第4章 一元一次方程压轴训练（单元复习 含参数问题、换元法、新定义型）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（苏科版2024）

第4章 一元一次方程压轴训练 01 压轴总结 目录 压轴题型一　利用一元一次方程的定义求字母参数 1 压轴题型二　已知一元一次方程的解求代数式的值 5 压轴题型三　利用一元一次方程的解相同求字母参数 6 压轴题型四　含字母参数方程的解为整数解的问题 10 压轴题型五　换元法求一元一次方程的解 13 压轴题型六　新定义型一元一次方程的求解问题 15 02 压轴题型 压轴题型一　利用一元一次方程的定义求字母参数 例题：若是关于的一元一次方程，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 巩固训练 1．已知是关于x的一元一次方程， 则n的值为（     ） A．1 B．2 C． D． 2．已知方程是关于的一元一次方程，则的值为（    ） A． B．3 C． D．不存在 3．若方程是关于x的一元一次方程，则代数式的值为（  ） A． B．1 C．2023 D． 4．若方程是关于的一元一次方程，则的值为（    ）． A．1 B．2 C．2或1 D．任意有理数 5．已知是关于的一元一次方程，则的值为（    ） A． B．3 C． D．5 6若关于x的方程是一元一次方程，则 ． 7．已知关于的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于的方程的解相同． (1)求，的值； (2)在（1）的条件下，若关于的方程无解，求的值． 压轴题型二　已知一元一次方程的解求代数式的值 例题：若是关于x的方程的解，则代数式的值为 ． 巩固训练 1．若是关于的一元一次方程的解，则的值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 2．若是方程的解，则的值为 ． 3．若是关于x的方程的解，则代数式的值是 ． 4．已知是关于的方程的解，则式子的值为 ． 压轴题型三　利用一元一次方程的解相同求字母参数 例题：已知关于的方程与的解相同，则 ． 巩固训练 1．关于的方程与方程的解相同，则的值为（    ） A． B．7 C．3.5 D． 2．已知方程与方程的解相同，则k的值为（    ） A． B． C． D． 3．关于的方程与的解相同，则的值为 . 4．若关于的方程与的解相同，则 ． 5．已知关于的两个方程和． (1)若方程的解为，求方程的解； (2)若方程和的解相同，求的值． 压轴题型四　含字母参数方程的解为整数解的问题 例题：已知方程的解是正数，则的最小整数解是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 巩固训练 1．若关于x的方程有正整数解，则整数a的值为（　　） A．1或或3或 B．1或3 C．1 D．3 2．已知关于x的方程有非负整数解，则负整数a的所有可能的取值的和为（    ） A． B． C． D． 3．关于的方程的解为整数，则符合条件的正整数的值之和为 ． 4．若关于x的方程的解是整数解，m是整数，则所有m的值加起来为 ． 压轴题型五　换元法求一元一次方程的解 例题：已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于x的一元一次方程的解为（    ） A．2013 B．－2013 C．2023 D．－2023 2．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 3．若关于的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是 ． 压轴题型六　新定义型一元一次方程的求解问题 例题：定义一种新运算“※”，其规则为． 例如：．再如：． (1)计算值为______． (2)若，求的值． 巩固训练 1．若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程是“平安方程”．例如，方程的解是，而，则方程是“平安方程”．如果关于的一元一次方程是“平安方程”，那么的值是 ． 2．定义一种新运算“”：，如 (1)求的值； (2)若，求x的值； 3．规定的一种新运算“”：，例如：． (1)试求的值； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 4．小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“十全十美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“十全十美方程”． (1)判断下列关于y的方程是否是一元一次方程的“十全十美方程”，在后面的横线上写“是”或“否”： ① ______，②  ______； (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请求出a的值； (3)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请直接写出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 一元一次方程压轴训练 01 压轴总结 目录 压轴题型一　利用一元一次方程的定义求字母参数 1 压轴题型二　已知一元一次方程的解求代数式的值 5 压轴题型三　利用一元一次方程的解相同求字母参数 6 压轴题型四　含字母参数方程的解为整数解的问题 10 压轴题型五　换元法求一元一次方程的解 13 压轴题型六　新定义型一元一次方程的求解问题 15 02 压轴题型 压轴题型一　利用一元一次方程的定义求字母参数 例题：若是关于的一元一次方程，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数是1次的整式方程叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义得出且，求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， 解得， 故选：B． 巩固训练 1．已知是关于x的一元一次方程， 则n的值为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题关键是熟悉一元一次方程的定义，根据未知数的次数为1列方程求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴， 解得，， 故选：B． 2．已知方程是关于的一元一次方程，则的值为（    ） A． B．3 C． D．不存在 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的定义：“含有一个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程”，列式计算即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选B． 3．若方程是关于x的一元一次方程，则代数式的值为（  ） A． B．1 C．2023 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，平方根，代数式求值； 根据一元一次方程的定义知，且，据此可求出，然后可求得代数式的值． 【详解】解：将方程整理为：， ∵方程是关于x的一元一次方程， ∴，， 解得：， ∴， 故选：B． 4．若方程是关于的一元一次方程，则的值为（    ）． A．1 B．2 C．2或1 D．任意有理数 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的定义以及含绝对值方程的求解，根据一元一次方程的定义去求解满足条件的m的值，本题即可求解，正确理解一元一次方程的定义及会解绝对值方程是本题的关键． 【详解】解：根据一元一次方程的定义，得 ∵， ∴，得或； 又∵，即， ∴． 故选：A． 5．