第五章 一元一次方程压轴训练（单元复习 含参数问题、换元法、新定义型）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（人教版2024）

第五章 一元一次方程压轴训练 01 压轴总结 目录 压轴题型一　利用一元一次方程的定义求字母参数 1 压轴题型二　已知一元一次方程的解求代数式的值 3 压轴题型三　利用一元一次方程的解相同求字母参数 5 压轴题型四　含字母参数方程的解为整数解的问题 9 压轴题型五　换元法求一元一次方程的解 12 压轴题型六　新定义型一元一次方程的求解问题 14 02 压轴题型 压轴题型一　利用一元一次方程的定义求字母参数 例题：（23-24七年级上·天津河西·期末）方程是关于x的一元一次方程，则 巩固训练 1．（23-24六年级上·山东泰安·期末）若是关于x的一元一次方程，则m的值为（　　） A． B．1 C． D．任何实数 2．（23-24七年级上·天津津南·期末）若方程是关于x的一元一次方程，则 ． 3．（23-24七年级上·山东滨州·期末）若是关于的一元一次方程，则的值为 ． 4．（23-24七年级上·全国·单元测试）若关于的方程是一元一次方程，则的值为 ． 压轴题型二　已知一元一次方程的解求代数式的值 例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元一次方程的解是，则的值为 ． 巩固训练 1．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）若关于x的方程的解是，则的值是 ． 2．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）若是关于x的方程的解，则代数式 ． 3．（23-24七年级上·广东佛山·期末）若是方程的解，则的值为 ． 4．（2024七年级·全国·竞赛）已知都是质数，且关于的一元一次方程的解为1，则 ． 压轴题型三　利用一元一次方程的解相同求字母参数 例题：（23-24七年级下·福建泉州·期末）如果关于的方程和方程的解相同，那么的值为 ． 巩固训练 1．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）已知关于x的方程与方程的解相同，则方程的解为 ． 2．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）已知方程和方程的解相同，则代数式的值为 ． 3．（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）若关于的方程的解和关于的方程与的解相同，求字母的值． 4．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）方程与方程的解相同，求代数式的值． 5．已知关于的两个方程和． (1)若方程的解为，求方程的解； (2)若方程和的解相同，求的值． 压轴题型四　含字母参数方程的解为整数解的问题 例题：已知方程的解是正数，则的最小整数解是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 巩固训练 1．若关于x的方程有正整数解，则整数a的值为（　　） A．1或或3或 B．1或3 C．1 D．3 2．已知关于x的方程有非负整数解，则负整数a的所有可能的取值的和为（    ） A． B． C． D． 3．关于的方程的解为整数，则符合条件的正整数的值之和为 ． 4．若关于x的方程的解是整数解，m是整数，则所有m的值加起来为 ． 压轴题型五　换元法求一元一次方程的解 例题：（23-24七年级上·浙江嘉兴·期末）已知为实数，关于的方程的解为，则关于的方程的解为 ． 巩固训练 1．（23-24七年级上·江苏南通·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程解为 ． 2．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如果关于的方程的解，则关于的方程的解 ． 3．若关于的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是 ． 压轴题型六　新定义型一元一次方程的求解问题 例题：定义一种新运算“※”，其规则为． 例如：．再如：． (1)计算值为______． (2)若，求的值． 巩固训练 1．若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程是“平安方程”．例如，方程的解是，而，则方程是“平安方程”．如果关于的一元一次方程是“平安方程”，那么的值是 ． 2．定义一种新运算“”：，如 (1)求的值； (2)若，求x的值； 3．规定的一种新运算“”：，例如：． (1)试求的值； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 4．小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“十全十美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“十全十美方程”． (1)判断下列关于y的方程是否是一元一次方程的“十全十美方程”，在后面的横线上写“是”或“否”： ① ______，②  ______； (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请求出a的值； (3)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请直接写出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 一元一次方程压轴训练 01 压轴总结 目录 压轴题型一　利用一元一次方程的定义求字母参数 1 压轴题型二　已知一元一次方程的解求代数式的值 3 压轴题型三　利用一元一次方程的解相同求字母参数 5 压轴题型四　含字母参数方程的解为整数解的问题 9 压轴题型五　换元法求一元一次方程的解 12 压轴题型六　新定义型一元一次方程的求解问题 14 02 压轴题型 压轴题型一　利用一元一次方程的定义求字母参数 例题：（23-24七年级上·天津河西·期末）方程是关于x的一元一次方程，则 【答案】 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】根据是关于x的一元一次方程，得到，求得a的值即可．