第13章 统计 知识归纳与题型突破（五类题型清单）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020必修第三册）

第13章 统计 知识归纳与题型突破（五类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一一、用样本估计总体 1.总体百分位数的估计 (1)第p百分位数的定义 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值. (2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据. 第2步，计算i＝n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数. 2.样本的数字特征 (1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数. (2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数. (3)平均数：把称为a1，a2，…，an这n个数的平均数. (4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则这组数据的标准差和方差分别是s＝ ， s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]. 1.频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数. (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的. (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和. 2.平均数、方差的公式推广 (1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a. (2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，那么 ①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2； ②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2. 二、随机抽样、统计图表 1.简单随机抽样 (1)简单随机抽样 分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样.除非特殊声明，本章简单随机抽样指不放回简单随机抽样. (2)简单随机样本 通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本. (3)简单随机抽样的常用方法 实现简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法. 2.总体平均数与样本平均数 名称 定义 总体均值 (总体平均数) 一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称＝＝Yi为总体均值，又称总体平均数. 如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi(i＝1，2，…，k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式＝fiYi. 样本均值(样本平均数) 如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称＝＝yi为样本均值，又称样本平均数. 说明：(1)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数； (2)总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性(因为样本具有随机性)； (3)一般情况下，样本量越大，估计越准确. 3.分层随机抽样 (1)分层随机抽样的概念 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层. (2)分层随机抽样的平均数计算 在分层随机抽样中，以层数是2层为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层的样本平均数分别为，，样本平均数为，则＝＋＝＋. 我们可以用样本平均数估计总体平均数. 4.统计图表 (1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图、频率分布直方图等. (2)频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义 常用结论： 1.不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的. 2.分层随机抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比. 03 题型归纳 题型一　总体与样本 例题 1．某中学高一生物课外兴趣小组要对本班同学的睡眠时间进行研究，得到了以下个数据(单位：小时)：，，，，，，，，，，去掉数据 能很好地提高样本数据的代表性. 巩固训练 2．某市为了调研全市10800名高一学生期中考试的答题习惯，共抽取25袋答题卡，每袋都装有30份答题卡，则本次抽样的样本量是 . 