第五章 一元一次方程知识归纳与题型突破（单元复习 8类题型清单）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（冀教版2024）

第五章 一元一次方程知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、基本概念 1、等式的概念：含有等号，表示相等关系的式子 2、方程的概念：含有未知数的等式 3、一元一次方程的概念：（1）只含有1个未知数； （2）未知数的最高次数为1次； （3）等式两边都是整式． 二、等式的性质 若，则、、、． 特别注意：等式两边须同时乘以或除以一个不为0的数． 三、解一元一次方程 1、去分母（不漏乘不含分母的项，去分母应加括号） 2、去括号（带着符号计算，不要漏乘） 3、移项（移项要变号；未知数移到左边，常数移到右边；先后顺序不重要） 4、合并同类项 5、系数化为1（系数不能为0，若未知数的系数含有字母则需要讨论） 四、列方程解应用题的步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 五、一元一次方程的应用 一元一次方程解应用题的类型有： （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润=售价-进价，； （4）工程问题（①工作量=人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量）； （5）行程问题（路程=速度×时间）； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）． 03 题型归纳 题型一　列一元一次方程 例题：（23-24七年级上·湖北武汉·期末）比a的3倍大5的数等于a的4倍，依题意列出的方程是 ． 巩固训练 1．（22-23七年级下·广东河源·开学考试）一个长方形场地的周长为米，长比宽的倍少米．如果设这个场地的宽为米，那么可以列出方程为 ． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）一个两位数个位上的数是，十位上的数是．把与对调，新两位数比原两位数大．根据题意，可得方程 ． 3．（22-23七年级上·辽宁鞍山·期末）整理一批图书，由一个人做要完成，现计划由一部分人先做，然后增加2人与他们一起做，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？如果设安排x人先做， 列方程是 4．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设绳长尺，可列一元一次方程为 题型二　等式的基本性质 例题：（23-24七年级上·天津·期中）下列说法错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 巩固训练 1．（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）下列是根据等式的性质进行变形，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24七年级上·安徽·单元测试）下列运用等式的性质变形中正确的是（       ） A．如果，则 B．如果，则 C．如果，则 D．如果，则 3．（22-23七年级上·山东济南·阶段练习）下列变形正确的是（     ） A．变形得 B．变形得 C．变形得 D．变形得 4．（2024·贵州贵阳·一模）用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a，b，c均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 题型三　判断是否是一元一次方程 例题：（24-25七年级上·全国·单元测试）下列各式：①；②；③；④；⑤．其中，一元一次方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·期中）下列各式中，属于一元一次方程的是（      ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）在方程① ，② ，③ ，④ 中，一元一次方程共有（    ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．其中一元一次方程的个数是（    ） A． B． C． D． 题型四　根据一元一次方程的定义求参数的值 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是关于的一元一次方程，则的值是 ． 巩固训练 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）若是关于的一元一次方程，则 ． 2．（23-24七年级上·河南漯河·期中）已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值为 ． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）若关于的方程是一元一次方程，则的值为 ． 题型五　已知一元一次方程的解求参数的值 例题：（23-24七年级下·全国·期中）关于x的一元一次方程有解，则m的值为 ． 巩固训练 1．（23-24七年级上·浙江金华·期末）已知是方程的解，则 ． 2．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）整式的值随着的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值： 0 1 2 3 0 4 8 则关于的方程的解是 ． 3．（23-24七年级上·浙江·期末）若关于x的方程的解为，则方程的解为 ． 题型六　解一元一次方程 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 巩固训练 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1) (2) 2．（23-24七年级下·重庆南岸·开学考试）解方程： (1) (2) 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）解下列方程： (1) (2) 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1) (2) (3) (4) 题型七　解一元一次方程中的错解复原问题 例题：（23-24七年级下·吉林长春·期末）下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：______，得    第一步 去括号，得    第二步 移项，得    第三步 合并同类项，得    第四步 方程两边同除以2，得    第五步 (1)以上求解步骤中，第一步进行的是______； (2)以上求解步骤中，第______步开始出现错误； (3)请写出正确解方程的过程． 