特训06 第1-2章 选填压轴题（两大模块）-2024-2025学年高一数学期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019必修第一册，浙江专用）

特训06 第1-2章 选填压轴题（二大模块） 模块1：集合与常用逻辑用语 1．已知集合，、、满足：①；②每个集合都恰有5个元素.集合中最大元素与最小元素之和称为的特征数，记为，则的值不可能为（    ） A．37 B．39 C．48 D．57 2．设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．设､､是两个两两不相等的正整数.若，，，，，则的最小值是（    ） A．1000 B．1297 C．1849 D．2020 4．已知，，且，其中，若，，且的所有元素之和为56，求（    ） A．8 B．6 C．7 D．4 5．已知集合.对于，，定义A与B之间的距离为 .若集合M满足：，且任意两元素间的距离均为2，则集合M中元素个数的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 6．若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，记．下列命题中正确的是（ ） A．已知，，且，则 B．已知，，则存在实数a，使得 C．已知，若，则对任意，都有 D．已知，，则对任意的实数a，总存在实数b，使得 7．已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（    ） A．77 B．49 C．45 D．30 8．设集合中至少两个元素，且满足：①对任意，若，则 ，②对任意，若，则，下列说法正确的是（    ） A．若有2个元素，则有3个元素 B．若有2个元素，则有4个元素 C．存在3个元素的集合，满足有5个元素 D．存在3个元素的集合，满足有4个元素 9．定义，设、、是某集合的三个子集，且满足，则是的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 10．设集合是集合的子集，对于，定义，给出下列三个结论：①存在的两个不同子集，使得任意都满足且；②任取的两个不同子集，对任意都有；③任取的两个不同子集，对任意都有；其中，所有正确结论的序号是（  ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 11．已知集合，，若，且中恰好有两个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．已知集合，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以再求和，例如，则可求得和为，对S的所有非空子集，这些和的总和为 A．508 B．512 C．1020 D．1024 13．在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题.我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.已知，集合.，则的最小值是 . 14．对于非空实数集合，记，设非空实数集合满足条件“若，则”且，给出下列命题： ①若全集为实数集，对于任意非空实数集合，必有； ②对于任意给定符合题设条件的集合，，必有； ③存在符合题设条件的集合，，使得； ④存在符合题设条件的集合，，使得． 其中所有正确命题的序号是 ． 15．设集合是正整数集的子集，且中至少有两个元素，若集合满足以下三个条件：①是正整数的子集，且中至少有两个元素；②对于任意，当，都有；③对于任意，若，则；则称集合为集合的“耦合集，若集合，且，设，则集合的“耦合集” 16．若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集的真子集个数为 . 17．已知集合.若元素，且的各元素之和为256，则集合 . 18．定义集合的“长度”是，其中a，R．已如集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是 . 19．已知正整数，对集合及其每一个非空子集，记，其中，定义一个运算“交替和”.例如：对于集合，.则当时，集合的所有子集的“交替和”的总和为 . 20．已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“完美集”. ①集合是“完美集”； ②若、是两个不同的正数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2； ③二元“完美集”有无穷多个； ④若，则“完美集”A有且只有一个，且. 其中正确的结论是 （填上你认为正确的所有结论的序号） 模块2：一元二次函数、方程和不等式 21．对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（    ） A．2 B．4 C． D． 22．已知不等式对满足的所有正实数a，b都成立，则正数x的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 23．已知，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 24．