第二十三章 旋转（B卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（福建专用，人教版）

第23章 旋转（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．在我国传统的房屋建筑中，窗棂是门窗重要的组成部分，它们不仅具有功能性作用，而且具有高度的艺术价值．下列关于窗棂的图案中，不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图、将绕着点按顺时针方向旋转，点落在位置，点落在位置．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．如图，把以点为中心逆时针旋转得到，点，的对应点分别是点，，与交于点，连接，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在的正方形网格中，旋转得到，其旋转中心是（    ） A．点P B．点Q C．点M D．点N 5．如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的对应点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 6．若点P（﹣1﹣2a，2a﹣4）关于原点对称的点在第一象限内，则a的整数解有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．将一副三角板按如图1所示的方式摆放（有一条边重合），将含的直角三角板绕点A顺时针旋转得到，连接（如图2），若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，以为边向三角形外作正方形，正方形中心为O，，则（    ） A． B．3 C．4 D． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P为线段外一动点，且，以为边作等边，则线段的最大值为（    ） A．3 B．5 C．7 D． 10．如图，P是等边三角形ABC内一点，且PA=4，PB=2，PC=2，以下3个结论：①∠BPC=120°；②∠APC=120°；③S△ABC=14；④AB=；⑤若点P到ΔABC三边的距离分别为PE，PF，PG，则有PE+PF+PG=AB，其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．如图，紫荆花绕着它的中心最少旋转 度就可以与它自身重合. 12．若点与点关于原点对称，则抛物线的顶点坐标为 ． 13．如图，当△AED绕正方形ABCD的顶点D旋转到与△DCF重合时，∠DEF的度数为 ． 14．如图，，O是上一点，直线与所夹角，要使，直线绕点O按逆时针方向至少旋转 度．    15．如图，的面积为，将绕点逆时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接，，当时，四边形的面积为 ．    16．如图，是一个含角的三角板，，，将三角板绕着点 C 顺时针旋转 后，点A与点 D对应，点 B与点E 对应，当边与原三角板的一边平行时，则点A 与点 E 的距离为 ． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，点D落在线段AB上，连接BE． （1）求证：DC平分； （2）试判断BE与AB的位置关系，并说明理由： 18．（8分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,其中每个小正方形的边长为1个单位长度. (1)将△ABC向右平移2个单位长度,作出平移后的△A1B1C1,并写出△A1B1C1各顶点的坐标. (2)若将△ABC绕点(-1,0)顺时针旋转180°后得到△A2B2C2,并写出△A2B2C2各顶点的坐标. (3)观察△A1B1C1和△A2B2C2,它们是否关于某点成中心对称?若是,请写出对称中心的坐标;若不是,说明理由. 19．（8分）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点恰好落在上，连接． (1)填空：______； (2)求证：． 20．（8分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，其中点A的对应点为点D，点D落在边BC上． (1)用无刻度的直尺和圆规作出△DEC； (2)连接BE，设旋转角为α（0°＜α＜180°），用含α的式子表示∠BEC的度数． 21．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D． （1）求证：BE＝CF； （2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长． 22．（10分）综合与实践 将一块含角的大直角三角板和一块含角的小直角三角板按如图1所示的方式摆放．如图2，将绕点逆时针旋转，连结．    (1)求证：． (2)在旋转的过程中，如图3，当三点共线时，设与交于点． ①试判断的形状，并说明理由； ②若是的中点，请直接写出和的面积关系． 23．（10分）把绕着点顺时针旋转，得到． (1)如图1，当点恰好在的延长线上时，若，求的度数． (2)如图2，当点恰好在的延长线上时，求证：平分． (3)如图3，连接，如果，连接与的延长线交于点，直接写出的度数（用含的式子表示）． 24（12分）如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转60°得到，连接，． (1)请找出图中与相等的线段，并证明其相等； (2)当时， ①直接写出的度数为______； ②若为的中点，连接，请用等式表示与的数量关系，并证明． 25．（14分）如图，在正方形中，E、F分别是边、上的两点，且，、分别交正方形的对角线于G、H两点，将绕点A顺时针旋转90°后，得到，连接．    (1)求证：平分； (2)求证：； (3)试试探索、 、三条线段间的数量关系，并加以证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第23章 旋转（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．在我国传统的房屋建筑中，窗棂是门窗重要的组成部分，它们不仅具有功能性作用，而且具有高度的艺术价值．下列关于窗棂的图案中，不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的特点是解题关键．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义进行解答． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项合题意； B、是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选A． 2．如图、将绕着点按顺时针方向旋转，点落在位置，点落在位置．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转可知，根据可得，由此即可求解． 【详解】解：∵将绕着点按顺时针方向旋转， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，直角三角形中两锐角互余，掌握旋转中角度的关系，直角三角形中角的关系是解题的关键． 3．如图，把以点为中心逆时针旋转得到，点，的对应点分别是点，，与交于点，连接，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质逐项判断即可，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】、由旋转性质可知：， ∴， 题中没有说明，故此项不一定成立，不符合题意； 、由旋转性质可知：， ∴， ∵， ∴，故此项一定成立，符合题意； 、由旋转性质可知：， ∴， ∴，即， 故此项不成立，不符合题意； 、由旋转性质可知：， ∴， ∵， ∴， 题中与不一定相等，不符合题意； 故选：． 4．如图，在的正方形网格中，旋转得到，其旋转中心是（    ） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】A 【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求，熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为点P， 旋转中心是点P， 故选：A． 5．如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的对应点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转．分别过点和点作轴和轴的垂线，构造出直角三角形即可解决问题． 【详解】解：连接，，分别过点和点作轴和轴的垂线，垂足分别为和，    由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ， ，， 又点的坐标为， ，， 点的坐标为． 故选：D． 6．若点P（﹣1﹣2a，2a﹣4）关于原点对称的点在第一象限内，则a的整数解有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据题意可得出点P在第三象限，从而列出不等式组求解即可． 【详解】∵点P（﹣1﹣2a，2a﹣4）关于原点对称的点在第一象限内，∴，由①得：a，由②得：a＜2，∴＜a＜2． ∵a为整数，∴a=1或0． 故选B． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，以及一元一次不等式组的整数解，是基础知识要熟练掌握． 7．将一副三角板按如图1所示的方式摆放（有一条边重合），将含的直角三角板绕点A顺时针旋转得到，连接（如图2），若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直角三角形的性质可得，，由面积法可求CH的长，由旋转的性质可得，由三角形面积公式可求解． 【详解】解：过点C作CH⊥AB于H， ∵BC＝4，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°， ∴，， ∵S△ABC＝AC×BC＝AB×CH， ∴， ∵将直角三角板ACD绕点A顺时针旋转30°，得到， ∴， ∴， ∴的面积， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形面积公式，求出CH的长是本题的关键． 8．如图，在中，，以为边向三角形外作正方形，正方形中心为O，，则（    ） A． B．3 C．4 D． 【答案】B 【分析】根据题意，将绕着点逆时针旋转得到，如图所示，由旋转性质得到，，，，并通过四边形内角和得到三点共线，利用等腰直角三角形性质求得，最终由求出长即可得到答案． 【详解】解：将绕着点逆时针旋转得到，如图所示： ，，，， 是正方形的对角线， ，即， 在中，， 在四边形中，由四边形内角和可知， ， 三点共线， ，， 在等腰中，， ， ， 故选：B． 【点睛】本题旋转性质、正方形性质、四边形内角和、等腰直角三角形的判定与性质等知识，根据题意结合旋转性质将绕着点逆时针旋转得到是解决问题的关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P为线段外一动点，且，以为边作等边，则线段的最大值为（    ） A．3 B．5 C．7 D． 【答案】B 【分析】分情况讨论，当点P在第一象限内时，将绕着点P顺时针旋转得，连接，根据旋转的性质求得的最大值为5，当点P在第四象限内时，同理可得线段的最大值为5． 