第5章 平面直角坐标系（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（苏科版）

第5章 平面直角坐标系（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．点到x轴的距离是（    ） A．4 B．7 C．5 D．11 2．根据下列表述，能确定位置的是（    ） A．兴庆路 B．负二层停车场 C．太平洋影城3号厅2排 D．东经，北纬 3．在平面直角坐标系中，点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具．如图是由七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．在直角坐标系中，点A的坐标为，那么下列说法正确的是（    ） A．点A到x轴的距离为3 B．点A与点关于x轴对称 C．点A与点关于y轴对称 D．点A在第二象限 6．在平面直角坐标系中，对于点，把点叫做点P的友好点．已知点的友好点为点，点的友好点为点这样依次得到点，，，，若点的坐标为，则根据友好点的定义，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．直线与直线的交点坐标是 ． 8．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 ． 9．已知点在第二象限, 则点在第 象限． 10．如图，食堂在教室的北偏西，的位置，那么教室在食堂的 的位置． 11．点在第二象限，则m的取值范围是 ． 12．平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位，再向下平移1个单位后得到点B，则点B关于x轴的对称点的坐标为 ． 13．已知点和点，若直线轴，则的值是 ． 14．在平面直角坐标系中，已知点点C在第四象限，且则= ． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，是关于直线的轴对称图形，则点的坐标为 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，，为边上一动点，为边上一动点，点的坐标为．当的周长最小时，点到直线的距离为，则的周长的最小值为 ． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知点，根据下列条件，求出点A的坐标． (1)点A在y轴上； (2)点A到x轴的距离为3． 18．在平面直角坐标系中，点，，为坐标原点． (1)求的面积； (2)若点在轴的负半轴上，且的面积为，求点的坐标． 19．如图是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是． (1)根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)用坐标表示位置：食堂是______，图书馆是______； (3)已知办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置； (4)如果1个单位长度表示，那么宿舍楼到教学楼的实际距离为______． 20．在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． (1)和关于轴对称，请在坐标系中画出； (2)求的面积； (3)若点是轴上一动点，直接写出长度的最小值为________． 21．在如图的平面直角坐标系中，各个顶点的坐标分别是． (1)①请在此坐标系中画出； ②判断的形状是 三角形（填“锐角、直角、钝角”）； (2)作关于y轴对称的对称图形，并写出点的坐标为 ； (3)已知点P是y轴上一点，若，则点P坐标是 ． 22．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B、D在y轴上，，点D的坐标为，过点B作，交的延长线于点C，且． (1)求的延长线与x轴的交点M的坐标； (2)求点D到的距离． 23．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，…． (1)如果点的坐标为，则点的坐标为____________，点的坐标为___________ (2)如果点的坐标为，点的坐标为，则的算术平方根与的立方根的差的绝对值是多少？ 24．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，，点在第一象限，平行于轴，且．点从点出发，以每秒个单位长度沿轴向下匀速运动；点从点同时出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向右匀速运动，当点到达点时停止运动，点也随之停止运动．设运动时间为秒．问： (1)________，________． (2)当时，求三角形的面积． (3)是否存在这样的，使三角形的面积是三角形的面积的3倍，若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由． 25．新定义：在平面直角坐标系中，过某一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积数值相等，则这个点叫做“恒等点”．例如，如图①，②，过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长与面积数值相等，则点是“恒等点”． (1)点________“恒等点”（填“是”或“不是”）． (2)点是“恒等点”，求的值． (3)如图②，点是线段上一点，连接、，若“恒等点”，是正数，且，求点的坐标． 26．如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴正半轴上一动点．    (1)求证：y轴是线段的垂直平分线； (2)以为边作等边，点在第一象限，作射线交轴于点，设； 若，求的度数(用含有的式子表示)； 探究线段与的数量关系，并证明． 27．在平面直角坐标系中，，，（a，b，c均为正数，），．    (1)判断的形状并证明； (2)如图1，作于点D交于点F，点E在上且，求证：； (3)如图2，点M在y轴的负半轴上，，过点O作于点N，过点N作于点H，交x轴于点K．探究：当点B在运动时，是否为定值．若是，求出其值；若不是，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 平面直角坐标系（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．点到x轴的距离是（    ） A．4 B．7 C．5 D．11 【答案】B 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】考查平面直角坐标系的知识；根据点到轴的距离为点的纵坐标的绝对值解答即可． 【详解】∵点的纵坐标绝对值为7， 点到轴的距离为7． 故答案为：B． 2．根据下列表述，能确定位置的是（    ） A．兴庆路 B．负二层停车场 C．太平洋影城3号厅2排 D．东经，北纬 【答案】D 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】本题考查了有序数对确定位置．根据坐标定义，确定位置需要两个数据，逐项分析即可求解． 【详解】解：A、兴庆路，不能确定具体位置，故A选项不符合题意； B、负二层停车场，不能确定具体位置，故B选项不符合题意； C、太平洋影城3号厅2排，不能确定具体位置，故C选项不符合题意； D、东经，北纬，能确定具体位置，故D选项符合题意． 故选：D． 3．在平面直角坐标系中，点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，根据偶次方的非负性可得，则，即可得到点的横坐标为负，纵坐标为正，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴点的横坐标为负，纵坐标为正． ∴点在第二象限， 故选：B． 4．七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具．如图是由七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】坐标与图形、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查了直角坐标系，根据点A与点B的坐标建立直角坐标系即可得出点C的坐标． 【详解】解：根据题意，建立如下直角坐标系∶ 则点C的坐标为． 故选：B． 5．在直角坐标系中，点A的坐标为，那么下列说法正确的是（    ） A．点A到x轴的距离为3 B．点A与点关于x轴对称 C．点A与点关于y轴对称 D．点A在第二象限 【答案】D 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、判断点所在的象限、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了坐标与图形性质，熟练掌握点的坐标与图形位置是解答本题的关键． 按照点在坐标平面内的特征以及有关对称点的性质求解即可． 【详解】解：A、点A的坐标为，则点A到x轴的距离为4，故本选项不符合题意； B、点A的坐标为关于x轴的对称点为，故本选项不符合题意； C、点A的坐标为关于y轴的对称点为，故本选项不符合题意； D、点A的坐标为，则点A在第二象限，故本选项符合题意． 故选：D． 6．在平面直角坐标系中，对于点，把点叫做点P的友好点．已知点的友好点为点，点的友好点为点这样依次得到点，，，，若点的坐标为，则根据友好点的定义，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的规律，图形与坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先分别算出，，，，，找到规律后，得点的坐标与的坐标相同，即可作答． 【详解】解：∵对于点，把点叫做点的友好点．且的坐标为 则， ， 则 ∴ 同理得，，，…… 观察发现，每6个点为一个循环组依次循环． ∴点的坐标与的坐标相同，为， 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．直线与直线的交点坐标是 ． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相同，平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同求解即可． 【详解】∵直线上的点的横坐标均为，直线上的点的纵坐标均为5， ∴直线与直线的交点坐标是， 故答案为：． 8．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标，根据平面直角坐标系中任意一点，关于x轴的对称点的坐标是，关于y轴对称的点的坐标为，从而得出答案． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 9．已知点在第二象限, 则点在第 象限． 【答案】四 【知识点】已知点所在的象限求参数、判断点所在的象限 【分析】根据平面直角坐标系中各象限点的坐标特征进行解答即可．本题考查了点的坐标，熟练掌握各象限点的坐标特征是关键． 【详解】解：点在第二象限， ，， ，， 点在第四象限． 故答案为：四． 10．如图，食堂在教室的北偏西，的位置，那么教室在食堂的 的位置． 【答案】南偏东， 【知识点】与方向角有关的计算题、用方向角和距离确定物体的位置 【分析】本题考查了方向角的概念，利用有序实数对表示位置，根据题意算出，再结合题干的条件，即可解题． 【详解】解：如图所示： 由平行线的性质可得：， 食堂在教室的北偏西，的位置， ∴教室在食堂的南偏东，的位置； 故答案为：南偏东，． 11．点在第二象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知点所在的象限求参数、一元一次不等式组应用 【分析】本题考查了象限的特点，根据象限求坐标的参数，一元一次不等式组的应用，解得的关键在于根据象限特点列出不等式组求解．