巩固训练 1．（23-24七年级上·河南郑州·期末）下面是小颖解方程的过程： 解：________，得 （第一步） 去括号，得  （第二步） 移项，得   （第三步）   合并同类项，得      （第四步） 方程两边同除以，得   （第五步） 请认真阅读上面的过程，解答下列问题： (1)以上求解步骤中，第一步进行的是_______，这一步的依据是______； (2)以上求解步骤中，第_____步开始出现错误； (3)请写出正确的解方程过程． 2．（2024·浙江杭州·一模）某同学解方程的过程如下框： 解： 两边同时乘以10，得……① 合并同类项，得……② 系数化1，得……③ 请写出解答过程中最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程． 3．（23-24七年级下·福建泉州·期中）阅读下列材料，完成下列任务： 解方程：． 解：去分母，得，（第一步） 移项，得，（第二步） 合并同类项，得．（第三步） (1)上面的求解过程从第_________步开始出现错误；错误的原因是_________． (2)请写出该方程正确的解题过程． 4．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． ，（第一步） ，（第二步） ，（第三步） ，（第四步） ．（第五步） (1)任务一：填空． ①以上求解步骤中，第一步的依据是________________________． ②第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________． (2)任务二：请直接写出该方程的解． 5．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程：． 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 ______，得．第三步 合并同类项，得．第四步 方程两边同除以5．得，第五步 任务一：填空：①第三步进行的是______，这一步的依据是______； ②从第 步开始出现错误，具体的错误是______． 任务二：请写出正确的解方程的过程； 任务三：请你根据平时解一元一次方程的经验，再给其他同学提一条建议______． 题型八　用一元一次方程解决实际问题 例题：（23-24七年级下·吉林松原·开学考试）在手工课上，老师组织七（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七（2）班共有44人，其中男生比女生少2人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个． (1)七（2）班有男生、女生各多少人？ (2)要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身？ 巩固训练 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）某商场经销两种不同的商品．在春节期间，该商场对这两种商品进行如优惠活动： 打折前一次性购物金额 不超过500元 超过500元但不超过800元 超过800元 优惠措施 按总价打九折 按总价打八折 其中800元部分打七折，其余部分打六折 (1)张明买了实际付款644元的商品，求商品的原价． (2)在（1）的条件下，第二天张明买了另外一个商品，实际付款608元．如果这两种商品原价之和大于1300元，那么将这两个商品合为一起付款是否更划算？若是，请求出划算的价格． 2．（23-24七年级下·甘肃兰州·开学考试）佳佳平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价70元，利润率为；乙种商品每件进价40元，售价60元． (1)甲种商品每件进价为_______元，每件乙种商品利润率为_______； (2)在“春节”前夕，该商场只对甲种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于560元 不优惠 超过560元，但不超过700元 按售价打九折 超过700元 其中700元部分八点七折优惠，超过700元的部分打三折优惠 按上述优惠条件，若顾客小贺一次性购买甲种商品实际付款630元，求小贺在该商场购买甲种商品多少件？ 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的方式达到节水目的．该市自来水收费价格见价目表： 价目表（注：水费按月结算） 每月用水量 单价 不超出的部分 2元 超出但不超出的部分 4元 超出的部分 8元 若某户居民1月份用水，则应收水费：（元）． (1)已知该户居民2月份用水，则应交水费________元； (2)已知该户居民3月份交水费48元，若设该户居民3月份用水，求的值； (3)若该户居民4，5月份共用水（5月份的用水量超过4月份的用水量），共交水费64元，则该户居民4，5月份各用水多少立方米？ 4．（23-24七年级上·河北唐山·阶段练习）在一条不完整的数轴上从左到右有点，其中，，如图1所示，设点所对应的数的和是p． (1)若以B为原点，写出点所对应的数，并计算p的值； (2)若原点O在点之间，且，如图2所示． ①求p的值； ②若点C以每秒2个单位长度的速度沿数轴负方向运动，设t秒时，请直接写出t的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 一元一次方程知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、基本概念 1、等式的概念：含有等号，表示相等关系的式子 2、方程的概念：含有未知数的等式 3、一元一次方程的概念：（1）只含有1个未知数； （2）未知数的最高次数为1次； （3）等式两边都是整式． 二、等式的性质 若，则、、、． 特别注意：等式两边须同时乘以或除以一个不为0的数． 三、解一元一次方程 1、去分母（不漏乘不含分母的项，去分母应加括号） 2、去括号（带着符号计算，不要漏乘） 3、移项（移项要变号；未知数移到左边，常数移到右边；先后顺序不重要） 4、合并同类项 5、系数化为1（系数不能为0，若未知数的系数含有字母则需要讨论） 四、列方程解应用题的步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 五、一元一次方程的应用 一元一次方程解应用题的类型有： （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润=售价-进价，； （4）工程问题（①工作量=人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量）； （5）行程问题（路程=速度×时间）； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）． 