第五章 一元一次方程的应用压轴训练（单元复习 7类压轴）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（冀教版2024）

第五章 一元一次方程的应用压轴训练 01 压轴总结 目录 压轴题型一　一元一次方程解决配套问题 1 压轴题型二　一元一次方程解决工程问题 7 压轴题型三　一元一次方程解决销售问题 12 压轴题型四　一元一次方程解决积分问题 19 压轴题型五　一元一次方程解决方案问题 27 压轴题型六　一元一次方程解决电费和水费问题 35 压轴题型七　一元一次方程解决数轴上的动点问题 44 02 压轴题型 压轴题型一　一元一次方程解决配套问题 例题：（24-25七年级上·全国·单元测试）某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人． (1)求调入多少名工人； (2)在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 【答案】(1)调入6名工人 (2)10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读㯵题意，找到等量关系列方程． （1）设调入名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人”得：，可解得答案； （2）设名工人生产螺栓，由“1个螺栓需要2个螺母”，可列方程，即可解得答案． 【详解】（1）解：设调入名工人， 根据题意得：， 解得， ∴调入6名工人； （2）解：设名工人生产螺栓，则名工人生产螺母， ∵每天生产的螺栓和螺母刚好配套， ∴， 解得， ， 答：10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套． 巩固训练 1．（23-24七年级上·安徽·期末）某工厂一车间有名工人，其中男生人数比女生人数的倍少人，某月接到加工甲、乙两种零件的工作任务，每个工人每天能加工个甲种零件或个乙种零件.已知，个甲种零件和个乙种零件可以组装成一个丙种零件． (1)该车间男、女生各有多少人？ (2)该车间分别安排多少工人加工甲种零件和乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件？ 【答案】(1)男生有，女生有人 (2)安排名工人加工甲种零件，安排名工人加工乙种零件 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程； （1）根据题意设该车间有女生人，则男生有人，列方程求解即可； （2）设该车间安排名工人加工甲种零件，则安排名工人加工乙种零件，根据等量关系建立方程即可求解； 【详解】（1）解：设该车间有女生人，则男生有人， 根据题意得：， 解得：， 则人， 答：该车间男生有，女生有人； （2）设该车间安排名工人加工甲种零件，则安排名工人加工乙种零件， 根据题意得：， 解得：， 则， 答：该车间安排名工人加工甲种零件，安排名工人加工乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件； 2．（2024·重庆·二模）某汽车工厂现有一批汽车配件订单需交付，若全部由1个工人生产需要150天才能完成．为了快速完成生产任务，现计划由一部分工人先生产3天，然后增加6名工人与他们一起再生产5天就能完成这批订单的生产任务．假设每名工人的工作效率相同． (1)前3天应先安排多少多工人生产？ (2)增加6名工人一起工作后，若每人每天使用机器可以生产600个A型配件或650个B型配件，如果3个A型配件和2个B型配件配套组成一个零件系统，要使每天生产的A型和B型配件刚好配套，应安排生产A型配件和B型配件的工人各多少名？ 【答案】(1)前3天应先安排名工人生产 (2)应安排13名工人生产A型配件，则安排8名工人生产B型配件 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设前3天应先安排名工人生产，根据题意列一元一次方程求解即可； （2）设安排名工人生产A型配件，则安排名工人生产B型配件，根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设前3天应先安排名工人生产， 根据题意得， 解得， 答：前3天应先安排名工人生产； （2）解：由题意，总共有名工人生产， 设安排名工人生产A型配件，则安排名工人生产B型配件， 根据题意得， 解得， ， 答：应安排13名工人生产A型配件，则安排8名工人生产B型配件． 3．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）劳动课上杨老师带领七（1）班50名学生制作圆柱形小鼓，其中男生人数比女生人数少6人，并且每名学生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面． (1)男生有______人，女生有______人． (2)①老师组织全班学生制作小鼓，要求一个鼓身配两个鼓面，为了使每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应该分配多少名学生制作鼓身？多少名学生剪鼓面？ ②若想每小时制作90个小鼓，且制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应再加入多少名学生？请你思考此问题，并直接写出结果． 【答案】(1)22，28 (2)①应分配30名学生制作鼓身，20名学生剪鼓面．②应再加入名学生 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握配套问题的等量关系是解题的关键． （1）设男生有x人，则女生有人，根据男生人数比女生人数少6人列方程求解即可； （2）①设分配名学生制作鼓身，则名学生剪鼓面，根据每名学生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面，且每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套列方程求解即可； ②根据①可知50名学生1小时可制作小鼓个，则若要每小时制作90个小鼓，需增加一半的人数． 【详解】（1）解：设男生有x人，则女生有人， 由题意得：， 解得：， 所以， 即男生有22人，女生有28人， 故答案为：22，28； （2）①设分配名学生制作鼓身，则名学生剪鼓面， 由题意，得， 解得， 则， 答：应分配30名学生制作鼓身，20名学生剪鼓面； ②由①知分配30名学生制作鼓身，20名学生剪鼓面，则1小时可制作小鼓个，还需制作个小鼓， 所以应再加入人． 4．（23-24七年级上·山东聊城·期末）某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个架子和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板． (1)应如何分配工人才能使每天的生产的架子和脚踏板恰好配套？每天生产多少套太空漫步器？ (2)若每套太空慢步器进价为200元，售价为280元，后又打折销售，所得利润率为，则每套太空慢步器是按原售价的几折销售的？ 【答案】(1)20人生产支架，25人生产脚踏板，每天生产1200套太空漫步器 (2)八折 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用： （1）设分配x人生产架子，则分配人生产脚踏板，根据每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板且每套设备由一个架子和两套脚踏板组装而成列出方程求解即可； （2）设每套太空慢步器是按原售价的m折销售的，根据利润标价折扣进价列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设分配x人生产架子，则分配人生产脚踏板， 由题意得，， 解得， ∴，， 答：分配20人生产支架，25人生产脚踏板，每天生产1200套太空漫步器； （2）解：设每套太空慢步器是按原售价的m折销售的， 由题意得，， 解得， 答：每套太空慢步器是按原售价的八折销售的． 5．（23-24六年级上·山东泰安·期末）第19届亚洲夏季运动会于2023年9月23日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有800名工人． (1)若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少100人，请求出生产盲盒A的工人人数； (2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由4个盲盒A和9个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或15个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【答案】(1)生产盲盒A的工人人数为500人 (2)该工厂应该安排200名工人生产A，600名工人生产B才能使每天生产的盲盒正好配套 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设生产B的人数为x人，则生产A的人数为人，根据生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少100人，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设安排m人生产A，则安排人生产B，根据大礼包由4个盲盒A和9个盲盒B组成且每天生产的盲盒正好配套，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设生产B的人数为x人，则生产A的人数为人， 于是，解得：． （人）， 答：生产盲盒A的工人人数为500人． （2）解：设安排m人生产A，则安排人生产B， 于是， 解得：， （人）， 答：该工厂应该安排200名工人生产A，600名工人生产B才能使每天生产的盲盒正好配套． 压轴题型二　一元一次方程解决工程问题 例题：（2024·山西·模拟预测）年月日，“世界水日”、“中国水周”山西省宣传活动在太原启动，本次活动，旨在调动全社会各方力量团结治水兴水，吸引并推动社会公众关心支持水利事业为贯彻落实本次活动精神，太原市现计划修一条水渠便于引水用水．已知，甲工程队活单独修需天完成，乙工程队单独完成需要的天数比甲工程队单独完成天数的多少天． (1)乙工程队单独完成需要多少天？ (2)若甲先单独修天，之后甲乙合作修完这条水渠，求甲乙还需合作几天才能修完这条水渠？ 【答案】(1)天 (2)天 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（）根据题意列出算式计算即可求解； （）设甲乙还需合作天才能修完这条水渠，根据题意列出方程即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：， 答：乙工程队单独完成需要天； （2）解：设甲乙还需合作天才能修完这条水渠， 由题意得，， 解得， 答：甲乙还需合作天才能修完这条水渠． 巩固训练 1．（23-24七年级上·山东济宁·阶段练习）哈佳高铁建设工程中，有一路段由甲、乙两个工程队负责完成．甲工程队单独完成此项工程需天，比乙工程队单独完成此项工程多用天，若甲先施工天，再由甲、乙合作完成剩余工程． (1)甲、乙还需要合作多少天完成？ (2)如果甲工程队每天需工程费元，乙工程队每天需工程费元，若甲队先单独工作若干天再由乙工程队完成剩余的任务，支付工程队总费用元，求甲队工作的天数． 【答案】(1)甲、乙还需要合作30天完成 (2)甲队工作20天 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系，列出方程是解决问题的关键． （1）设甲、乙还需要合作天完成，根据“甲先施工天，再由甲、乙合作完成剩余工程”列出方程即可求解； （2）设甲队工作的天数为，则乙工作的天数为，根据“支付工程队总费用元”列出方程即可求解． 【详解】（1）解：设甲、乙还需要合作天完成， 由题意得，， 解得：， 答：甲、乙还需要合作18天完成； （2）设甲队工作的天数为，则乙工作的天数为， 由题意得，， 解得：， 答：甲队工作20天． 2．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）某学校准备请甲、乙两人搬运一批图书，已知甲单独运完需要10天，乙单独运完需要20天．甲先搬运了4天，然后甲、乙两人合作运完剩下的图书． (1)甲、乙两人合作还需要多少天运完图书？ (2)已知甲每天的薪酬比乙多50元，运完图书后学校共需支付薪酬2800元．则甲、乙两人每天的薪酬分别为多少元？ 【答案】(1)4天 (2)甲每天的薪酬为250元，乙每天的薪酬为200元 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设甲、乙两人合作还需要x天运完图书，根据甲单独运完需要10天，乙单独运完需要20天．甲先搬运了4天，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设乙每天的薪酬为y元，则甲每天的薪酬为元，，根据甲每天的薪酬比乙多50元，运完图书后学校共需支付薪酬2800元，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）设甲、乙两人合作还需要x天运完图书， 依题意，得：， 解得：. 答：甲、乙两人合作还需要4天运完图书. （2）设乙每天的薪酬为y元，则甲每天的薪酬为元， 依题意，得：， 解得：， ∴. 答：甲每天的薪酬为250元，乙每天的薪酬为200元. 3．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每天挖掘长度的1.5倍，若甲、乙两工程队一起挖掘200米长度的隧道时，共用时间4天． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米？ (2)已知该段隧道挖掘工程为600米，甲工程队每天的挖掘费用为6万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元．若安排甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好102万元，求甲工程队应先单独挖掘多少天？ 【答案】(1)甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米 (2)8天 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用．理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （1）设乙工程队每天可挖掘隧道x米，则甲工程队每天可挖掘隧道米，根据甲、乙两工程队一起挖掘200米长度的隧道，共用时间4天，列方程求解即可； （2）设甲工程队应先单独挖掘y天，则乙工程队单独挖掘天，根据总费用刚好102万元，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙工程队每天可挖掘隧道x米，则甲工程队每天可挖掘隧道米，根据题意，得 解得： ∴ 答：甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米． （2）解：设甲工程队应先单独挖掘y天，则乙工程队单独挖掘天，根据题意，得 解得： 答：甲工程队应先单独挖掘8天． 4．（23-24六年级上·山东烟台·期末）为打造安全环保的某河流公园，某市设立若干河流排污治理点（每个治理点需安装相同长度的排污治理管道）．一天，甲队3名工人去完成5个治理点的管道铺设，但还有60米管道没有完成；同一天，乙队4名工人完成5个治理点的管道铺设后，仍多铺设了40米管道．已知每名甲队工人比每名乙队工人每天多铺设20米管道． (1)求每个排污治理点需铺设的管道长度； (2)已知每名甲队工人每天需支付费用500元，每名乙队工人每天需支付400元，该市某处共设立27个排污治理点，现有甲队3名工人，乙队4名工人来安装管道，方案一：全部由甲队安装；方案二：全部由乙队安装；（不到一天需按一天费用算）．请通过计算说明选择哪种方案可使总费用最少？ 【答案】(1)每个排污治理点需铺设的管道长度为120米 (2)应选择方案一 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、解一元一次方程等知识点，明确题意、正确的列出一元一次方程是解答本题的关键． （1）设每个排污治理点需铺设的管道长度为x米，然后根据题意列方程解答即可； （2）先分别求出甲、乙队工人一天可铺设管道的长度，再分别按两种方案求得总费用，最后比较即可解答． 【详解】（1）解：设每个排污治理点需铺设的管道长度为米， 根据题意，得， 解这个方程，得． 所以，每个排污治理点需铺设的管道长度为120米． （2）解：每名甲队工人每天铺设管道米数：． 方案一需要天数：． 方案一需要费用：． 每名乙队工人每天铺设管道米数：． 方案二需要费用天数：． 方案二需要费用：． 因为， 所以，应选择方案一． 5．（23-24七年级上·四川成都·期末）学校计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服80件，且乙工厂每天加工这种校服的件数比甲工厂每天加工这种校服的件数多． (1)若甲单独加工这批校服比乙工厂单独加工这批校服多用20天，求这批校服共有多少件？ (2)在（1）的条件下，若先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，乙工厂提高加工速度后继续完成剩余部分，乙工厂的全部工作时间是甲工厂全部工作时间的3倍还少8天，若在加工过程中，甲工厂每天所需费用400元，乙工厂每天所需费用500元，学校共需支付甲乙两工厂18800元，求乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服多少件？ 【答案】(1)这批校服共有4800件 (2)乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服150件 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）首先求得乙工厂每天加工这种校服的件数，设这批校服共有件，根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案； （2）首先设甲工厂全部工作时间是天，则乙工厂的全部工作时间是天， 根据题意，列方程并求解，即可确定甲工厂全部工作时间；再设乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服件，列方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意得，乙工厂每天加工这种校服（件）， 设这批校服共有件， 根据题意，可得， 解得（件）． 答：这批校服共有4800件； （2）设甲工厂全部工作时间是天，则乙工厂的全部工作时间是天， 根据题意，可得， 解得（天）， ∴甲工厂全部工作时间是12天； 设乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服件， 根据题意，可得， 解得（件）． 答：乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服150件． 压轴题型三　一元一次方程解决销售问题 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）红光水果加工厂收购了29吨雪梨．经市场预测，若直接销售，每吨可获利0.05万元；若经过加工包装后销售，每吨可获利0.4万元；若制成雪梨罐头出售，每吨可获利0.6万元．该工厂的加工能力是：每天可包装5吨或制成罐头3吨，受人员限制，同一天内两种加工方式不能同时进行，受气温限制，这些雪梨必须在7天内全部销售或加工完毕，为此，工厂研制了二种方案： 方案一：尽可能多的做成罐头，余下的直接销售； 方案二：部分制成罐头，其余进行加工包装，并恰好7天完成． (1)请比较说明哪种方案可使工厂所获利润最多？ (2)水果加工厂欲将（1）问中获利最多方案制成的所有雪梨罐头由加工厂运到市场售卖，已知有甲、乙两家运输公司都可以承担此次运输，要收取的费用如下表： 运输公司 运输单价（元/吨・千米） 每吨装卸费（元） 甲 5 50 乙 6 30 经水果加工厂计算发现乙运输公司总费用比甲运输公司总费用多243元，求水果加工厂到市场的距离． 【答案】(1)方案二可使工厂所获利润最多； (2)加工厂到市场的距离为47千米． 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的运用，解题的关键在于根据题意得到等量关系． （1）分别算出方案一和方案二所获利润，再进行比较即可解题； （2）设加工厂到市场的距离为x千米，根据题意建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：方案一：（万元）， 方案二：设吨制成罐头，则吨进行加工包装， ， 解得， 获利：（万元）， ， 方案二可使工厂所获利润最多； （2）解：设加工厂到市场的距离为x千米， ， 解得， 答：加工厂到市场的距离为47千米． 巩固训练 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某商场准备订购一批衬衫，现有甲、乙两个供应商，均标价每件元．为了促销，甲说“凡来我处进货一律九折．”乙说：“如果订货超出件，则超出的部分打八折．” (1)设该商场准备订购件服衬衫，请用含x的整式表示在甲供应商所需支付的钱数为（_______）元，在乙供应商所需支付的钱数为（_______）元（结果化为最简形式）． (2)当的值为多少时，去两个供应商处的进货价钱一样多？ (3)已知该商场第一次从甲供应商处购进了件补衫，每件加价进行零售，迅速销售一空．于是，该商场第二次从乙供应商处购进衬衫，购进的数量是第一次从甲供应商购进数量的倍，并比第一次销售价格高元进行销售，但市场趋于饱和，所以在销售剩余五分之三时开始打折销售，且第二次全部售出后获得的总利润比第一次获得的总利润多元，求第二次销售剩余五分之三时需打几折销售． 【答案】(1)，； (2)； (3)折． 【知识点】用代数式表示式、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】（）根据题意列出算式即可求解； （）根据（）所得结果列出方程即可求解； （）由题意得，第一次购进的补衫的进价为元，销售价为元，第二次从乙供应商处购进衬衫件，销售价为元，设第二次销售剩余五分之三时打折销售，根据题意列出方程即可求解； 本题考查了一元一次方程，根据题意找到等量关系，正确列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，甲供应商所需支付的钱数为元，乙供应商所需支付的钱数为元， 故答案为，； （2）解：由题意得，， 解得， 答：当时，去两个供应商处的进货价钱一样多； （3）解：由题意得，第一次购进的补衫的进价为元，销售价为元，第二次从乙供应商处购进衬衫件，销售价为元， 设第二次销售剩余五分之三时打折销售， 由题意得，， 整理得，， 解得， 答：第二次销售剩余五分之三时需打折销售． 2．（23-24七年级下·山东临沂·开学考试）为迎接2024年新年的到来，甲、乙两校联合准备文艺汇演，甲、乙两校参加文艺汇演的人数共92人（其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够90人）准备统一购买服装（一人买一套）参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套及以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5000元， (1)求甲、乙两校名有多少名学生准备参加演出？ (2)如果甲校准备演出的人员中有9人被抽调去为市民义务书写对联不能参加演出，那么你有几种购买服装的方案？通过比较，你认为如何购买服装才能最省钱？ 【答案】(1)甲校有52名学生准备参加演出，乙校有40名学生准备参加演出． (2)两种购买方案，一种是购买83套，一种是购买套，买套最省钱． 【知识点】有理数乘法的实际应用、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，最优化选择问题，解题的关键是理解题意，确定题中的等量关系，列出方程． （1）设甲校有名，乙校有名学生，根据甲乙学校的人数确定购买服装的单价，根据题意列方程求解即可． （2）根据共83人参加演出，分购买83与91套服装讨论即可． 【详解】（1）解：设甲校有名学生准备参加演出，则乙校有名学生准备参加演出 依题意，得 解得 所以． 答：甲校有52名学生准备参加演出，乙校有40名学生准备参加演出． （2）解：①如果买套， 则花费为：（元）， ②如果买套，则花费：（元）， ∵， ∴买套． 答：两种购买方案，一种是购买83套，一种是购买套，买套最省钱． 3．（23-24七年级下·重庆·开学考试）列一元一次方程解实际问题：重庆某水果超市销售沃柑和纽荷尔两种柑橘类水果，该超市第一次用6300元购进沃柑和纽荷尔两种水果，其中纽荷尔的件数比沃柑件数的一半还多25件．沃柑和纽荷尔两种水果的进价和售价如下表： 类别 沃柑 纽荷尔 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 (1)该超市购进沃柑和纽荷尔两种水果各多少件？当这次购进的水果全部销售后，共获利多少元？ (2)该超市第二次购进沃柑和纽荷尔两种水果的进价与第一次相同，其中沃柑的件数不变，纽荷尔的件数是第一次的3倍，沃柑按原价销售，纽荷尔打折销售，第二次购进的两种水果都销售完所获得的总利润比第一次获得的总利润多800元，求第二次纽荷尔是按原价打几折销售． 【答案】(1)该超市购进沃柑150件，纽荷尔100件，全部销售后，共获利元 (2)第二次纽荷尔是按原价打折销售 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）设超市购进沃柑件，则购进纽荷尔件，根据超市用6300元购进沃柑和纽荷尔两种水果，列出方程进行求解即可； （2）设第二次纽荷尔是按原价打折销售，根据第二次购进的两种水果都销售完所获得的总利润比第一次获得的总利润多800元，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设超市购进沃柑件，则购进纽荷尔件，由题意，得： ， 解得：， ∴； ∴该超市购进沃柑150件，纽荷尔100件； 全部售出的利润为：（元）； 答：该超市购进沃柑150件，纽荷尔100件，全部销售后，共获利元． （2）设第二次纽荷尔是按原价打折销售，由题意，得：第二次购进沃柑150件，纽荷尔300件，由题意，得： ， 解得：； 答：第二次纽荷尔是按原价打折销售． 4．（23-24七年级上·河南郑州·期末）元旦期间，某运动品牌服装店推出两种优惠活动，并规定一次结账只能选择其中一种． 活动一：所购商品按原价打八折； 活动二：所购商品按原价每满200元减60元．（如：所购商品原价为200元，可减60元，需付款140元；所购商品原价为450元，可减120元，需付款330元） (1)购买一件原价为350元的服装时，选择哪种活动更合算？请说明理由； (2)购买一件原价在400元以下的服装时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求这件服装的原价； (3)小王准备买一件标价460元的上衣和标价320元的运动鞋，请你设计最优惠的付款方法，并求出最优惠的付款金额． 