2.1.2列代数式（三大题型提分练）数学北京版2024七年级上册

2.1.2 列代数式 题型一 用代数式表示式 1．用含有字母的式子表示下面的数量关系： （1）的倍与的积减去： ． （2）减去的差除以，再加上的倍： ． 2．有六箱苹果，以每箱为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如下：，，，，，．若每千克苹果卖元，则六箱苹果共卖 元． 3．营养参考值（）是专用于食品营养标签上比较食品营养成分含量的参考标准，例如某高钙饼干，每100克饼干含钙272毫克，钙的是800毫克，所以钙的NRV%是34%．某瓶装牛奶每100g含蛋白质，蛋白质的为，则该瓶装牛奶蛋白质的%为 ．（用含的代数式表示） 4．有一列数：，4，，16，，…，按这样的规律排列，则第n个数是（　　） A． B． C． D． 5．在方程中用含的式子表示，则 ． 题型二 用代数式表示数、图形的规律 1. 表示图中阴影部分面积的代数式是（　　） A． B． C． D． 2．无字证明是数学证明中的一道亮丽的风景线，这种亮丽甚至不需要用语言来描述，这种证明方式被认为比严格的数学证明更优雅、更有条理．借助形的几何直观性来表示数之间的关系，这种证明方法被称为数形结合．如图，请利用数形结合思想猜测，的值最接近的有理数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，每一个图形都是由黑色圆点按照一定的规律排列组成的，其中第①个图形有3个黑色圆点，第②个图形有6个黑色圆点，第③个图形有11个黑色圆点．．．按此规律，在第⑨个图形中，黑色圆点的个数为（    ） A．66 B．82 C．83 D．102 4．用黑、白两种颜色的正六边形地砖按如下图所示规律铺地面，则第n个图形有 块白色地砖． 5．如图，摆一个正方形要用4根小棒，摆两个正方形要用7根小棒，按此规律，摆8个正方形要用 根小棒，摆 个正方形用了37根小棒． 题型三 列方程 1．往返于甲、乙两地的航班，某天由甲地飞往乙地，当天风速为，飞机顺风飞行需要到达．如果设无风时飞机的速度为，顺风时飞机的速度是无风时的速度加上风速，则甲地到乙地的距离是 ．(用含x的式子表示) 2．小红妈妈去市场买了a斤苹果和y斤香蕉，苹果每斤8元，香蕉每斤5元，则共花费 元（用含a、y的代数式表示）． 3．食堂有大米，原计划每天用大米，实际每天节约大米，节约后可以多用 天． 4．观察下列各式：，…，第n个等式是 ． 5．从大拇指开始，按照大拇指→食指→中指→无名指→小指→无名指→中指→食指→大拇指→食指……的顺序，依次数整数1，2，3，4，5，6，7，……当数到2022时，对应的手指为 ；当第n次数到食指时，数到的数是 （用含n的代数式表示）． 1．如图是用大小相等的五角星按一定规律拼成的一组图案，请根据你的观察，写出第个图案中小五角星有 颗． 2． (1)第5个式子是_______；第个式子是_______． (2)从计算结果中找规律，利用规律计算：_______； (3)计算：（由此拓展写出具体过程）： ①； ②． 3．仔细观察下图，回答下面的问题： (1)画出第10个图形； (2)完成含x中图形的两个空的填充（用含x的式子表示），请求出x的值． 4．用小棒按如下方式摆成图形． (1)一个六边形需要6根小棒摆成，摆2个六边形需要（    ）根小棒；摆3个六边形需要（    ）根小棒． (2)摆个六边形需要（    ）根小棒． (3)用2021根小棒可以摆成（    ）个六边形． 5．将若干张长3厘米、宽2厘米的纸片按图中样子（重复一竖一横）重叠摆在桌子上． (1)填表． 纸片张数 …… 盖住桌面面积/ (2)8张这样的纸片盖住桌面的面积是______平方厘米． (3)用S表示盖住桌面的面积，n表示纸片张数，请你写出与之间的关系式：______． (4)______张纸片盖住桌面的面积是2022平方厘米． 6．【观察思考】 第1个图形是1个三条长度都为的线段构成的小三角形；第2个图形是4个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第3个图形是9个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第4个图形是16个边长都为的小三角形拼成的大三角形；    【规律发现】 请用含的式子填空： (1)请直接写出第个图形有___________个小三角形； (2)第1个图形共有长度为的线段（条）， 第2个图形共有长度为的线段（条） 第3个图形共有长度为的线段（条）， 第4个图形共有长度为的线段（条）， ……， 按此规律，第个图形中共有长度为的线段___________条； (3)请类比（2）的探究方法，求第个图形中共有交点的个数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1.2 列代数式 题型一 用代数式表示式 1．用含有字母的式子表示下面的数量关系： （1）的倍与的积减去： ． （2）减去的差除以，再加上的倍： ． 