设a，b，c，d均为大于零的实数，且abcd＝1，令m＝a（b+c+d）+b（c+d）+cd，则a2+b2+m的最小值为（　　） A．8 B．4+2 C．5+2 D．4 25．设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（） A． B． C． D． 26．《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点A作于点F，则下列推理正确的是（    ） A．由图1和图2面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 27．若，则称是关于x，y的方程的整数解．关于该方程，下列判断错误的是（    ） A．，方程有无限组整数解 B．，方程有且只有两组整数解 C．，方程至少有一组整数解 D．，方程至多有有限组整数解 28．已知函数，则、、与1的大小关系为（    ） A．没有一个小于1 B．至多有一个不小于1 C．都不小于1 D．至少有一个不小于1 29．已知正整数满足当（）时，，且，则的最大值为（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 30．已知实数a，b，c. A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2＜100 B．若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，则a2+b2+c2＜100 C．若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，则a2+b2+c2＜100 D．若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，则a2+b2+c2＜100 31．二次函数恒有两个零点、，不等式恒成立，则实数l的最大值为 . 32．若关于的不等式组的整数解共有36个，则正数的取值范围是 . 33．研究问题：“已知关于x的不等式ax2－bx＋c＞0的解集为(1，2)，解关于x的不等式cx2－bx＋a＞0”，有如下解法：由ax2－bx＋c＞0⇒a－b＋c＞0.令y＝，则y∈，所以不等式cx2－bx＋a＞0的解集为.类比上述解法，已知关于x的不等式＋＜0的解集为(－2，－1)∪(2，3)，则关于x的不等式＋＜0的解集为 ． 34．已知，，记，，有下面四个结论： ①若，则的最大值为；             ②若，则的最小值为； ③若，则的最大值为1； ④若，则的最大值为． 则错误结论的序号是 ． 35．若、、、均为正实数，则的最小值为 . 36．设、、、、、是六个互不相等的实数，则在以下六个式子中：，，，，，，能同时取到150的代数式最多有 个． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训06 第1-2章 选填压轴题（二大模块） 模块1：集合与常用逻辑用语 1．已知集合，、、满足：①；②每个集合都恰有5个元素.集合中最大元素与最小元素之和称为的特征数，记为，则的值不可能为（    ） A．37 B．39 C．48 D．57 【答案】A 【分析】根据题意得到集合的性质，再由特征数的性质推得最小数值的元素与最大数值的元素必为特征数的组成部分，又利用要使最大，需要废弃掉数值较小的元素，要使最小，需要废弃掉数值较大的元素，依次得到集合中的元素，从而推得的取值范围，由此得解. 【解析】因为集合， 又因为集合中，每个集合恰有个元素，且有个元素， 所以集合中没有重复元素， 因为是集合中数值最小的元素，是集合中数值最大的元素， 所以在的特征数构成中，必有和，不妨设， 要使最大，则应该在集合中首先放置数值较小的元素，即， 所以与是剩下元素中数值最小或最大的元素， 同理，不妨设，接着在中再次放置数值较小的元素，即， 则， 此时有最大值为，即； 要使最小，则在集合中首先放置数值较大的元素，即， 所以与是剩下元素中数值最小或最大的元素， 同理，不妨设，接着在中再次放置数值较大的元素，即， 则， 此时有最小值为，即， 综上：， 显然，选项A不满足，故A正确； 选项BCD都满足，故BCD错误. 故选：A. 【点睛】关键点睛： 本题解题的关键在于理解特征数的组成中，一定含有最小数值的元素与最大数值的元素，从而推理得要使取得最值时，中的元素情况，由此得解. 2．设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后对的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解. 【解析】解：设、、、是集合互不相同的元素，若，则，不合乎题意. ①假设集合中含有个元素，可设，则， ，这与矛盾； ②假设集合中含有个元素，可设，， ，，，满足题意. 综上所述，集合中元素个数最少为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可. 3．设､､是两个两两不相等的正整数.若，，，，，则的最小值是（    ） A．1000 B．1297 C．1849 D．2020 【答案】B 【分析】不妨设，则，根据集合相等的定义可得，分析可得为偶数，从而可得可得为奇数，再分析计算即可得出答案. 