【答案】(1)选择活动一更合算，理由见解析 (2)300元 (3)最优惠的付款方法是上衣和运动鞋分两次付款，上衣选择活动二的付款方式，运动鞋选择活动一的付款方式，最优惠的付款金额为596元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是仔细审题，列出方程． （1）分别计算出两个活动需要付款价格，进行比较即可； （2）设一件这种服装的原价是元，根据“选择活动一和选择活动二的付款金额相等”列方程求解即可； （3）根据题意得出“最优惠的付款方法是：上衣和运动鞋分两次付款，上衣选择活动二的付款方式，运动鞋选择活动一的付款方式”，再进行计算即可； 【详解】（1）解：（元），（元）， ， ∴选择活动一更合算； （2）解：设这件服装的原价为x元， 若原价少于200元时，则活动一按原价打八折，活动二按原价，此时付款金额不可能相等； ∴这件服装价格在200元以上，400元以下． ， 解得， ∴这件服装的原价是300元； （3）解：，， 最优惠的付款方法是：上衣和运动鞋分两次付款，上衣选择活动二的付款方式，运动鞋选择活动一的付款方式， 需付款的金额为：（元）， 答：最优惠的付款金额为596元． 5．（23-24七年级下·重庆九龙坡·开学考试）某商场用元同时购进两种新型节能日光灯共盏，型日光灯每盏进价为元，型日光灯每盏进价为元． (1)求两种新型节能日光灯各购进多少盏？ (2)由于型日光灯的需求量增大，商场为了节省采购成本决定直接找厂家再购进一些型日光灯．已知型日光灯的出厂价为每盏元，厂家给出了如下优惠措施： 出厂总金额 返现金 不超过元 元 超过元，但不超过元 返现元 超过元 返现元 已知该商场第一次在厂家加购型日光灯支付元，第二次在厂家加购型日光灯支付元，若将两次购买改由一次性购买，则一次性购买时支付的总金额比两次分开购买时支付的总金额少多少元？ 【答案】(1)购进种新型节能日光灯盏，购进种新型节能日光灯盏； (2)少元． 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】（）设购进种新型节能日光灯盏，根据题意列出方程即可求解； （）由，可得第一次加购型日光灯出厂总金额低于元，第二次加购型日光灯出厂总金额高于元，即得第一次加购型日光灯出厂总金额为元，加购了盏节能日光灯，设第二次加购型日光灯盏，分出厂总金额不超过元和超过元两种情况解答即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设购进种新型节能日光灯盏， 由题意可得，， 解得， ∴， 答：购进种新型节能日光灯盏，购进种新型节能日光灯盏； （2）解：∵， ∴第一次加购型日光灯出厂总金额低于元，第二次加购型日光灯出厂总金额高于元， ∴第一次加购型日光灯出厂总金额为元，加购了盏节能日光灯， 设第二次加购型日光灯盏， 当出厂总金额不超过元时， 由题意得，， 解得， ∴两次购买了节能日光灯盏， ∴一次性购买出厂总金额为元， ∴元； 当出厂总金额超过元时， 由题意得，， 解得，不合题意； 综上，一次性购买时支付的总金额比两次分开购买时支付的总金额少元． 压轴题型四　一元一次方程解决积分问题 例题：（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校组织学生参加2022年冬奥知识问答，问答活动共设有20道选择题，每题必答，每答对一道题加分，答错一道题减分，下表中记录了三名学生的得分情况： 参赛学生 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 86 C 15 5 65 请结合表中所给数据，回答下列问题： (1)本次知识问答中，每答对一题加______分，每答错一题减______分； (2)若小明同学答对16题，请计算小明的得分； (3)若小刚同学参加了本次知识问答，下列四个选项中，哪一个可能是小刚的得分_____（填写选项）； A．75；B．63；C．56；D．44 并请你计算他答对了几道题，写出解答过程，（列一元一次方程解决问题） 【答案】(1)5，2 (2) (3)D，答对了12道题 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）根据A的得分可求出每答对一题的加分，根据B或C的得分可求出每打错一题的减分； （2）按照（1）中的答题得分计算即可； （3）设小刚答对x道题，则答错道题，列方程对每个选项分析即可； 【详解】（1）解：答对一题加：分， 答错一题减：分， 故答案为：5，2； （2）小明的得分：分， （3）D，答对了12道题． 设他答对道题，则答错道题． A．若，解得，故不符合题意； B．若，解得，故不符合题意； C．若，解得，故不符合题意； D．若，解得，符合题意； 答：小刚同学答对了12道题． 巩固训练 1．（23-24七年级下·河南·阶段练习）为响应河南省“2024全民阅读”系列活动，某校开展“书香校园”文学阅读与知识竞赛活动．知识竞赛为百分制，共设20道选择题，各题分值相同．下表记录了3名参赛学生的得分情况． 参赛学生 答对题数 答错或不答题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 86 C 44 (1)根据表格，比赛规则为：答对1道题得 分，答错或不答1题扣 分； (2)求出C同学答对的题数，并将表格补充完整． 【答案】(1)5，2； (2)答对12道题，表格见解析 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解表格得出答对1题及答错或不答1题的得分是解题的关键： （1）根据A学生答对20道题得100分求出答对1道题得分，再利用B学生 的得分求出答错或不答1道题得分； （2）设C同学答对x道题，列得方程，求出x即可． 【详解】（1）∵A学生答对20道题得100分， ∴答对1道题得分， ∴答错或不答1题扣分， 故答案为：5，2； （2）设C同学答对x道题， ， 解得， ∴答对12道题， 参赛学生 答对题数 答错或不答题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 86 C 12 8 44 2．（23-24九年级下·河北邯郸·阶段练习）某地举办了一次足球热身赛，其计分规则及奖励方案（每人）如下表： 胜一场 平一场 负一场 积分 3 1 0 奖金（元/人） 1500 700 0 当比赛进行到每队各比赛12场时，A队共积20分，并且没有负一场． (1)试判断A队胜、平各几场？ (2)若每比赛一场每名队员均得出场费500元，A队的某一名队员参加了全部比赛，那么他所得奖金与出场费的和是多少？ 【答案】(1)A队胜4场，平8场 (2)出场费加奖金一共17600元 【知识点】有理数加减混合运算的应用、比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，本题中根据总场数和总积分不变，设队胜利场，列出方程求解是解题的关键． （1）设队胜利场，则平了场，根据总积分为20分列出方程即可求解； （2）根据（1）中求得胜场数和平场数计算每名队员的奖金和出场费的总和即可解题． 【详解】（1）解：设队胜利场， 一共打了12场， 平了场， ， 解得：； ， 队胜4场，平8场； （2）解：每场比赛出场费500元，12场比赛出场费共6000元， 赢了4场，奖金为元， 平了8场，奖金为元， 奖金加出场费一共17600元； 答：一共赢了4场，出场费加奖金一共17600元． 3．（23-24七年级下·黑龙江绥化·开学考试）某学校围棋社团组织成员进行比赛，规则如下：每两位选手都要进行比赛，决出胜负（没有平局），胜者得1分，负者得0分．在所有选手中，男选手有12人，女选手有9人．比赛结束后，经统计，女选手的总得分比男选手的总得分多70分． (1)共进行了多少场比赛？ (2)男选手的总得分是多少分？ (3)男选手与女选手的所有比赛中，男选手共得了多少分？ (4)小明提出：在这个围棋比赛中，得分最高的选手一定是女选手，为什么？ 【答案】(1)共进行了210场比赛 (2)男选手共得了70分 (3)男选手共得了4分 (4)理由见解析 【知识点】有理数乘法的实际应用、比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用，正确理解题意，找出数量关系是解题关键． （1）由题意可知，共名选手，每两位选手都要进行比赛，据此即可得到答案； （2）由题意可知，所有选手共得210分，设男选手的总得分是分，列一元一次方程求解即可； （3）先求出在男选手之间的比赛中，男选手得分，再根据男选手总得分男选手之间的比赛得分男选手与女选手的比赛得分列式，即可得出答案； （4）结合（3）结果可知，男选手的最高得分不超过分，假设每名女选手的得分都为15分，根据可知，一定有女选手的得分超过15分，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可知，共名选手， ， 即共进行了210场比赛； （2）解：由（1）可知，共进行了210场比赛，即所有选手共得210分， 设男选手的总得分是分，则女选手的总得分是分， 由题意得：， 解得：， 答：男选手的总得分是70分； （3）解：男选手有12人， 男选手之间的比赛场数为， 即男选手之间的比赛中，男选手得分分， 由（2）可知，男选手的总得分是70分， （分）， 即男选手与女选手的所有比赛中，男选手共得了4分； （4）解：由（3）可知，男选手与女选手的所有比赛中，男选手共得了4分，即男选手共赢女选手4场， 男选手的最高得分不超过分， 所有选手共得210分，男选手的总得分是70分， 女选手的总得分是140分， 假设每名女选手的得分都为15分， ， 一定有女选手的得分超过15分， 故得分最高的选手一定是女选手． 4．（23-24七年级上·云南文山·期末）某班组织“未成年预防电信网络计骗、防溺水、防性侵、防校园欺凌”知识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了5位参赛者的得分情况，根据表中信息回答下列问题： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 20 0 100 19 1 94 18 2 88 14 6 64 10 10 40 (1)这次竞赛中答对一题得______分，答错一题扣______分； (2)参赛者得分为70分，求他答错了几道题？ (3)参赛者说他的得分为85分，你认为可能吗？请说明理由． 【答案】(1)5，1； (2)3道题； (3)不可能．理由见解析． 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据表格列出等式是解题关键． （1）由A参赛者知（分），得这次竞赛中答对一题得5分，由B参赛者知（分），得答错一题扣1分，据此求解即可； （2）设参赛者答对了x道题，则答错了道题．由题意得：，再计算即可； （3）不可能．理由如下：设答对了y道题，答错了道题，由题意得，解得：，因为y为正整数，故是不可能的． 【详解】（1）由A参赛者知（分）， ∴这次竞赛中答对一题得5分， 由B参赛者知（分） ∴答错一题扣1分； 故答案为：5，1． （2）设参赛者答对了道题，则答错了道题． 由题意得：， 解得：， ， 答：参赛者得70分，他答错了3道题； （3）不可能．理由如下： 设答对了道题，答错了道题， 由题意得解得：， 为正整数， 参赛者说他得85分，是不可能的． 5．（24-25八年级上·全国·假期作业）某次篮球联赛部分球队积分表 队名 比赛场次 胜场 平场 负场 积分 (1)由表中数据可知，胜一场积______分，平一场积______分，负一场积______分； (2)直接写出______，______，______； (3)设一个队胜场，负场是平场的倍，则平______场（用含的式子表示）； (4)队平了场，该队队长声称他们队的积分是分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)，，； (2)，，； (3)； (4)不可能，理由见解析． 【知识点】用代数式表示式、比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，根据题意找到等量关系，列出方程是解题的关键． （）根据表格即可求解； （）根据表格即可求解； （）由胜场，可得平场和负场共场，再根据负场是平场的倍，即可求解； （）不可能．设胜了场，则负了场，由故意可得，解方程得到，不合题意，即可说明； 【详解】（1）解：由队得到，平一场积分， 由队可得，胜了场，即， ∴负一场积分， ∴由队可得，胜一场积分， 故答案为：，，； （2）解：由（）可知，， 由队可得，， ∴， 故答案为：，，； （3）解：∵胜场， ∴平场和负场共场， ∵负场是平场的倍， ∴平了场， 故答案为：； （4）解：不可能，理由如下： 若平了场，积分是分，则胜场和负场积分为分， 设胜了场，则负了场， 由题意可得，， 解得，不合题意， ∴队平了场，积分是分是不可能的． 压轴题型五　一元一次方程解决方案问题 例题：（23-24七年级上·贵州遵义·期末）2023年11月12日，新蒲新区举办了以“魅力新蒲，无限可能”为主题的半程马拉松比赛．A，B两个团队共92人（其中A队人数多于B队人数且A队人数不够90人）准备统一服装参加比赛，某服装厂给出了以下三种购买方式： 方式一：购买服装不超过45套时，每套60元； 方式二：购买服装超过45套且不超过90套时，每套50元； 方式三：购买服装超过90套时，每套40元． 若A，B两个团队分别单独购买服装，一共付了5000元． (1)A，B两团队各有多少人准备参加比赛？ (2)若A团队有10人由于身体原因，不能参加比赛，请为A，B两个团队设计一种较省钱的购买服装方案． 【答案】(1)A团队由52人参加比赛，则B团队由40人参加比赛， (2)两个团队一起买91套时最省钱． 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用： （1）设A团队由x人参加比赛，则B团队由人参加比赛，先计算出，，据此可得方程，解方程即可得到答案； （2）分别计算：①两个团队单独买、②两个团队一起买82套、③两个团体一起买91套的总花费，即可得到答案． 【详解】（1）解：设A团队由x人参加比赛，则B团队由人参加比赛， ∵A队人数多于B队人数且A队人数不够90人， ∴， 解得，，即甲队的人数范围是， ∴乙队人数范围是：， 由题意得，， 解得， ∴， 答：A团队由52人参加比赛，则B团队由40人参加比赛； （2）解：由题意得，A团队参加比赛的人数为人， 当两个团队单独买时的费用为元， 当两个团队一起买82套时的费用为元， 当两个团队一起买91套时的费用为元， ∵， ∴两个团队一起买91套时最省钱． 