已知是关于的一元一次方程，则的值为（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程，掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， 解得：， 故选D． 6若关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的概念，解题的关键是根据一元一次方程是只有一个未知数且未知数的次数是1的方程可知，的系数应为0，x的系数应不为0，列出关系式求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程， 整理得：， ∴， 解得：， 故答案为：2． 7．（2023上·四川成都·七年级双流中学校考阶段练习）已知关于的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于的方程的解相同． (1)求，的值； (2)在（1）的条件下，若关于的方程无解，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用一元一次方程的定义即可求出的值，根据两个方程同解，即可求得的值； （2）把，的值代入方程求出方程的解，根据方程无解的条件列式即可求得的值． 【详解】（1）解：∵关于的方程为一元一次方程， ∴，， 解得：， 当时，方程为： 解得：， 解得： ∴ （2）解：将，代入得： ， ∵关于的方程无解， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了一元一次方程的解、一元一次方程的定义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 压轴题型二　已知一元一次方程的解求代数式的值 例题：若是关于x的方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】把代入方程中推出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，求代数式的值，熟知一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 巩固训练 1．若是关于的一元一次方程的解，则的值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】将代入一元一次方程中可得，进而得出答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义，熟知一元一次方程的解即为能使一元一次方程成立的未知数的值，运用整体代入的思想解题是关键． 2．若是方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】由是方程的解，可得，再把化为，再代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是求解代数式的值，一元一次方程的解的含义，熟练的利用整体法求解代数式的值是解本题的关键． 3．若是关于x的方程的解，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】把代入得，则，即可解答． 【详解】解：把代入得：， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解． 4．已知是关于的方程的解，则式子的值为 ． 【答案】 【分析】将代入得出，代入代数式，即可求解． 【详解】解：将代入得 即 ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义，代数式求值，得出是解题的关键． 压轴题型三　利用一元一次方程的解相同求字母参数 例题：已知关于的方程与的解相同，则 ． 【答案】/0.5 【分析】分别解出两方程的解，两解相等，就得到关于m的方程，从而可以求出m的值． 【详解】解：由，得， 由，得， 由关于的方程与的解相同，得 ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了同解方程，解决的关键是能够求解关于y的方程，根据同解的定义建立方程． 巩固训练 1．关于的方程与方程的解相同，则的值为（    ） A． B．7 C．3.5 D． 【答案】A 【分析】先求出方程的解，再代入方程中，即可求出的值． 【详解】解：解方程，得； ∵方程与方程的解相同， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了两个方程同解的问题，掌握解一元一次方程的方法是解答本题的关键． 2．已知方程与方程的解相同，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出方程的解，再把，代入，即可求解． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 解得：， ∵方程与方程的解相同， ∴， 解得：． 故选：B 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程得基本步骤是解题的关键． 3．关于的方程与的解相同，则的值为 . 【答案】 【分析】先求得方程的解，再代入方程中求解即可． 【详解】解：解方程得， ∵方程与的解相同， ∴将代入方程中，得， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查方程的解、解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法步骤，理解方程的解的意义是解答的关键． 4．若关于的方程与的解相同，则 ． 【答案】 【分析】把当成已知数，求得，根据解相等，得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：由可得： ， ， ， ． 由可得： ， ， ， ． 又因为解相同，所以， ， ， ． 故答案为： 【点睛】此题考查了一元一次方程的求解，解题的关键是正确的用表示出两个方程的解． 5．已知关于的两个方程和． (1)若方程的解为，求方程的解； (2)若方程和的解相同，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程的解的定义，将方程的解代入方程，求得，再将的值代入方程，求解即可得到答案； （2）分别求解两个方程，得到和，再根据两个方程的解相同，得到，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入方程， 得：， 解得：， 把代入方程， 得：， 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1，得：， 即方程的解是； （2）解：解方程，得：， 解方程，得：， 方程和的解相同， ， 解得：． 【点睛】本题考查了方程的解，解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键． 压轴题型四　含字母参数方程的解为整数解的问题 例题：已知方程的解是正数，则的最小整数解是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】依次去括号、移项、合并同类项、系数化1解方程，求得，再根据方程的解是正数，求出，即可得到的最小整数解． 【详解】解：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1，得：， 方程的解是正数， ， ， 的最小整数解是3， 故选：C． 【点睛】本题考查了根据一元一次方程的解的情况求参数，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键． 巩固训练 1．若关于x的方程有正整数解，则整数a的值为（　　） A．1或或3或 B．1或3 C．1 D．3 【答案】B 【分析】解方程，用含有a的式子表示出x，即，再根据3除以几得正整数，求出整数a． 