【答案】 【分析】本题考查用字母表示数， （1）根据“的倍与的积”得，再减去即可； （2）根据“减去的差”得，再除以，最后加上即可； 正确理解题意、找出数量关系是解题的关键． 【详解】解：（1）的倍与的积减去：； （2）减去的差除以，再加上的倍：． 故答案为：；． 2．有六箱苹果，以每箱为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如下：，，，，，．若每千克苹果卖元，则六箱苹果共卖 元． 【答案】 【分析】本题考查了代数式、负数的应用、有理数四则混合运算的应用，熟练掌握负数的意义是解题关键．将记录的数字相加，再加上六箱苹果的标准总质量，然后乘以每千克苹果的价格即可得． 【详解】解：这六箱苹果的总质量为 ， ∵每千克苹果卖元， ∴六箱苹果共卖元， 故答案为：． 3．营养参考值（）是专用于食品营养标签上比较食品营养成分含量的参考标准，例如某高钙饼干，每100克饼干含钙272毫克，钙的是800毫克，所以钙的NRV%是34%．某瓶装牛奶每100g含蛋白质，蛋白质的为，则该瓶装牛奶蛋白质的%为 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了列代数式．根据题意列出代数式即可． 【详解】解：∵某瓶装牛奶每含蛋白质，蛋白质的为， ∴该瓶装牛奶蛋白质的为， 故答案为：． 4．有一列数：，4，，16，，…，按这样的规律排列，则第n个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是对数字变化规律的考查，比较简单，观察出后一个数是前一个数的倍是解题的关键．观察不难发现，后一个数是前一个数的倍，根据此规律写出即可，再根据指数与序数的关系写出第n个数即可． 【详解】解：由，4，，16，，…，可知，后一个数是前一个数的倍， 所以，第n个数是． 故选：B． 5．在方程中用含的式子表示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据运算法则进行变形即可． 【详解】解：， 方程两边同时加上，得：，即， 方程两边再同时减去2，得：，即． 故答案为：． 题型二 用代数式表示数、图形的规律 1. 表示图中阴影部分面积的代数式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把图形分割成两个小长方形，表达出面积即可． 此题考查列代数式，解题的关键是把图形分割成两个小长方形，从而求出面积． 【详解】如图所示，把图形分割成两个小长方形， ∴表示图中阴影部分面积的代数式是． 故选：C． 2．无字证明是数学证明中的一道亮丽的风景线，这种亮丽甚至不需要用语言来描述，这种证明方式被认为比严格的数学证明更优雅、更有条理．借助形的几何直观性来表示数之间的关系，这种证明方法被称为数形结合．如图，请利用数形结合思想猜测，的值最接近的有理数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现阴影部分面积变化的规律是解题的关键．根据所给图形，发现阴影部分面积变化的规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 当n越来越大时，阴影部分的面积越来越接近正方形面积的， 所以当n无穷大时，的值最接近． 故选：A． 3．如图，每一个图形都是由黑色圆点按照一定的规律排列组成的，其中第①个图形有3个黑色圆点，第②个图形有6个黑色圆点，第③个图形有11个黑色圆点．．．按此规律，在第⑨个图形中，黑色圆点的个数为（    ） A．66 B．82 C．83 D．102 【答案】C 【分析】依次求出图形中黑色圆点的个数，发现规律即可解决问题．本题考查图形变化的规律，能根据所给图形用含的代数式表示第个图形中黑色圆点的个数是解题的关键． 【详解】解：由所给图形可知， 第①个图形中，黑色圆点的个数为：； 第②个图形中，黑色圆点的个数为：； 第③个图形中，黑色圆点的个数为：； 第④个图形中，黑色圆点的个数为：； ， 所以第个图形中，黑色圆点的个数为个， 当时， （个， 即第⑨个图形中，黑色圆点的个数为83个． 故选：C． 4．用黑、白两种颜色的正六边形地砖按如下图所示规律铺地面，则第n个图形有 块白色地砖． 【答案】/ 【分析】本题考查了规律型图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律，总结规律，运用规律． 根据图示，第1个图形有白色地砖6块；第2个图形有白色地砖（块；第3个图形有白色地砖（块；．．；第5个图形白色地砖的块数：（块；；第个图形白色地砖的块数：块．据此解答． 【详解】解：第1个图形有白色地砖6块， 第2个图形有白色地砖（块）， 第3个图形有白色地砖（块）， 第5个图形白色地砖的块数：（块）， 第个图形白色地砖的块数：块， 故答案为：． 5．如图，摆一个正方形要用4根小棒，摆两个正方形要用7根小棒，按此规律，摆8个正方形要用 根小棒，摆 个正方形用了37根小棒． 