巩固训练 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有63人，大人比小孩多21人． (1)求该房客大人，小孩各有多少人？ (2)假设店主李三公推出两种订房方案： 方案一：房客超过40人，超过的按原价八折优惠， 方案二：大人原价，小孩半价． 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？ 【答案】(1)房客中大人有人，小孩有人 (2)方案二 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程解实际应用题，最优方案选择等知识，读懂题意，列出方程求解，进而由方案计算费用比较大小是解决问题的关键． （1）设房客中小孩有人，则大人有人，由总人数为人列一元一次方程求解即可得到答案； （2）设每人收费相同，为元，根据两种方案，求出费用比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解：设房客中小孩有人，则大人有人， ，解得， 则， 答：房客中大人有人，小孩有人； （2）解：设每人收费相同，为元， 方案一费用：元； 方案二费用：元； ， 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择方案二订房更合算． 2．（22-23七年级上·山东济宁·期末）小红家去电器商场购买冰箱，商场出售两种容量相同冰箱：型常规冰箱每台售价元，日耗电量为千瓦时；型节能冰箱每台售价比型冰箱高出，但日耗电量仅为千瓦时，现在型冰箱可打折出售．每年按天计算，电价为每千瓦时元． (1)请分别计算出两种冰箱一年的用电费用； (2)冰箱使用多少年时，两种冰箱用去的总费用相同总费用买冰箱的费用总用电费用？ (3)若两种冰箱的使用期都为年，那么型冰箱需要打几折才能使购买两种冰箱的总费用一样． 【答案】(1)元，元 (2)年 (3)折 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、有理数乘法的实际应用 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用： （1）根据题意计算出两种冰箱一年的用电费用即可； （2）设使用x年时，两种冰箱用去的总费用相同，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果； （3）设需要打y折才能使购买两种冰箱的总费用一样，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】（1）解：根据题意得：型冰箱：元， 型冰箱：元； （2）解：设使用年时，两种冰箱用去的总费用相同， 根据题意得：， 解得：， 答：使用年时，两种冰箱用去的总费用相同； （3）解：设需要打折才能使购买两种冰箱的总费用一样． 根据题意得：， 解得：， 答：需要打折． 3．（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）学校打算购买一些乒乓球拍和乒乓球作为校运会的奖品．现有甲、乙两家网店出售同样品牌的乒乓球拍和乒乓球，他们的定价都相同；一副球拍定价为50元，一盒乒乓球定价为20元．但两家网店优惠方案不同：甲店每买一副球拍赠一盒球，乙店全部按定价的8折优惠．已知学校需球拍40副，乒乓球x盒（不少于40盒）． (1)在甲店购买全部球拍和球需付款______元，在乙店购买全部球拍和球需付款_______元（用含x的最简式子表示）； (2)购买乒乓球多少盒时，两家付款一样多； (3)当时，如果全部球拍和球只能在其中一家网店购买，请你通过计算说明在哪家网店购买更划算？如果可同时在两家店选购，你还有更省钱的方案吗？请写出方案，并计算此时所需付的费用． 【答案】(1)， (2)买乒乓球100盒时，两家付款一样多 (3)在甲店购买40副球拍和40盒球，在乙店购买60盒球最省钱，所需付款是2980元． 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、已知字母的值 ，求代数式的值、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查一次方程的应用，有理数乘法的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据两家付款一样多列方程即可得到结论； （3）在甲店购买40副球拍和40盒球，在乙店购买60盒球最省钱，列式计算即可． 【详解】（1）甲店每买一副球拍赠一盒球， 在甲店购买需付款（元）， 乙店全部按定价的8折优惠， （元） 故答案为：，； （2）根据题意得：， 解得， 答：买乒乓球100盒时，两家付款一样多； （3）购买方案是：在甲店购买40副球拍和40盒球，在乙店购买60盒球，此时所需付款为： 甲店付款（元）， 乙店付款（元）， 一共需付款（元）， 答：在甲店购买40副球拍和40盒球，在乙店购买60盒球最省钱，所需付款是2980元． 4．（23-24七年级上·浙江金华·期末）中国移动全球通有两种通话计费方法（接听全免，接听时间不计入通话时间）： 计费方法A是每月收月租费48元，通话时间不超过50分钟的部分免费，超过50分钟的按每分钟0.25元加收通话费；计费方法B是每月收取月租费88元，通话时间不超过200分钟的部分免费，超过200分钟的按每分钟0.19元加收通话费． (1)某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用多少元？ (2)用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是多少分钟？ (3)用计费方法B的用户某个月累计费用126元，若改用计费方法A的方式，费用是增加还是减少？相差多少？ 【答案】(1)某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用60.5元 (2)用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是300分钟 (3)若改用计费方法A的方式，费用增加了，相差9.5元 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查有理数的混合运算、一元一次方程的应用，理解两种“计费方法”的意义是正确解答的关键． （1）根据计费方法A的计费标准进行计算即可； （2）先估算通话时间，再利用计费方法B的解法标准进行计算即可； （3）求出用计费方法B的用户某个月累计费用126元的通话时间，再根据通话时间与计费方法A计算费用，比较得出答案． 【详解】（1）解：当通话时间为100分钟时，应付费（元）， 答：某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用60.5元； （2）解：由于用计费方法B的用户某个月累计费用107元大于88元，因此通话时间大于200分钟，设通话时间是分钟， 则， 解得， 答：用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是300分钟； （3）解：设通话时间是分钟，由题意可得 ， 解得， 当通话时间为400分钟时，（元）， （元）， 答：若改用计费方法A的方式，费用增加了，相差9.5元． 5．（23-24七年级下·福建泉州·期末）为庆祝“六一”儿前节，某片区甲、乙两所中学组织文艺汇演，甲、乙两所学校共102人参加演出（其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够100人）准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至50套 51套至100套 100套以上 每套服装的价格 80元 70元 60元 如果两校分别单独购买服装，一共应付元． (1)如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？ (2)甲、乙两校各有多少学生准备参加演出？ (3)如果甲校有12名同学因参加数学竞赛不能参加演出，请为两校设计一种省钱且合理的购买服装方案． 【答案】(1)甲、乙两校联合起来购买服装，比各自购买服装共可以节省元． (2)甲、乙两校分别有60人、42人准备参加演出． (3)最省钱的购买服装方案是两校联合购买101套服装（即比实际人数多购买11套）． 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程解决销售方案问题： （1）计算出联合起来购买需付的钱数，然后即可得出节省的钱数． （2）根据题意判断出甲校的学生大于51，乙校的学生小于51，从而根据两所学校分别单独购买服装，一共应付元，可得出方程，解出即可； （3）根据实际人数乘以单价得购买费用，再计算两校联合购买101套服装的费用，两者比较可得省钱的购买方案． 【详解】（1）解：由题意得：（元）． 答：甲、乙两校联合起来购买服装，比各自购买服装共可以节省元． （2）解：因为甲校人数多于乙校人数， ∴甲校的学生大于51，乙校的学生小于51， 设甲校有x人准备参加演出，则乙校有人准备参加演出． 由题意，得． 解得， 则． 答：甲、乙两校分别有60人、42人准备参加演出． （3）解：因为甲校有12名同学因参加数学竞赛不能参加演出， 所以甲校有（人）参加演出， 所以两校参加演出的人数为．（人）． 若两校联合购买90套服装，则需要（元）． 但如果两校联合购买101套服装，只需（元）． ． 因此，最省钱的购买服装方案是两校联合购买101套服装（即比实际人数多购买11套）． 6．（2024·河南周口·模拟预测）春节假期期间，为让返乡游子感受到“老家河南，味道中原”的魅力，某河南特色美食店优惠大酬宾，推出以下两种优惠方案： 方案一 可购买100元代金券，每张79元，每次消费时最多可使用3张，能使用尽量使用，未满100元的部分不得使用代金券 方案二 消费满300元按总价的九折优惠，不得同时使用代金券 例：某次消费120元，按照方案一使用代金券后，实际花费元． (1)若某次消费240元，按照方案一使用代金券后，实际花费________元． (2)若某次实际花费360元，则在使用优惠方案前可能消费多少元？ (3)小明一家春节假期期间去该美食店消费了元． ①若按照方案一使用代金券进行优惠，实际花费________元；若按照方案二进行优惠，实际花费________元；（用含x的代数式表示） ②选择哪种方案更省钱？ 【答案】(1)198 (2)400或423 (3)①；；②当时，按方案一更省钱；当时，一样省钱，当时，按方案二更省钱 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、用代数式表示式、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查列代数式，有理混合运算的应用，一元一次方程的应用．解题关键是理解方案一中的计算方法． （1）消费超过200元，可以用两张优惠券，剩余10元原价支付即可． （2）分两种情况讨论：用方案一或方案二，分类得出每一种情况即可，因为最多可以用三张优惠券，所以减去三个优惠券的价格，就是多出300元的部分，从而得出利用方案一计算的消费额，方案二直接打九折，那就直接除以0.9即可． （3）①按照方案一、方案二列出代数式，化简得出即可．②首先求出两种方案相等的数值，在分类讨论即可． 【详解】（1）解：某次消费240元，使用代金券后，实际花费（元； 故答案为：198； （2）解：某次实际花费360元， 如果用方案一：（元，（元， 如果用方案二：（元 故答案为：400或423； （3）解：①某次消费元，按照方案一使用代金券后，实际花费为：元， 按照方案二进行优惠，实际花费为：元， 故答案为：，； ②令， 解得， 当时，按方案一更省钱， 当时，一样省钱， 当时，按方案二更省钱． 压轴题型六　一元一次方程解决电费和水费问题 例题：（23-24七年级上·山东滨州·阶段练习）为了加强公民的节约意识，我市出台阶梯电价计算方案如下表： 价目表 不超过200度的部分 元/度 超过200度不超过400度的部分 元/度 超过400度的部分 元/度 注：电费按月结算 (1)某户居民2月份应缴电费78元，该户居民2月份用电多少度？ (2)某户居民10月份用电220度，应缴电费111元，求的值； (3)用（度）表示月用电量，当用电量不超过200度时，应缴电费______元，当用电量超过200度不超过400度时，应缴电费______元，当用电量超过400度时，应缴电费______元（用含的式子表示）． 【答案】(1)156度 (2) (3)；； 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用)、用代数式表示式、有理数除法的应用 【分析】本题主要考查了有理数除法的实际应用，一元一次方程的实际应用，列代数式： （1）先证明用电量小于200度，再用电费除以电的单价即可得到答案； （2）根据所给收费标准列出方程求解即可； （3）根据所给收费标准列出对应的代数式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴该户居民2月份用电量低于200度， ∵度， ∴该户居民2月份用电156度； （2）解：由题意得，， 解得； （3）解：由题意得，当用电量不超过200度时，应缴电费元； 当用电量超过200度不超过400度时，应缴电费元； 当用电量超过400度时，应缴电费元． 巩固训练 1．（22-23七年级上·辽宁鞍山·期末）某市积极推行农村医疗保险制度，制定了参加医疗保险的农民医疗费用报销规定，享受医保的农民可在定点医院就医，在规定的药品品种范围内用药，由患者先垫付医疗费用，年终到医保中心报销．医疗费的报销比例标准如下表所示： 费用范围 500元以下（含500元） 超过500元且不超过10000元的部分 超过10000元的部分 报销比例标准 不予报销 (1)甲农民一年的实际医疗费为4000元，则按标准报销的金额为　　元，乙农民一年的实际医疗费为13000元，则按标准报销的金额为　　元． (2)设某农民一年的实际医疗费为x元（），按照标准报销的金额为多少元？ (3)若某农民一年内自付医疗费为3200元（自付医疗费实际医疗费按标准报销的金额），则该农民当年实际医疗费为多少元？ 【答案】(1)2450；9050； (2) (3)元 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用)、用代数式表示式、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，列代数式，有理数四则混合计算的实际应用： （1）根据所给报销标准列式计算即可； （2）根据所给报销标准列式计算即可； （3）设该农民当年实际医疗费为y元，先证明，再根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：元，元， 故答案为：2450；9050； （2）解：元， ∴按照标准报销的金额为元； （3）解：设该农民当年实际医疗费为y元， ∵， ∴， ∴， 解得， 答：该农民当年实际医疗费为元． 2．（24-25七年级上·江苏淮安·开学考试）我市电费实行阶梯式收费，标准如下： 用电量/(千瓦时/户) 价格/(元/千瓦时) 200千瓦时以内 0.55 千瓦时 0.6 400千瓦时以上 0.8 (1)小虎家三月份用电140千瓦时，应交电费多少元？丽丽家三月份用电260千瓦时，应交电费多少元？ (2)聪聪家五月份用电量为千瓦时，若在200-400之间时，应交电费______元(用含有的式子表示)；若时，则聪聪家应交电费______元(用含有的式子表示) (3)某超市三月份交电费390元，该超市三月份用电多少千瓦时？ 【答案】(1)小虎家三月份用电千瓦时，应交电费元，丽丽家三月份用电千瓦时，应交元电费； (2)，； (3)千瓦时 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是列代数式、一元一次方程的应用、有理数的混合运算，解题的关键是明确用电量是属于哪一个范围的．（1）小虎家三月份用电千瓦时，在千瓦时以内，用元乘以用电的千瓦时即可得应交电费；丽丽家三月份用电千瓦时，在0千瓦时之间，200千瓦时的用电量乘元，超出千瓦时的用电量乘以元，两者相加即可得应交电费； （2）聪聪家五月份用电量为千瓦时，若x在之间时，千瓦时的用电量乘元，超出千瓦时的用电量乘以元，两者相加即可得应交电费；若时，千瓦时的用电量乘元，超出千瓦时不超过千瓦时的用电量乘以元，超过千瓦时的用电量乘元，三者相加即可得应交电费； （3）通过计算先判断出该超市的用电量超过了千瓦时，再代入（2）中相应的代数式计算即可． 【详解】（1）解：小虎家三月份应交电费 元)， 丽丽家三月份，应电费；元)， 答：小虎家三月份用电千瓦时，应交电费元，丽丽家三月份用电千瓦时，应交元电费； （2）解：聪聪家五月份用电量为x千瓦时， 若在之间时，应交电费元， 若时，应交电费元， 故答案为：，； （3）当用电量为200千瓦时，应交电费元)， 当用电量为千瓦时，应交电费元)， ， 所以该超市的用电量超过千瓦时， 令，解得：， 答：该超市三月份用电千瓦时． 3．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的．该市自来水收费标准见价目表： 价目表 每月用水量 单 价 不超过6立方米 每立方米2元 超过6立方米不超过10立方米的部分 每立方米4元 超过10立方米的部分 每立方米8元 注：水费按月结算 (1)若某户居民1月份用水立方米，则应收水费多少元？ (2)若该户居民2月份缴水费40元，则2月份用水多少立方米？ (3)若该户居民3，4月份共用水15立方米（4月份用水量超过3月份），共缴水费44元，则该户居民3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)1月份用水12.5立方米，则应向其收水费48元 (2)2月份用水立方米 (3)该用户3，4月份各用水4立方米，11立方米 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的四则运算，找清楚题目数量间的关系，运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据价目表进行计算即可； （2）先根据2月份缴水费40元判断出2月份用水量再那个阶段，再根据价目表进行计算即可； （3）设三月份的用水量为立方米，则4月份用水量为立方米，然后分类讨论，列出方程计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：（元）， 答：1月份用水12.5立方米，则应向其收水费48元． （2）解：， ， 2月份用水量超过了10立方米， （元）， （立方米） （立方米） 答：2月份用水立方米； （3）解：设3月份的用水量为立方米，则4月份用水量为立方米， 当时，， 由题意得， 解得，符合题意； 当时，， 由题意得， 解得，不符合题意，舍去； 答：该用户3，4月份各用水4立方米，11立方米． 4．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）为鼓励家庭厉行节约，某城市居民生活用天然气实行阶梯价格制度，家庭生活用气收费标准如下表中所列．例如，某家全年共使用天然气，其中前按元收费，另外按元收费，剩下的按元收费．童童也想通过计算，了解自己家里使用天然气的情况． 家庭用气量 单价（元） 一档 （含） 二档 （含） 三档 600以上 (1)若他家去年共使用520立方米天然气，需要交费多少元？ (2)若有一年他家交了1556元天然气费，这一年他家共用了多少立方米天然气？ 【答案】(1)1296元 (2) 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数运算以及一元一次方程的应用，正确理解天然气收费标准是解题关键． （1）根据天然气收费标准，计算天然气费即可； （2）首先确定童童家一年的用气量大于，再设童童家一年的用气量为，列一元一次方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解： （元）． 答：需要交费1296元； （2）解：当用气量为时，天然气费为（元）， 当用气量为时，天然气费为（元）， 因为， 所以童童家一年的用气量大于， 设童童家一年的用气量为， 根据题意，可得， 解得， 答：童童家一年的用气量为． 5．（23-24七年级下·江苏南京·期末）某地天然气收费方案如下： 阶梯 年用气量 价格 补充说明 第一阶梯 （含400）的部分 3元/ 当家庭人口超过3人时，每增加1人，第一、二阶梯年用气量上限将分别增加，同时，第二、三阶梯年用气量下限随之调整，每一阶梯的价格保持不变． 第二阶梯 （含800）的部分 4元/ 第三阶梯 以上的部分 5元/ (1)某家庭当年用气量为．若该家庭人口为3人，则需缴纳燃气费用______元；若该家庭人口为4人，则需缴纳燃气费用______元． (2)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为4人．某年甲、乙两户年用气量之和为，甲户年用气量大于乙户年用气量．已知甲、乙两户一共缴纳燃气费用3200元，求甲、乙两户年用气量分别是多少？ (3)某公司共有22名员工，员工宿舍有3人间和4人间两种类型的房间可供选择，且员工所选择的房间必须住满．结算天然气费用时，将每间宿舍视作一户家庭，收费标准按上表进行收费．假定每位员工的年用气量为，要使该公司员工宿舍当年总天然气费最低，则3人间的房间数为______间． 【答案】(1)1600，1500 (2)甲、乙两户分别用天然气 (3)6 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用．理解阶梯收费的计算方法是解决本题的关键． （1）若该家庭人口为3人，需要缴纳费用为：超过400立方米的立方数；若该家庭人口为4人，需要缴纳费用为：； （2）设甲户年用气量为，则乙户年用气量为(，根据甲户年用气量大于乙户年用气量可得甲户年用气量超过，那么乙户年用气量不足，进而根据甲、乙两户一共缴纳燃气费用3200元，列出方程求解即可； （3）设3人间有间，则4人间有间．根据为正整数，可得可能的整数值，那么可得3人间房间数和4人间房间数，根据用气标准得到3人间的年用气量和4人间的年用气量，进而判断出不同情况下的付费情况，比较后可得费用最低的宿舍分配方案． 【详解】（1）解：∵某家庭当年用气量为．该家庭人口为3人， ∴需缴纳燃气费用：(元)． ∵某家庭当年用气量为．该家庭人口为4人， ∴需缴纳燃气费用：(元)． 故答案为：1600，1500； （2）设甲用户的用气量为，则乙用户的用气量为． ∵甲户年用气量大于乙户年用气量， ， 解得：． ， ， 解得：． ， 答：甲、乙两户年用气量分别是； （3）设3人间有间，则4人间有间． ∵为正整数， ∴或． ∴人间有4间或1间． 3人间煤气用量为：， 4人间煤气用量为：． 3人间2间，4人间4间． 需缴纳燃气费用：(元)． 3人间6间，4人间1间． 需缴纳燃气费用：(元)． ， ∴要使该公司员工宿舍当年总天然气费最低，则3人间的房间数为6间． 故答案为：6． 压轴题型七　一元一次方程解决数轴上的动点问题 例题：（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】 表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看做，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 （1）数轴上表示4和的两点之间的距离是______________． （2）①若，则___________； ②若使所表示的点到表示3和的点的距离之和为5，所有符合条件的整数的和为_________． （3）若，则____________； 【拓展延伸】 （4）当____________时，有最小值，最小值是_____________． 【答案】（1）；（2）①或；②；（3）或；（4），． 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了数轴上表示数，两点间的距离，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意求解即可； （2）①根据题意求解即可； ②根据题意求出的值，即可求解； （3）分，，三种情况讨论即可求解； （4）根据题意，表示数轴上表示的点到表示、2和3所对应的点的距离和，则当时，有最小值，最小值为． 【详解】解：（1）表示4和的两点之间的距离是： ， 故答案为：； （2）①∵， ∴，或， 解得：或， 故答案为：或； ②∵使所表示的点到表示3和的点的距离之和为5， ∴， ∵3和的距离是5， ∴， ∵是整数， ∴的值为：，，，，，， ∴所有符合条件的整数的和为： ， 故答案为：； （3），即，则数轴上表示的点到表示的点的距离与到表示的点的距离和等于， 当时，， ∴， 当时，， ∴此情况不存在， 当时，， ∴， 故答案为：或； （4）∵表示数轴上表示的点到表示、2和3所对应的点的距离和， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：，． 巩固训练 1．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，已知点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且，满足 (1)求点与点在数轴上对应的数和； (2)现动点从点出发，沿数轴向右以每秒个单位长度的速度运动；同时，动点从点出发，沿数轴向左以每秒个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒． ①若点和点相遇于点，求点在数轴上表示的数； ②当点和点相距个单位长度时，直接写出的值． 【答案】(1)为，为 (2)①；②秒或秒 【知识点】数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用)、用数轴上的点表示有理数、绝对值非负性 【分析】本题考查一元一次方程的应用、数轴、绝对值的非负性， （1）利用绝对值的非负性，即可求出，的值； （2）当运动时间为秒时，点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为．①由点，相遇，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再将其代入中即可得出点在数轴上表示的数； ②由，即可得出关于的一元一次方程，解之可得结论； 解题的关键是：（1）利用绝对值的非负性，求出，的值；（2）①找准等量关系，正确列出一元一次方程；②找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴点与点在数轴上对应的数为，为； （2）当运动时间为秒时，点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为， ①依题意得：， 解得：， ∴， ∴点在数轴上表示的数为； ②∵， ∴-或， 解得：或， ∴当点和点相距个单位长度时，的值为秒或秒． 2．（23-24七年级上·广东韶关·期中）如图，点A，B，C是数轴上三点，点C表示的数为6，，． (1)写出数轴上点A表示的数：________； (2)动点P，Q同时从A，C出发，点P以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（）秒． ①当时，求出此时P，Q在数轴上表示的数； ②t为何值时，点P，Q相距2个单位长度，并写出此时点P，Q在数轴上表示的数． 【答案】(1) (2)①点P表示的数是，点Q表示的数是2；②时，，表示的数分别为和，时，，表示的数分别为和 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题 【分析】本题考查数轴上两点之间距离，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． （1）根据题意，点表示的数是，点A表示的数是，即可求解； （2）①求出，，根据A、表示的数求出、表示的数，将代入计算即可； ②利用“点，相距个单位长度”列出关于的方程，并解答即可． 