第4章 实数（单元复习 7类压轴训练）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（苏科版）

第4章 实数压轴训练 01 压轴总结 目录 压轴题型一　求算术平方根的整数部分和小数部分 1 压轴题型二　与算术平方根有关的规律探索题 5 压轴题型三　开立方运算中小数点移动规律 10 压轴题型四　平方根与立方根的综合 11 压轴题型五　程序设计与实数运算 15 压轴题型六　新定义下的实数运算 17 压轴题型七　与实数运算相关的规律题 19 02 压轴题型 压轴题型一　求算术平方根的整数部分和小数部分 例题：若的整数部分为，小数部分为，则 ， ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（    ） A．1 B． C． D． 2．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）若的整数部分为 ． 3．（23-24七年级下·广西梧州·期末）的小数部分是，小数部分是，则 ． 4．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分，根据以上信息回答下列问题： (1)的小数部分为_________，的小数部分为______； (2)若m是的整数部分，n是的小数部分，求的值． 5．（23-24八年级上·广东茂名·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题． 例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请解答下列各题． (1)的整数部分是　　　，小数部分是　　　； (2)已知的小数部分是的小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 压轴题型二　与算术平方根有关的规律探索题 例题：（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）按要求填空： （1）填表并观察规律： 0.0004 0.04 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______． 巩固训练 1．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）如图， 线段， 过点 作且，连结；过点作 且，连结； 过点作且，连结，依照此法继续作图，则（为大于的自然数）的长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山东滨州·期末）例、下面是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，应该在第 行． 3．（23-24七年级下·山东滨州·阶段练习）爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)你发现的规律是被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大______； (2)已知（精确到0.001），并用上述规律直接写出各式的值______，______； (3)已，，，则______，______． 4．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）观察下表： a … 0.0004 0.04 4 400 40000 … … 0.02 m 2 20 n … (1)表格中的______，______． (2)表中a与存在的规律为把a的小数点向左（或向右）移动两位，的小数点相应的向左（或向右）移动______位． (3)利用（2）中的规律，解答下列问题： ①已知，则______； ②已知，若，求a的值． 5．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）先观察下列各组数，然后根据各组数反映的规律回答问题： 第1组：1，，2． 第2组：，2，． 第3组：，，． 第4组：2，，． …… (1)若有一组数的第一个数为3，则第二、三个数分别为________． (2)用含n的代数式表示第n组的三个数为________． (3)若各组数的三个数分别是三角形的三边长，试判断这个三角形的形状，请说明理由． 压轴题型三　开立方运算中小数点移动规律 例题：（23-24七年级下·吉林四平·期中）已知：，则 ． 巩固训练 1.（23-24七年级下·河南漯河·期中）已知，，，则 ． 2.（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）根据你发现的规律填空：已知，若，则 ． 3.（23-24七年级下·福建厦门·期中）如果，， 那么 ； ． 压轴题型四　平方根与立方根的综合 例题：（23-24七年级下·安徽合肥·期中）已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）若是的算术平方根，为的立方根，求的立方根； 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知的算术平方根是，的立方根是． (1)求与的值； (2)求的立方根． 3．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知一个正数x的两个平方根分别是和． (1)求x的值； (2)若b为的算术平方根，c为的立方根，求代数式的值． 4．（23-24八年级上·福建泉州·期中）已知的算术平方根为，的立方根为． (1)求，的值． (2)求的平方根． 5．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）已知的立方根是4，的算术平方根是5． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 压轴题型五　程序设计与实数运算 例题：（23-24八年级下·江西赣州·阶段练习）有一个数值转换机，原理如下：当输入的时，输出的 ． 巩固训练 1.（23-24七年级下·广西南宁·期末）在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数的运算程序如图所示，若输出的y值为时，则输入的实数x可取的负整数值是 ． 2.（23-24七年级下·山西吕梁·期末）有一个数值转换器，原理如下：    当输入的时，输出的y等于 ． 3.（23-24七年级下·四川南充·期中）下面是一个简单的数值运算程序： 当输入x的值是时，输出的结果是 压轴题型六　新定义下的实数运算 例题：（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）对于两个不相等的实数，定义一种新的运算如下，如:，那么 ． 