第4章 实数 知识归纳与题型突破（单元复习 14类题型清单）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（苏科版）

第4章 实数知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、算术平方根的概念及性质 1.算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数x叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 二、平方根的概念与性质 1.平方根的定义：如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 2.平方根和算术平方根的区别与联系 区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0． 3.平方根的性质 三、立方根的概念 1.立方根的定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 2.立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 3.立方根的性质： 4.立方根的应用：利用立方根的定义解方程和求解实际问题. 四、认识无理数 无理数的定义：无限不循环小数。有限小数和无限循环小数都称为有理数. 无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. 五、实数概念及分类 无理数：无限不循环小数统称为无理数． 实数：有理数和无理数统称为实数． 无理数常见的三种类型：（1）开不尽的方根；（2）特定结构的无限不循环小数；（3）含有π的绝大部分数. 六、实数与数轴 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点一一对应． 03 题型归纳 题型一　算术平方根、平方根与立方根概念理解 例题：（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）下列说法正确的有（    ） ①5是25的算术平方根；②是64的立方根；③的平方根是；④0的平方根和算术平方根都是它本身． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】平方根概念理解、立方根概念理解、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了立方根、算术平方根、平方根，根据立方根、算术平方根、平方根的定义逐项判断即可得出答案，熟练掌握相关概念是解此题的关键． 【详解】解：①，即5是25的算术平方根，故①正确； ②，即是64的立方根，故②错误； ③，即的平方根是，故③正确； ④0的平方根和算术平方根都是它本身，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共个， 故选：B． 巩固训练 1．（24-25八年级上·四川遂宁·开学考试）下列说法中，正确的是（　　） A．的立方根是，记作 B．的算术平方根是 C．的三次方根是 D．正数的算术平方根是 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、立方根概念理解 【分析】本题考查算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的概念是解题的关键．利用算术平方根和立方根的定义逐一判断即可． 【详解】解：A中，的立方根是，记作，故选项错误，不符合题意； B中，是负数，负数没有算术平方根，故选项错误，不符合题意； C中，的三次方根是，故选项错误，不符合题意； D中，正数的算术平方根是，故选项正确，符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）下列命题中，假命题是（    ）． A．2是8的立方根 B．是的一个平方根 C．0的平方根与算术平方根都是0 D．是64的立方根 【答案】D 【知识点】立方根概念理解、求一个数的算术平方根、判断命题真假、平方根概念理解 【分析】本题考查算术平方根，平方根，立方根的概念，假命题的判断．根据算术平方根，平方根，立方根的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、 2是8的立方根，正确，该选项为真命题； B、 是的一个平方根，正确，该选项为真命题； C、0的平方根与算术平方根都是0，正确，该选项为真命题； D、是64的立方根，错误，应该是：4是64的立方根，该选项为假命题． 故选：D． 3．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．0.09的算术平方根是 B．是36的一个平方根 C．立方根等于本身的数只有0 D．的平方根是 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、立方根概念理解、求一个数的平方根 【分析】此题主要考查了立方根，平方根、算术平方根．依据立方根、平方根、算术平方根的定义依次判断即可． 【详解】解：A、0.09的算术平方根是，原说法错误，该选项不符合题意； B、是36的一个平方根，正确，该选项符合题意； C、立方根等于本身的数有0，1和，原说法错误，该选项不符合题意； D、的平方根是，原说法错误，该选项不符合题意； 故选：B． 题型二　求一个数的算术平方根、平方根、立方根 例题：（22-23七年级下·山东青岛·期中）6的平方根是 ，的立方根是 ，的算术平方根是 ． 【答案】 2 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了平方根、算术平方根，立方根的性质，熟练掌握平方根、立方根性质是关键． 根据平方根、算术平方根，立方根性质解答即可． 【详解】解：6的平方根是， 的立方根是， ∵， ∴算术平方根，即4的算术平方根为． 故答案为：；；2． 巩固训练 1．（22-23八年级上·山东青岛·阶段练习）的立方根是 ，0.0036的平方根是 ，的算术平方根是 ． 【答案】 3 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查立方根、平方根、算术平方根，熟练掌握定义是解题关键． 根据立方根、平方根、算术平方根的定义即可得答案． 【详解】的立方根是，0.0036的平方根是，的算术平方根是3． 故答案为：，，3． 