【详解】（1）解：点对应的数为，， 点表示的数是， ∵， ∴点A表示的数是． 故答案是：； （2）解：①由题意得：，，如图所示： 在数轴上点表示的数是， 在数轴上点表示的数是； 当时，，， 故，在数轴上表示的数分别是和， ②当点，相距个单位长度时：， 解得或， 当时，点表示的数是， 点表示的数是； 当时，点表示的数是， 点表示的数是． 3．（24-25七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）背景知识 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离． 问题情境 如图，数轴上有三点A，B，C所对应的数分别是a，b，c，且满足是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，点C在点A的左侧，到点A的距离是2个单位长度．若M，N为数轴上的两个动点，点M从点A出发以每秒2个单位长度的速度向左移动，同时，点N从点B出发以每秒3个单位长度的速度向右移动，设运动时间为t秒．    综合运用 (1)________，________，________； (2)当t为何值时，点M与点N之间的距离是4个单位长度？ (3)在点M，N运动的过程中，且点N在线段上，当t为何值时，使得点N到点A，点B，点C的距离之和为18？并求出此时点M在数轴上所表示的数． 【答案】(1) (2)当t为秒或秒时，点M与点N之间的距离是4个单位长度 (3)；点M在数轴上表示的数为 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上的点表示数，解一元一次方程． （1）根据题意即可求解； （2）由点M、N运动速度可得到两点t秒后表示的数，根据两点为距离为4即可求解； （3）点N在线段上时，则；而，则点N在点C的左侧，且，，由此可求得点N表示的数，从而求得时间t，最后求得点M表示的数． 【详解】（1）解：因为是最大的负整数，是绝对值最小的有理数， 所以，， 故； 因为点C在点A的左侧，到点A的距离是2个单位长度， 所以； 故答案为：； （2）解：点M运动t秒后的数为、点N运动t秒后的数为， 由题意得：， 解得：或； 故当t为秒或秒时，点M与点N之间的距离是4个单位长度； （3）解：因为点N在线段上， 则； 因为，， 所以点N在点C的左侧，且，， 所以点N运动时间为，即， 所以M点运动距离为， 故点M表示的数为． 所以当时，得点N到点A，点B，点C的距离之和为18；此时点M在数轴上所表示的数为． 4．（23-24七年级上·全国·单元测试）阅读下列材料： 根据绝对值的定义，表示数轴上表示数x的点与原点的距离，那么，如果数轴上两点P、Q表示的数为，时，点P与点Q之间的距离为． 根据上述材料，解决下列问题： 如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是，4（A、B两点的距离用表示），点M是数轴上的动点，表示数m． (1)_______个单位长度；若点M在A、B之间，则_______； (2)若，则 m的值为_______． (3)若点M从点O出发在数轴上以每秒3个单位的速度向右运动，运动时间记为t秒． 请问几秒钟之后的值等于1？ (4)在（3）的条件下，若在点M运动的同时点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒7个单位的速度向右运动．请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)6，6 (2)或6 (3)或 (4)的值不会随着t的变化而变化，其值为定值2 【知识点】整式加减的应用、几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离可得答案； （2）分三种情况讨论：当时， 当时，当时， 再进一步建立方程求解即可； （3）由对应的数为，结合，可得，再解方程即可； （4）由对应的数为，对应的数为，结合对应的数为，再列式计算即可． 【详解】（1）解：∵点A、B表示的数分别是，4， ∴， ∵点M在A、B之间， 即， ∴； （2）解：当时，而， ∴， 解得：， 当时， ∴，不符合题意，舍去， 当时，而， ∴， 解得：， 综上：当时，或； （3）解：∵点M从点O出发在数轴上以每秒3个单位的速度向右运动， ∴对应的数为， ∵， ∴， ∴或， 解得：或； （4）解：∵点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒7个单位的速度向右运动， ∴对应的数为，对应的数为， ∵对应的数为， ∴ ； ∴不会变化，为定值2． 【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，绝对值的含义，一元一次方程的应用，整式的加减运算的应用，理解题意熟练的列式或方程是解本题的关键． 5．（22-23七年级上·辽宁丹东·期中）（1）现象感知：如图1，在数轴上，线段的中点为E，点E表示的数可以用点A、点B表示的数来表示，即：；线段的中点为F，点F表示的数可以用点C、点D表示的数来表示，即：． （2）归纳性质：如图2，在数轴上，若线段的中点为P．点G、H、P表示的数分别为a，b，c，请直接写出a，b，c之间的等量关系 ． 小宇同学为了验证a，b，c之间的等量关系是正确的，采用了用字母表示数的方法，设，从而用代数式表示出G、H两点的数（含子母c和m）．请帮助小宇同学完成他的验证过程． （3）拓展应用：如图3，点A，B，C在数轴上对应的数分别为，1，9，它们分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左做匀速运动，设同时运动的时间为t秒．若A，B，C三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点，请直接写出t的值． 【答案】（2），理由见解析；（3）的值为1秒或4秒或16秒． 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查一元一次方程的实际运用，数轴上的动点问题，利用数形结合的思想和数轴上求两点之间距离的方法解决问题． （2）根据中点公式可得出结论，利用得出的结论直接计算即可； （3）分别用含的式子表示出、、三点，再根据中点公式列出方程即可． 【详解】解：（2）， 理由：， 点表示的数是，点表示的数是， 根据中点公式可得， 即：， 故答案为：； （3）运动秒后，、、三点表示的数分别为，，， ①当点是线段的中点时：，， ②当点是线段的中点时：，， ③当点是线段的中点时：，， 综上所述，的值为1秒或4秒或16秒． 6．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）【定义】：在同一直线上的三点A、B、C，若满足点C到另两个点A．B的距离具有2倍关系，则我们就称点C是其余两点的强点（或弱点），具体地： ①当点C在线段上时，若，则称点C是的强点；若，则称点C是的强点： ②当点C在线段的延长线上时，若，则称点C是的弱点 【例如】如图，数轴上点A、B、C、D分别表示数，2，1，0，则点C是的强点，又是的弱点；点D是的强点，又是的弱点； 【应用】I．如图，M．N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为4． （1）的强点表示的数为__________． 的弱点表示的数为__________． II．如图，数轴上，点A所表示的数为，点B所表示的数为40．一只电子蚂蚁P从点B出发，以4个单位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t秒． （2）①求当t为何值时？P是的弱点． ②求当t为何值时？P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的强点． 【答案】（1）2；；（2）①30；②或或或 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用： （1）先根据两点距离公式得到，设的强点为T，根据强点的定义得到，则点T表示的数为，据此可得答案；设的弱点为S，则，可得，进而求出点S表示的数为； （2）①由题意得，运动t秒后点P表示的数为，由弱点的定义可得方程，解方程即可得到答案； ②分其中一点是另外两点的强点，根据强点的定义分情况列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵点M所表示的数为，点N所表示的数为4， ∴， ∴设的强点为T， 由题意得，， ∴， ∴点T表示的数为， ∴的强点表示的数为2； 设的弱点为S，则， ∴， ∴点S表示的数为， ∴的弱点表示的数为； （2）①由题意得，运动t秒后点P表示的数为， ∵P是的弱点， ∴且点P在延长线上， ∴， 解得； ②当P是的强点时，则， ∴， 解得； 当P是的强点时，则， ∴， 解得； 当A是的强点时，则， ∴， 解得； 当A是的强点时，则， ∴， 解得； ∵B一直会在线段的外面， ∴点B不可能是A、B两点的强点， 综上所述，当或或或时，P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的强点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 一元一次方程的应用压轴训练 01 压轴总结 目录 压轴题型一　一元一次方程解决配套问题 1 压轴题型二　一元一次方程解决工程问题 7 压轴题型三　一元一次方程解决销售问题 12 压轴题型四　一元一次方程解决积分问题 19 压轴题型五　一元一次方程解决方案问题 27 压轴题型六　一元一次方程解决电费和水费问题 35 压轴题型七　一元一次方程解决数轴上的动点问题 44 02 压轴题型 压轴题型一　一元一次方程解决配套问题 例题：（24-25七年级上·全国·单元测试）某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人． (1)求调入多少名工人； (2)在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 巩固训练 1．（23-24七年级上·安徽·期末）某工厂一车间有名工人，其中男生人数比女生人数的倍少人，某月接到加工甲、乙两种零件的工作任务，每个工人每天能加工个甲种零件或个乙种零件.已知，个甲种零件和个乙种零件可以组装成一个丙种零件． (1)该车间男、女生各有多少人？ (2)该车间分别安排多少工人加工甲种零件和乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件？ 2．（2024·重庆·二模）某汽车工厂现有一批汽车配件订单需交付，若全部由1个工人生产需要150天才能完成．为了快速完成生产任务，现计划由一部分工人先生产3天，然后增加6名工人与他们一起再生产5天就能完成这批订单的生产任务．假设每名工人的工作效率相同． (1)前3天应先安排多少多工人生产？ (2)增加6名工人一起工作后，若每人每天使用机器可以生产600个A型配件或650个B型配件，如果3个A型配件和2个B型配件配套组成一个零件系统，要使每天生产的A型和B型配件刚好配套，应安排生产A型配件和B型配件的工人各多少名？ 3．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）劳动课上杨老师带领七（1）班50名学生制作圆柱形小鼓，其中男生人数比女生人数少6人，并且每名学生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面． (1)男生有______人，女生有______人． (2)①老师组织全班学生制作小鼓，要求一个鼓身配两个鼓面，为了使每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应该分配多少名学生制作鼓身？多少名学生剪鼓面？ ②若想每小时制作90个小鼓，且制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应再加入多少名学生？请你思考此问题，并直接写出结果． 4．（23-24七年级上·山东聊城·期末）某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个架子和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板． (1)应如何分配工人才能使每天的生产的架子和脚踏板恰好配套？每天生产多少套太空漫步器？ (2)若每套太空慢步器进价为200元，售价为280元，后又打折销售，所得利润率为，则每套太空慢步器是按原售价的几折销售的？ 5．（23-24六年级上·山东泰安·期末）第19届亚洲夏季运动会于2023年9月23日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有800名工人． (1)若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少100人，请求出生产盲盒A的工人人数； (2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由4个盲盒A和9个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或15个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 压轴题型二　一元一次方程解决工程问题 例题：（2024·山西·模拟预测）年月日，“世界水日”、“中国水周”山西省宣传活动在太原启动，本次活动，旨在调动全社会各方力量团结治水兴水，吸引并推动社会公众关心支持水利事业为贯彻落实本次活动精神，太原市现计划修一条水渠便于引水用水．