根据点在第二象限，列出不等式组求解即可． 【详解】解：点在第二象限， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 的取值范围是， 故答案为：． 12．平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位，再向下平移1个单位后得到点B，则点B关于x轴的对称点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题主要考查了点的平移，关于x轴对称点的特点，熟练掌握平移规律，对称点的坐标特征是解题的关键．先根据平移的特点得出平移后点的坐标为，根据x轴对称点的特点得出点的坐标即可． 【详解】解：∵点向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度后得到点B， ∴点B的坐标为， ∵点与点B关于x轴对称， ∴的坐标为， 故答案为：． 13．已知点和点，若直线轴，则的值是 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形 【分析】本题考查了点的坐标与图形，根据直线轴可得点A，B的纵坐标相等，从而可求出m的值，由此即可得出答案． 【详解】解：直线轴， ， 解得：， 故答案为：． 14．在平面直角坐标系中，已知点点C在第四象限，且则= ． 【答案】/70度 【知识点】坐标与图形、三角形内角和定理的应用 【分析】先依题意画出图形，再根据点得轴，则，进而得，然后根据三角形的内角和定理可得出的度数． 【详解】解：依题意如图所示： . ∵点 ∴轴， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ 故答案为：70度． 【点睛】本题考查平面直角坐标系的应用和三角形内角和，掌握这些基本知识是本题重点． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，是关于直线的轴对称图形，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了坐标与图形、轴对称的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．根据轴对称的性质可知，点和点到的距离相等，是3个单位长度，且轴，据此即可获得答案． 【详解】解：根据题意，点和点是关于直线对称的对应点， ∴它们到的距离相等，是3个单位长度，且轴， ∵点的坐标为， ∴点的坐标是． 故答案为：． 16．如图，在平面直角坐标系中，，为边上一动点，为边上一动点，点的坐标为．当的周长最小时，点到直线的距离为，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【知识点】线段问题(轴对称综合题)、用勾股定理解三角形、坐标与图形 【分析】本题考查了坐标与图形、轴对称的性质、勾股定理，由题意得出，，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、，由轴对称的性质可得：，，，， 从而得出此时的周长，为最小值，作于，则，再由勾股定理求出，，即可得出答案． 【详解】解： ∵点的坐标为， ∴，， 如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、， ， 由轴对称的性质可得：，，，， ∴，此时的周长，为最小值， 作于， ∵当的周长最小时，点到直线的距离为， ∴， ∴，， ∴， ∴的周长的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知点，根据下列条件，求出点A的坐标． (1)点A在y轴上； (2)点A到x轴的距离为3． 【答案】(1)点A的坐标为 (2)点A的坐标为 或 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征以及点到轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键． （1）根据上点的横坐标为0列方程求出的值，再求解即可； （2）根据点到轴的距离列出绝对值方程求解的值，再求解即可． 【详解】（1）解：∵点在y轴上， ∴， 解得， ∴． 则点A的坐标为． （2）∵点A到x轴的距离为3， ∴， ∴或 解得或， ∴或， ∴点A的坐标为 或． 18．在平面直角坐标系中，点，，为坐标原点． (1)求的面积； (2)若点在轴的负半轴上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用网格求三角形面积、坐标与图形 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形面积，解题的关键是利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系； （1）利用矩形面积减去三个三角形面积得到的面积； （2）设，利用面积和差得到，建立方程即可求解； 【详解】（1）解：如图，建立网格坐标系， ； （2）设， ， ， 解得：， 点坐标为 19．如图是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是． (1)根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)用坐标表示位置：食堂是______，图书馆是______； (3)已知办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置； (4)如果1个单位长度表示，那么宿舍楼到教学楼的实际距离为______． 【答案】(1)作图见详解 (2)， (3)作图见详解 (4) 【知识点】实际问题中用坐标表示位置、写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形 【分析】本题主要考查坐标表示地理位置，平面直角坐标系的特点， （1）根据旗杆的位置是，实验室的位置是即可确定平面直角坐标系； （2）根据平面直角坐标系即可求解； （3）根据坐标表示地理位置的方法即可求解； （4）根据平面直角坐标系的特点，确定宿舍楼与教学楼之间有几个单位长度，由此即可求解． 