本题考查了一元一次方程的定义，根据定义，列式计算． 【详解】∵方程是关于x的一元一次方程， ∴， 解得或且， 故． 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24六年级上·山东泰安·期末）若是关于x的一元一次方程，则m的值为（　　） A． B．1 C． D．任何实数 【答案】B 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义可得到且，即可求出的值． 【详解】解：是关于x的一元一次方程， 根据题意得：且， 解得：， 故选：B． 2．（23-24七年级上·天津津南·期末）若方程是关于x的一元一次方程，则 ． 【答案】3 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查一元一次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴且，解得， 故答案为：3． 3．（23-24七年级上·山东滨州·期末）若是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据题意可得且，解之即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， ∴， 故答案为：． 4．（23-24七年级上·全国·单元测试）若关于的方程是一元一次方程，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．根据一元一次方程的一般形式即可判定有种情况，分别讨论①当且时，②当且时，③当时是否满足该方程为一元一次方程即可． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， 可考虑三种情况， ①当且时， 即且， 则，解得：， 此时，故排除； ②当且时， 即且， ，符合条件； ③当即时， ，符合条件； 综上：的值为或， 故答案为：或． 压轴题型二　已知一元一次方程的解求代数式的值 例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元一次方程的解是，则的值为 ． 【答案】0 【知识点】方程的解 【分析】本题考查一元一次方程的解、代数式求值，根据一元一次方程的解求得，进而代值求解即可． 【详解】解：把代入方程中得，， ∴， ∴ ． 故答案为：0． 巩固训练 1．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）若关于x的方程的解是，则的值是 ． 【答案】3 【知识点】方程的解 【分析】本题主要考查了方程解的定义，把代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， ， ． 故答案为：3． 2．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）若是关于x的方程的解，则代数式 ． 【答案】5 【知识点】方程的解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解的概念，本题属于基础题型．将代入原方程即可求出，然后将其整体代入求值． 【详解】解：将代入原方程可得：， ∴， 故答案为：5 3．（23-24七年级上·广东佛山·期末）若是方程的解，则的值为 ． 【答案】2035 【知识点】方程的解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查一元一次方程的解，解题的关键是把解代入方程中，得到代数式．把代入方程，得出，进而可得，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：2035． 4．（2024七年级·全国·竞赛）已知都是质数，且关于的一元一次方程的解为1，则 ． 【答案】或 【知识点】方程的解 【分析】本题考查一元一次方程的解：能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值称为一元一次方程的解．将方程的解代入原方程可得，据此即可求解． 【详解】解：将代入方程得： 是奇数， 与必为一奇数一偶数． 若，则，符合题设； 若2，则，符合题设； 或 故答案为：或 压轴题型三　利用一元一次方程的解相同求字母参数 例题：（23-24七年级下·福建泉州·期末）如果关于的方程和方程的解相同，那么的值为 ． 【答案】3 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，先解出的值，再代入，即可解出a的值． 【详解】解：∵关于的方程和方程的解相同， ∴由，得 把代入， 得 整理得 即 则 故答案为：3 巩固训练 1．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）已知关于x的方程与方程的解相同，则方程的解为 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程——拓展、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】表示出两方程的解，由两方程为同解方程，求出的值，进而确定出方程的解．此题考查了同解方程，明确“同解方程即为两方程解相同的方程”是解题的关键． 