【解析】解：不妨设，则， 因为，，，，， 所以， 因为为偶数， 所以，，必为两奇一偶，从而可得为奇数， 又因为，所以为不小于3的奇数， 若，则，，，，， 故，且，所以，不符合要求， 若，则，，，，，故，解得， 此时，， 所以的最小值是1297. 故选：B. 【点睛】本题主要考查的时集合相等的定义，解决本题的关键在于先假设，判断，，三个数中奇偶数的个数，考查了数据分析及逻辑推理能力. 4．已知，，且，其中，若，，且的所有元素之和为56，求（    ） A．8 B．6 C．7 D．4 【答案】A 【分析】根据可得，可得，再根据可得，分和两种情况来讨论即可得解. 【解析】由得，所以， ，所以， （1）若，由，所以， 所以，， 所以，即， 从而， 所以，所以， 即或，与矛盾； （2）若， 则，从而， 所以，即， 从而， 所以，， 所以或，又， 所以，， 又， 所以， 由代入可得： ，所以或（舍）， 所以， 故选：A 5．已知集合.对于，，定义A与B之间的距离为 .若集合M满足：，且任意两元素间的距离均为2，则集合M中元素个数的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】由题中条件可得：R3中含有8个元素，先阅读然后再理解定义得：可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，即或，得解. 【解析】由题中条件可得：R3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点， 已知集合M中的元素所对应的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点， 所以 或, 故集合M中元素个数最大值为4， 故选： 6．若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，记．下列命题中正确的是（ ） A．已知，，且，则 B．已知，，则存在实数a，使得 C．已知，若，则对任意，都有 D．已知，，则对任意的实数a，总存在实数b，使得 【答案】D 【分析】A直接计算即可判断；B分类讨论判断；C举反例判断；D对任意的实数，求出满足条件即可． 【解析】对于A，∵，，∴，于是或，∴A错； 对于B，假设存在实数，使， 若，，矛盾， 若，，矛盾， 若，，矛盾， 若，，矛盾， 若，，矛盾， ∴B错； 对于C，取，，则，但对任意，，不成立，∴C错； 对于D，对任意的实数，只须满足，，，就有，从而，∴D对． 故选：D． 7．已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（    ） A．77 B．49 C．45 D．30 【答案】A 【分析】根据题意,利用数形结合表示出集合,然后根据新定义中集合中元素的构成,用平面的点表示即可. 【解析】因为集合，所以集合中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点（包括边界），集合中有个元素（即49个点）：即图中正方形中的整点， 集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个． 含有个元素. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是利用数形结合表示集合的几何意义，从而得解. 8．设集合中至少两个元素，且满足：①对任意，若，则 ，②对任意，若，则，下列说法正确的是（    ） A．若有2个元素，则有3个元素 B．若有2个元素，则有4个元素 C．存在3个元素的集合，满足有5个元素 D．存在3个元素的集合，满足有4个元素 【答案】A 【解析】不妨设，由②知集合中的两个元素必为相反数，设，由①得，由于集合中至少两个元素，得到至少还有另外一个元素，分集合有个元素和多于个元素分类讨论，即可求解. 【解析】若有2个元素，不妨设， 以为中至少有两个元素，不妨设， 由②知，因此集合中的两个元素必为相反数，故可设， 由①得，由于集合中至少两个元素，故至少还有另外一个元素， 当集合有个元素时，由②得：，则或. 当集合有多于个元素时，不妨设， 其中， 由于，所以， 若，则，但此时， 即集合中至少有这三个元素， 若，则集合中至少有这三个元素， 这都与集合中只有2个运算矛盾， 综上，，故A正确； 当集合有个元素，不妨设， 其中，则，所以， 集合中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合中至少个元素，与矛盾，排除C，D. 故选：A. 【点睛】解题技巧：解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 9．定义，设、、是某集合的三个子集，且满足，则是的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】作出示意图，由可知两个阴影部分均为，根据新定义结合集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义判断即可. 【解析】如图，由于， 故两个阴影部分均为， 于是， （1）若，则，， 而， 成立； （2）反之，若， 则由于，， ， ， ， 故选：A    【点睛】本题主要考查集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义，考查了分类讨论、数形结合思想的应用，属于较难题. 