03 题型归纳 题型一　列一元一次方程 例题：（23-24七年级上·湖北武汉·期末）比a的3倍大5的数等于a的4倍，依题意列出的方程是 ． 【答案】 【知识点】列方程 【分析】本题考查了列方程，理清题意，找准等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 巩固训练 1．（22-23七年级下·广东河源·开学考试）一个长方形场地的周长为米，长比宽的倍少米．如果设这个场地的宽为米，那么可以列出方程为 ． 【答案】 【知识点】列方程 【分析】设这个场地的宽为米，则长为米，然后根据长方形的周长公式即可解答． 【详解】解：设这个场地的宽为米，则长为米， 由题意可得：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、设出未知数、明确等量关系是解答本题的关键． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）一个两位数个位上的数是，十位上的数是．把与对调，新两位数比原两位数大．根据题意，可得方程 ． 【答案】 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题的关键． 先表示出原来的两位数和新两位数，根据新两位数比原两位数大列出方程即可． 【详解】解：由题意得：原两位数是，新两位数是， 则， 故答案为：． 3．（22-23七年级上·辽宁鞍山·期末）整理一批图书，由一个人做要完成，现计划由一部分人先做，然后增加2人与他们一起做，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？如果设安排x人先做， 列方程是 【答案】 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了从实际问题抽象出一元一次方程，设全部工作量是1，由一个人做要30小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的，这部分共有x人，根据本题中的等量关系“这部分人4小时的工作量+增加2人后所有人5小时的工作量=全部工作量”即可得方程 【详解】解：由题意，得 ． 故答案为：． 4．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设绳长尺，可列一元一次方程为 【答案】 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 由绳长尺，则可知木长尺，根据“将绳子对折再量木条，木头剩余1尺”，即可得出关于的一元一次方程． 【详解】解：由绳长尺，则木长尺， 根据题意得：． 故答案为：． 题型二　等式的基本性质 例题：（23-24七年级上·天津·期中）下列说法错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】等式的性质 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可求解，掌握等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、∵，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为的数，两边仍然相等”可得， ∴正确，不符合题意； 、∵，当时，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为的数，两边仍然相等”，可得；当时，，可得， ∴或， ∴错误，符合题意； 、∵，根据等式的基本性质：“等式两边减去同一个数，两边仍然相等”，可得， ∴正确，不符合题意； 、∵，根据等式的基本性质：“等式两边乘以同一个数，两边仍然相等”，可得， ∴正确，不符合题意； 故选：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）下列是根据等式的性质进行变形，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】等式的性质 【分析】本题考查了等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质进行解题． 根据等式的基本性质，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，则，故A错误； B、若，则，故B错误； C、若，则，故C正确； D、，当时，不成立，故D错误； 故选：C． 2．（23-24七年级上·安徽·单元测试）下列运用等式的性质变形中正确的是（       ） A．如果，则 B．如果，则 C．如果，则 D．如果，则 【答案】D 【知识点】等式的性质 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【详解】解：、如果，则或，原选项变形错误，不符合题意； 、如果，当时，则，原选项变形错误，不符合题意； 、如果，当时，则，原选项变形错误，不符合题意； 、如果，则，原选项变形正确，符合题意； 故选：． 3．（22-23七年级上·山东济南·阶段练习）下列变形正确的是（     ） A．变形得 B．变形得 C．变形得 D．变形得 【答案】D 【知识点】等式的性质 【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质进行判断即可． 【详解】解：变形得，选项A错误，不符合题意； 变形得，选项B错误，不符合题意； 变形得，选项C错误，不符合题意； 变形得，选项D正确，符合题意； 故选D． 4．（2024·贵州贵阳·一模）用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a，b，c均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【知识点】等式的性质 【分析】本题考查等式的性质，根据天平两端相等即可求得答案． 【详解】解：由图形可得如果，那么， 故选：A． 题型三　判断是否是一元一次方程 例题：（24-25七年级上·全国·单元测试）下列各式：①；②；③；④；⑤．其中，一元一次方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查的是一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义进行判定． 【详解】解：①是二元一次方程，不符合题意； ②是一元二次方程，不符合题意； ③是一元一次方程，符合题意； ④是分式方程，不符合题意； ⑤是代数式，不是方程，不符合题意． 故选：A． 