3．为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞100条鱼做上标记，然后放归鱼塘，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，则鱼塘中估计有 条鱼． 题型二 数据的获取 例题 4．为了得到全国总人口数，我们需要采取 方式． 巩固训练 5．影响获取数据可靠程度的因素包括 ①获取方法设计； ②所用专业测量设备的精度； ③调查人员的认真程度； ④数据的大小 6．气象局观测某市2021年1月份每天的降雨量，所得的数据是 ．（用“观测数据”或“实验数据”填空） 7．一般地，对总体的每个个体分别进行调查的方法称为 ；通过抽样进行考察调查研究的方法叫做 ． 题型三　抽样的方法 例题 8．某高中共有学生2000人，其中高一和高二各有800人，现采用分层抽样的方法抽取容量为25的样本，那么高二抽取的人数为 . 巩固训练 9．采用随机数表法从编号为01，02，03，……，30的30个个体中选取7个个体，指定从下面随机数表的第一行第5列开始，由左向右选取两个数字作为应取个体的号码，则选取的第6个个体号码是 . 03 47 43 86 36   16 47 80 45 69    11 14 16 95 36    61 46 98 63 71    62 33 26 36 77 97 74 24 67 62   42 81 14 57 20    42 53 32 37 32    27 07 36 07 52    24 52 79 89 73 10．某校按分层随机抽样的方法从高中三个年级抽取部分学生进行调查，从三个年级中抽取的人数比为如图所示的扇形面积比，已知高二年级共有学生1200人，并从中抽取了40人，则从高一年级中抽取 人．    11．从遂宁市中、小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查．经了解，我市小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（    ） A．简单的随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样 12．下列抽样方法是简单随机抽样的是（    ） A．质检员从50个零件中一次性抽取5个做质量检验 B．“隔空不隔爱，停课不停学”，网课上，李老师对全班45名学生中点名表扬了3名发言积极的 C．老师要求学生从实数集中逐个抽取10个分析奇偶性 D．某运动员从8条跑道中随机抽取一条跑道试跑 13．完成下列两项调查：①一项对“小彩旗春晚连转四小时”的调查中有10 000人认为这是成为优秀演员的必经之路，有9 000人认为太残酷，有1 000人认为无所谓.现要从中随机抽取200人做进一步调查.②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次是 A．①简单随机抽样，②系统抽样 B．①分层抽样，②简单随机抽样 C．①系统抽样，②分层抽样 D．①②都用分层抽样 题型四　统计图表 例题 14．某中学举办思维竞赛，现随机抽取50名参赛学生的成绩制作成频率分布直方图（如图），估计学生的平均成绩为 分 巩固训练 15．已知甲乙两组数据如茎叶图所示，其中，若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则 ． 16．如图是某班一次数学测试成绩的茎叶图（图中仅列出，的数据）和频率分布直方图，则 ． 17．如图是某位篮球运动员在7场比赛中得分的茎叶图．则该运动员在这7场比赛中得分的方差满足（    ）．（所有数据精确到0.01） A．最大值为32.12 B．最小值为31.39 C．最大值为31.06 D．最小值为29.84 18．某水利部门拟在黄河沿岸修建一所水库，为大致了解甲、乙两地的降水情况，随机选取汛期月份中的一周，将这一周内每日的降水量数据进行统计（单位：），制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论： ①甲地本周的平均降水量低于乙地本周的平均降水量； ②甲地本周的中位降水量高于乙地本周的平均降水量； ③甲地本周的降水量众数大于乙地本周的降水量的中位数； ④甲地本周降水量的标准差大于乙地本周降水量的标准差. 其中根据茎叶图能得到的不恰当的统计结论的编号为（    ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 19．某调研机构，对本地岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，结果显示，有人为“低碳族”，该人的年龄情况对应的频率分布直方图如图. （1）根据频率分布直方图，估计这名“低碳族”年龄的平均值，中位数； （2）若在“低碳族”且年龄在、的两组人群中，用分层抽样的方法抽取人，试估算每个年龄段应各抽取多少人？ 20．如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布表和频率分布直方图如下，回答下列问题： 分组 人数 频率 9 18 15 3 （1）分别求出a，b，x，y的值，并补全频率分布直方图； （2）估计这次环保知识竞赛的平均分； （3）若从所有参加环保知识竞赛的学生中随机抽取一人采访，抽到学生的成绩及格的概率有多大？ 21．