巩固训练 1.（23-24八年级上·贵州毕节·期末）定义运算：，则 ． 2.（23-24八年级下·山东东营·期末）对于任意不相等的两个实数，，新定义一种运算*如下：那么 ． 3.（22-23八年级上·江苏南京·开学考试）我们用表示不大于的最大整数，如：，，. （1） ； （2）若，则的取值范围是 . 故答案为：． 压轴题型七　与实数运算相关的规律题 例题：（23-24八年级下·山东聊城·期末）观察下列各式： ； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，猜想： (1)______； (2)______（n为正整数）； (3)利用上面的规律计算：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）设． (1)　　　　　　　　　； (2)， 求　　　　　　　　　； (3)求的值．(用含n的代数式表示，其中n为正整数) 2．（22-23七年级上·广东潮州·期中）我们来看下面的两个例子： ，， 和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个， 所以． ， 和都是的算术平方根， 而的算术平方根只有一个，所以 （填空） （1）猜想：一般地，当时，与之间的大小关系是怎样的？ （2）运用以上结论，计算：的值． 3．（23-24八年级上·广东清远·期末）如图，已知（为正整数），认真观察图形，根据你发现的规律解决下列问题． (1)已知，则，同理可得，… 填空：______；______． (2)填空：______． (3)求的值． 4．（23-24七年级下·山东济宁·期中）阅读下列材料： 小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小 请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题 (1) 由此可归纳出结论： _________． (2)根据上面的结论计算： 类似的： __________； (3)类比应用：__________； (4)请你根据以上总结的结论，比较与的大小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 实数压轴训练 01 压轴总结 目录 压轴题型一　求算术平方根的整数部分和小数部分 1 压轴题型二　与算术平方根有关的规律探索题 5 压轴题型三　开立方运算中小数点移动规律 10 压轴题型四　平方根与立方根的综合 11 压轴题型五　程序设计与实数运算 15 压轴题型六　新定义下的实数运算 17 压轴题型七　与实数运算相关的规律题 19 02 压轴题型 压轴题型一　求算术平方根的整数部分和小数部分 例题：若的整数部分为，小数部分为，则 ， ． 【答案】 【分析】根据首先确定的值，则小数部分即可确定． 【详解】解：， ， 则． 故答案是：3，． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是确定无理数的整数部分即可解决问题． 巩固训练 1．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分 【分析】本题考查了估计无理数的大小．根据，可得x和y的值． 【详解】解：∵， ∴，， 故选：C． 2．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）若的整数部分为 ． 【答案】1 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了无理数的估算，先利用夹逼法估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可找出其整数部分． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴的整数部分为1， 故答案为：1． 3．（23-24七年级下·广西梧州·期末）的小数部分是，小数部分是，则 ． 【答案】1 【知识点】无理数整数部分的有关计算、不等式的性质 【分析】本题考查了无理数的估算以及不等式的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用，得到和，从而推出，即可得到答案． 【详解】解： 的整数部分为2 的小数部分为 的整数部分为8 的小数部分为 故答案为：1． 4．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分，根据以上信息回答下列问题： (1)的小数部分为_________，的小数部分为______； (2)若m是的整数部分，n是的小数部分，求的值． 【答案】(1)，； (2)3． 【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算、实数的混合运算 【分析】本题主要考查了无理数的估算，二次根式的化简求值等知识点， （1）根据无理数的估算方法，确定出整数部分，进而求解即可； （2）先求出的值，代入代数式，求值即可； 熟练掌握“夹逼法”进行无理数的估算是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴的小数部分为； ∵， ∴， ∴的小数部分为； 故答案为：，； （2）∵，m是的整数部分， ∴， ∵，n是的小数部分， ∴， ∴． 5．（23-24八年级上·广东茂名·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题． 例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请解答下列各题． (1)的整数部分是　　　，小数部分是　　　； (2)已知的小数部分是的小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求一个数的平方根、无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题主要考查了无理数的估测，解题的关键是熟练掌握无理数的估测方法，准确进行计算． （1）根据即可得出的整数部分和小数部分； （2）根据题意求出，，求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是4，小数部分是； （2）解：∵小数部分是m，小数部分是n， ∴，， ∵， ∴． 压轴题型二　与算术平方根有关的规律探索题 例题：（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）按要求填空： （1）填表并观察规律： 0.0004 0.04 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______． 