2．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）6的平方根是 ，的算术平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 3 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、求一个数的平方根 【分析】根据平方根，算术平方根，立方根定义解答即可． 本题考查了平方根，算术平方根，立方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：6的平方根是，的算术平方根是3，的立方根是， 故答案为：，3，． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）1的平方根是     1的立方根是    的算术平方根是 【答案】 1 2 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，根据平方根、算术平方根、立方根的定义计算即可得出答案． 【详解】解：1的平方根是，1的立方根是， ， ∴的算术平方根是， 故答案为：，，． 题型三　已知一个数的平方根或立方根，求这个数 例题1：（23-24七年级下·吉林长春·期末）一个正数的两个平方根分别是与，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了平方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，即两者相加等于零，由此可列方程，解方程即可得解． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ， ， 故答案为：1． 例题2：（23-24八年级上·福建三明·期末）若一个数的立方根是2，则这个数为 ． 【答案】8 【分析】本题考查立方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么x叫做a的立方根．记作：．找到立方根等于2的数即可． 【详解】解：， 这个数是8， 故答案为：8． 巩固训练 1.（23-24七年级下·山东临沂·期末）如果一个正数的平方根是和，则这个正数是 ． 【答案】49 【分析】本题考查了平方根的意义，根据正数有两个平方根，它们互为相反数，先求出a的值，再求出这个数的平方． 【详解】解：因为一个非负数的平方根互为相反数， 所以 解得 ∴ ． 即这个数是49． 故答案为：49． 2.（23-24七年级下·陕西安康·期末）已知一个正数的两个不同的平方根是和，则这个正数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平方根，根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，求出a的值，从而得出这个正数的两个平方根，即可得出这个正数，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键． 【详解】解：∵一个正数的两个不同的平方根是和 ∴， ， 即这个正数的两个平方根是， ∴这个正数是， 故答案为：4． 3.（23-24七年级下·山东德州·期中）已知的平方根是，的算术平方根是，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了根据平方根，算术平方根的知识进行计算求解等知识．先根据题意得到，求出，即可求出． 【详解】解：∵的平方根是，的算术平方根是， ∴， 解得， ∴． 故答案为：3 4.（23-24七年级下·内蒙古乌海·期末）已知的立方根是，是的算术平方根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，代数式求值，根据算术平方根和立方根的定义求出的值，再把的值代入到代数式计算即可求解，掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵的立方根是，是的算术平方根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 5.（23-24七年级下·陕西西安·期末）已知的立方根是，的算术平方根是5．则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是立方根、平方根、算术平方根的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．依据立方根和算术平方根的定义得到和，然后再求得代数式的值，最后再求得的平方根即可． 【详解】解：因为的立方根是， 所以． 因为的算术平方根是5， 所以， 所以． 所以的平方根是． 故答案为：． 6.（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）已知的平方根是的立方根是2，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根和立方根，根据平方根和立方根的定义，求出x，y的值，进而求解即可． 【详解】解：∵的平方根是的立方根是2， ∴， ∴， ∴的立方根为：； 故答案为：． 题型四　利用算术平方根的非负性解题 例题：（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知，则以x，y，z为边长的三角形是 三角形． 【答案】直角 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、判断三边能否构成直角三角形、绝对值非负性 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及非负数的性质，先利用非负数的性质求出x、y、z的值，然后利用勾股定理的逆定理判定即可． 【详解】解∶， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴以x，y，z为边长的三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 巩固训练 1.（23-24七年级下·北京·期中）已知，则的算术平方根为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，绝对值的非负性以及算术平方根的非负性质，先利用非负性质求出的值，再根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：， ∴①，②， 由①+②得： 整理得：， 解得：， ∴的算术平方根为3． 