已知，甲工程队活单独修需天完成，乙工程队单独完成需要的天数比甲工程队单独完成天数的多少天． (1)乙工程队单独完成需要多少天？ (2)若甲先单独修天，之后甲乙合作修完这条水渠，求甲乙还需合作几天才能修完这条水渠？ 巩固训练 1．（23-24七年级上·山东济宁·阶段练习）哈佳高铁建设工程中，有一路段由甲、乙两个工程队负责完成．甲工程队单独完成此项工程需天，比乙工程队单独完成此项工程多用天，若甲先施工天，再由甲、乙合作完成剩余工程． (1)甲、乙还需要合作多少天完成？ (2)如果甲工程队每天需工程费元，乙工程队每天需工程费元，若甲队先单独工作若干天再由乙工程队完成剩余的任务，支付工程队总费用元，求甲队工作的天数． 2．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）某学校准备请甲、乙两人搬运一批图书，已知甲单独运完需要10天，乙单独运完需要20天．甲先搬运了4天，然后甲、乙两人合作运完剩下的图书． (1)甲、乙两人合作还需要多少天运完图书？ (2)已知甲每天的薪酬比乙多50元，运完图书后学校共需支付薪酬2800元．则甲、乙两人每天的薪酬分别为多少元？ 3．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每天挖掘长度的1.5倍，若甲、乙两工程队一起挖掘200米长度的隧道时，共用时间4天． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米？ (2)已知该段隧道挖掘工程为600米，甲工程队每天的挖掘费用为6万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元．若安排甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好102万元，求甲工程队应先单独挖掘多少天？ 4．（23-24六年级上·山东烟台·期末）为打造安全环保的某河流公园，某市设立若干河流排污治理点（每个治理点需安装相同长度的排污治理管道）．一天，甲队3名工人去完成5个治理点的管道铺设，但还有60米管道没有完成；同一天，乙队4名工人完成5个治理点的管道铺设后，仍多铺设了40米管道．已知每名甲队工人比每名乙队工人每天多铺设20米管道． (1)求每个排污治理点需铺设的管道长度； (2)已知每名甲队工人每天需支付费用500元，每名乙队工人每天需支付400元，该市某处共设立27个排污治理点，现有甲队3名工人，乙队4名工人来安装管道，方案一：全部由甲队安装；方案二：全部由乙队安装；（不到一天需按一天费用算）．请通过计算说明选择哪种方案可使总费用最少？ 5．（23-24七年级上·四川成都·期末）学校计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服80件，且乙工厂每天加工这种校服的件数比甲工厂每天加工这种校服的件数多． (1)若甲单独加工这批校服比乙工厂单独加工这批校服多用20天，求这批校服共有多少件？ (2)在（1）的条件下，若先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，乙工厂提高加工速度后继续完成剩余部分，乙工厂的全部工作时间是甲工厂全部工作时间的3倍还少8天，若在加工过程中，甲工厂每天所需费用400元，乙工厂每天所需费用500元，学校共需支付甲乙两工厂18800元，求乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服多少件？ 压轴题型三　一元一次方程解决销售问题 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）红光水果加工厂收购了29吨雪梨．经市场预测，若直接销售，每吨可获利0.05万元；若经过加工包装后销售，每吨可获利0.4万元；若制成雪梨罐头出售，每吨可获利0.6万元．该工厂的加工能力是：每天可包装5吨或制成罐头3吨，受人员限制，同一天内两种加工方式不能同时进行，受气温限制，这些雪梨必须在7天内全部销售或加工完毕，为此，工厂研制了二种方案： 方案一：尽可能多的做成罐头，余下的直接销售； 方案二：部分制成罐头，其余进行加工包装，并恰好7天完成． (1)请比较说明哪种方案可使工厂所获利润最多？ (2)水果加工厂欲将（1）问中获利最多方案制成的所有雪梨罐头由加工厂运到市场售卖，已知有甲、乙两家运输公司都可以承担此次运输，要收取的费用如下表： 运输公司 运输单价（元/吨・千米） 每吨装卸费（元） 甲 5 50 乙 6 30 经水果加工厂计算发现乙运输公司总费用比甲运输公司总费用多243元，求水果加工厂到市场的距离． 巩固训练 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某商场准备订购一批衬衫，现有甲、乙两个供应商，均标价每件元．为了促销，甲说“凡来我处进货一律九折．”乙说：“如果订货超出件，则超出的部分打八折．” (1)设该商场准备订购件服衬衫，请用含x的整式表示在甲供应商所需支付的钱数为（_______）元，在乙供应商所需支付的钱数为（_______）元（结果化为最简形式）． (2)当的值为多少时，去两个供应商处的进货价钱一样多？ (3)已知该商场第一次从甲供应商处购进了件补衫，每件加价进行零售，迅速销售一空．于是，该商场第二次从乙供应商处购进衬衫，购进的数量是第一次从甲供应商购进数量的倍，并比第一次销售价格高元进行销售，但市场趋于饱和，所以在销售剩余五分之三时开始打折销售，且第二次全部售出后获得的总利润比第一次获得的总利润多元，求第二次销售剩余五分之三时需打几折销售． 2．（23-24七年级下·山东临沂·开学考试）为迎接2024年新年的到来，甲、乙两校联合准备文艺汇演，甲、乙两校参加文艺汇演的人数共92人（其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够90人）准备统一购买服装（一人买一套）参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套及以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5000元， (1)求甲、乙两校名有多少名学生准备参加演出？ (2)如果甲校准备演出的人员中有9人被抽调去为市民义务书写对联不能参加演出，那么你有几种购买服装的方案？通过比较，你认为如何购买服装才能最省钱？ 3．（23-24七年级下·重庆·开学考试）列一元一次方程解实际问题：重庆某水果超市销售沃柑和纽荷尔两种柑橘类水果，该超市第一次用6300元购进沃柑和纽荷尔两种水果，其中纽荷尔的件数比沃柑件数的一半还多25件．沃柑和纽荷尔两种水果的进价和售价如下表： 类别 沃柑 纽荷尔 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 (1)该超市购进沃柑和纽荷尔两种水果各多少件？当这次购进的水果全部销售后，共获利多少元？ (2)该超市第二次购进沃柑和纽荷尔两种水果的进价与第一次相同，其中沃柑的件数不变，纽荷尔的件数是第一次的3倍，沃柑按原价销售，纽荷尔打折销售，第二次购进的两种水果都销售完所获得的总利润比第一次获得的总利润多800元，求第二次纽荷尔是按原价打几折销售． 4．（23-24七年级上·河南郑州·期末）元旦期间，某运动品牌服装店推出两种优惠活动，并规定一次结账只能选择其中一种． 活动一：所购商品按原价打八折； 活动二：所购商品按原价每满200元减60元．（如：所购商品原价为200元，可减60元，需付款140元；所购商品原价为450元，可减120元，需付款330元） (1)购买一件原价为350元的服装时，选择哪种活动更合算？请说明理由； (2)购买一件原价在400元以下的服装时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求这件服装的原价； (3)小王准备买一件标价460元的上衣和标价320元的运动鞋，请你设计最优惠的付款方法，并求出最优惠的付款金额． 5．（23-24七年级下·重庆九龙坡·开学考试）某商场用元同时购进两种新型节能日光灯共盏，型日光灯每盏进价为元，型日光灯每盏进价为元． (1)求两种新型节能日光灯各购进多少盏？ (2)由于型日光灯的需求量增大，商场为了节省采购成本决定直接找厂家再购进一些型日光灯．已知型日光灯的出厂价为每盏元，厂家给出了如下优惠措施： 出厂总金额 返现金 不超过元 元 超过元，但不超过元 返现元 超过元 返现元 已知该商场第一次在厂家加购型日光灯支付元，第二次在厂家加购型日光灯支付元，若将两次购买改由一次性购买，则一次性购买时支付的总金额比两次分开购买时支付的总金额少多少元？ 压轴题型四　一元一次方程解决积分问题 例题：（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校组织学生参加2022年冬奥知识问答，问答活动共设有20道选择题，每题必答，每答对一道题加分，答错一道题减分，下表中记录了三名学生的得分情况： 参赛学生 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 86 C 15 5 65 请结合表中所给数据，回答下列问题： (1)本次知识问答中，每答对一题加______分，每答错一题减______分； (2)若小明同学答对16题，请计算小明的得分； (3)若小刚同学参加了本次知识问答，下列四个选项中，哪一个可能是小刚的得分_____（填写选项）； A．75；B．63；C．56；D．44 并请你计算他答对了几道题，写出解答过程，（列一元一次方程解决问题） 巩固训练 1．（23-24七年级下·河南·阶段练习）为响应河南省“2024全民阅读”系列活动，某校开展“书香校园”文学阅读与知识竞赛活动．知识竞赛为百分制，共设20道选择题，各题分值相同．下表记录了3名参赛学生的得分情况． 参赛学生 答对题数 答错或不答题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 86 C 44 (1)根据表格，比赛规则为：答对1道题得 分，答错或不答1题扣 分； (2)求出C同学答对的题数，并将表格补充完整． 2．（23-24九年级下·河北邯郸·阶段练习）某地举办了一次足球热身赛，其计分规则及奖励方案（每人）如下表： 胜一场 平一场 负一场 积分 3 1 0 奖金（元/人） 1500 700 0 当比赛进行到每队各比赛12场时，A队共积20分，并且没有负一场． (1)试判断A队胜、平各几场？ (2)若每比赛一场每名队员均得出场费500元，A队的某一名队员参加了全部比赛，那么他所得奖金与出场费的和是多少？ 3．（23-24七年级下·黑龙江绥化·开学考试）某学校围棋社团组织成员进行比赛，规则如下：每两位选手都要进行比赛，决出胜负（没有平局），胜者得1分，负者得0分．在所有选手中，男选手有12人，女选手有9人．比赛结束后，经统计，女选手的总得分比男选手的总得分多70分． (1)共进行了多少场比赛？ (2)男选手的总得分是多少分？ (3)男选手与女选手的所有比赛中，男选手共得了多少分？ (4)小明提出：在这个围棋比赛中，得分最高的选手一定是女选手，为什么？ 4．（23-24七年级上·云南文山·期末）某班组织“未成年预防电信网络计骗、防溺水、防性侵、防校园欺凌”知识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了5位参赛者的得分情况，根据表中信息回答下列问题： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 20 0 100 19 1 94 18 2 88 14 6 64 10 10 40 (1)这次竞赛中答对一题得______分，答错一题扣______分； (2)参赛者得分为70分，求他答错了几道题？ (3)参赛者说他的得分为85分，你认为可能吗？请说明理由． 5．（24-25八年级上·全国·假期作业）某次篮球联赛部分球队积分表 队名 比赛场次 胜场 平场 负场 积分 (1)由表中数据可知，胜一场积______分，平一场积______分，负一场积______分； (2)直接写出______，______，______； (3)设一个队胜场，负场是平场的倍，则平______场（用含的式子表示）； (4)队平了场，该队队长声称他们队的积分是分，你认为可能吗？为什么？ 压轴题型五　一元一次方程解决方案问题 例题：（23-24七年级上·贵州遵义·期末）2023年11月12日，新蒲新区举办了以“魅力新蒲，无限可能”为主题的半程马拉松比赛．A，B两个团队共92人（其中A队人数多于B队人数且A队人数不够90人）准备统一服装参加比赛，某服装厂给出了以下三种购买方式： 方式一：购买服装不超过45套时，每套60元； 方式二：购买服装超过45套且不超过90套时，每套50元； 方式三：购买服装超过90套时，每套40元． 若A，B两个团队分别单独购买服装，一共付了5000元． (1)A，B两团队各有多少人准备参加比赛？ (2)若A团队有10人由于身体原因，不能参加比赛，请为A，B两个团队设计一种较省钱的购买服装方案． 巩固训练 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有63人，大人比小孩多21人． (1)求该房客大人，小孩各有多少人？ (2)假设店主李三公推出两种订房方案： 方案一：房客超过40人，超过的按原价八折优惠， 方案二：大人原价，小孩半价． 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？ 2．（22-23七年级上·山东济宁·期末）小红家去电器商场购买冰箱，商场出售两种容量相同冰箱：型常规冰箱每台售价元，日耗电量为千瓦时；型节能冰箱每台售价比型冰箱高出，但日耗电量仅为千瓦时，现在型冰箱可打折出售．每年按天计算，电价为每千瓦时元． (1)请分别计算出两种冰箱一年的用电费用； (2)冰箱使用多少年时，两种冰箱用去的总费用相同总费用买冰箱的费用总用电费用？ (3)若两种冰箱的使用期都为年，那么型冰箱需要打几折才能使购买两种冰箱的总费用一样． 3．