三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)； A班 6 7 8 B班 6 7 8 10 11 12 C班 3 6 9 12 (1)试估计班的学生人数； (2)从班和班抽出的学生中，各随机选取一人，班选出的人记为甲，班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； (3)再从三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25(单位：小时)，这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记，表格中数据的平均数记为 ，试判断和的大小，(结论不要求证明) 题型五　统计总体的分布、数字特征、百分数 例题 22．现有如下10个数据： 296  301  305  293  293  305  302  303  306  294 则这批数据的第一四分位数为 ． 巩固训练 23．数据12，14，15，17，19，24，27，30的第70百分位数是 . 24．某校有学生4500人，其中高三学生1500人，为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本.则样本中高三学生的人数为 . 25．从某小学所有学生中随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：cm）数据绘制成频率分布直方图（如图），其中样本数据分组，，，，，若要从身高在，，三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取12人参加一项活动，则从身高在内的学生中抽取的人数应为 ． 26．某校为了了解高三年级学生的身体素质状况，在开学初举行了一场身体素质体能测试，以便对体能不达标的学生进行有针对性的训练，促进他们体能的提升，现从整个年级测试成绩中抽取100名学生的测试成绩，并把测试成绩分成六组，绘制成频率分布直方图（如图所示）.其中分数在这一组中的纵坐标为，则该次体能测试成绩的分位数约为 分. 二、解答题 27．某高中随机抽取名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）. (1)求身高不低于170cm的学生人数； (2)将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人． ① 求从这三个组分别抽取的学生人数； ② 若要从6名学生中抽取2人，求组中至少有1人被抽中的概率． 28．为了让学生适应上海“3+3”的新高考模式，某校在高二期末考试中使用赋分制给等级考科目的成绩进行赋分．先按照考生原始分从高到低按比例划定,共5等11级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分，和E级排名各占比5％，其余各级排名各占比10％．现从全年级的等级考化学成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示： (1)若采用分层抽样的方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取5人查看他们的答题情况，再从中选取2人进行个案分析，求这2人中至少有一人原始成绩在内的概率； (2)已知落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，求落在的平均成绩，并估计落在的成绩的标准差s（结果精确到0.1）． 29．某市采用“”高考模式，其中第一个“3”指“语、数、外”三个必选学科，第二个“3”指选考学科，学生可在“物理、化学、政治、生物、地理、历史”这六门学科中选三科参加高考．选考学科通过等级赋分的方式计入总成绩．按等级赋分是将学生每门的原始成绩从高到低按所占比例划定为11个等级，每个等级所占比例和换算分值如下表所示． 评价等级 A B C D E 所占比例 5% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 5% 换算分值 70 67 64 61 58 55 52 49 46 43 40 2023年，某市约有50000名学生参加高考.在高考阅卷中，为初步了解物理学科的情况，随机抽取了100名学生的物理学科原始成绩，统计数据如下： 100  97  96  94  94  92  91  90  90  90  89  89  89  88  88  88  87  87  86  85 85  85  84  84  83  83  82  82  82  81  81  80  80  80  79  79  78  78  77  76 76  76  75  75  75  75  74  74  74  74  73  73  72  71  71  70  70  70  69  68 68  68  67  67  66  65  65  65  64  64  63  62  62  61  61  60  60  60  59  59 59  58  58  57  57  56  56  56  55  55  54  53  53  52  51  48  43  32  23  13 (1)根据统计数据，结合等级赋分的方式，预估此次物理学科赋分等级为B的大致分数线． (2)根据统计数据画出频率分布直方图，并据此估计本次高考中成绩在区间内的人数； (3)若某学生估计原始成绩为63分，试估计该学生的成绩在本次高考中处于第几百分位数，并根据等级赋分规则估计在此次高考中他的物理成绩． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13章 统计 知识归纳与题型突破（五类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一一、用样本估计总体 1.总体百分位数的估计 (1)第p百分位数的定义 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值. (2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据. 第2步，计算i＝n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数. 2.样本的数字特征 (1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数. (2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数. (3)平均数：把称为a1，a2，…，an这n个数的平均数. (4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则这组数据的标准差和方差分别是s＝ ， s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]. 1.频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数. (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的. (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和. 2.平均数、方差的公式推广 (1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a. (2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，那么 ①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2； ②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2. 二、随机抽样、统计图表 1.简单随机抽样 (1)简单随机抽样 分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样.除非特殊声明，本章简单随机抽样指不放回简单随机抽样. (2)简单随机样本 通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本. (3)简单随机抽样的常用方法 实现简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法. 2.总体平均数与样本平均数 名称 定义 总体均值 (总体平均数) 一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称＝＝Yi为总体均值，又称总体平均数. 如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi(i＝1，2，…，k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式＝fiYi. 样本均值(样本平均数) 如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称＝＝yi为样本均值，又称样本平均数. 说明：(1)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数； (2)总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性(因为样本具有随机性)； (3)一般情况下，样本量越大，估计越准确. 3.分层随机抽样 (1)分层随机抽样的概念 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层. (2)分层随机抽样的平均数计算 在分层随机抽样中，以层数是2层为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层的样本平均数分别为，，样本平均数为，则＝＋＝＋. 我们可以用样本平均数估计总体平均数. 4.统计图表 (1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图、频率分布直方图等. (2)频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义 常用结论： 1.不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的. 2.分层随机抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比. 03 题型归纳 题型一　总体与样本 例题 1．某中学高一生物课外兴趣小组要对本班同学的睡眠时间进行研究，得到了以下个数据(单位：小时)：，，，，，，，，，，去掉数据 能很好地提高样本数据的代表性. 【答案】 【分析】将极端值去掉即可提高样本数据的代表性． 【解析】因为数据明显低于其它几个数据，是极端值， 所以去掉这个数据，能够更好地提高样本数据的代表性． 故答案为： 巩固训练 2．某市为了调研全市10800名高一学生期中考试的答题习惯，共抽取25袋答题卡，每袋都装有30份答题卡，则本次抽样的样本量是 . 