【答案】 25 12 【分析】本题主要考查了图形类的规律，观察图形、探索图形的排列规律，并从中获取第n项需要小棒的根数的表达式成为解题的关键． 第1个图需要4根小棒，第2个图需要7根小根，第3个图需要10根小棒，，所以第n个图需要根小棒,然后运用此规律求解即可． 【详解】解：根据题意可得：第n个图需要根小棒， 当时，， 当第n个图需要37根时，可得：，解得：． 故答案为：25，12． 题型三 列方程 1．往返于甲、乙两地的航班，某天由甲地飞往乙地，当天风速为，飞机顺风飞行需要到达．如果设无风时飞机的速度为，顺风时飞机的速度是无风时的速度加上风速，则甲地到乙地的距离是 ．(用含x的式子表示) 【答案】/ 【分析】本题考查根据题意列代数式，解决本题的关键是掌握速度的求法．根据距离速度时间，顺风速度飞机速度风速列代数式化简即可． 【详解】解：根据距离速度时间， 则甲地到乙地的距离为． 故答案为：． 2．小红妈妈去市场买了a斤苹果和y斤香蕉，苹果每斤8元，香蕉每斤5元，则共花费 元（用含a、y的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了列代数式，分别求出苹果和香蕉的费用，求和即可． 【详解】解：根据题意可得一共应付元， 故答案为：． 3．食堂有大米，原计划每天用大米，实际每天节约大米，节约后可以多用 天． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，先分别求出原计划和实际用的天数，再用实际用的天数减去原计划用的天数即可得到答案． 【详解】解；由题意得，原计划可以用天，实际可以用天， ∴节约后可以多用天， 故答案为：． 4．观察下列各式：，…，第n个等式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，此类题目通常按照一定的顺序给出一系列式子，要求我们根据这些已知的式子找出一般规律．揭示的规律，常常包含着事物的序列号．所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘．掌握探究的一般方法是解决此类问题的关键．分析前面几个等式对应数据之间的内在联系，再归纳总结即可得到规律． 【详解】解：∵， ， ， …， ∴第n个等式为：． 故答案为：． 5．从大拇指开始，按照大拇指→食指→中指→无名指→小指→无名指→中指→食指→大拇指→食指……的顺序，依次数整数1，2，3，4，5，6，7，……当数到2022时，对应的手指为 ；当第n次数到食指时，数到的数是 （用含n的代数式表示）． 【答案】 无名指 或 【分析】本题考查规律型数字的变化类问题，解题的关键是从一般到特殊探究规律、发现规律、利用规律解决问题，属于中考常考题型．先探究规律，发现规律后利用规律即可解决问题． 【详解】解：如题意可知，八次为一个循环体重复出现， ， 当数到2022时，对应的手指与第6次对应的一样为：无名指； 第一个循环体出现食指时，数到的数是：，； 第二个循环体出现食指时，数到的数是：，； 第三个循环体出现食指时，数到的数是：，； 当第n次数到食指时，数到的数是，， 故答案为：无名指，或． 1．如图是用大小相等的五角星按一定规律拼成的一组图案，请根据你的观察，写出第个图案中小五角星有 颗． 【答案】 【分析】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出图形规律的能力，要求学生要会分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．观察图案总结小五角星数与图案数间的关系，据此规律求和即可． 【详解】解：第个图案中，小五角星有个， 第个图案中，小五角星有个， 第个图案中，小五角星有个， 第个图案中，小五角星有个， ， ∴第个图案中，小五角星有个， ∴第个图案中小五角星有个． 故答案为： 2． (1)第5个式子是_______；第个式子是_______． (2)从计算结果中找规律，利用规律计算：_______； (3)计算：（由此拓展写出具体过程）： ①； ②． 【答案】(1)； (2) (3)①；② 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）观察一系列等式得到一般性规律，写出第5个式子与第个式子即可； （2）原式利用得出的规律化简，计算即可得到结果； （3）①原式变形为，利用得出的规律化简，计算即可得到结果； ②原式变形为，利用得出的规律化简，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴第5个式子是：； 第个式子是； 故答案为：；； （2）解： ； （3）解：① ． ② ． 3．仔细观察下图，回答下面的问题： (1)画出第10个图形； (2)完成含x中图形的两个空的填充（用含x的式子表示），请求出x的值． 【答案】(1)见解析 (2)左边的空为：，右边的空为：， 【分析】题目主要考查数字规律探索及解一元一次方程，结合图形，找出相应的规律是解题关键． （1）根据图形找出规律，画出图即可； （2）根据题意得出左边的空为：，右边的空为：，中间的空为：，然后确定方程求解即可． 