【详解】（1）解：已知旗杆的位置是，实验室的位置是， ∴建立平面直角坐标系如图所示， 即大门为坐标原点； （2）解：根据（1）中的平面直角坐标系可得，食堂，图书馆， 故答案为：，； （3）解：办公楼的位置是，教学楼的位置是，如图所示， （4）解：1个单位长度表示，那么宿舍楼到教学楼的实际距离为， 故答案为：． 20．在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． (1)和关于轴对称，请在坐标系中画出； (2)求的面积； (3)若点是轴上一动点，直接写出长度的最小值为________． 【答案】(1)见解析 (2)的面积为2； (3) 【知识点】勾股定理与网格问题、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称、利用网格求三角形面积 【分析】此题主要考查了坐标与图形、轴对称变换、求三角形面积以及最短路径问题． （1）首先确定三点关于轴对称的对称点位置，再顺次连接即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （3）连接，交轴于点，然后利用勾股定理计算可获得答案． 【详解】（1）解：如图所示； ； （2）解：的面积为：； （3）解：作点关于轴的对称点，再连接，交轴于点， 此时长度最小， 最小值为． 故答案为：． 21．在如图的平面直角坐标系中，各个顶点的坐标分别是． (1)①请在此坐标系中画出； ②判断的形状是 三角形（填“锐角、直角、钝角”）； (2)作关于y轴对称的对称图形，并写出点的坐标为 ； (3)已知点P是y轴上一点，若，则点P坐标是 ． 【答案】(1)①画图见解析；②直角 (2) (3)或 【知识点】画轴对称图形、在网格中判断直角三角形、写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，三角形的面积，关于x轴对称的点坐标，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）①根据各点坐标画出即可； ②根据勾股定理逆定理可判断的形状； （2）根据关于y轴对称的点坐标：纵坐标不变，横坐标互为相反数即可画出，并求出坐标； （3）根据点P是y轴上一点，且，轴，可知点P到的距离等于2，即可求出点P坐标． 【详解】（1）解：①如图所示： ②∵， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角； （2）解：如图所示， 点C关于y轴的对称点的坐标为， 故答案为：； （3）解：∵， ∴轴，且点C到直线的距离等于2， ∵点P是y轴上一点，且， ∴点P到的距离等于2，点P的横坐标为0， ∴点P坐标为或． 故答案为：或． 22．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B、D在y轴上，，点D的坐标为，过点B作，交的延长线于点C，且． (1)求的延长线与x轴的交点M的坐标； (2)求点D到的距离． 【答案】(1) (2)点D到的距离是4 【知识点】角平分线性质的实际应用、全等三角形综合问题、坐标与图形 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． （1）过点D作于点N，延长与x轴交于点M，根据等角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明，再根据全等三角形对应边相等可得即可得到结论． （2）根据全等三角形的性质得到，然后求出，再利用“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得即可得出结论． 【详解】（1）证明：过点D作于点N，延长与x轴交于点M， ， ， 又，， ， 在和中， ， ， ． （2）， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故点D到的距离是． 23．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，…． (1)如果点的坐标为，则点的坐标为____________，点的坐标为___________ (2)如果点的坐标为，点的坐标为，则的算术平方根与的立方根的差的绝对值是多少？ 【答案】(1)， (2) 【知识点】点坐标规律探索、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了点的坐标规律，实数的运算等，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义找出规律是解题关键． （1）根据点的坐标结合伴随点的定义，即可找到点，，，的坐标，进而得出坐标的变化规律：每4个点为一个循环组依次循环，按照此规律即可得出答案； （2）由（1）可得：，得到，代入与中，再根据算术平方根与立方根的定义及绝对值计算即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 点的坐标为，即． …， 依此类推，每4个点为一个循环组依次循环， ∵， ∴点的坐标与的坐标相同，为； （2）解：∵， ∴点的坐标与的坐标相同，为， ， ， 的算术平方根与的立方根的差的绝对值为：． 24．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，，点在第一象限，平行于轴，且．点从点出发，以每秒个单位长度沿轴向下匀速运动；点从点同时出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向右匀速运动，当点到达点时停止运动，点也随之停止运动．设运动时间为秒．问： (1)________，________． (2)当时，求三角形的面积． (3)是否存在这样的，使三角形的面积是三角形的面积的3倍，若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，三角形的面积为 (3)存在，P坐标为或 【知识点】坐标与图形 【分析】本题主要考查坐标与图形，三角形面积，注意分类讨论；掌握点坐标的表示，三角形面积的计算是解题的关键． （1）根据，平行于轴，且，即可求解； （2）分别求出点，的坐标，根据（1）求出点的坐标，最后根据三角形的面积即可求解； （3）根据题意，分类讨论，当时，，；当时，，；结合图形即可求解． 