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·期中）下列各式中，属于一元一次方程的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查了一元一次方程的定义的应用，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次的整式方程，叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； B、未知数次数为2，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； C、不是整式方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； D、整理方程得，是一元一次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）在方程① ，② ，③ ，④ 中，一元一次方程共有（    ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】A 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查了一元一次方程，根据一元一次方程的定义“只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式”即可求解． 【详解】解：①，含有一个未知数，未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，不符合题意； ②，含有一个未知数，未知数的最高次数是1，是一元一次方程，符合题意； ③，含有两个未知数，未知数的最高次数是1次，不是一元一次方程，不符合题意； ④，不是整式，不是一元一次方程，不符合题意； 综上所述，一元一次方程的共有1个， 故选：A ． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．其中一元一次方程的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查了一元一次方程的识别，判断一个方程是否是一元一次方程，看它是否具备以下三个条件：①只含有一个未知数，②含未知数项的最高次数是1，③未知数不能在分母里，这三个条件缺一不可．据此逐个分析即可． 【详解】解：① 的分母含有未知数，故不是一元一次方程； ② 不是等式，故不是一元一次方程； ③ 中未知数的最高次数是2，故不是一元一次方程； ④ 是一元一次方程；； ⑤ 是一元一次方程； ⑥ 含2个未知数，故不是一元一次方程； 故选A． 题型四　根据一元一次方程的定义求参数的值 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是关于的一元一次方程，则的值是 ． 【答案】2 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查了一元一次方程的概念，根据一元一次方程的定义得到，求出m即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：2． 巩固训练 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）若是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，象这样的方程叫做一元一次方程，熟练掌握定义是解答本题的关键根据未知数的次数等于1且系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得． 故答案为：． 2．（23-24七年级上·河南漯河·期中）已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值为 ． 【答案】1 【知识点】一元一次方程的定义、绝对值方程 【分析】此题考查了一元一次方程的概念，解题的关键是掌握一元一次方程的概念，只含有一个未知数且未知数最高次数为1的整式方程． 根据一元一次方程的概念，可得且，求解即可． 【详解】解：由题意可得且， 由可得， 由可得或 综上： 故答案为： 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）若关于的方程是一元一次方程，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．根据一元一次方程的一般形式即可判定有种情况，分别讨论①当且时，②当且时，③当时是否满足该方程为一元一次方程即可． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， 可考虑三种情况， ①当且时， 即且， 则，解得：， 此时，故排除； ②当且时， 即且， ，符合条件； ③当即时， ，符合条件； 综上：的值为或， 故答案为：或． 题型五　已知一元一次方程的解求参数的值 例题：（23-24七年级下·全国·期中）关于x的一元一次方程有解，则m的值为 ． 【答案】 【知识点】方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用了一元一次方程中一次项的系数不等于零．根据一元一次方程有解，可得一次项的系数不等于零． 【详解】解：由，可得， 关于的一元一次方程有解， ， 解得：． 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24七年级上·浙江金华·期末）已知是方程的解，则 ． 【答案】2 【知识点】方程的解 【分析】本题考查了方程解的定义，使方程的左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解． 将代入原方程，可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值． 【详解】解：将代入原方程得， 解得：， ∴a的值为2． 故答案为：2． 2．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）整式的值随着的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值： 0 1 2 3 0 4 8 则关于的方程的解是 ． 【答案】 【知识点】方程的解 【分析】此题考查了方程的解，根据表格中的数据求解即可． 【详解】根据题意可得， 当时， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·浙江·期末）若关于x的方程的解为，则方程的解为 ． 【答案】 【知识点】方程的解 【分析】本题考查一元一次方程的解：能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值称为一元一次方程的解．将代入方程即可求解． 【详解】解：将代入方程得：， 解得：， ∴， 解得：， 故答案为：． 