【详解】解：方程，解得：， 方程，解得：， 由题意得：， 去分母得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 代入得：， 解得：． 故答案为：． 2．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）已知方程和方程的解相同，则代数式的值为 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查一元一次方程的解的定义，理解一元一次方程的解的定义，是解题的关键． 先求出的解，再把x的值代入，求解即可． 【详解】解：∵的解是：， 又∵方程和有相同的解， ∴把，代入，得， 解得：． 则， 故答案是：． 3．（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）若关于的方程的解和关于的方程与的解相同，求字母的值． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、方程的解 【分析】本题考查了同解方程，掌握同解方程的意义及一元一次方程的解法是解题关键．先分别解出两个一元一次方程，再令其解相等得到关于a的方程，求解即可． 【详解】解：解方程， 解得， 解方程， 解得， 由题意得： 解得：． 4．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）方程与方程的解相同，求代数式的值． 【答案】 【知识点】解一元一次方程——拓展、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了同解方程，代数式求值，先解，把代入，求出k的值，然后再代入代数式求值即可． 【详解】解： 又∵方程与方程的解相同 ∴ 5．已知关于的两个方程和． (1)若方程的解为，求方程的解； (2)若方程和的解相同，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程的解的定义，将方程的解代入方程，求得，再将的值代入方程，求解即可得到答案； （2）分别求解两个方程，得到和，再根据两个方程的解相同，得到，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入方程， 得：， 解得：， 把代入方程， 得：， 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1，得：， 即方程的解是； （2）解：解方程，得：， 解方程，得：， 方程和的解相同， ， 解得：． 【点睛】本题考查了方程的解，解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键． 压轴题型四　含字母参数方程的解为整数解的问题 例题：已知方程的解是正数，则的最小整数解是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】依次去括号、移项、合并同类项、系数化1解方程，求得，再根据方程的解是正数，求出，即可得到的最小整数解． 【详解】解：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1，得：， 方程的解是正数， ， ， 的最小整数解是3， 故选：C． 【点睛】本题考查了根据一元一次方程的解的情况求参数，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键． 巩固训练 1．若关于x的方程有正整数解，则整数a的值为（　　） A．1或或3或 B．1或3 C．1 D．3 【答案】B 【分析】解方程，用含有a的式子表示出x，即，再根据3除以几得正整数，求出整数a． 【详解】解：， 移项，得， ∵关于x的方程有正整数解， ∴， ∴， ∵a为整数，关于x的方程的解为正整数， ∴或， 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次方程的解，解题关键是根据方程的解为正整数，a为整数，得出关于a的一元一次方程． 2．已知关于x的方程有非负整数解，则负整数a的所有可能的取值的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将的值算出，最后相加即可得出答案． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得， ∵是非负整数解， ∴取， ∴或，时，的解都是非负整数， 则， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键． 3．关于的方程的解为整数，则符合条件的正整数的值之和为 ． 【答案】 【分析】先将方程化简为，根据方程的解为整数，得到关于的方程，解出并找出符合题意的的值相加，即可得出答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， ∵方程的解为整数， ∴或， 解得：或或或， 又∵为正整数， ∴的值为或或， ∴符合条件的正整数的值之和为：． 故答案为： 【点睛】本题考查了含参数的一元一次方程，解题的关键是得到关于参数的方程． 4．若关于x的方程的解是整数解，m是整数，则所有m的值加起来为 ． 【答案】 【分析】根据解一元一次方程的一般步骤表示出x的代数式，分析解答即可． 【详解】解：解方程， 得：， 根据题意可知为整数，是整数， 当的值为0，，，，，时，为整数， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据一元一次方程解的情况求参数，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解本题的关键． 压轴题型五　换元法求一元一次方程的解 例题：（23-24七年级上·浙江嘉兴·期末）已知为实数，关于的方程的解为，则关于的方程的解为 ． 