【答案】750 【分析】根据样本量的定义即可得解. 【解析】样本量指样本中包含的个体数，所以本次抽样的样本量是. 故答案为：. 3．为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞100条鱼做上标记，然后放归鱼塘，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，则鱼塘中估计有 条鱼． 【答案】 【分析】根据样本频率可计算总体频率，从而可估计鱼塘中鱼的总数. 【解析】设鱼塘中有条鱼，则，故（条）， 故答案为： 题型二 数据的获取 例题 4．为了得到全国总人口数，我们需要采取 方式． 【答案】普查 【分析】根据需要得到数据的精确度，确定采取的方式. 【解析】因为全国总人口数是需要得到的一个精准数据，所以要采取普查方式. 故答案为：普查 巩固训练 5．影响获取数据可靠程度的因素包括 ①获取方法设计； ②所用专业测量设备的精度； ③调查人员的认真程度； ④数据的大小 【答案】①②③ 【分析】根据影响获取数据可靠程度的因素，直接判断选项. 【解析】数据的大小不影响获取数据可靠程度，其他三项均影响获取数据的可靠程度. 故答案为：①②③ 6．气象局观测某市2021年1月份每天的降雨量，所得的数据是 ．（用“观测数据”或“实验数据”填空） 【答案】观测数据 【分析】辨析“观测数据”与“实验数据”的定义即可填空. 【解析】观测数据指通过直接调查或测量而收集到的数据；实验数据指通过实验中控制实验对象以及所处的实验环境收集到的数据， 而气象局观测所得到的数据，显然是观测数据. 故答案为：观测数据. 7．一般地，对总体的每个个体分别进行调查的方法称为 ；通过抽样进行考察调查研究的方法叫做 ． 【答案】 普查 抽样调查 【分析】略 【解析】略 题型三　抽样的方法 例题 8．某高中共有学生2000人，其中高一和高二各有800人，现采用分层抽样的方法抽取容量为25的样本，那么高二抽取的人数为 . 【答案】 【分析】根据分层抽样的定义和计算方法，求得抽样比，即可求解. 【解析】由题意，高二人数占总人数的比例为，所以高二抽取的人数为. 故答案为：. 巩固训练 9．采用随机数表法从编号为01，02，03，……，30的30个个体中选取7个个体，指定从下面随机数表的第一行第5列开始，由左向右选取两个数字作为应取个体的号码，则选取的第6个个体号码是 . 03 47 43 86 36   16 47 80 45 69    11 14 16 95 36    61 46 98 63 71    62 33 26 36 77 97 74 24 67 62   42 81 14 57 20    42 53 32 37 32    27 07 36 07 52    24 52 79 89 73 【答案】20 【解析】利用随机数表写出依次选取的号码即得解. 【解析】指定从下面随机数表的第一行第5列开始，由左向右选取两个数字作为应取个体的号码，则选取的号码依次是：16,11,14,26,24,20,27.所以第6个号码是20. 故答案为：20. 【点睛】本题主要考查随机数表，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 10．某校按分层随机抽样的方法从高中三个年级抽取部分学生进行调查，从三个年级中抽取的人数比为如图所示的扇形面积比，已知高二年级共有学生1200人，并从中抽取了40人，则从高一年级中抽取 人．    【答案】 【分析】设总人数为，得到，求得，再结合分层抽样的计算方法，即可求解. 【解析】由题图中数据可知高二年级所占的角度为，设总人数为， 则，可知，故该校的总人数为， 由高一、高二、高三年级人数的比为， 可知高一年级人数为， 则抽样时应从高一年级抽(人). 故答案为：. 11．从遂宁市中、小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查．经了解，我市小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（    ） A．简单的随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样 【答案】C 【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样． 【解析】已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大． 了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理． 故选：C． 12．下列抽样方法是简单随机抽样的是（    ） A．质检员从50个零件中一次性抽取5个做质量检验 B．“隔空不隔爱，停课不停学”，网课上，李老师对全班45名学生中点名表扬了3名发言积极的 C．老师要求学生从实数集中逐个抽取10个分析奇偶性 D．某运动员从8条跑道中随机抽取一条跑道试跑 【答案】AD 【分析】根据简单随机抽样的定义，逐项分析判断即可. 【解析】选项A：“一次性”抽取与逐个不放回的抽取等价，符合不放回简单随机抽样要求，故正确； 选项B：老师表扬的是发言积极的，对每一个个体而言，不具备“等可能性”，故错误； 选项C：因为总体容量是无限的，不符合简单随机抽样要求，故错误； 选项D：8条跑道，抽取1条，总体有限，每个个体被抽到的机会均等，是简单随机抽样，故正确. 故选：AD 13．完成下列两项调查：①一项对“小彩旗春晚连转四小时”的调查中有10 000人认为这是成为优秀演员的必经之路，有9 000人认为太残酷，有1 000人认为无所谓.