题型六　解一元一次方程 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行求解即可； （2）根据解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行求解即可． 【详解】（1）解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解： 去分母，得 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 巩固训练 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键. （1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可； （2）原方程利用分数的基本性质变形后，按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可. 【详解】（1）解： 去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 原方程可化为： 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得，． 2．（23-24七年级下·重庆南岸·开学考试）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可； （2）方程整理后，根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1） 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 （2） 化整，得 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查的知识点是解一元一次方程，根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为解题即可． （1）根据移项、合并同类项、系数化为解题即可； （2）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为解题即可； （3）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为解题即可； （4）先整理，然后根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为解题即可． 【详解】（1）解： 移项得：， 合并得：， 系数化为得：； （2） 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为得：； （3）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为得：； （4） 整理得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为得：． 5．（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法步骤是解题关键． （1）先去括号，然后移项、合并同类项、系数化为1，计算即可； （2）先去括号，然后移项、合并同类项、系数化为1，计算即可； （3）先去分母，然后去括号，移项、合并同类项、系数化为1，计算即可； （4）先化简、再去分母、移项、合并同类项、系数化为1，计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查一元一次方程的求解，熟记相关步骤是解题关键． （1）去括号、移项、合并同类项、化系数为即可求解； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为即可求解． （3）去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为即可求解． （4）去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为即可求解． 【详解】（1）解：去括号：， 移项：， 合并同类项：， 化系数为： （2）解：去分母：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 化系数为： （3）解：去分母：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 化系数为： （4）解：去分母：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 化系数为： 题型七　解一元一次方程中的错解复原问题 例题：（23-24七年级下·吉林长春·期末）下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：______，得    第一步 去括号，得    第二步 移项，得    第三步 合并同类项，得    第四步 方程两边同除以2，得    第五步 (1)以上求解步骤中，第一步进行的是______； (2)以上求解步骤中，第______步开始出现错误； (3)请写出正确解方程的过程． 【答案】(1)去分母 (2)三 (3)见解析 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，等式的基本性质是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （2）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （3）按照解一元一次方程的步骤进行计算即可． 【详解】（1）解：以上求解步骤中，第一步进行的是去分母， 故答案为：去分母； （2）解：以上求解步骤中，第三步开始出现错误，具体的错误是移项时没有变号， 故答案为：三； （3）解： 两边同乘6得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 两边同除以2，得． 巩固训练 1．（23-24七年级上·河南郑州·期末）下面是小颖解方程的过程： 解：________，得 （第一步） 去括号，得  （第二步） 移项，得   （第三步）   合并同类项，得      （第四步） 方程两边同除以，得   （第五步） 请认真阅读上面的过程，解答下列问题： (1)以上求解步骤中，第一步进行的是_______，这一步的依据是______； (2)以上求解步骤中，第_____步开始出现错误； (3)请写出正确的解方程过程． 【答案】(1)去分母；等式两边同时乘同一个数，所得结果仍是等式 (2)三 (3)，过程见解析 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，等式的基本性质是解题的关键． （1）根据等式的基本性质解答即可； （2）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （3）按照解一元一次方程的步骤进行计算即可． 