第4章 实数（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（苏科版）

第4章 实数（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．数(相邻两个1之间的0的个数逐渐加1)，中，无理数的个数为（   ） A．5 B．2 C．3 D．4 2．下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x的值为时，输出的y的值是（    ） A． B． C． D． 5．如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（    ） A． B． C． D． 6．按顺序排列的一列数：，，，，是正整数，从第二个数开始，每一个数都等于与它前一个数的倒数之差，即：，，，则下列说法：当且且时，；若，则；代数式的值恒为负；若，则其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7． ． 8．比较大小： ．（填“”或“”）． 9．若，则是 ． 10．已知，为两个连续整数，且，则 ． 11．当 时，代数式 有最小值． 12．已知，，则 ． 13．如图是一个数值转换器，当输入为64时，输出的值是 ． 14．将面积为3的正方形的一个顶点放在数轴上表示的点上，以这个点为圆心，以这个正方形的边长为半径画圆，与数轴相交，则交点表示较大的实数是 ，较小的实数是 ． 15．若a，b，c为的三条边，且满足，则是 三角形． 16．对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，如，，．现对82进行如下操作： ，这样对82只需进行3次操作后变为1．类似地，对625只需进行 次操作后变为1． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．求下列各式的值； (1) (2) 18．求下列各式中的x的值． (1)； (2)． 19．已知正数的两个不同的平方根分别为和，求的立方根． 20．已知，求的值． 21．已知为4的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 22．如图，实数，，是数轴上三点，，所对应的数． (1) ，_______，________用“”，“”或“”号填空； (2)化简：． 23．如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A所表示的数为m． (1)实数m的值是______． (2)求的值． (3)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 24．【阅读资料】 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部地写出来，于是用来表示的小数部分，又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知，其中x是整数，且，求的相反数． 25．同学们，本学期我们结识了无理数，数系从有理数扩充到实数，有理数的所有运算律对实数都适用．但是任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数，那么且． 运用上述知识，解决下列问题： (1)如果，其中、为有理数，那么______，______； (2)如果，其中、为有理数，求、的值． (3)如果，其中、为有理数，求的算术平方根． 26．阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对 若满足，则称该有序数对为“望一”数对； 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算： ． (2)下列数对是“望一”数对的有 ，是“望音”数对的有 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤ (3)若有序数对是“望音”数对，求整数x的值． (4)计算的值，请直接写出答案． 27．根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，． 证明：， 为有理数， 是有理数． 为有理数，是无理数， ． ． ． (1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ； (2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，； (3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 实数（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．数(相邻两个1之间的0的个数逐渐加1)，中，无理数的个数为（   ） A．5 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、无理数 【分析】本题考查了无理数，算术平方根，立方根．熟练掌握无理数，算术平方根，立方根是解题的关键． 根据无限不循环小数是无理数进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，，，，， ∴，，，（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1），，是无理数， 故选：A． 2．下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查二次根式计算，一个数开立方根计算等．根据题意逐一对选项进行计算即可得到本题答案． 【详解】解：，A选项错误； ，B选项错误； ，C选项错误； ，D选项正确． 故选：D． 3．若，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】实数的大小比较 【分析】先对题目中的二次根式化简，比较大小即可． 本题考查了二次根式的化简及估算，绝对值，比较实数大小． 【详解】解：由题可得，，， 由， 故选A． 4．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x的值为时，输出的y的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的立方根、程序设计与实数运算、程序流程图与代数式求值 【分析】根据程序，，是有理数，继续运算，符合题意，输出即可． 本题考查了立方根，无理数，求代数式的值，熟练掌握立方根，无理数是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得是有理数，继续运算，符合题意， 故选：C． 5．如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴，求出正方形的边长是解题的关键．根据正方形的面积求出正方形的边长为，得到，即可表示点E． 【详解】解：∵正方形的面积为7， ∴正方形的边长为， ∴， 点A在数轴上表示的数为1， ∴点E表示的数为． 故选：D． 6．