现要从中随机抽取200人做进一步调查.②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次是 A．①简单随机抽样，②系统抽样 B．①分层抽样，②简单随机抽样 C．①系统抽样，②分层抽样 D．①②都用分层抽样 【答案】B 【解析】试题分析：①一项对“小彩旗春晚连转四小时”的调查中有10 000人认为这是成为优秀演员的必经之路，有9 000人认为太残酷，有1 000人认为无所谓．现要从中随机抽取200人做进一步调查，此项抽查的总体数目较多，而且差异很大，符合分层抽样的适用范围； ②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，此项抽查的总体个数不多，而且差异不大，符合简单随机抽样的适用范围． ∴宜采用的抽样方法依次是：①分层抽样，②简单随机抽样． 考点：分层抽样方法；简单随机抽样 题型四　统计图表 例题 14．某中学举办思维竞赛，现随机抽取50名参赛学生的成绩制作成频率分布直方图（如图），估计学生的平均成绩为 分 【答案】 【分析】利用直方图求学生的平均成绩即可. 【解析】由直方图知：平均成绩为分. 故答案为： 巩固训练 15．已知甲乙两组数据如茎叶图所示，其中，若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则 ． 【答案】/0.375 【分析】先得到甲乙的中位数，可得到，再利用平均数相同即可求解 【解析】通过茎叶图可发现甲的中位数为，乙的中位数为 因为两组数据的中位数相同，则， 又因为平均数相同，则， ∴． 故答案为： 16．如图是某班一次数学测试成绩的茎叶图（图中仅列出，的数据）和频率分布直方图，则 ． 【答案】 【分析】根据茎叶图可得相应的频数，根据频率分布直方图可得相应的频率，根据频率与频数之间的关系列式求解. 【解析】由茎叶图可知：，的频数分别为5，2； 由频率分布直方图可得：每组的频率依次为， 设样本容量为， 则，解得， 故. 故答案为：. 17．如图是某位篮球运动员在7场比赛中得分的茎叶图．则该运动员在这7场比赛中得分的方差满足（    ）．（所有数据精确到0.01） A．最大值为32.12 B．最小值为31.39 C．最大值为31.06 D．最小值为29.84 【答案】A 【分析】先求出平均数的表达式，然后代入方差的公式求出方差的表达式，然后根据二次函数的性质即可求解. 【解析】由题意知，， 代入方差公式 开口向上，对称轴，因为， 所以当时，方差取最小值， 当时，方差取最大值， 故选：A. 18．某水利部门拟在黄河沿岸修建一所水库，为大致了解甲、乙两地的降水情况，随机选取汛期月份中的一周，将这一周内每日的降水量数据进行统计（单位：），制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论： ①甲地本周的平均降水量低于乙地本周的平均降水量； ②甲地本周的中位降水量高于乙地本周的平均降水量； ③甲地本周的降水量众数大于乙地本周的降水量的中位数； ④甲地本周降水量的标准差大于乙地本周降水量的标准差. 其中根据茎叶图能得到的不恰当的统计结论的编号为（    ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】D 【分析】根据题中所给的茎叶图，计算得出其平均值，观察得到其中位数、众数，以及数据的分散程度，得到结果. 【解析】因为， ， 因为，所以①正确； 因为的中位数为，且，所以②不正确； 因为的众数是，的中位数是25， 且，所以③不正确； 从茎叶图中可以发现，甲地降水量比乙地降水量的数据要分散，， 所以甲地本周降水量的标准差大于乙地本周降水量的标准差，所以④正确； 所以根据茎叶图能得到的不恰当的统计结论的编号为②③， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有茎叶图，根据茎叶图找平均值、众数、中位数以及离散程度，属于简单题目. 19．某调研机构，对本地岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，结果显示，有人为“低碳族”，该人的年龄情况对应的频率分布直方图如图. （1）根据频率分布直方图，估计这名“低碳族”年龄的平均值，中位数； （2）若在“低碳族”且年龄在、的两组人群中，用分层抽样的方法抽取人，试估算每个年龄段应各抽取多少人？ 【答案】（1）平均值为，中位数为；（2）年龄在的人，在的人. 【分析】（1）将频率分布直方图中每个矩形底边的中点值乘以矩形的面积，再将这些乘积相加可得出平均值，利用中位数左右两边的矩形面积和均为计算出矩形的面积； （2）先计算出年龄在、的频率之比，再利用分层抽样的特点得出样本中年龄段在、的人数. 【解析】（1）位“低碳族”的年龄平均值为， 设中位数为，前三个矩形的面积为， 前四个矩形的面积为，则， 由题意可得，解得，因此，中位数为； （2）年龄在、的频率分别为，， 频率之比为，所抽取的人中，年龄在的人数为， 年龄在的人数为. 【点睛】本题考查频率分布直方图中平均数和中位数的计算，同时也考查了分层抽样相关的计算，考查计算能力，属于基础题. 20．如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布表和频率分布直方图如下，回答下列问题： 分组 人数 频率 9 18 15 3 （1）分别求出a，b，x，y的值，并补全频率分布直方图； （2）估计这次环保知识竞赛的平均分； （3）若从所有参加环保知识竞赛的学生中随机抽取一人采访，抽到学生的成绩及格的概率有多大？ 