【详解】解：如图，当点P在第一象限内时,将绕着P点顺时针旋转，得，连接,则,，, ∴是等边三角形， ∴，可得当D在延长线上时，最长，此时点D与O重合， ∵点A的坐标为，点B的坐标为，，， ∴, ∴线段的最大值为5； 当点P在第四象限内时，同理可得线段的最大值为5 所以最大值是5 故选：B 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质以及旋转的性质，正确作出辅助线是解题的关键，解题时注意分类思想的运用． 10．如图，P是等边三角形ABC内一点，且PA=4，PB=2，PC=2，以下3个结论：①∠BPC=120°；②∠APC=120°；③S△ABC=14；④AB=；⑤若点P到ΔABC三边的距离分别为PE，PF，PG，则有PE+PF+PG=AB，其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】将△APC绕点A顺时针旋转60°，得到△AHB，连接HP，由全等三角形的性质可得AH=AP=4，BH=PC=2，∠AHB=∠APC，可证△AHP是等边三角形，由勾股定理的逆定理可求∠HBP=90°，由锐角三角函数可求∠HPB=30°，可得∠AHB=120°=∠APC，∠BPC=150°，可判断①②，由勾股定理可求AB的长，由等边三角形的面积公式可求△ABC的面积和PE+PF+PG的值，即可判断③④⑤． 【详解】解：如图，将△APC绕点A顺时针旋转60°，得到△AHB，连接HP， ∴△APC≌△AHB，∠HAP=60°， ∴AH=AP=4，BH=PC=2，∠AHB=∠APC， ∴△AHP是等边三角形， ∴HP=4，∠AHP=∠APH=60°， ∵HP2=16，BH2+BP2=16， ∴HP2=BH2+BP2， ∴∠HBP=90°， ∵sin∠HPB=， ∴∠HPB=30°， ∴∠BHP=60°，∠APB=∠HPB+∠APH=90°， ∴∠AHB=∠AHP+∠BHP=120°=∠APC， ∴∠BPC=360°-∠APB-∠APC=150°， 故①不符合题意，②符合题意， ∵∠APB=90°， ∴AB=， ∴S△ABC=AB2=7， 故③不合题意，④符合题意， 如图， ∵S△ABC=AB×PG+AC×PF+BC×PE=7， ∴×（PG+PF+PE）=7， ∴PG+PF+PE==AB，故⑤符合题意， 综上所述：正确的有3个，分别是②④⑤， 故选：B． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质，全等三角形的性质，三角形的面积公式，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．如图，紫荆花绕着它的中心最少旋转 度就可以与它自身重合. 【答案】72° 【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72°的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】该图形围绕自己的旋转中心，最少顺时针旋转72度后，能与其自身重合． 【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 12．若点与点关于原点对称，则抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中对称点的规律，二次函数的顶点坐标，先根据原点对称的两点横、纵坐标互为相反数得到，，然后对二次函数配方成顶点式，然后得到顶点坐标即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， 故答案为：． 13．如图，当△AED绕正方形ABCD的顶点D旋转到与△DCF重合时，∠DEF的度数为 ． 【答案】 【分析】由旋转的性质可证，，即可求出，即证明为等腰直角三角形，即得出． 【详解】由题意△AED可绕正方形ABCD的顶点D旋转到与△DCF重合， ∴，． ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质．熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 14．如图，，O是上一点，直线与所夹角，要使，直线绕点O按逆时针方向至少旋转 度．    【答案】 【分析】根据旋转到时，与两直线平行同位角相等，得到，根据，得到，即可． 【详解】解：若旋转到时， 则， ∵ ∴， ∴要使，直线绕点O按逆时针方向至少旋转16度． 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查平行线．熟练掌握平行线的性质与判定，是解决本题的关键． 15．如图，的面积为，将绕点逆时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接，，当时，四边形的面积为 ．    【答案】10 【分析】过点作于，过点作垂直于的延长线于，由旋转的性质得出≌≌，然后得出，是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的面积得出结论． 【详解】解：过点作于，过点作垂直于的延长线于，如图所示：    根据题意知，≌≌， ，， ，， ，是等边三角形， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形的面积，平行四边形的性质等知识，关键是利用旋转的性质得出、是等边三角形， 16．如图，是一个含角的三角板，，，将三角板绕着点 C 顺时针旋转 后，点A与点 D对应，点 B与点E 对应，当边与原三角板的一边平行时，则点A 与点 E 的距离为 ． 【答案】或5 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质及矩形的判定与性质等，解题关键是能够根据题意画出图形，再利用相关性质解题．