故答案为：3． 2．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了非负数的性质、求代数式的值，根据非负数的性质计算得出，，代入计算即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）若直角的三边长分别为、、，且、满足，则第三边的长是 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、利用算术平方根的非负性解题、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查算术平方根和平方的非负性，勾股定理，先配方，再根据非负性求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴，， ∵直角的三边长分别为、、， ∴当为斜边时，， 当为斜边时，， 故答案为：或． 4．（2023八年级上·甘肃白银·学业考试）已知，，是的三边长，且满足关系，则的形状是 ． 【答案】等腰直角三角形 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、等腰三角形的定义、绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握二次根式，绝对值的非负性是解题的关键． 首先根据二次根式，绝对值的非负性得出，，的关系，即可判断三角形形状． 【详解】解：， ，， ，， 为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 题型五　利用平方根、立方根的定义解方程 例题：（23-24七年级下·北京朝阳·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1)或； (2)． 【知识点】利用平方根解方程、立方根的实际应用 【分析】本题考查了运用平方根、立方根的性质解方程的方法，解题关键在于掌握开平方根与开立方根的方法． （1）先移项，再利用直接开平方法，求解即可； （2）直接用开立方方法求解即可． 【详解】（1）解： 方程整理得：， 开方得：， ∴或； （2）解： 方程整理得：， 开方得：， ∴． 巩固训练 1．（22-23八年级上·河南驻马店·阶段练习）（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）或；（2） 【知识点】利用平方根解方程、立方根的实际应用 【分析】本题主要考查了平方根与立方根，熟练掌握平方根与立方根的定义进行求解是解决本题的关键． （1）根据题意可化为，根据平方根的定义可得，计算即可得出答案； （2）根据题意可化为，根据立方根的定义可得，计算即可得出答案． 【详解】解：（1）， ， ， ， 或， 或； （2）， ， ， ， ． 2．（23-24七年级下·河南周口·期中）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或； (2)． 【知识点】利用平方根解方程、立方根的实际应用 【分析】（）根据平方根的概念解方程即可； （）根据立方根的概念解方程即可； 本题考查了平方根和立方根的概念，正确理解平方根和立方根的概念是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， 或， 或； （2）解： ， ， ． 3．（23-24七年级下·辽宁大连·阶段练习）计算： (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【知识点】立方根的实际应用、利用平方根解方程 【分析】本题主要考查平方根和立方根的应用： （1）方程移项后，两边再除以2后，开立方即可得解； （2）方程移项后，开平方，得到两个一元一次方程，求解即可； 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴； （2）解： ∴ 题型六　求代数式的平方根 例题：（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知与 互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方根以及相反数，解一元一次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由题意得 ，求出a、b值，即可求解． 【详解】解：∵，， 则当与 互为相反数时， 只能是， 解得：， ∴， ∴其平方根为． 巩固训练 1.（23-24七年级下·福建莆田·阶段练习）一个正数b的平方根是与， (1)求a和b的值． (2)求平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查平方根： （1）根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求出a的值，再根据平方根求出b的值； （2）将（1）中结果代入，再计算平方根即可． 【详解】（1）解：∵正数b的平方根是与， ∴， ∴． ∴，， ∵9的个平方根是， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 即平方根是． 2.（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根及平方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可． 【详解】解：的算术平方根是5， ， 解得：． ∵的平方根是， ， 解得：． 是的整数部分，而， ， ， 的平方根为． 【点睛】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键． 3.（22-23七年级下·陕西安康·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根定义与性质、相反数性质，熟记平方根定义与性质是解决问题的关键． （1）根据平方根性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可得到答案； （2）由（1）中，代入，利用平方根定义求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴，解得， ∴； （2）解：将代入中， 得， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 题型七　立方根的性质 例题：（23-24七年级下·广西崇左·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根、立方根，熟练掌握算术平方根、立方根的概念和性质是解题的关键．