【答案】（1），，，，图见解析；（2）70.5分；（3）． 【分析】（1）根据表中数据、频率分布直方图中的数据进行求解并补全频率分布图即可； （2）根据频率直方图中计算平均数的方法进行计算即可； （3）通过计算出本次竞赛及格率进行求解即可. 【解析】解：（1）小组的频率与组距的比为0.01，所以频率为：， 因此有，同理. ， 即，，，. 小组的频率与组距的比为,补全频率直方图如下图所示： （2）用组中值估计平均分： （分） （3）本次竞赛及格率为， 用样本估计总体，每个人被抽到的概率相同，∴从所有参加环保知识竞赛的学生中随机抽取一人采访，抽到的学生成绩及格的概率为． 21．三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)； A班 6 7 8 B班 6 7 8 10 11 12 C班 3 6 9 12 (1)试估计班的学生人数； (2)从班和班抽出的学生中，各随机选取一人，班选出的人记为甲，班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； (3)再从三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25(单位：小时)，这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记，表格中数据的平均数记为 ，试判断和的大小，(结论不要求证明) 【答案】(1)40人 (2) (3) 【分析】（1）由题意知，抽出的名学生中，来自班的学生有名，再根据分层抽样的定义即可求解； （2）根据独立性的概率乘法公式即可求解； （3）三组平均数分别为总均值，而中多加的三个数平均值为，比小，从而可判断. 【解析】（1）由题意知，抽出的名学生中，来自班的学生有名. 根据分层抽样方法，班的学生人数估计为. （2）解法1：设事件为“甲是现有样本中班的第个人”，， 事件为“乙是现有样本中班的第个人”，， 由题意可知，，；，. ，，. 设事件为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知， 因此 解法2：在班中取到每个人的概率相同均为， 设班中取到第个人事件为， C班中取到第个人事件为， 班中取到的概率为， 所求事件为， 则 ； （3）.理由如下： 三组平均数分别为总均值， 但中多加的三个数据平均值为，比小， 故拉低了平均值. 题型五　统计总体的分布、数字特征、百分数 例题 22．现有如下10个数据： 296  301  305  293  293  305  302  303  306  294 则这批数据的第一四分位数为 ． 【答案】 【分析】根据第一四分位数的定义求其值. 【解析】将数据 按从小到大的顺序排列可得： 第一四分位数即第百分位数，又， 所以第一四分位数为， 故答案为：. 巩固训练 23．数据12，14，15，17，19，24，27，30的第70百分位数是 . 【答案】24 【分析】利用百分位数的定义进行求解. 【解析】共有8个数，，故从小到大排列，选择第6个数作为第70百分位数，即24为第70百分位数. 故答案为：24 24．某校有学生4500人，其中高三学生1500人，为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本.则样本中高三学生的人数为 . 【答案】 【分析】根据分层抽样的抽样比相等即可求解. 【解析】某校有学生4500人，从该校学生中抽取一个300人的样本，抽样比为， 所以样本中高三学生的人数为人， 故答案为：. 25．从某小学所有学生中随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：cm）数据绘制成频率分布直方图（如图），其中样本数据分组，，，，，若要从身高在，，三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取12人参加一项活动，则从身高在内的学生中抽取的人数应为 ． 【答案】 【分析】先求得，然后根据分层抽样的知识求得正确答案. 【解析】依题意，解得， 所以，，三组的频率分别为， 所以从身高在内的学生中抽取的人数应为人. 故答案为： 26．某校为了了解高三年级学生的身体素质状况，在开学初举行了一场身体素质体能测试，以便对体能不达标的学生进行有针对性的训练，促进他们体能的提升，现从整个年级测试成绩中抽取100名学生的测试成绩，并把测试成绩分成六组，绘制成频率分布直方图（如图所示）.其中分数在这一组中的纵坐标为，则该次体能测试成绩的分位数约为 分. 【答案】92 【分析】先利用频率分布直方图进行数据分析，求出，再套公式求出分位数. 【解析】由频率分布直方图知， 由得：. 因为， 所以该次体能测试成绩的分位数落在内，设其为， 则由，解得. 故答案为：92. 27．某高中随机抽取名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）. (1)求身高不低于170cm的学生人数； (2)将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人． ① 求从这三个组分别抽取的学生人数； ② 若要从6名学生中抽取2人，求组中至少有1人被抽中的概率． 【答案】(1)60人； (2)①30人，20人，10人；② 【分析】（1）先求出,的频率可得结果． （2）①由分层抽样可得各组的人数; ②分别列举各种情况可得概率． 【解析】（1）由频率分布直方图可知,的频率为 ， 故身高在以上的学生人数为（人． （2）①，，三组的人数分别为，，人． 