据题意画出图形，分将三角板绕着点 C 顺时针旋转 及两种情况讨论，进行求解即可． 【详解】解：中，，， ， 由旋转性质可得：， 如图所示， 将三角板绕着点 C 顺时针旋转 后，， 此时； 如图所示， 将三角板绕着点 C 顺时针旋转 后，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 故答案为：或5． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，点D落在线段AB上，连接BE． （1）求证：DC平分； （2）试判断BE与AB的位置关系，并说明理由： 【答案】（1）见解析；（2）BE⊥AB，见解析 【分析】（1）根据旋转的性质得到对应边、对应角相等，再利用等量代换即可求证； （2）根据旋转的性质得到对应角相等，再利用等量代换即可求证． 【详解】（1）证明：由旋转可知：AC＝CD，∠A＝∠CDE，   ∴∠A＝∠ADC， ∴∠ADC＝∠CDE，即DC平分∠ADE； （2）解：BE⊥AB，   理由：由旋转可知，∠ACD＝∠BCE，CB＝CE，AC＝CD， ∴∠CAD＝∠ADC＝∠CBE＝∠CEB， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠CAD＋∠ABC＝90°， ∴∠CBE＋∠ABC＝90°， 即∠ABE＝90°， ∴BE⊥AB． 【点睛】本题考查旋转的性质，对应边相等、对应角相等，并灵活运用等量代换是关键． 18．（8分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,其中每个小正方形的边长为1个单位长度. (1)将△ABC向右平移2个单位长度,作出平移后的△A1B1C1,并写出△A1B1C1各顶点的坐标. (2)若将△ABC绕点(-1,0)顺时针旋转180°后得到△A2B2C2,并写出△A2B2C2各顶点的坐标. (3)观察△A1B1C1和△A2B2C2,它们是否关于某点成中心对称?若是,请写出对称中心的坐标;若不是,说明理由. 【答案】(1)A1(0,4),B1(-2,2),C1(-1,1)；(2)A2(0,-4),B2(2,-2),C2(1,-1)；(3)△A1B1C1与△A2B2C2关于点(0,0)成中心对称. 【详解】试题分析：（1）根据平移的规律找到出平移后的对应点的坐标，依次为A1（0，4），B1（-2，2），C1（-1，1）；顺次连接即可得到答案； （2）根据旋转中心对称的规律可得：旋转后对应点的坐标，依次为A2（0，-4），B2（2，-2），C2（1，-1）；顺次连接即可； （3）观察可得，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（0，0）成中心对称． 试题解析：(1)A1(0,4),B1(-2,2),C1(-1,1). (2)A2(0,-4),B2(2,-2),C2(1,-1). (3)△A1B1C1与△A2B2C2关于点(0,0)成中心对称. 19．（8分）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点恰好落在上，连接． (1)填空：______； (2)求证：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据旋转的性质可得，然后表示出，再根据列式整理即可得解； （2）根据旋转的性质可得，再利用等腰三角形两底角相等表示出，然后求出，根据垂直的定义即可得解． 【详解】（1）解：由旋转的性质知：， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）由旋转知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，垂直的定义，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 20．（8分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，其中点A的对应点为点D，点D落在边BC上． (1)用无刻度的直尺和圆规作出△DEC； (2)连接BE，设旋转角为α（0°＜α＜180°），用含α的式子表示∠BEC的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作，在射线上截取，连接，则△DEC即为所求； （2）根据旋转的性质可得，进而根据等边对等角以及三角形内角和定理，即可求得∠BEC． 【详解】（1）如图，作，在射线上截取，连接，则△DEC即为所求； （2）如图，连接 旋转角为α（0°＜α＜180°）， 旋转 【点睛】本题考查了旋转的性质，作三角形，三角形内角和定理，等边对等角，掌握旋转的性质是解题的关键． 21．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D． （1）求证：BE＝CF； （2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长． 【答案】（1）详见解析；（2）2﹣2． 【分析】（1）根据旋转的性质得AE＝AF＝AB＝AC＝2，∠EAF＝∠BAC＝45，然后根据“SAS”证明△ABE≌△ACF，于是根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据菱形的性质得DF＝AF＝2，DF∥AB，再利用平行线的性质得∠1＝∠BAC＝45，则可判断△ACF为等腰直角三角形，所以CF＝AF＝2，然后计算CF﹣DF即可． 【详解】（1）证明：如图， ∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的， ∴AE＝AF＝AB＝AC＝2，∠EAF＝∠BAC＝45， ∴∠BAC+∠3＝∠EAF+∠3， 即∠BAE＝∠CAF， 在△ABE和△ACF中， ∴△ABE≌△ACF， ∴BE＝CF； （2）解：如图， ∵四边形ABDF为菱形， ∴DF＝AF＝2，DF∥AB， ∴∠1＝∠BAC＝45， ∴△ACF为等腰直角三角形， ∴CF＝AF＝2， ∴CD＝CF﹣DF＝2﹣2． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质． 22．（10分）综合与实践 将一块含角的大直角三角板和一块含角的小直角三角板按如图1所示的方式摆放．如图2，将绕点逆时针旋转，连结．    (1)求证：． (2)在旋转的过程中，如图3，当三点共线时，设与交于点． ①试判断的形状，并说明理由； ②若是的中点，请直接写出和的面积关系． 【答案】(1)见解析 (2)①直角三角形，理由见解析；②相等 【分析】该题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质“旋转前后对应角相等，对应边相等，旋转角相等”，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的常用方法“”； （1）根据等腰直角三角形的性质和旋转的性质可证明； （2）①等腰直角三角形可得，再根据三点共线，可得，再根据得出，即可求解． ②根据是的中点，可得，再根据，可得，由即可解答； 【详解】（1）证明：和都是等腰直角三角形， ． 由旋转的性质，得． 在与中， ， ． （2）解：①是直角三角形． 理由：根据题意，得． 三点共线， ． 由（1），得． ． 是直角三角形． ②是的中点， 又由（1）知， ， 和的面积相等． 23．（10分）把绕着点顺时针旋转，得到． (1)如图1，当点恰好在的延长线上时，若，求的度数． (2)如图2，当点恰好在的延长线上时，求证：平分． (3)如图3，连接，如果，连接与的延长线交于点，直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据旋转的性质得到，求出的度数，即可得到的度数． （2）根据全等三角形的性质得到，利用等边对等角得到，推出，即可得到结论； （3）根据，得到，证明，证得，求出，延长交于点H，根据等腰三角形三线合一的性质得到，推出，即可求出的度数． 【详解】（1）解：由旋转得，， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴, ∴平分． （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 延长交于点H， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形内角和定理，熟练掌握教材中各部分的知识是解题的关键． 24（12分）如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转60°得到，连接，． (1)请找出图中与相等的线段，并证明其相等； (2)当时， ①直接写出的度数为______； ②若为的中点，连接，请用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）根据等边三角形的性质和旋转的性质可得，即可得出结论； （2）①根据等边三角形的性质可得，从而得到，由，可得．进而得到．再由，可得，即可求解； ②延长至点N，使，连接．通过证明，从而得到，，进而得到，则可得到 即可求解． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵线段绕点顺时针旋转60°得到， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；即． 故答案为：； ②延长至点N，使，连接， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 由（1）可得， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形，则， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握等边三角形判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，图形的旋转的性质是解题的关键． 25．（14分）如图，在正方形中，E、F分别是边、上的两点，且，、分别交正方形的对角线于G、H两点，将绕点A顺时针旋转90°后，得到，连接．    (1)求证：平分； (2)求证：； (3)试试探索、 、三条线段间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)、、三条线段间的数量关系为．理由见解析 【分析】（1）将绕点A顺时针旋转90°得到，此时与重合，由旋转可得：，证明，得出，进而得出结论； （2）将绕点A顺时针旋转90°得到，此时与重合，得出，因此，点Q，B，F在同一条直线上，证明，得出，进而得出结论； （3）在正方形中，，，把绕点A逆时针旋转90°得到，连接．得出，证明，进而证明，得出，进而根据勾股定理得出结论． 【详解】（1）证明：将绕点A顺时针旋转90°得到，此时与重合，由旋转可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴平分； （2）解：∵将绕点A顺时针旋转90°得到，此时与重合， ∴，，， ∴， 因此，点Q，B，F在同一条直线上， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：、 、三条线段间的数量关系为． 如图，在正方形中，，， ∴． 把绕点A逆时针旋转90°得到． 连接．    ∴， ∴，，，． ∴， 即． ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 在和中，． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$