【答案】（1）见解析；（2）； 【分析】本题考查了数字类规律探究，算术平方根，根据解题过程找出一般规律是解题关键． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）根据计算找出规律即可得到答案． 【详解】解：（1），，，， 填表如下： a （2）由以上解答过程发现：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大或缩小100倍，则它的算术平方根扩大或缩小10倍， ； ， ， ∵， ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）如图， 线段， 过点 作且，连结；过点作 且，连结； 过点作且，连结，依照此法继续作图，则（为大于的自然数）的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理的应用，先根据勾股定理分别计算出、、的长，依此即可找出规律．利用勾股定理正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵且， ∴， ∵且， ∴， ∵且， ∴， …… ∴（为大于的自然数）． 故选：C． 2．（23-24七年级下·山东滨州·期末）例、下面是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，应该在第 行． 【答案】45 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题主要考查数字规律的探索，涉及开平方，根据题意可知第一行最后一位为1；第二行最后一位为2；以此类推，第n行最后一位为n，结合所在范围即可求得答案． 【详解】解：根据题意可知第一行最后一位为1；第二行最后一位为2；以此类推，第n行最后一位为n， ∵，， ∴在第45行， 故答案为：45． 3．（23-24七年级下·山东滨州·阶段练习）爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)你发现的规律是被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大______； (2)已知（精确到0.001），并用上述规律直接写出各式的值______，______； (3)已，，，则______，______． 【答案】(1)倍 (2)； (3)； 【知识点】求一个数的算术平方根、与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了算术平方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键． （1）根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位，小数点的移动方向保持一致； （2）根据规律进行计算即可求解； （3）根据规律进行计算即可求解； 【详解】（1）解：被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大倍； （2）解：∵（精确到）， ∴；； （3）解：∵ ∴；； 4．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）观察下表： a … 0.0004 0.04 4 400 40000 … … 0.02 m 2 20 n … (1)表格中的______，______． (2)表中a与存在的规律为把a的小数点向左（或向右）移动两位，的小数点相应的向左（或向右）移动______位． (3)利用（2）中的规律，解答下列问题： ①已知，则______； ②已知，若，求a的值． 【答案】(1)， (2)一 (3)①；② 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查算术平方根中的规律探索题： （1）根据算术平方根求解即可； （2）观察（1）中表格数据，找出规律； （3）利用（2）中找出的规律求解． 【详解】（1）解：根据表格数据，，， （2）根据表格数据，被开方数a的小数点每向左（或向右）移动两位，相应的算术平方根的小数点就向左（或向右）移动一位． （3）①已知，则， ②已知，若，则． 5．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）先观察下列各组数，然后根据各组数反映的规律回答问题： 第1组：1，，2． 第2组：，2，． 第3组：，，． 第4组：2，，． …… (1)若有一组数的第一个数为3，则第二、三个数分别为________． (2)用含n的代数式表示第n组的三个数为________． (3)若各组数的三个数分别是三角形的三边长，试判断这个三角形的形状，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，， (3)直角三角形，见解析 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了算术平方根的规律问题、勾股定理的逆定理． （1）根据规律，即可求解． （2）确定每组数据被开方数的规律即可求解； （3）根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）解：∵第1组：1，，2． 第2组：，2，． 第3组：，，． 第4组：2，，． 有一组数的第一个数为3，即， ∴第二、三个数分别为， （2）用含n的代数式表示第n组的三个数为：，， （3）解：直角三角形， ∵， 即任意一组都满足前两个数的平方和等于第三个数的平方. 压轴题型三　开立方运算中小数点移动规律 例题：（23-24七年级下·吉林四平·期中）已知：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，立方根扩大倍，被开方数扩大倍．根据被开方数的小数点向右移动6位则立方根的小数点向右移动2位，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 巩固训练 1.（23-24七年级下·河南漯河·期中）已知，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，根据结合已知条件即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 2.（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）根据你发现的规律填空：已知，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是立方根的性质，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键． 