（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）学校打算购买一些乒乓球拍和乒乓球作为校运会的奖品．现有甲、乙两家网店出售同样品牌的乒乓球拍和乒乓球，他们的定价都相同；一副球拍定价为50元，一盒乒乓球定价为20元．但两家网店优惠方案不同：甲店每买一副球拍赠一盒球，乙店全部按定价的8折优惠．已知学校需球拍40副，乒乓球x盒（不少于40盒）． (1)在甲店购买全部球拍和球需付款______元，在乙店购买全部球拍和球需付款_______元（用含x的最简式子表示）； (2)购买乒乓球多少盒时，两家付款一样多； (3)当时，如果全部球拍和球只能在其中一家网店购买，请你通过计算说明在哪家网店购买更划算？如果可同时在两家店选购，你还有更省钱的方案吗？请写出方案，并计算此时所需付的费用． 4．（23-24七年级上·浙江金华·期末）中国移动全球通有两种通话计费方法（接听全免，接听时间不计入通话时间）： 计费方法A是每月收月租费48元，通话时间不超过50分钟的部分免费，超过50分钟的按每分钟0.25元加收通话费；计费方法B是每月收取月租费88元，通话时间不超过200分钟的部分免费，超过200分钟的按每分钟0.19元加收通话费． (1)某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用多少元？ (2)用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是多少分钟？ (3)用计费方法B的用户某个月累计费用126元，若改用计费方法A的方式，费用是增加还是减少？相差多少？ 5．（23-24七年级下·福建泉州·期末）为庆祝“六一”儿前节，某片区甲、乙两所中学组织文艺汇演，甲、乙两所学校共102人参加演出（其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够100人）准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至50套 51套至100套 100套以上 每套服装的价格 80元 70元 60元 如果两校分别单独购买服装，一共应付元． (1)如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？ (2)甲、乙两校各有多少学生准备参加演出？ (3)如果甲校有12名同学因参加数学竞赛不能参加演出，请为两校设计一种省钱且合理的购买服装方案． 6．（2024·河南周口·模拟预测）春节假期期间，为让返乡游子感受到“老家河南，味道中原”的魅力，某河南特色美食店优惠大酬宾，推出以下两种优惠方案： 方案一 可购买100元代金券，每张79元，每次消费时最多可使用3张，能使用尽量使用，未满100元的部分不得使用代金券 方案二 消费满300元按总价的九折优惠，不得同时使用代金券 例：某次消费120元，按照方案一使用代金券后，实际花费元． (1)若某次消费240元，按照方案一使用代金券后，实际花费________元． (2)若某次实际花费360元，则在使用优惠方案前可能消费多少元？ (3)小明一家春节假期期间去该美食店消费了元． ①若按照方案一使用代金券进行优惠，实际花费________元；若按照方案二进行优惠，实际花费________元；（用含x的代数式表示） ②选择哪种方案更省钱？ 压轴题型六　一元一次方程解决电费和水费问题 例题：（23-24七年级上·山东滨州·阶段练习）为了加强公民的节约意识，我市出台阶梯电价计算方案如下表： 价目表 不超过200度的部分 元/度 超过200度不超过400度的部分 元/度 超过400度的部分 元/度 注：电费按月结算 (1)某户居民2月份应缴电费78元，该户居民2月份用电多少度？ (2)某户居民10月份用电220度，应缴电费111元，求的值； (3)用（度）表示月用电量，当用电量不超过200度时，应缴电费______元，当用电量超过200度不超过400度时，应缴电费______元，当用电量超过400度时，应缴电费______元（用含的式子表示）． 巩固训练 1．（22-23七年级上·辽宁鞍山·期末）某市积极推行农村医疗保险制度，制定了参加医疗保险的农民医疗费用报销规定，享受医保的农民可在定点医院就医，在规定的药品品种范围内用药，由患者先垫付医疗费用，年终到医保中心报销．医疗费的报销比例标准如下表所示： 费用范围 500元以下（含500元） 超过500元且不超过10000元的部分 超过10000元的部分 报销比例标准 不予报销 (1)甲农民一年的实际医疗费为4000元，则按标准报销的金额为　　元，乙农民一年的实际医疗费为13000元，则按标准报销的金额为　　元． (2)设某农民一年的实际医疗费为x元（），按照标准报销的金额为多少元？ (3)若某农民一年内自付医疗费为3200元（自付医疗费实际医疗费按标准报销的金额），则该农民当年实际医疗费为多少元？ 2．（24-25七年级上·江苏淮安·开学考试）我市电费实行阶梯式收费，标准如下： 用电量/(千瓦时/户) 价格/(元/千瓦时) 200千瓦时以内 0.55 千瓦时 0.6 400千瓦时以上 0.8 (1)小虎家三月份用电140千瓦时，应交电费多少元？丽丽家三月份用电260千瓦时，应交电费多少元？ (2)聪聪家五月份用电量为千瓦时，若在200-400之间时，应交电费______元(用含有的式子表示)；若时，则聪聪家应交电费______元(用含有的式子表示) (3)某超市三月份交电费390元，该超市三月份用电多少千瓦时？ 3．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的．该市自来水收费标准见价目表： 价目表 每月用水量 单 价 不超过6立方米 每立方米2元 超过6立方米不超过10立方米的部分 每立方米4元 超过10立方米的部分 每立方米8元 注：水费按月结算 (1)若某户居民1月份用水立方米，则应收水费多少元？ (2)若该户居民2月份缴水费40元，则2月份用水多少立方米？ (3)若该户居民3，4月份共用水15立方米（4月份用水量超过3月份），共缴水费44元，则该户居民3，4月份各用水多少立方米？ 4．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）为鼓励家庭厉行节约，某城市居民生活用天然气实行阶梯价格制度，家庭生活用气收费标准如下表中所列．例如，某家全年共使用天然气，其中前按元收费，另外按元收费，剩下的按元收费．童童也想通过计算，了解自己家里使用天然气的情况． 家庭用气量 单价（元） 一档 （含） 二档 （含） 三档 600以上 (1)若他家去年共使用520立方米天然气，需要交费多少元？ (2)若有一年他家交了1556元天然气费，这一年他家共用了多少立方米天然气？ 5．（23-24七年级下·江苏南京·期末）某地天然气收费方案如下： 阶梯 年用气量 价格 补充说明 第一阶梯 （含400）的部分 3元/ 当家庭人口超过3人时，每增加1人，第一、二阶梯年用气量上限将分别增加，同时，第二、三阶梯年用气量下限随之调整，每一阶梯的价格保持不变． 第二阶梯 （含800）的部分 4元/ 第三阶梯 以上的部分 5元/ (1)某家庭当年用气量为．若该家庭人口为3人，则需缴纳燃气费用______元；若该家庭人口为4人，则需缴纳燃气费用______元． (2)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为4人．某年甲、乙两户年用气量之和为，甲户年用气量大于乙户年用气量．已知甲、乙两户一共缴纳燃气费用3200元，求甲、乙两户年用气量分别是多少？ (3)某公司共有22名员工，员工宿舍有3人间和4人间两种类型的房间可供选择，且员工所选择的房间必须住满．结算天然气费用时，将每间宿舍视作一户家庭，收费标准按上表进行收费．假定每位员工的年用气量为，要使该公司员工宿舍当年总天然气费最低，则3人间的房间数为______间． 压轴题型七　一元一次方程解决数轴上的动点问题 例题：（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】 表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看做，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 （1）数轴上表示4和的两点之间的距离是______________． （2）①若，则___________； ②若使所表示的点到表示3和的点的距离之和为5，所有符合条件的整数的和为_________． （3）若，则____________； 【拓展延伸】 （4）当____________时，有最小值，最小值是_____________． 巩固训练 1．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，已知点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且，满足 (1)求点与点在数轴上对应的数和； (2)现动点从点出发，沿数轴向右以每秒个单位长度的速度运动；同时，动点从点出发，沿数轴向左以每秒个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒． ①若点和点相遇于点，求点在数轴上表示的数； ②当点和点相距个单位长度时，直接写出的值． 2．（23-24七年级上·广东韶关·期中）如图，点A，B，C是数轴上三点，点C表示的数为6，，． (1)写出数轴上点A表示的数：________； (2)动点P，Q同时从A，C出发，点P以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（）秒． ①当时，求出此时P，Q在数轴上表示的数； ②t为何值时，点P，Q相距2个单位长度，并写出此时点P，Q在数轴上表示的数． 3．（24-25七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）背景知识 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离． 问题情境 如图，数轴上有三点A，B，C所对应的数分别是a，b，c，且满足是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，点C在点A的左侧，到点A的距离是2个单位长度．若M，N为数轴上的两个动点，点M从点A出发以每秒2个单位长度的速度向左移动，同时，点N从点B出发以每秒3个单位长度的速度向右移动，设运动时间为t秒．    综合运用 (1)________，________，________； (2)当t为何值时，点M与点N之间的距离是4个单位长度？ (3)在点M，N运动的过程中，且点N在线段上，当t为何值时，使得点N到点A，点B，点C的距离之和为18？并求出此时点M在数轴上所表示的数． 4．（23-24七年级上·全国·单元测试）阅读下列材料： 根据绝对值的定义，表示数轴上表示数x的点与原点的距离，那么，如果数轴上两点P、Q表示的数为，时，点P与点Q之间的距离为． 根据上述材料，解决下列问题： 如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是，4（A、B两点的距离用表示），点M是数轴上的动点，表示数m． (1)_______个单位长度；若点M在A、B之间，则_______； (2)若，则 m的值为_______． (3)若点M从点O出发在数轴上以每秒3个单位的速度向右运动，运动时间记为t秒． 请问几秒钟之后的值等于1？ (4)在（3）的条件下，若在点M运动的同时点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒7个单位的速度向右运动．请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 5．（22-23七年级上·辽宁丹东·期中）（1）现象感知：如图1，在数轴上，线段的中点为E，点E表示的数可以用点A、点B表示的数来表示，即：；线段的中点为F，点F表示的数可以用点C、点D表示的数来表示，即：． （2）归纳性质：如图2，在数轴上，若线段的中点为P．点G、H、P表示的数分别为a，b，c，请直接写出a，b，c之间的等量关系 ． 小宇同学为了验证a，b，c之间的等量关系是正确的，采用了用字母表示数的方法，设，从而用代数式表示出G、H两点的数（含子母c和m）．请帮助小宇同学完成他的验证过程． （3）拓展应用：如图3，点A，B，C在数轴上对应的数分别为，1，9，它们分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左做匀速运动，设同时运动的时间为t秒．若A，B，C三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点，请直接写出t的值． 6．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）【定义】：在同一直线上的三点A、B、C，若满足点C到另两个点A．B的距离具有2倍关系，则我们就称点C是其余两点的强点（或弱点），具体地： ①当点C在线段上时，若，则称点C是的强点；若，则称点C是的强点： ②当点C在线段的延长线上时，若，则称点C是的弱点 【例如】如图，数轴上点A、B、C、D分别表示数，2，1，0，则点C是的强点，又是的弱点；点D是的强点，又是的弱点； 【应用】I．如图，M．N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为4． （1）的强点表示的数为__________． 的弱点表示的数为__________． II．如图，数轴上，点A所表示的数为，点B所表示的数为40．一只电子蚂蚁P从点B出发，以4个单位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t秒． （2）①求当t为何值时？P是的弱点． ②求当t为何值时？P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的强点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$