10．设集合是集合的子集，对于，定义，给出下列三个结论：①存在的两个不同子集，使得任意都满足且；②任取的两个不同子集，对任意都有；③任取的两个不同子集，对任意都有；其中，所有正确结论的序号是（  ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据题目中给的新定义，对于或，可逐一对命题进行判断，举实例例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题． 【解析】∵对于，定义， ∴对于①，例如集合是正奇数集合，是正偶数集合，，，故①正确； 对于②，若，则，则且，或且，或且；； 若，则，则且； ； ∴任取的两个不同子集，对任意都有；正确，故②正确； 对于③，例如：，当时，；；； 故③错误； ∴所有正确结论的序号是：①②； 故选：A． 【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11．已知集合，，若，且中恰好有两个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出中不等式的解集确定出,求出集合对应的一元二次方程的根,表示出B集合,由的范围判断出两整数解为和,从而得到关于的不等式. 【解析】， 令， 由题意， ， 又，所以， 设， 又. 所以要使中恰好有两个整数解， 则只能是和， 所以应满足, 解得. 故选A 【点睛】本题考查利用集合间的交运算求参数的范围;判断出中的两个整数解为4和5和结合一元二次函数图象得出关于a的不等式是求解本题的关键;属于难度大型试题. 12．已知集合，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以再求和，例如，则可求得和为，对S的所有非空子集，这些和的总和为 A．508 B．512 C．1020 D．1024 【答案】B 【分析】由集合的子集个数的运算及简单的合情推理可得；这些总和是. 【解析】因为元素在集合S的所有非空子集中分别出现次，则对S的所有非空子集中元素k执行乘以再求和操作,则这些和的总和是. 故选B 【点睛】本题主要考查了集合的子集及子集个数，简单的合情推理，属于中档题. 13．在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题.我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.已知，集合.，则的最小值是 . 【答案】9 【分析】根据最小得到，，然后分，，，，五种情况讨论即可. 【解析】不妨设集合. 由题意，要使最小，则； 要使最小，则. 当时，不妨设，则，故. 当时，不妨设，则，故. 当时，不妨设，则，，故. 当时，不妨设，则，故. 当时，不妨设，则，故. 综上，的最小值是9. 故答案为：9. 【点睛】关键点点睛：根据和最小得到，，然后分情况讨论求解即可. 14．对于非空实数集合，记，设非空实数集合满足条件“若，则”且，给出下列命题： ①若全集为实数集，对于任意非空实数集合，必有； ②对于任意给定符合题设条件的集合，，必有； ③存在符合题设条件的集合，，使得； ④存在符合题设条件的集合，，使得． 其中所有正确命题的序号是 ． 【答案】②③④ 【分析】根据新定义运算、补集、子集、交集和空集等知识对命题进行分析，从而确定正确答案. 【解析】由于非空实数集，记，则中元素为不大于中所有值的数， 即不大于中最小元素的数组成的集合． ①当集合下边界趋向负无穷大时，如，故错误； ②由于，假设中最小值为，最小值为，那么 因此表示不大于所有数组成的集合，表示所有不大于的数组成的集合，则，故正确； ③令，则，故，故正确； ④令，则，故，故正确； 故答案为：②③④ 【点睛】思路点睛：解新定义题型的步骤： (1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. (2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. (3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 15．设集合是正整数集的子集，且中至少有两个元素，若集合满足以下三个条件：①是正整数的子集，且中至少有两个元素；②对于任意，当，都有；③对于任意，若，则；则称集合为集合的“耦合集，若集合，且，设，则集合的“耦合集” 【答案】 【分析】先证明中只有5个元素，再根据的性质、的性质可得，，根据的性质可得，从而可得. 【解析】设中元素为， 若，则由题设有且， 而中只有4个运算，故不成立，故. 又因为，且， 故， 且， 故，故且， ， 故且， 故， 所以故， 所以，， 因为，故，而， 故，故即， 故. 故答案为： 【点睛】思路点睛：对于集合中新定义问题，可根据定义得到集合元素具有的性质，再结合大小关系判断进一步探究不同元素具有的等量关系. 16．若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集的真子集个数为 . 【答案】31 【分析】结合题意先判断出的第211个子集，再由真子集个数求解即可； 【解析】因为， 所以由题意可得的第211个子集为， 所以其真子集个数为个， 故答案为：31 17．