依据被开方数小数点向左或向右移动3为对应的立方根的小数点向左或向右移动1为求解即可． 【详解】若， 则， 故答案为：． 3.（23-24七年级下·福建厦门·期中）如果，， 那么 ； ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，根据立方根，算术平方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：， ； 故答案为：，． 压轴题型四　平方根与立方根的综合 例题：（23-24七年级下·安徽合肥·期中）已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的平方根、算术平方根和立方根的综合应用、代入消元法 【分析】不同考查了立方根的定义，算术平方根的定义，求一个数的平方根，解二元一次方程组等知识． （1）根据立方根、算术平方根的定义得到关于a、b的方程组，解方程组即可求解； （2）先求出，即可求出的平方根为． 【详解】（1）解：由题意得， 解得； （2）解：， ∵4的平方根为， ∴的平方根为． 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）若是的算术平方根，为的立方根，求的立方根； 【答案】的立方根是1． 【知识点】求一个数的立方根、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查了算术平方根以及立方根的定义．根据算术平方根以及立方根的定义，A和B的根指数分别是2和3，即可得到一个关于a，b的方程组求得a，b的值，进而得到A、B的值，从而求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 则，， 则， ∴的立方根是1． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知的算术平方根是，的立方根是． (1)求与的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求一个数的立方根、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题主要考查算术平方根，立方根，熟练掌握算术平方根，立方根的概念是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根可直接列式计算； （2）由（1）及立方根可直接求解． 【详解】（1）解：的算术平方根是， ， 解得：， 的立方根是， ， 解得：； （2）由(1)知，， ， 的立方根为． 3．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知一个正数x的两个平方根分别是和． (1)求x的值； (2)若b为的算术平方根，c为的立方根，求代数式的值． 【答案】(1)9 (2) 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合．已知条件求得的值是解题的关键． （1）根据平方根的形式求得a的值后代入中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案； （2）根据算术平方根及立方根的定义求得的值，然后将其代入中计算即可． 【详解】（1）解∶一个正数的两个平方根分别是和， 解得∶， 则， 那么； （2）为的算术平方根，为的立方根，， ∴， 则． 4．（23-24八年级上·福建泉州·期中）已知的算术平方根为，的立方根为． (1)求，的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2)或 【知识点】求一个数的平方根、算术平方根和立方根的综合应用、加减消元法 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，立方根及解二元一次方程组，结合已知条件列出正确的方程组是解答本题的关键． （1）根据算术平方根及立方根的定义列出二元一次方程组，解出方程组，得到答案． （2）将，的值代入原式中计算后根据平方根的定义求出答案． 【详解】（1）解：由已知条件得： 的算术平方根为，的立方根为， ， 解得． （2），， ， 的平方根为或． 5．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）已知的立方根是4，的算术平方根是5． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的平方根、算术平方根和立方根的综合应用、加减消元法 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）根据立方根及算术平方根的定义建立方程组即可求得答案； （2）将a，b的值代入中计算后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵的立方根是4，的算术平方根是5， ∴， 解得：； （2）解： ， 则的平方根是． 压轴题型五　程序设计与实数运算 例题：（23-24八年级下·江西赣州·阶段练习）有一个数值转换机，原理如下：当输入的时，输出的 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，理解算术平方根、有理数、无理数的意义是正确解答的关键．根据数值转换器，输入，进行计算，一直到是无理数则输出即可． 【详解】解：第1次计算得，，而4是有理数， 因此第2次计算得，，而2是有理数， 因此第3次计算得，是无理数，则输出． 故答案为：． 巩固训练 1.（23-24七年级下·广西南宁·期末）在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数的运算程序如图所示，若输出的y值为时，则输入的实数x可取的负整数值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了实数的运算，理解程序的运算步骤是解题的关键． 按照程序的运算步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：若1次运算输出的值是时， ， ， 解得：或； 若2次运算输出的值是时， ， ， 解答：或； 若3次运算输出的值是时， ， ， 解答：或； ，且取负整数， 或， 故答案为：或． 2.（23-24七年级下·山西吕梁·期末）有一个数值转换器，原理如下：    当输入的时，输出的y等于 ． 【答案】 【分析】本题考查流程图计算，涉及算术平方根、立方根，有理数与无理数的定义．根据流程图，结合算术平方根运算，立方根运算，由无理数与有理数定义进行判断即可得到答案． 【详解】解：当输入的时，则取立方根为：， 4是有理数，取算术平方根为：， 2取立方根为：， 是无理数， 即， 故答案为：． 