根据算术平方根、立方根、平方根的定义进行判断即可． 【详解】解：A．，原式计算错误，故选项不符合题意； B．，原式计算错误，故选项不符合题意； C．，原式计算错误，故选项不符合题意； D．，原式计算正确，故选项符合题意； 故选：D． 巩固训练 1.（22-23七年级下·河南商丘·期中）若， ，，则a，b，c的大小关系是（　　）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方根、立方根的性质等知识点，灵活运用平方根、立方根的性质成为解题的关键. 先根据平方根、立方根的性质化简，然后再根据有理数的大小比较法则比较大小即可. 【详解】解：∵， ，， ∴. 故选B. 2.（23-24七年级下·福建龙岩·阶段练习）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根，平方根与立方根，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．根据算术平方根，平方根与立方根的定义，逐项分析解题即可． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确， 故选：D． 3.（23-24八年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方根和立方根的概念，正确理解平方根和立方根的概念是解答本题的关键．“如果，则x叫做a的平方根，记作，叫做a的算术平方根．”“如果，则x叫做a的立方根，记作．”，根据概念即可解答本题． 【详解】选项A，表示9的算术平方根， ，所以该选项不正确，不符合题意； 选项B，表示的立方根，，所以该选项正确，符合题意； 选项C，表示16的平方根，，所以该选项不正确，不符合题意； 选项D，表示的算术平方根，，所以该选项不正确，不符合题意． 故选：B． 4.（23-24七年级下·山东日照·期中）如图，有理数化简： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数的运算，整式的加减，绝对值，算术平方根和立方根的化简，解题的关键是熟悉掌握绝对值的性质．先利用数轴表示数的方法得到，再利用绝对值和立方根和算术平方根定义得原式，然后去括号后合并即可． 【详解】解：根据题图可知：，且， ∴， ∴ ， 故答案为：． 题型八　无理数的识别 例题：（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）在，，，，，这些实数中，无理数有（ 　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】实数的分类、无理数 【分析】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．无理数就是无限不循环小数．由此即可判定选择项． 【详解】解：， 无理数有：，，； 有理数有：，，； 故选：C． 巩固训练 1．（24-25八年级上·甘肃白银·阶段练习）在，，，，0，，，，中，无理数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】求一个数的立方根、无理数 【分析】本题考查了无理数的识别，立方根的求解，根据无限不循环小数叫无理数，常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等进行判断即可． 【详解】解：，，，，127，0，为有理数， ，，为无理数，共有3个， 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏南通·开学考试）在实数（不循环）、、、、、、、、中，无理数的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数的识别，熟悉掌握无理数是无限不循环小数是解题的关键． 根据无理数的特征逐一判断即可． 【详解】解：由题意可得：无理数有：（不循环），，，，一共个； 故选：C． 3．（24-25八年级上·广东揭阳·单元测试）在下列各数0.515115111511115…（相邻两个5之间的1的个数依次增加1），，，，，，1.414中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】求一个数的立方根、无理数 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数，也考查了求立方根． 【详解】解：，，，1.414是有理数， 故无理数有0.515115111511115…（相邻两个5之间的1的个数依次增加1），，，共个， 故选：C． 题型九　实数概念理解 例题：（22-23八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可． 【详解】解：A、正实数和负实数统称实数，错误，0也是实数，故不符合题意； B、正数、0和负数统称有理数，错误，正数、0和负数统称实数，故不符合题意； C、带根号的数和分数统称实数，错误，故不符合题意； D、无理数和有理数统称实数，正确，故符合题意； 故选：D． 巩固训练 1.（23-24八年级上·安徽·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数 C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数 【答案】C 【分析】根据实数的有关概念、实数与数轴的关系对各项逐一分析判断即可． 【详解】A. 两个无理数的和可能是无理数，也可能是有理数，如互为相反数的一对无理数和，它们的和是0，是有理数，故本选项说法错误，不符合题意； B. 无理数是无限不循环小数，无限小数不一定是无理数，故本选项说法错误，不符合题意； C. 实数可以用数轴上的点来表示，说法正确，符合题意； D. 分数是有理数，故本选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了实数的有关概念和实数与数轴的关系，熟练掌握实数的基本概念是解题的关键． 2.