按顺序排列的一列数：，，，，是正整数，从第二个数开始，每一个数都等于与它前一个数的倒数之差，即：，，，则下列说法：当且且时，；若，则；代数式的值恒为负；若，则其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题主要考查了实数的性质，实数运算的规律，实数的运算，根据题意逐项即可，利用题干的规定找出数字的规律是解题的关键． 【详解】设，则， ， ， ，，，可以发现每四个次循环， 则，故正确； 若，则可得，，，，，可见每四个次循环，从而 ， ，故正确； 由题意得，，，， 故， ∵对于任意实数都有， ∴为非正数，当时为，故错误； 由题意得：，， ∴， ∴， ∴，故正确； 综上正确， 故选：． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7． ． 【答案】 【知识点】实数的性质 【分析】本题考查实数的绝对值，熟练掌握实数的大小估算和实数的绝对值求法是解题的关键．先确定的正负，再求绝对值即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 8．比较大小： ．（填“”或“”）． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查了实数比较大小，利用作差法得到，再判断的符号即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．若，则是 ． 【答案】2 【知识点】绝对值非负性、求一个数的算术平方根、利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，求一个数的算术平方根，熟练掌握知识点是解题的关键． 由算术平方根和绝对值的非负性得到，解出，即可计算． 【详解】解：由题意得，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：2． 10．已知，为两个连续整数，且，则 ． 【答案】 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，求出的值，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 11．当 时，代数式 有最小值． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题主要考查二次根式的非负性，根据二次根式的非负性分析求解即可 【详解】解：， ∴， ∴当，，即时，代数式 有最小值为． 故答案为： 12．已知，，则 ． 【答案】31.9 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．根据算术平方根的定义进行解题即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：31.9． 13．如图是一个数值转换器，当输入为64时，输出的值是 ． 【答案】 【知识点】程序设计与实数运算 【分析】本题考查程序流程图与实数的运算，根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当为64时，是有理数， 当时，为无理数，输出， 故答案为：． 14．将面积为3的正方形的一个顶点放在数轴上表示的点上，以这个点为圆心，以这个正方形的边长为半径画圆，与数轴相交，则交点表示较大的实数是 ，较小的实数是 ． 【答案】 / / 【知识点】求一个数的算术平方根、实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴，熟记算术平方根的定义是解答本题的关键． 根据算术平方根的定义以及数轴的定义解答即可． 【详解】解：如图所示， ∵正方形的面积为3， ∴圆的半径为， ∴点B表示的数为，点A表示的数为， 故答案为：，． 15．若a，b，c为的三条边，且满足，则是 三角形． 【答案】直角 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了非负数的性质和勾股定理的逆定理．明确非负数的性质：如果一组非负数的和为0时，则每一个非负数都等于0． 首先根据求出a，b，c的值，然后根据勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴解得 ∵， ∴ ∴是直角三角形． 故答案为：直角． 16．对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，如，，．现对82进行如下操作： ，这样对82只需进行3次操作后变为1．类似地，对625只需进行 次操作后变为1． 【答案】四 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了无理数的估算，新定义．根据程序图一步一步计算即可得出答案． 【详解】解：第一次，， 第二次，， 第三次，， 第四次，， ∴对625只需进行四次操作后变为1． 故答案为：四． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．求下列各式的值； (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的混合运算 【分析】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．求下列各式中的x的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【知识点】利用平方根解方程、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程， （1）整理后利用立方根的定义解方程即可； （2）移项后利用平方根的定义解方程即可. 【详解】（1）解： 解得：； （2） 或， 解得：或． 19．已知正数的两个不同的平方根分别为和，求的立方根． 【答案】 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的立方根 【分析】本题考查了平方根和立方根，根据平方根的性质可得，即得，进而可得，即得到，最后根据立方根的定义即可求解，掌握平方根的性质是解题的关键． 【详解】解：∵正数的两个不同的平方根分别为和， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根为． 20．已知，求的值． 【答案】 【知识点】利用平方根解方程、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】此题考查了平方根的定义，立方根的定义，立方根的化简及混合计算．根据平方根及立方根的定义求出或，，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或，， 当时， ； 当时，原式没有意义，舍去． 21．已知为4的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根的定义计算即可； （2）将a，b的值代入中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵为4的算术平方根，2为的立方根， ，， 解得：，； （2）解：∵，， ， 则的平方根是． 