3.（23-24七年级下·四川南充·期中）下面是一个简单的数值运算程序： 当输入x的值是时，输出的结果是 【答案】 【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，根据题意可得算式，据此计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 压轴题型六　新定义下的实数运算 例题：（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）对于两个不相等的实数，定义一种新的运算如下，如:，那么 ． 【答案】/0.4 【分析】本题考查了新定义实数的运算，根据题意列式计算即可得出答案，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 巩固训练 1.（23-24八年级上·贵州毕节·期末）定义运算：，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是算术平方根的计算，把，代入中计算即可． 【详解】解：， ∴． 故答案为：6． 2.（23-24八年级下·山东东营·期末）对于任意不相等的两个实数，，新定义一种运算*如下：那么 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，理解新定义运算并掌握二次根式乘除法计算法则是解题的关键． 根据规定的运算方法转化为二次根式的混合运算，再进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：3． 3.（22-23八年级上·江苏南京·开学考试）我们用表示不大于的最大整数，如：，，. （1） ； （2）若，则的取值范围是 . 【答案】 1 / 【分析】本题主要考查了无理数的估算，新定义： （1）估算无理数的大小，再根据的意义进行计算即可； （2）根据的意义得到，进而得出x的取值范围即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 压轴题型七　与实数运算相关的规律题 例题：（23-24八年级下·山东聊城·期末）观察下列各式： ； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，猜想： (1)______； (2)______（n为正整数）； (3)利用上面的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查实数运算的数字型规律探索，探索出运算规律是解题的关键．分别将每个式子变形为和式子序列号有关的形式，即可发现规律，即可解答． 【详解】（1）解：根据规律可得：, 故答案为：； （2）解：根据规律可得：， 故答案为：； （3）解：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）设． (1)　　　　　　　　　； (2)， 求　　　　　　　　　； (3)求的值．(用含n的代数式表示，其中n为正整数) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与实数运算相关的规律题、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字算式的变化规律．关键是观察几个结果的结果，由特殊到一般，得出规律． （1）观察题中的几个计算结果，得出一般规律． （2）观察第一步的几个计算结果，得出一般规律． （3）根据（2）中的规律解答即可； 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）∵ ∴． （3）结合（2）可得： ． 2．（22-23七年级上·广东潮州·期中）我们来看下面的两个例子： ，， 和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个， 所以． ， 和都是的算术平方根， 而的算术平方根只有一个，所以 （填空） （1）猜想：一般地，当时，与之间的大小关系是怎样的？ （2）运用以上结论，计算：的值． 【答案】（1）；（2）120 【知识点】求一个数的算术平方根、与实数运算相关的规律题 【分析】此题主要考查了实数运算以及算术平方根，正确由特殊值分析式子变化规律是解题关键． （1）直接利用算术平方根的定义得出答案； （2）直接利用得出答案． 【详解】解：， 和都是的算术平方根， 而的算术平方根只有一个，所以； （1）根据题意，当时， 则； （2）． 3．（23-24八年级上·广东清远·期末）如图，已知（为正整数），认真观察图形，根据你发现的规律解决下列问题． (1)已知，则，同理可得，… 填空：______；______． (2)填空：______． (3)求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】与实数运算相关的规律题、用代数式表示数、图形的规律、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了图形类变化规律、勾股定理、实数的混合运算，得出规律是解此题的关键． （1）根据勾股定理，结合图形计算即可得出答案； （2）根据前面列出的式子即可得出规律； （3）将式子转化为，结合进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得： ， ， 故答案为：，； （2）解：， ， ， ， …， ， 故答案为：； （3）解： ． 4．（23-24七年级下·山东济宁·期中）阅读下列材料： 小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小 请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题 (1) 由此可归纳出结论： _________． (2)根据上面的结论计算： 类似的： __________； (3)类比应用：__________； (4)请你根据以上总结的结论，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】实数的大小比较、实数的混合运算、与实数运算相关的规律题 【分析】本题主要考查了实数的运算，与实数有关的规律探索，实数比较大小等等： （1）根据题意可得规律； （2）根据结合题意求解即可； （3）先求出，再由进行求解即可； （4）仿照（3）求出，，再利用作差法求解即可． 【详解】（1）解： 以此类推可得， ， 故答案为：． （2）解： ， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 故答案为：； （4）解：∵， ， ∴， ， ∵， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$