（22-23八年级上·山东青岛·期中）已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查实数．熟练掌握实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质。是解决问题的关键． 根据实数与数轴的关系，实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质，逐一判断，即得． 【详解】解：数轴上除了还能表示有理数与其它无理数，故①项错误； 任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②项正确； 实数与数轴上的点一一对应，故③项正确； 整数和分数统称有理数，无限不循环小数为无理数， ∴无理数也有无限个，故④项错误． ∴正确的是②③． 故选：B． 3.（23-24八年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列说法中，正确的个数是（    ） ①实数包括有理数、无理数和0；②有理数和数轴上的点一一对应；③无理数都是无限小数；④；⑤平方根与立方根都等于它本身的数为0和1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据实数的概念和分类，实数与数轴关系，完全平方公式，平方根和立方根的性质分别判断即可． 【详解】解：①实数包括有理数、无理数，0属于有理数，故错误； ②实数和数轴上的点一一对应，故错误； ③无理数都是无限小数，故正确； ④，故错误； ⑤平方根等于它本身的数有：0，立方根等于它本身的数有：0、1、，则平方根、立方根都等于它本身的数为0，故错误； 正确结论的个数是1． 故选：A． 【点睛】本题考查了实数的概念和分类，实数与数轴关系，完全平方公式，平方根和立方根的性质，属于基础知识，要熟练掌握． 题型十　实数的分类 例题：（24-25八年级上·全国·单元测试）把下列各数填入相应的集合内： ，，，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）． 有理数集合{ }； 无理数集合{ }； 正数集合{ }； 负数集合{ }． 【答案】，，，，，；，，(相邻两个之间的个数逐次加)；，，，，，(相邻两个之间的个数逐次加)；，． 【知识点】实数的分类、求一个数的立方根 【分析】本题考查了实数的分类，根据有理数、无理数、正数和负数的定义即可判断求解，掌握实数的有关定义是解题的关键． 【详解】解：有理数集合{，，，，，，}； 无理数集合{，，(相邻两个之间的个数逐次加)，}； 正数集合{，，，，，(相邻两个之间的个数逐次加)，}； 负数集合{，，}； 故答案为：，，，，，；，，(相邻两个之间的个数逐次加)；，，，，，(相邻两个之间的个数逐次加)；，． 巩固训练 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）把下列各数分别填在相应的括号内： 有理数：{ }； 无理数：{ }； 负实数：{ }． 【答案】见解析 【知识点】无理数、实数的分类、有理数的分类 【分析】根据有理数，无理数，负实数的意义解答即可． 本题考查了有理数，实数的分类，熟练掌握基本概念是解题的关键． 【详解】解: ， 故有理数: 无理数： ; 负实数： 故答案为：；；． 2．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）把下列各数填入相应的集合内： ，，0，，，，，． 【答案】，0，， ，，；，， 【知识点】实数的分类 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．据此求解即可． 【详解】解：， 如图， 故答案为：，0，， ，，；，，． 3．（23-24七年级下·山东·单元测试）将下列各数填在相应的集合里． ，， ，， (每两个3之间依次多1个0)，0，，， 有理数集合：{　　　　　　　　　　　　　…}； 无理数集合：{　　　　　　　　　　　　　…}； 正实数集合：{　　　　　　　　　　　　　…}； 整数集合：{　　　　　　　　　　　　　　…}． 【答案】见解析 【知识点】实数的分类 【分析】本题主要考查了实数的分类，实数包括有理数和无理数，无理数是无限不循环小数，根据实数的定义进行分类即可． 【详解】解：，， 有理数集合：{， ，，0，，…}； 无理数集合：{， (每两个3之间依次多1个0)，…}； 正实数集合：{，， ， (每两个3之间依次多1个0)，，，…}； 整数集合：{，0，…}． 题型十一　实数的性质 例题：（23-24八年级上·全国·单元测试）（1）的绝对值为 ；的相反数为 ； （2）的绝对值为 ；的相反数为 ． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数和绝对值，只有符号不同的两个数互为相反数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可． 【详解】解：（1）的绝对值为；的相反数为； （2）的绝对值为；的相反数为． 故答案为：（1）；；（2）； 巩固训练 1.（23-24八年级上·全国·单元测试）的相反数是 ；的绝对值是 ；的相反数是 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数和绝对值，只有符号不同的两个数互为相反数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可． 【详解】解：的相反数是；的绝对值是；的相反数是； 故答案为：；；． 2.（23-24七年级下·天津宁河·期中） 的平方根是 ，的相反数为 ，的绝对值为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了求一个数的平方根、立方根，实数的性质，根据平方根、立方根，以及相反数的定义，绝对值，即可求解． 【详解】解： 的平方根是，的相反数为，的绝对值为 故答案为：，，． 3.（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）的绝对值是 ，的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题是对绝对值和相反数知识的考查，熟练掌握实数知识是解决本题的关键．根据绝对值和相反数知识求解即可． 【详解】解：绝对值是， 的相反数是：． 