22．如图，实数，，是数轴上三点，，所对应的数． (1) ，_______，________用“”，“”或“”号填空； (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】（1）利用数轴上，，的位置进而分别得出各式的符号； （2）直接利用（1）中各式的符号进而化简即可． 此题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，数轴与实数，化简绝对值，立方根、算术平方根，正确化简各数是解题关键． 【详解】（1）解： ， ， ，， ， ，， ， 故答案为：；；； （2）解：原式 ． 23．如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A所表示的数为m． (1)实数m的值是______． (2)求的值． (3)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】相反数的应用、绝对值非负性、求一个数的平方根、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）根据左减原则计算解答即可． （2）根据，代入求值即可． （3）根据题意，得，解得，代入，计算平方根． 【详解】（1）解：根据题意，得， 故答案为：． （2）解：根据，代入，得 原式= ． （3）解：根据题意，得， 解得，代入， 故 ． 【点睛】本题考查了点的坐标的平移规律，已知字母的值求代数式的值，有理数的非负性，相反数的应用，平方根的意义，熟练掌握平移，非负性，平方根是解题的关键． 24．【阅读资料】 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部地写出来，于是用来表示的小数部分，又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)5， (2)1 (3) 【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算 【分析】此题考查了无理数的估算； （1）确定即可解答； （2）利用估算分别得到，，再代入计算即可； （3）利用估算方法得到，确定的整数部分是10，小数部分是，由此得到，计算出的值即可． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分是5，小数部分是， 故答案为：5，； （2）解：， 即， 的小数部分， ， 即， 的整数部分， ； （3）解：， ， 即， 的整数部分是10，小数部分是， 是整数，且， ， ， 的相反数是． 25．同学们，本学期我们结识了无理数，数系从有理数扩充到实数，有理数的所有运算律对实数都适用．但是任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数，那么且． 运用上述知识，解决下列问题： (1)如果，其中、为有理数，那么______，______； (2)如果，其中、为有理数，求、的值． (3)如果，其中、为有理数，求的算术平方根． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】求一个数的算术平方根、实数的混合运算、加减消元法 【分析】本题考查无理数，求一个数的算术平方根，掌握如果，其中、为有理数，为无理数，那么且，是解题的关键． （1）根据题干信息，得到，求解即可； （2）将式子转化为：，再根据题意信息，列式求解即可； （3）将式子变形为，列出方程组，求出的值，进一步求出代数式的算术平方根即可； 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴ ∴， ∴，解得：， ∴， ∴的算术平方根为． 26．阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对 若满足，则称该有序数对为“望一”数对； 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算： ． (2)下列数对是“望一”数对的有 ，是“望音”数对的有 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤ (3)若有序数对是“望音”数对，求整数x的值． (4)计算的值，请直接写出答案． 【答案】(1)1 (2)③④，①⑤ (3)0、1、2 (4) 【知识点】新定义下的实数运算、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了新定义运算，无理数大小的估算，求不等式组的解集，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的定义． （1）根据题干中给出的信息进行计算即可； （2）根据“望一”数对和“望音”数对的定义进行求解即可； （3）根据“望音”数对定义列出方程，解方程即可； （4）根据题干中的信息找出规律，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①∵， ∴是“望音”数对； ②∵， ∴既不是“望一”数对，也不是“望音”数对； ③∵， ∴是“望一”数对； ④， ∴是“望一”数对； ⑤∵ ∴是“望音”数对； 综上分析可知：“望一”数对的有③④，是“望音”数对的有①⑤． （3）解：∵有序数对是“望音”数对， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， ∴整数x的值为0、1、2． （4）解： 解：，，， ，，，，， ，，，，，，， …… ，， ， ， ∴中有3个1，5个2，7个3，……87个，89个44， ． 27．根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，． 证明：， 为有理数， 是有理数． 为有理数，是无理数， ． ． ． (1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ； (2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，； (3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)， 【知识点】实数运算的实际应用 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是读懂材料内容． （1）将式子化为的形式，结合， 为有理数，即可求解； （2）将式子化为的形式，结合，，， 为有理数，即可证明； （3）先根据无理数的估算求出、的值，再将所给的等式化简为，然后根据题意列出方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 为有理数， ，， ，， 故答案为：，； （2）证明：， ， ，，， 为有理数， ，都是有理数， ，， ，； （3）解：， 的整数部分，小数部分， ， ， ， ， 为有理数， ， 解得：， ，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$