已知集合.若元素，且的各元素之和为256，则集合 . 【答案】或 【分析】根据题意中集合的性质，分类讨论分析求解即可. 【解析】因为，则，又，故. 由知，，则，即或. 因为， 若，则，由知，存在使且，显然不成立； 若，则，存在使，则. 由于的各元素之和为，则，又，故. ①当时，则，因为的各元素之和为，所以，解得. ②当时，则，故. 又，故，则. 若，则，无正整数解； 若，则，解得. 综上所述，或. 故答案为：或. 18．定义集合的“长度”是，其中a，R．已如集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是 . 【答案】 / 【分析】空1：根据区间长度定义得到关于的不等式组，再分类讨论即可；空2：代入得到，再根据区间长度大于，得到关于的不等式组，解出即可. 【解析】集合，，且M，N都是集合的子集， 由，可得，由，可得． 要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立. 当，，，“长度”为， 当，，，“长度”为， 故集合的“长度”的最小值是； 若，， 要使集合的“长度”大于，故或 即或又，故. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分理解区间长度的定义，再根据交并集的含义得到不等式组，结合分类讨论的思想即可. 19．已知正整数，对集合及其每一个非空子集，记，其中，定义一个运算“交替和”.例如：对于集合，.则当时，集合的所有子集的“交替和”的总和为 . 【答案】 【分析】集合的任意一个不含的集合与集合的“交替和”之和应为，则由对应思想两两结组求和可得. 【解析】由题意知，集合的“交替和”为. 集合的所有个子集中，除去集合外，还有个非空子集. 这个非空子集中不含元素的集合，即的非空子集，共有个， 设为； 则这个非空子集中含元素的集合，也共有个， 这样的集合都可以看成相应地在每个不含的集合中再加上元素得到，即. 对中的任意集合，记， 则“交替和”，其中， 由，则集合的“交替和”为 ， 则集合与集合的“交替和”之和为， 下面举例说明： 如集合与集合， 的“交替和”为， 的“交替和”为 ， 即集合与集合的“交替和”之和为. 综上，把这个非空子集两两结组后分别计算每一组中“交替和”之和， 且每组中“交替和”之和都为，共有组. 故集合所有“交替和”之和，由各组之和再加集合的“交替和”即可， 综上所述，当时，集合的所有子集的所有“交替和”之和为 . 故答案为：. 【点睛】 “对应”是数学的基本概念和基本思想，正是基于“对应”，问题才可以抽象或者转化.对应思想在相等关系、对称转化、分组求和等问题的处理中比较常见. 20．已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“完美集”. ①集合是“完美集”； ②若、是两个不同的正数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2； ③二元“完美集”有无穷多个； ④若，则“完美集”A有且只有一个，且. 其中正确的结论是 （填上你认为正确的所有结论的序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据题设中的“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质，可判定①②③正确；设A中，得到，分和，两种情况分类讨论，可判定④正确. 【解析】对于①中，，， 集合是“完美集”，所以①正确； 对于②中，若、是两个不同的正数，且是“完美集”， 设， 根据根和系数的关系和相当于的两根， 由，解得或（舍去），所以， 所以、至少有一个大于2，所以②正确； 对于③中，由②知，一元二次方程，当t取不同的值时，的值是不同的， 所以二元“完美集”有无穷多个，所以③正确； 对于④中，不妨设A中， 由，得， 当时，即有，所以，于是，无解， 即不存在满足条件的“完美集”； 当时，，故只能，，求得， 于是“完美集”A只有一个，为． 当时，由，即有， 事实上，，矛盾， 所以当时不存在完美集，所以④正确. 故答案为：①②③④. 【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略： ①通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 模块2：一元二次函数、方程和不等式 21．对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】首先不等式变形为恒成立，再利用两次基本不等式求的最小值，即可求解的取值. 【解析】不等式恒成立，可转化为 恒成立，其中， 令， ， ， 第二次使用基本不等式，等号成立的条件是且， 得且，此时第一次使用基本不等式，说明两次基本不等式能同时取得， 所以的最小值为， 即，则， 所以实数的最大值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是再求的最值时，需变形为，再通过两次基本不等式求最值. 22．