【详解】（1）解：根据图画出第10个图形如下： （2）根据题意得出规律为：左边的空为：， 右边的空为：， 中间的空为：， ∴， 解得：． 4．用小棒按如下方式摆成图形． (1)一个六边形需要6根小棒摆成，摆2个六边形需要（    ）根小棒；摆3个六边形需要（    ）根小棒． (2)摆个六边形需要（    ）根小棒． (3)用2021根小棒可以摆成（    ）个六边形． 【答案】(1)11，16 (2) (3)404 【分析】此题考查了图形类规律题，根据题意找到规律是解题的关键． （1）根据图形直接得出结果； （2）根据（1）中图形，找出相应规律即可； （3）利用（2）中规律求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： 摆1个六边形用了6根小棒， 摆2个六边形需要（根）， 摆3个需要（根）， 故答案为：11；16； （2）摆n个六边形，需要小棒根， 故答案为：； （3）当时， ， ， 故答案为：404． 5．将若干张长3厘米、宽2厘米的纸片按图中样子（重复一竖一横）重叠摆在桌子上． (1)填表． 纸片张数 …… 盖住桌面面积/ (2)8张这样的纸片盖住桌面的面积是______平方厘米． (3)用S表示盖住桌面的面积，n表示纸片张数，请你写出与之间的关系式：______． (4)______张纸片盖住桌面的面积是2022平方厘米． 【答案】(1)8，10，12 (2)20 (3) (4)1009 【分析】本题考查了图形与规律探索，代数式求值，一元一次方程的实际应用． （1）根据题意得出：每增加一个纸片所增加的面积是2平方厘米，从而得出增加的规律，这是解决本题的关键，第一张纸盖住的面积是平方厘米，第二张纸盖住的就是平方厘米，第三张纸盖住的也是平方厘米，以后每张纸盖住的面积都是2平方厘米，由此填表， （2）由（1）即可求解； （3）由（1）得出规律：n张纸重叠，那么覆盖的面积就是，再根据规律求解； （4）令，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：第一张纸盖住的面积是平方厘米， 第二张纸盖住的就是平方厘米， 第三张纸盖住的也是平方厘米， 以后每张纸盖住的面积都是2平方厘米， 纸片张数 …… 盖住桌面面积/ 8 10 12 （2）解：由（1）得以后每张纸盖住的面积都是2平方厘米， 时，则（平方厘米）； （3）解：由（1）得出规律：n张纸重叠，则覆盖的面积就是， ； （4）解：， ， ． 6．【观察思考】 第1个图形是1个三条长度都为的线段构成的小三角形；第2个图形是4个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第3个图形是9个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第4个图形是16个边长都为的小三角形拼成的大三角形；    【规律发现】 请用含的式子填空： (1)请直接写出第个图形有___________个小三角形； (2)第1个图形共有长度为的线段（条）， 第2个图形共有长度为的线段（条） 第3个图形共有长度为的线段（条）， 第4个图形共有长度为的线段（条）， ……， 按此规律，第个图形中共有长度为的线段___________条； (3)请类比（2）的探究方法，求第个图形中共有交点的个数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查几何图形中的数字规律，由前面的几个图形，得到满足要求的数字规律，即可归纳概括出第个图形的结论，由特殊到一般发现规律是解决问题的关键． （1）根据题中所给图形，数出其中的小三角形个数，得出数字规律即可得到答案； （2）根据题中所给图形，数出其中的线段条数，得出数字规律即可得到答案； （3）根据题中所给图形，数出其中的交点个数，得出数字规律即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示：    第1个图形小三角形个数为：； 第2个图形小三角形个数为：； 第3个图形小三角形个数为：； 第4个图形小三角形个数为：； ……， 按此规律，第个图形中小三角形个数为， 故答案为：； （2）解：如图所示：    第1个图形共有长度为的线段为：（条）； 第2个图形共有长度为的线段为：（条）； 第3个图形共有长度为的线段为：（条）； 第4个图形共有长度为的线段为：（条）； ……， 按此规律，第个图形中共有长度为的线段为：条； 故答案为：； （3）解：如图所示：    第1个图形共有交点：（个）； 第2个图形共有交点：（个）； 第3个图形共有交点：（个）； 第4个图形共有交点：（个）； ……， 按此规律，第个图形共有交点：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 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