的方程，与抛物线的方程联立，求出，的坐标，进而得到，再由点到直线的距离公式，求出的高，即可求得的面积． 【详解】由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，如图所示， 设抛物线的准线为，过点作垂直于且交于点，过点作垂直于且交于点，过点作垂直于且交于， 则，所以直线的倾斜角为， 又，故直线的方程为， 联立，消整理得，即，解得或， 则，，所以， 又原点到直线的距离为，所以， 当直线的斜率为负，即直线的倾斜角为时，同理可求． 故答案为：． 10．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，且过点的直线与相切于点．则抛物线的方程为 ． 【答案】 【分析】先设直线再联立直线和抛物线应用相切得出参数，再代入计算应用抛物线定义求焦半径进而得出即可. 【详解】抛物线的准线为， 是抛物线的准线与轴的交点，设过点的直线， 联立直线和抛物线得，设直线与相切于点， 所以，所以， 所以，所以，则， 所以． 则抛物线的方程为. 故答案为：. 四、解答题 11．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知抛物线． (1)若直线与抛物线交于、两点，的中点为，求直线的方程； (2)求过点的抛物线的切线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设，，设直线的方程为，代入抛物线方程，应用韦达定理，利用中点坐标求得参数值得直线方程； （2）设切线方程，代入抛物线方程后由判别式为0求得参数值，得切线方程． 【详解】（1）当直线的斜率为时，与抛物线只有一个交点，故不合题意， 所以直线的斜率不为0，设直线的方程为 由，消去得 则 设，，所以 因为的中点为，所以， 所以，所以直线的方程为， 即； （2）若过点的切线斜率为，则该直线与抛物线相交，所以不合题意， 所以过点的切线设为 由消去得, 则有 所以或， 所以所求切线方程为或 即或 12．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知点为抛物线的焦点，为抛物线上两点，且直线与直线斜率之和为0． (1)求抛物线的方程； (2)若为抛物线上一动点，直线，且，求到直线距离的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）关于轴的对称点与三点在同一直线上，设直线的方程为，与抛物线联立方程组，利用根与系数的关系可求，进而求得抛物线的方程； （2）求得直线的方程，设，利用点到直线的距离公式可求到直线距离的最小值. 【详解】（1）抛物线的焦点 因为直线与直线斜率之和为0， 所以点关于轴的对称点与三点在同一直线上，    设直线的方程为， 与抛物线联立可得，消去得， 由是方程的两根， 所以，解得，所以抛物线的方程为； （2）因为在抛物线上，所以，所以， 所以，又，所以，又且直线， 所以的方程为， 设，所以点到直线距离； 当时，到直线距离取最小值，最小值为. 13．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知抛物线的焦点为F，位于第一象限的点在抛物线C上，且．直线l过焦点F且与抛物线C交于A，B两点． (1)若l的倾斜角为，求弦长的值； (2)若过F且与l垂直的直线交C于M，N两点，求四边形的面积的最小值， 【答案】(1)8 (2)32 【分析】（1）根据抛物线的定义求出p的值，求出直线l的方程，与抛物线的方程联立，利用韦达定理和弦长公式求解； （2）设直线l的方程为：，，与抛物线的方程联立，利用韦达定理和弦长公式求出和的值，再利用基本不等式求出四边形的面积的最小值． 【详解】（1）由题意可得，所以， 得抛物线C的方程为：，焦点为， 直线l的方程为：， 联立方程，消去y得， 设，则， 得弦长． （2）设直线l的方程为：，， 联立方程，消去x得， 设，则， 所以， 同理可得， 所以四边形的面积为： ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以四边形的面积的最小值为： 14．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为. (1)求轨迹的方程. (2)已知直线与轨迹交于A，B两点，以A，B为切点作两条切线，分别为，，且，相交于点.若点在直线上，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，结合抛物线的定义与其标准方程，可得答案； （2）设出直线方程，联立抛物线方程，写出韦达定理，由切点设出切线方程，根据根的判列式为零，求得切线方程，联立求交点，可得答案. 【详解】（1）由题意知动点到的距离与到直线的距离相等， 则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以轨迹的方程为 （2）设，，联立方程组，得， 可得，则，. 易知，的斜率存在，设的方程为， 联立方程组，得. 由，解得， 所以的方程为，同理可得，的方程为. 由，解得，即点，即为 又因为若点在直线上，所以，解得. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$