已知不等式对满足的所有正实数a，b都成立，则正数x的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先利用基本不等式证得（此公式也可背诵下来），从而由题设条件证得，结合题意得到，利用二次不等式的解法解之即可得到正数的最小值. 【解析】因为，当且仅当时，等号成立， 所以， 因为为正实数，所以由得，即， 所以， 当且仅当，且，即时，等号成立， 所以，即， 因为对满足的所有正实数a，b都成立， 所以，即，整理得， 解得或，由为正数得， 所以正数的最小值为. 故选：B. 23．已知，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】设，，，即可表示出、、，再利用基本不等式计算可得. 【解析】解：设，，，则，，， 且，，， ∴，，， ∴， 令 ， ∴. 当且仅当，即，即时等号成立. （如，即时等号成立）. ∴的最小值为； 故选：B． 24．设a，b，c，d均为大于零的实数，且abcd＝1，令m＝a（b+c+d）+b（c+d）+cd，则a2+b2+m的最小值为（　　） A．8 B．4+2 C．5+2 D．4 【答案】B 【分析】根据条件可得，然后利用重要不等式和基本不等式可求出的最小值． 【解析】解：，，，均大于零且，， ， 当且仅当，，，即，时取等号， 的最小值为． 故选：． 【点睛】本题考查了重要不等式和基本不等式在求最值中的应用，考查了转化思想，属中档题． 25．设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入后剩下关于的二元不等式，经齐次化处理后使用基本不等式在时最大值时，将代入所求关系式，得到二次函数利用配方法即可求得其最大值. 【解析】， ，又均为正实数， （当且仅当时取"=")， ，此时. ， ，当且仅当时取得"="，满足题意. 的最大值为1. 故选：B. 【点睛】对含有多元变量的函数求最值时通常要减少变量的个数，减少变量的个数方法有:①代入消元，把其中一个变量用其它变量表示后代入消元;②对齐次式可通过构造比值消元. 26．《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点A作于点F，则下列推理正确的是（    ） A．由图1和图2面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 【答案】C 【分析】根据图1，图2面积相等，可求得d的表达式，可判断A选项正误，由题意可求得图3中的表达式，逐一分析B、C、D选项，即可得答案 【解析】对于A，由图1和图2面积相等得，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，所以，， 因为，所以，整理得，故B错误； 对于C，因为D为斜边BC的中点，所以， 因为，所以，整理得，故C正确； 对于D，因为，所以，整理得，故D错误． 故选：C． 27．若，则称是关于x，y的方程的整数解．关于该方程，下列判断错误的是（    ） A．，方程有无限组整数解 B．，方程有且只有两组整数解 C．，方程至少有一组整数解 D．，方程至多有有限组整数解 【答案】C 【分析】由，结合整数的分解形式转化为求解方程组的整数解的情况即可. 【解析】选项A，当时，由得， 解得， ，都是方程的整数解， 故，方程有无限组整数解. A项判断正确； 选项B，当时，由， 由，则，， 又， 由与，仅有这种整数分解的方法， 所以（舍），或； 解得 或，故方程有且仅有两组整数解， 即，方程有且只有两组整数解，故B项判断正确； 选项C，当时，由，，，， 仅有这种整数分解的方法，又， 所以（舍），或（舍）， 或①，或②； 方程组①消得，，，无整数解； 方程组②消得，，此方程无解； 故当时，方程无整数解，所以选项C判断不正确； 选项D，若关于x，y的方程不存在整数解， 则满足至多有有限组整数解； 若关于x，y的方程存在整数解． 由，则， ，整数至多有有限组分解方法，可设所有分解形式为， 由， 得， 消得，，， 对于的每一个确定取值，此关于的二次方程最多有个整数解， 即方程组至多有组整数解； 故，方程至多有组整数解，故D项判断正确. 故选：C. 28．已知函数，则、、与1的大小关系为（    ） A．没有一个小于1 B．至多有一个不小于1 C．都不小于1 D．至少有一个不小于1 【答案】D 【分析】通过反例可排除；采用反证法，利用和，结合不等式的性质可证得，由此知正确. 【解析】当，时，，则，，，可知错误； 当时，，则，，，可知错误； 假设，，， 由得：，即…①， 由得：，即…②， 由①得：…③，由②③得：，， 由③得：…④，由②④得：，， ， ，与矛盾，可知至少有一个不小于，正确. 故选：. 【点睛】本题考查利用不等式的性质判断大小关系的问题；解决此类问题比较快捷的方法是采用排除法得到正确结果；解题关键是能够熟练应用绝对值不等式的解法和不等式的性质，采用反证法的方式确定正确结论. 29．已知正整数满足当（）时，，且，则的最大值为（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】A 【解析】先由（）时，得到，再将放缩为，从而，故可得的最大值. 【解析】因为当（）时，，故， 诸不等式相加可得即. 故， 所以，，故. 又，故. 当等号成立. 故选：A. 【点睛】本题考查不等式的性质，解题中注意根据欲求最值的类型去估算的最大值以及的最小值，注意检验，本题属于难题. 30．