【答案】7 【知识点】方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握转化思想是解题的关键．两个方程形式相似，第一个方程的解为，则第二个方程中与x对应，可得，可得结果． 【详解】解：关于的方程的解为， 则 ， ∴， ． 故答案为7 巩固训练 1．（23-24七年级上·江苏南通·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程解为 ． 【答案】 【知识点】方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将一元一次方程变形可得是方程的解，即可得出答案，解题的关键是得出是方程的解． 【详解】解：将一元一次方程变形得：， 关于的一元一次方程的解为， 是方程的解， 解得：， 故答案为：． 2．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如果关于的方程的解，则关于的方程的解 ． 【答案】 【知识点】方程的解 【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是对方程变形为，令，则原方程变为，根据方程的解为，则，即可． 【详解】∵关于的方程为， ∴对方程进行变形为：， 令， ∴原方程变为：， ∵方程的解为：， ∴， ∴． 故答案为：． 3．若关于的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是 ． 【答案】 【分析】将转化，即可得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于的一元一次方程的解是， ∴一元一次方程的解为：， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次方程的解，以及解一元一次方程．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键． 压轴题型六　新定义型一元一次方程的求解问题 例题：定义一种新运算“※”，其规则为． 例如：．再如：． (1)计算值为______． (2)若，求的值． 【答案】(1)31 (2) 【分析】（1）利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出m的值． 【详解】（1）根据题中的新定义得： （2）利用题中的新定义化简得：， 解得： 【点睛】此题考查定义新运算，一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 巩固训练 1．若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程是“平安方程”．例如，方程的解是，而，则方程是“平安方程”．如果关于的一元一次方程是“平安方程”，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查对“平安方程”得理解和一元一次方程得运用，根据题干得出，再将代入中计算即可． 【详解】解：关于的一元一次方程的解满足，则称该方程是“平安方程”． 又关于的一元一次方程是“平安方程”， ， 将代入中，有，解得． 故答案为：． 2．定义一种新运算“”：，如 (1)求的值； (2)若，求x的值； 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据所给的新定义进行代值计算即可； （2）根据所给的新定义可得方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算，解一元一次方程，正确理解所给的新定义是解题的关键． 3．规定的一种新运算“”：，例如：． (1)试求的值； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)根据定义，直接计算求解即可． (2)根据定义，转化为一元一次方程计算求解即可． (3)根据定义，转化为一元一次方程计算求解即可． 【详解】（1） ．                 ． （2） ． （3） ． 【点睛】本题考查了新定义问题，一元一次方程的解法，正确理解定义，熟练掌握解方程是解题的关键． 4．小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“十全十美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“十全十美方程”． (1)判断下列关于y的方程是否是一元一次方程的“十全十美方程”，在后面的横线上写“是”或“否”： ① ______，②  ______； (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请求出a的值； (3)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请直接写出的值． 【答案】(1)①否；②是 (2)3或9 (3)或 【分析】本题考查了新定义方程，解方程，熟练掌握定义，正确解方程是解题的关键． （1）根据新定义的要求，解方程验证即可． （2）先求出的解，再根据新定义的内容求出的根，再代入这个根求出a即可． （3）先求出的解，再根据新定义的内容求出的根，再代入这个根求出，继而得解． 【详解】（1）解：（1）①否；②是，理由如下： 的解为； ①方程的解是，，故不是“十全十美方程”； ②方程的解是或，当时，，是“十全十美方程”． 故答案为：①否；②是； （2）方程的解是或， 一元一次方程的解是，即， 若，，则，解得：； 若，，则，解得：； ∴a的值为3或9． （3）的值为或．理由如下： 由， 解得：， ∵， ∴， 即的解是：， ∴， 整理得：， ∵分母m不能为0， ∴， ∴， ①当时，， ∴，； ②当时，， ∴，； ∴的值为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$