【详解】（1）解：，平行于轴，且，点在第一象限， ，，则， 故答案为：2；2． （2）解：点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度， ，， ，， 点到达点所用的时间是， 当时，点，点，如图所示， 点， ，， ， 当时，三角形的面积为1． （3）解：设运动时间为秒， ∴当时，，， ∴，， ∴， 解得，，符合题意； ∴， 当时，，， ∴，， ∴， 解得，，符合题意； ∴， 综上所述，当P的坐标为或时，三角形的面积是三角形的面积的倍． 25．新定义：在平面直角坐标系中，过某一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积数值相等，则这个点叫做“恒等点”．例如，如图①，②，过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长与面积数值相等，则点是“恒等点”． (1)点________“恒等点”（填“是”或“不是”）． (2)点是“恒等点”，求的值． (3)如图②，点是线段上一点，连接、，若“恒等点”，是正数，且，求点的坐标． 【答案】(1)不是 (2) (3)点坐标为 【知识点】坐标与图形、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查坐标与图形，掌握“恒等点”的定义是解题的关键． （1）根据“恒等点”的定义进行判断即可； （2）根据“恒等点”的定义，列出方程进行求解即可； （3）根据“恒等点”的定义，求出的值，设，则，根据列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形， 长方形的周长，长方形的面积 点不是“恒等点”； （2）过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形， 长方形的周长，长方形的面积 点是“恒等点” ，解得 ； （3）点是“恒等点”，是正数 解得 点的坐标为 设，则 ， 解得 点坐标为 26．如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴正半轴上一动点．    (1)求证：y轴是线段的垂直平分线； (2)以为边作等边，点在第一象限，作射线交轴于点，设； 若，求的度数(用含有的式子表示)； 探究线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①；②，证明见解析 【知识点】坐标与图形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的判定、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）由点，得出，结合轴，即可得出答案； （2）①由（1）可得：轴是线段的垂直平分线，，，由等边三角形的性质可得，，从而得出，，最后由等边对等角以及三角形内角和定理计算即可得出答案；②延长至，使，连接、，证明即可得出答案． 【详解】（1）证明：点，， ， 轴， 轴是线段的垂直平分线； （2）解：①如图，      由（1）可得：轴是线段的垂直平分线， ，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ； ②， 证明：如图，延长至，使，连接、，      则垂直平分， ， 由（1）可得：轴是线段的垂直平分线， ，， 是等边三角形， ，， ， 由①可得：， ，， ，， 是等边三角形， ， 轴是线段的垂直平分线， ，， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 27．在平面直角坐标系中，，，（a，b，c均为正数，），．    (1)判断的形状并证明； (2)如图1，作于点D交于点F，点E在上且，求证：； (3)如图2，点M在y轴的负半轴上，，过点O作于点N，过点N作于点H，交x轴于点K．探究：当点B在运动时，是否为定值．若是，求出其值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)是等腰直角三角形，证明见解析 (2)见解析 (3)是定值，为 【知识点】坐标与图形、全等三角形综合问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）由非负数的性质得到，则，进而可得， 再由，即可证明是等腰直角三角形； （2）如图所示，过点F作分别交于H、G，证明是等腰直角三角形，得到，再证明，得到，则，即可得到点E与点G重合，进而证明； （3）如图所示，延长交于Q，连接并延长交于G，证明是等腰直角三角形，进而得到垂直平分，则，证明，得到，设，则，进而得到；如图所示，在上截取，连接，则，设，则，则，由三角形外角的性质得到，则，即，再证明，得到，则，故是定值，为． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形； （2）证明：如图所示，过点F作分别交于H、G， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵点E在上， ∴点E与点G重合， ∴；    （3）解：如图所示，延长交于Q，连接并延长交于G， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； 如图所示，在上截取，连接，则， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ． ∴是定值，为．    【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，坐标与图形，非负数的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$