故答案为：； 题型十二　实数与数轴 例题：（23-24七年级下·北京·阶段练习）如图，直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动（无滑动）一周到达点B，则的长度为 ；若点A对应的数是，则点B对应的数是 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了圆的周长及实数与数轴， 解题的关键是求了出．运用圆的周长公式求出周长即可 ． 【详解】解：的长度为：， 点对应的数是， 故答案为：，． 巩固训练 1.（22-23八年级上·四川成都·期中）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数和数轴，化简绝对值，求算术平方根和立方根，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，进行化简计算即可． 【详解】解：由图可知： ． 故答案为： 2.（22-23八年级上·四川成都·期中）如图，已知于点C，点C对应的数是，那么数轴上点B所表示的数是 ．    【答案】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数，勾股定理求出的长，进而得到的长，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：， ∴点B所表示的数是； 故答案为：． 3.（23-24八年级上·山东济南·开学考试）如图，实数，，m在数轴上所对应的点分别为A，B，C，点B关于原点O的对称点为D．若m为整数，则m的值为 ． 【答案】-3 【分析】本题考查了数轴上点的特征，涉及到相反数的性质、对无理数进行估值、确定不等式组的整数解等问题．先求出D点表示的数，再得到m的取值范围，最后在范围内找整数解即可． 【详解】解：∵点B关于原点O的对称点为D，点B表示的数为， ∴点D表示的数为， ∵A点表示，C点位于A、D两点之间， ∴， ∵m为整数， ∴； 故答案为：． 题型十三　实数的大小比较 例题：（22-23七年级上·江苏镇江·阶段练习）比较大小（用“，，”表示）： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数大小的比较，熟练掌握有理数大小的比较方法是解题的关键．根据两个负数，绝对值大的反而小，进行求解即可． 【详解】解： ，，， ， 故答案为：． 巩固训练 1.（23-24八年级上·全国·单元测试）下列各数：，其中小于的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数大小的比较、无理数的估算，先估算出，再根据两个负数进行比较，绝对值大的反而小即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 2.（22-23八年级上·全国·单元测试）下列四个数：、、、，其中，最小的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，记住任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 根据负实数绝对值大的反而小即可比较． 【详解】解：∵， ∴最小， 故答案为：． 3.（22-23八年级上·全国·单元测试）已知实数、、满足，则、、的大小关系为 ．（用“”连接）． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数．熟练掌握偶次方，算术平方根，绝对值的非负性质，是解答问题的关键． 根据平方，算术平方根，绝对值的非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数同时为0，求出a，b，c的值，比较，得出答案． 【详解】∵，，，且， ∴， ， ， ∴，， ， ∴ ，，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型十四　实数的混合运算 例题：（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）计算下列各题： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、化简绝对值、实数的混合运算 【分析】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握立方根、平方根的求法是解题的关键. （1）利用立方根、绝对值进行计算即可； （2）利用立方根、绝对值、平方根进行计算即可. 【详解】（1） （2） 巩固训练 1．（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【知识点】实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数的运算： （1）先计算算术平方根和立方根，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算算术平方根和绝对值，再计算乘方，最后计算加法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数的运算： （1）先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可； （2）先去绝对值，然后根据实数的运算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算下列各题 (1) (2) 【答案】(1) (2)0 【知识点】实数的混合运算 【分析】此题主要考查了实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握算术平方根、立方根、绝对值的运算． （1）先利用算术平方根、立方根的性质进行化简，再进行加减即可； （2）先利用算术平方根、立方根及绝对值的性质进行化简，再进行加减即可． 【详解】（1）原式， ； （2）原式， 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的混合运算 【分析】本题考查实数的混合运算，先根据算术平方根和立方根的定义化简，再求值是解题的关键． （1）先根据平方、立方根、算术平方根进行化简，再计算即可； （2）先根据平方、绝对值、算术平方根进行化简，再计算即可． 【详解】（1）解： （2） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 实数知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、算术平方根的概念及性质 1.