因此应该从，，三组中每组各抽取（人，（人，（人． ②设组的3位同学为，，，组的2位同学为，，组的1位同学为， 则从6名学生中抽取2人有15种可能： ,，,，,．,，,，,，,，,， ,，,，,，,，,，,，,． 其中组的2位学生至少有1人被抽中有9种可能：,，,，,，,， ,，,，,，,，,． 所以组中至少有1人被抽中的概率为． 28．为了让学生适应上海“3+3”的新高考模式，某校在高二期末考试中使用赋分制给等级考科目的成绩进行赋分．先按照考生原始分从高到低按比例划定,共5等11级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分，和E级排名各占比5％，其余各级排名各占比10％．现从全年级的等级考化学成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示： (1)若采用分层抽样的方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取5人查看他们的答题情况，再从中选取2人进行个案分析，求这2人中至少有一人原始成绩在内的概率； (2)已知落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，求落在的平均成绩，并估计落在的成绩的标准差s（结果精确到0.1）． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，求得，得到在和中的频率之比为，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解； （2）根据题意，求得，结合，即可求解. 【解析】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得， 解得，则原始分在和中的频率之比为， 所以抽取的5中，原始成绩在和内的学生分布为人和人， 则这2人中至少有一人原始成绩在内的概率为. （2）解：由题意知，落在的平均成绩，方差， 落在的平均成绩，方差， 可得， 所以 ， 所以估计落在的成绩的标准差. 29．某市采用“”高考模式，其中第一个“3”指“语、数、外”三个必选学科，第二个“3”指选考学科，学生可在“物理、化学、政治、生物、地理、历史”这六门学科中选三科参加高考．选考学科通过等级赋分的方式计入总成绩．按等级赋分是将学生每门的原始成绩从高到低按所占比例划定为11个等级，每个等级所占比例和换算分值如下表所示． 评价等级 A B C D E 所占比例 5% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 5% 换算分值 70 67 64 61 58 55 52 49 46 43 40 2023年，某市约有50000名学生参加高考.在高考阅卷中，为初步了解物理学科的情况，随机抽取了100名学生的物理学科原始成绩，统计数据如下： 100  97  96  94  94  92  91  90  90  90  89  89  89  88  88  88  87  87  86  85 85  85  84  84  83  83  82  82  82  81  81  80  80  80  79  79  78  78  77  76 76  76  75  75  75  75  74  74  74  74  73  73  72  71  71  70  70  70  69  68 68  68  67  67  66  65  65  65  64  64  63  62  62  61  61  60  60  60  59  59 59  58  58  57  57  56  56  56  55  55  54  53  53  52  51  48  43  32  23  13 (1)根据统计数据，结合等级赋分的方式，预估此次物理学科赋分等级为B的大致分数线． (2)根据统计数据画出频率分布直方图，并据此估计本次高考中成绩在区间内的人数； (3)若某学生估计原始成绩为63分，试估计该学生的成绩在本次高考中处于第几百分位数，并根据等级赋分规则估计在此次高考中他的物理成绩． 【答案】(1)分 (2)频率分布直方图见解析，12000人 (3)第30百分位数，64分 【分析】（1）先找到赋分等级为B的换算分数对应的人数的占比的区间，结合题中所给数据即可得解. （2）求出各个区间内的人数，然后除以人数，再除以组距即可画出频率分布直方图，进一步可估计在区间内的人数. （3）由题中所给数据先估计该学生的成绩在本次高考中的百分位数，然后结合（2）中频率分布直方图列方程即可求解. 【解析】（1）由题意按赋分制物理学科赋分等级为B的换算分数为61分， 将这些换算分数对应的人数的占比的区间从小到大排列可知，赋分等级为B的区间为， 对比随机抽取的100名学生的物理学科原始成绩可知， 赋分等级为B的人的原始成绩分别为：74 ，74， 74， 74， 73， 73， 72， 71，71，70， 70，70； 因此预估物理学科赋分等级为B的大致分数线为分. （2）由题意在区间内的人数分别为. 据此可以画出频率分布直方图如图所示： 估计本次高考中成绩在区间内的人数为人. （3）对随机抽取的100名学生的物理学科原始成绩从小到大排列，可知原始成绩为63分的分数是第30个数， 所以估计该学生的成绩在本次高考中处于第30百分位数， 结合（2）中分析可知，估计在此次高考中他的物理成绩在区间， 不妨设为，则， 解得，估计在此次高考中他的物理成绩为64分. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$