【详解】（1）解：以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，这一步的依据是等式两边同时乘同一个数，所得结果仍是等式 故答案为：去分母；等式两边同时乘同一个数，所得结果仍是等式； （2）解：以上求解步骤中，第三步开始出现错误； 故答案为：三； （3）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 2．（2024·浙江杭州·一模）某同学解方程的过程如下框： 解： 两边同时乘以10，得……① 合并同类项，得……② 系数化1，得……③ 请写出解答过程中最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程． 【答案】最早出现错误的步骤是，正确的解法见解析． 【知识点】解一元一次方程——拓展 【分析】此题主要考查了解一元一次方程，第1步是将方程中未知数的系数化为整数，而不是去分母可得出错误的步骤序号，先将系数化为整数得，再合并同类项，最后再将未知数的系数化为1即可得出该方程的解，熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解决问题的关键． 【详解】解：最早出现错误的步骤是，正确的解法如下： 对于方程， 将系数化为整数，得， 合并同类项，得， 系数化，得． 3．（23-24七年级下·福建泉州·期中）阅读下列材料，完成下列任务： 解方程：． 解：去分母，得，（第一步） 移项，得，（第二步） 合并同类项，得．（第三步） (1)上面的求解过程从第_________步开始出现错误；错误的原因是_________． (2)请写出该方程正确的解题过程． 【答案】(1)一；方程的左边的1漏乘6 (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）根据解一元一次方程的步骤求解即可； （2）根据去分母、移项、合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解：求解过程从第一步开始出现错误；错误的原因是方程的左边的1漏乘6． 故答案为：一；方程的左边的1漏乘6； （2）正确的解答过程为： 去分母，得， 移项，得，（第二步） 合并同类项，得． 4．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． ，（第一步） ，（第二步） ，（第三步） ，（第四步） ．（第五步） (1)任务一：填空． ①以上求解步骤中，第一步的依据是________________________． ②第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________． (2)任务二：请直接写出该方程的解． 【答案】(1)①等式的基本性质（等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立）；②二；括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号 (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查的是解方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键． （1）①根据去分母的步骤进行分析，即可得到答案； ②根据解方程的步骤进行分析，即可得到答案； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程． 【详解】（1）解：①第一步为去分母，依据是等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立， 故答案为：等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立； ②第二步开始出现错误， 原因是：括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号， 故答案为：二；括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号； （2）解： 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1，得：． 5．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程：． 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 ______，得．第三步 合并同类项，得．第四步 方程两边同除以5．得，第五步 任务一：填空：①第三步进行的是______，这一步的依据是______； ②从第 步开始出现错误，具体的错误是______． 任务二：请写出正确的解方程的过程； 任务三：请你根据平时解一元一次方程的经验，再给其他同学提一条建议______． 【答案】任务一：①移项，等式的基本性质；②三，移项时没有变号； 任务二：过程见解析， 任务三：把解方程的结果代入原方程进行检验 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键．注意去分母时，不要漏乘． 任务一：①根据等式的基本性质，进行作答即可；②从第三步开始出错，具体的错误是移项时没有变号； 任务二：按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤进行解答即可； 任务三：根据提高解方程的正确性提出建议即可． 【详解】任务一：填空：①第三步进行的是移项，这一步的依据是等式的基本性质； 故答案为：移项，等式的基本性质 ②从第三步开始出现错误，具体的错误是移项时没有变号． 任务二：正确的解方程的过程如下： 解： 去分母，得， 去括号，得． 移项，得 合并同类项，得， 方程两边同除以，得． 故答案为：． 任务三：建议是把解方程的结果代入原方程进行检验． 故答案为：把解方程的结果代入原方程进行检验 题型八　用一元一次方程解决实际问题 例题：（23-24七年级下·吉林松原·开学考试）在手工课上，老师组织七（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七（2）班共有44人，其中男生比女生少2人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个． (1)七（2）班有男生、女生各多少人？ (2)要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身？ 