算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数x叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 二、平方根的概念与性质 1.平方根的定义：如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 2.平方根和算术平方根的区别与联系 区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0． 3.平方根的性质 三、立方根的概念 1.立方根的定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 2.立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 3.立方根的性质： 4.立方根的应用：利用立方根的定义解方程和求解实际问题. 四、认识无理数 无理数的定义：无限不循环小数。有限小数和无限循环小数都称为有理数. 无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. 五、实数概念及分类 无理数：无限不循环小数统称为无理数． 实数：有理数和无理数统称为实数． 无理数常见的三种类型：（1）开不尽的方根；（2）特定结构的无限不循环小数；（3）含有π的绝大部分数. 六、实数与数轴 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点一一对应． 03 题型归纳 题型一　算术平方根、平方根与立方根概念理解 例题：（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）下列说法正确的有（    ） ①5是25的算术平方根；②是64的立方根；③的平方根是；④0的平方根和算术平方根都是它本身． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 巩固训练 1．（24-25八年级上·四川遂宁·开学考试）下列说法中，正确的是（　　） A．的立方根是，记作 B．的算术平方根是 C．的三次方根是 D．正数的算术平方根是 2．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）下列命题中，假命题是（    ）． A．2是8的立方根 B．是的一个平方根 C．0的平方根与算术平方根都是0 D．是64的立方根 3．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．0.09的算术平方根是 B．是36的一个平方根 C．立方根等于本身的数只有0 D．的平方根是 题型二　求一个数的算术平方根、平方根、立方根 例题：（22-23七年级下·山东青岛·期中）6的平方根是 ，的立方根是 ，的算术平方根是 ． 巩固训练 1．（22-23八年级上·山东青岛·阶段练习）的立方根是 ，0.0036的平方根是 ，的算术平方根是 ． 2．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）6的平方根是 ，的算术平方根是 ，的立方根是 ． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）1的平方根是     1的立方根是    的算术平方根是 题型三　已知一个数的平方根或立方根，求这个数 例题1：（23-24七年级下·吉林长春·期末）一个正数的两个平方根分别是与，则的值是 ． 例题2：（23-24八年级上·福建三明·期末）若一个数的立方根是2，则这个数为 ． 巩固训练 1.（23-24七年级下·山东临沂·期末）如果一个正数的平方根是和，则这个正数是 ． 2.（23-24七年级下·陕西安康·期末）已知一个正数的两个不同的平方根是和，则这个正数是 ． 3.（23-24七年级下·山东德州·期中）已知的平方根是，的算术平方根是，则的值为 ． 4.（23-24七年级下·内蒙古乌海·期末）已知的立方根是，是的算术平方根，则 ． 5.（23-24七年级下·陕西西安·期末）已知的立方根是，的算术平方根是5．则的平方根为 ． 6.（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）已知的平方根是的立方根是2，则的立方根是 ． 题型四　利用算术平方根的非负性解题 例题：（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知，则以x，y，z为边长的三角形是 三角形． 巩固训练 1.（23-24七年级下·北京·期中）已知，则的算术平方根为 ． 2．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若，则的值为 ． 3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）若直角的三边长分别为、、，且、满足，则第三边的长是 ． 4．（2023八年级上·甘肃白银·学业考试）已知，，是的三边长，且满足关系，则的形状是 ． 题型五　利用平方根、立方根的定义解方程 例题：（23-24七年级下·北京朝阳·阶段练习）解方程： (1) (2) 巩固训练 1．（22-23八年级上·河南驻马店·阶段练习）（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 2．（23-24七年级下·河南周口·期中）求下列各式中的值： (1)； (2)． 3．（23-24七年级下·辽宁大连·阶段练习）计算： (1) (2)； 题型六　求代数式的平方根 例题：（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知与 互为相反数，求的平方根． 巩固训练 1.（23-24七年级下·福建莆田·阶段练习）一个正数b的平方根是与， (1)求a和b的值． (2)求平方根． 2.（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 3.（22-23七年级下·陕西安康·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的平方根． 题型七　立方根的性质 例题：（23-24七年级下·广西崇左·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1.