【详解】解：， 移项，得， ∵关于x的方程有正整数解， ∴， ∴， ∵a为整数，关于x的方程的解为正整数， ∴或， 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次方程的解，解题关键是根据方程的解为正整数，a为整数，得出关于a的一元一次方程． 2．已知关于x的方程有非负整数解，则负整数a的所有可能的取值的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将的值算出，最后相加即可得出答案． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得， ∵是非负整数解， ∴取， ∴或，时，的解都是非负整数， 则， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键． 3．关于的方程的解为整数，则符合条件的正整数的值之和为 ． 【答案】 【分析】先将方程化简为，根据方程的解为整数，得到关于的方程，解出并找出符合题意的的值相加，即可得出答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， ∵方程的解为整数， ∴或， 解得：或或或， 又∵为正整数， ∴的值为或或， ∴符合条件的正整数的值之和为：． 故答案为： 【点睛】本题考查了含参数的一元一次方程，解题的关键是得到关于参数的方程． 4．若关于x的方程的解是整数解，m是整数，则所有m的值加起来为 ． 【答案】 【分析】根据解一元一次方程的一般步骤表示出x的代数式，分析解答即可． 【详解】解：解方程， 得：， 根据题意可知为整数，是整数， 当的值为0，，，，，时，为整数， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据一元一次方程解的情况求参数，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解本题的关键． 压轴题型五　换元法求一元一次方程的解 例题：已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把所求方程变形为，设，则，根据题意可得关于m的一元一次方程的解为，则可求出，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， ∵关于x的一元一次方程的解为， ∴关于m的一元一次方程的解为， ∴， ∴， ∴于y的一元一次方程的解为， 故选D． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的特殊解法，正确将所求方程变形为是解题的关键． 巩固训练 1．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于x的一元一次方程的解为（    ） A．2013 B．－2013 C．2023 D．－2023 【答案】B 【分析】观察两个一元一次方程可得即可求解． 【详解】解：由题意得： ∴， ∵的解为， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，正确找出两个式子之间的关系是解题关键． 2．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】1 【分析】根据换元法得出，进而解答即可． 【详解】解：关于的一元一次方程的解为， 关于的一元一次方程的解，， 解得：， 故答案为：1． 【点睛】此题考查一元一次方程的解，关键是根据换元法解答． 3．若关于的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是 ． 【答案】 【分析】将转化，即可得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于的一元一次方程的解是， ∴一元一次方程的解为：， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次方程的解，以及解一元一次方程．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键． 压轴题型六　新定义型一元一次方程的求解问题 例题：定义一种新运算“※”，其规则为． 例如：．再如：． (1)计算值为______． (2)若，求的值． 【答案】(1)31 (2) 【分析】（1）利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出m的值． 【详解】（1）根据题中的新定义得： （2）利用题中的新定义化简得：， 解得： 【点睛】此题考查定义新运算，一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 巩固训练 1．若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程是“平安方程”．例如，方程的解是，而，则方程是“平安方程”．如果关于的一元一次方程是“平安方程”，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查对“平安方程”得理解和一元一次方程得运用，根据题干得出，再将代入中计算即可． 【详解】解：关于的一元一次方程的解满足，则称该方程是“平安方程”． 又关于的一元一次方程是“平安方程”， ， 将代入中，有，解得． 故答案为：． 2．定义一种新运算“”：，如 (1)求的值； (2)若，求x的值； 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据所给的新定义进行代值计算即可； （2）根据所给的新定义可得方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算，解一元一次方程，正确理解所给的新定义是解题的关键． 3．规定的一种新运算“”：，例如：． (1)试求的值； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)根据定义，直接计算求解即可． (2)根据定义，转化为一元一次方程计算求解即可． (3)根据定义，转化为一元一次方程计算求解即可． 【详解】（1） ．                 ． （2） ． （3） ． 【点睛】本题考查了新定义问题，一元一次方程的解法，正确理解定义，熟练掌握解方程是解题的关键． 4．小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“十全十美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“十全十美方程”． (1)判断下列关于y的方程是否是一元一次方程的“十全十美方程”，在后面的横线上写“是”或“否”： ① ______，②  ______； (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请求出a的值； (3)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请直接写出的值． 【答案】(1)①否；②是 (2)3或9 (3)或 【分析】本题考查了新定义方程，解方程，熟练掌握定义，正确解方程是解题的关键． （1）根据新定义的要求，解方程验证即可． （2）先求出的解，再根据新定义的内容求出的根，再代入这个根求出a即可． （3）先求出的解，再根据新定义的内容求出的根，再代入这个根求出，继而得解． 【详解】（1）解：（1）①否；②是，理由如下： 的解为； ①方程的解是，，故不是“十全十美方程”； ②方程的解是或，当时，，是“十全十美方程”． 故答案为：①否；②是； （2）方程的解是或， 一元一次方程的解是，即， 若，，则，解得：； 若，，则，解得：； ∴a的值为3或9． （3）的值为或．理由如下： 由， 解得：， ∵， ∴， 即的解是：， ∴， 整理得：， ∵分母m不能为0， ∴， ∴， ①当时，， ∴，； ②当时，， ∴，； ∴的值为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$