已知实数a，b，c. A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2＜100 B．若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，则a2+b2+c2＜100 C．若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，则a2+b2+c2＜100 D．若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，则a2+b2+c2＜100 【答案】D 【解析】试题分析：采用排除法：A.令可排除此选项， B.令可排除此选项， C.令可排除此选项，故选D． 【考点】不等式的性质． 【方法点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时能够对四个选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式． 31．二次函数恒有两个零点、，不等式恒成立，则实数l的最大值为 . 【答案】 【分析】由题设可设即有，令，将其整理成M关于m的函数，将n代入函数式，转化主元法令，利用二次函数的性质求M值域范围，结合不等式恒成立确定l的最大值. 【解析】由恒有两个零点，则， 令， ∴，而， ∴，若， ∴， 当时，有；当时，有； 综上，，要使恒成立，则，故l的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：令，，将其整理成M关于m的函数，再转换主元研究M的值域. 32．若关于的不等式组的整数解共有36个，则正数的取值范围是 . 【答案】 【分析】解一元二次不等式得或，然后计算时，不等式组整数解的个数，确定满足题意，再根据的变化（比22大或者小），确定不等式组的整数解的变化情况，从而得出参数范围． 【解析】由，得，因为为正数，所或. 当时，， ， 此时不等式组的整数解的个数为32； 当时，， ， 此时不等式组的整数解的个数为36； 当时，， ， 此时不等式组的整数解的个数为40. 越大，则越小，越大， 从而不等式组的整数解的个数不会增加； 越小，则越大，越小， 从而不等式组的整数解的个数不会减少. 要使得不等式组的整数解的个数为36，则需满足，解得. 故答案为：． 【点睛】方法点睛：首先解出一元二次不等式，然后求两个集合的交集，在交集中确定整数解的个数，解题时可估计出一些特殊值，如满足题意，和不满足题意，然后让变化，比22小，或比22大，确定两个集合的交集中整数的个数的变化情况，从而得出参数满足的条件． 33．研究问题：“已知关于x的不等式ax2－bx＋c＞0的解集为(1，2)，解关于x的不等式cx2－bx＋a＞0”，有如下解法：由ax2－bx＋c＞0⇒a－b＋c＞0.令y＝，则y∈，所以不等式cx2－bx＋a＞0的解集为.类比上述解法，已知关于x的不等式＋＜0的解集为(－2，－1)∪(2，3)，则关于x的不等式＋＜0的解集为 ． 【答案】 【分析】根据题意，将替换x可得所求的方程，并且可知∈(－2，－1)∪(2，3)，从而求出的解集. 【解析】关于x的不等式＋＜0的解集为(－2，－1)∪(2，3)， 用－替换x，不等式可以化为＋＝＋＜0， 因为－∈(－2，－1)∪(2，3)，所以＜x＜1或－＜x＜－， 即不等式＋＜0的解集为∪ 故答案为： ∪ 【点睛】本题考查整体代换的思想，理解题意，将方程问题和不等式问题进行转化是解题的关键，本题属于中档题. 34．已知，，记，，有下面四个结论： ①若，则的最大值为；             ②若，则的最小值为； ③若，则的最大值为1； ④若，则的最大值为． 则错误结论的序号是 ． 【答案】①② 【分析】把变形成，利用常数t值并借助“1”的妙用求解，再按t的不同取值计算即可判断；用常数t表示出xy的取值范围，然后将n变形成用xy表示，再借助函数、均值不等式求解计算并判断作答. 【解析】依题意，，则 ，当且仅当时取“=”， 对于①，时，有，①不正确； 对于③，时，有，③正确； 令，当且仅当时取“=”，即，， 则 对于②，时，， ，而， 由对勾函数知对是递增的，对是递减的， 则时，，无最小值，即②不正确； 对于④，时，， ，而， ，当且仅当，，即时取“=”， 则有时，，即④正确， 所以错误结论的序号是①②. 故答案为：①② 35．若、、、均为正实数，则的最小值为 . 【答案】 【分析】 从最后两项开始，逐次使用基本不等式，可求得所求代数式的最小值. 【解析】原式 ， 当且仅当时， 即当时，等号成立， 故的最小值为， 故答案为：. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 36．设、、、、、是六个互不相等的实数，则在以下六个式子中：，，，，，，能同时取到150的代数式最多有 个． 【答案】2 【分析】由作差法比较大小后判断 【解析】不妨设，， 记为①式，为②式，以此类推， 由，故①>②， ，故②>③， ，故①>④， 同理得，①>⑤，②>⑥，③>⑤，④>③，④>⑥，⑥>⑤， 综上可知①>②>③>⑤，①>④>③>⑤，且②>⑥>⑤，④>⑥>⑤， 最多有②④或③⑥两项可同时取150， 令， 得其一组解为， 故答案为：2 ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$