（22-23七年级下·河南商丘·期中）若， ，，则a，b，c的大小关系是（　　）. A． B． C． D． 2.（23-24七年级下·福建龙岩·阶段练习）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 3.（23-24八年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 4.（23-24七年级下·山东日照·期中）如图，有理数化简： ． 题型八　无理数的识别 例题：（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）在，，，，，这些实数中，无理数有（ 　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 巩固训练 1．（24-25八年级上·甘肃白银·阶段练习）在，，，，0，，，，中，无理数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25八年级上·江苏南通·开学考试）在实数（不循环）、、、、、、、、中，无理数的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25八年级上·广东揭阳·单元测试）在下列各数0.515115111511115…（相邻两个5之间的1的个数依次增加1），，，，，，1.414中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型九　实数概念理解 例题：（22-23八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 巩固训练 1.（23-24八年级上·安徽·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数 C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数 2.（22-23八年级上·山东青岛·期中）已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 3.（23-24八年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列说法中，正确的个数是（    ） ①实数包括有理数、无理数和0；②有理数和数轴上的点一一对应；③无理数都是无限小数；④；⑤平方根与立方根都等于它本身的数为0和1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十　实数的分类 例题：（24-25八年级上·全国·单元测试）把下列各数填入相应的集合内： ，，，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）． 有理数集合{ }； 无理数集合{ }； 正数集合{ }； 负数集合{ }． 巩固训练 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）把下列各数分别填在相应的括号内： 有理数：{ }； 无理数：{ }； 负实数：{ }． 2．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）把下列各数填入相应的集合内： ，，0，，，，，． 3．（23-24七年级下·山东·单元测试）将下列各数填在相应的集合里． ，， ，， (每两个3之间依次多1个0)，0，，， 有理数集合：{　　　　　　　　　　　　　…}； 无理数集合：{　　　　　　　　　　　　　…}； 正实数集合：{　　　　　　　　　　　　　…}； 整数集合：{　　　　　　　　　　　　　　…}． 题型十一　实数的性质 例题：（23-24八年级上·全国·单元测试）（1）的绝对值为 ；的相反数为 ； （2）的绝对值为 ；的相反数为 ． 巩固训练 1.（23-24八年级上·全国·单元测试）的相反数是 ；的绝对值是 ；的相反数是 ． 2.（23-24七年级下·天津宁河·期中） 的平方根是 ，的相反数为 ，的绝对值为 ． 3.（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）的绝对值是 ，的相反数是 ． 题型十二　实数与数轴 例题：（23-24七年级下·北京·阶段练习）如图，直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动（无滑动）一周到达点B，则的长度为 ；若点A对应的数是，则点B对应的数是 ． 巩固训练 1.（22-23八年级上·四川成都·期中）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式 ． 2.（22-23八年级上·四川成都·期中）如图，已知于点C，点C对应的数是，那么数轴上点B所表示的数是 ．    3.（23-24八年级上·山东济南·开学考试）如图，实数，，m在数轴上所对应的点分别为A，B，C，点B关于原点O的对称点为D．若m为整数，则m的值为 ． 题型十三　实数的大小比较 例题：（22-23七年级上·江苏镇江·阶段练习）比较大小（用“，，”表示）： ． 巩固训练 1.（23-24八年级上·全国·单元测试）下列各数：，其中小于的数是 ． 2.（22-23八年级上·全国·单元测试）下列四个数：、、、，其中，最小的实数是 ． 3.（22-23八年级上·全国·单元测试）已知实数、、满足，则、、的大小关系为 ．（用“”连接）． 题型十四　实数的混合运算 例题：（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）计算下列各题： (1) (2) 巩固训练 1．（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）计算： (1)； (2)． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）求下列各式的值： (1) (2) 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算下列各题 (1) (2) 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算： (1) (2) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$