【答案】(1)女23人，男21人 (2)24人 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到量与量的关系，正确列出一元一次方程，再求解． （1）设七年级（2）班有男生x人，根据“共有学生44人，男生人数比女生人数少2人”即可列方程求得结果； （2）设分配剪筒身的学生为y人，根据“一个筒身配两个筒底，每小时剪出的筒身与筒底刚好配套”即可列方程求得结果． 【详解】（1）解：设七年级（2）班有男生x人，依题意得 ， 解得， 所以，七年级（2）班有男生21人，女生23人； （2）解：设分配剪筒身的学生为y人，依题意得 ， 解得， 所以，应该分配24名学生剪筒身． 巩固训练 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）某商场经销两种不同的商品．在春节期间，该商场对这两种商品进行如优惠活动： 打折前一次性购物金额 不超过500元 超过500元但不超过800元 超过800元 优惠措施 按总价打九折 按总价打八折 其中800元部分打七折，其余部分打六折 (1)张明买了实际付款644元的商品，求商品的原价． (2)在（1）的条件下，第二天张明买了另外一个商品，实际付款608元．如果这两种商品原价之和大于1300元，那么将这两个商品合为一起付款是否更划算？若是，请求出划算的价格． 【答案】(1)商品的原价是940元； (2)将这两个商品合为一起付款更划算，划算的价格是1100元或1172元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解． （1）设商品的原价是x元，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）设第二天张明购买商品的原价是y元，根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）设商品的原价是x元， ∵（元），， ∴． 根据题意得：， 解得：． 答：商品的原价是940元； （2）设第二天张明购买商品的原价是y元， ∵（元），（元），， ∴． 当时，， 解得：； 当时，， 解得：． 当时，将这两个商品合为一起付款所需费用为（元）， ∵（元），， ∴将这两个商品合为一起付款更划算； 当时，将这两个商品合为一起付款所需费用为（元）， ∵（元），， ∴将这两个商品合为一起付款更划算． 答：将这两个商品合为一起付款更划算，划算的价格是1100元或1172元． 2．（23-24七年级下·甘肃兰州·开学考试）佳佳平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价70元，利润率为；乙种商品每件进价40元，售价60元． (1)甲种商品每件进价为_______元，每件乙种商品利润率为_______； (2)在“春节”前夕，该商场只对甲种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于560元 不优惠 超过560元，但不超过700元 按售价打九折 超过700元 其中700元部分八点七折优惠，超过700元的部分打三折优惠 按上述优惠条件，若顾客小贺一次性购买甲种商品实际付款630元，求小贺在该商场购买甲种商品多少件？ 【答案】(1)， (2)小贺在该商场购买甲种商品10或11件 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，准确理解题意是解题的关键． （1）根据题意列出方程求解即可； （2）根据题意进行分类讨论即可． 【详解】（1）解:设甲种商品的进价为元， 则 解得， 即甲种商品每件进价为50元， ， 即每件乙种商品利润率为， 故答案是：，； （2）解:设小贺在该商场购买甲种商品b件, ①当购物金额超过560元，但不超过700元时， 解得：； ②当购物金额超过700元时， 解得：． 答:小贺在该商场购买甲种商品10或11件． 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的方式达到节水目的．该市自来水收费价格见价目表： 价目表（注：水费按月结算） 每月用水量 单价 不超出的部分 2元 超出但不超出的部分 4元 超出的部分 8元 若某户居民1月份用水，则应收水费：（元）． (1)已知该户居民2月份用水，则应交水费________元； (2)已知该户居民3月份交水费48元，若设该户居民3月份用水，求的值； (3)若该户居民4，5月份共用水（5月份的用水量超过4月份的用水量），共交水费64元，则该户居民4，5月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)60 (2)12.5 (3)该户居民4月份用水，5月份用水 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了列一元一次方程解决实际问题有理数四则运算的实际应用，注意分类讨论思想的运用． （1）根据总价单价数量，再由分段计费的方式求出即可； （2）先判断3月份用水在哪个阶段，再根据总价单价数量，列出方程求解即可； （3）设月份水量为，则月份为，根据题意列方程求解即可，注意考虑的取值范围． 【详解】（1）解：， 2月份应交水费为：（元）． （2）解：（元），（元），， 该户居民3月份用水， ，整理得：， 解得：， 答：的值为； （3）解：设月份水量为，则月份为， 由题意， 当时， 则， 解得：（舍去）， 当， ， 解得：， 则， 答：月份用水，月份用水． 4．（23-24七年级上·河北唐山·阶段练习）在一条不完整的数轴上从左到右有点，其中，，如图1所示，设点所对应的数的和是p． (1)若以B为原点，写出点所对应的数，并计算p的值； (2)若原点O在点之间，且，如图2所示． ①求p的值； ②若点C以每秒2个单位长度的速度沿数轴负方向运动，设t秒时，请直接写出t的值． 【答案】(1)点A所对应的数是，点C所对应的数是6， (2)①9；②或6． 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用)、用数轴上的点表示有理数、绝对值的意义 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先根据，，求出点所对应的数，然后相加即可求出p的值； （2）①首先根据和求出点A所对应的数是，点B所对应的数是2，任何求出点C所对应的数是，进而求出p的值即可； ②首先得到运动后点C表示的数为，然后根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点B为原点，，且点A在点B的左边 ∴点A所对应的数是 ∵，且点C在点B的右边 ∴点C所对应的数是6 ∴； （2）①∵，原点O在点之间，且， ∴， ∴点A所对应的数是，点B所对应的数是2， ∵ ∴点C所对应的数是 ∴； ②根据题意得，运动后点C表示的数为 ∵ ∴ 整理得， ∴或 ∴或6． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$