精品解析：2025届贵州省贵阳市七校联盟高三上学期第一次联考数学试卷

贵阳市七校2025届高三年级联合考试（一） 数学 贵阳六中 贵阳八中 贵州省实验中学 贵阳民中 贵阳华师一学校 贵阳二中 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将答题卡交回.本卷满分150分，考试用时120分钟. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】运用复数除法化简，后根据纯虚数概念计算即可. 【详解】因为，所以，因为复数z为纯虚数，所以，所以， 故选：C. 2. 设集合，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得A，根据集合的基本关系确定a的范围结合充分、必要条件的定义判定即可. 【详解】由集合， 又，所以， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 3. 若向量都是单位向量，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作，根据菱形性质可得. 【详解】设，因为， 则，解得， 因为，所以， 所以四边形是的菱形， 所以与的夹角即. 故选：A. 4. 为了了解某班学生数学成绩，利用分层随机抽样抽取了一个10人的样本，统计如下： 学生数 平均分 方差 男生 6 80 7 女生 4 75 2 则可估计全班学生数学的平均分和方差分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由均值和方差公式直接计算． 【详解】可估计全班学生数学的平均分为， 方差为. 故选：D. 5. 已知函数，且满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先用定义法证明为奇函数，化简解析式可知为增函数，然后结合函数的奇偶性与单调性解不等式即可. 【详解】因为，所以为奇函数， 又因为， 所以为上的增函数. 因为，为奇函数， 所以， 又为上的增函数，所以， 即，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 6. 如图甲，在边长为2的正方形中，分别是的中点，将分别沿折起，使得三点重合于点，如图乙，若三棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用补形法，结合长方体外接球问题计算. 【详解】根据题意可得，且1，， 所以三棱锥可补成一个长方体，三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 如图所示，设长方体的外接球的半径为，可得，所以， 所以外接球的体积为. 故选：A. 7. 已知函数的图像如图所示，是的极值点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象先确定函数解析式，在利用导函数及韦达定理计算即可. 【详解】由函数的图象可知：， 解得， 所以，可得， 由韦达定理及极值点的定义得， 所以. 故选：B. 8. 已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】恒成立问题先转化为的最值问题，由条件等式利用常数的代换将式子转化为，再利用基本不等式求出最值，最后求解关于的不等式可得. 【详解】已知，则， 因为， 当且仅当时等号成立，由， 解得． 故的最小值为4． 因为恒成立， 所以，即， 解得，即． 故选：D 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数是偶函数 D. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合函数图象依次求出,再根据选项，分别运用代入检验对称性，利用奇偶性定义判断函数奇偶性，利用伸缩变换得到新函数逐一判断即得. 【详解】由图可得，，，解得，故A正确； 又函数图象经过点，则，即， 因，故，解得，故. 对于B，当时，，此时函数取得最小值，故B正确； 对于C，，是奇函数，故C错误； 对于D，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍， 将得到函数的图象，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知直线与圆相交于两点，下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过某一定点 B. 时，最大 C. 的最小值为 D. 当时，对任意，曲线过直线与圆的交点 【答案】ACD 【解析】 【分析】整理为，令即可得到A正确；求出圆心坐标，判断是否在直线上即可得到B错误；当是线段的中点时，此时弦长最短，再结合两点间距离公式和弦长公式可得C正确；把曲线方程整理为，由括号内为时的直线方程可得D正确； 【详解】对于A：直线，整理为， 不管为何值，直线始终过点，故A正确； 对于B：时直线的方程为， 而圆，圆心是，它不过圆的圆心，故B错误； 对于C：由A知当是线段的中点时，此时弦长最短， 而圆，圆心是，半径， 圆心和点的距离是， 所以最短弦长，故C正确； 对于D：当时，直线，曲线， 即，显然该曲线过直线与圆的交点，故D正确； 故选：ACD. 11. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若函数是奇函数，函数是偶函数，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 函数是奇函数 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意分析可知：函数的图象关于点对称，且的图象关于直线对称.对于A：由，令运算求解即可；对于BCD：举反例说明即可. 【详解】因为函数是奇函数，则， 整理可得，可知函数的图象关于点对称； 若函数是偶函数，则， 可知的图象关于直线对称； 对于选项A：因为， 令可得，解得，故A正确； 对于选项BCD：例如，则， 可知函数的图象关于点对称，且的图象关于直线对称， 即符合题意， ，故B错误； 但不为奇函数，故C错误； ，故D错误； 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：对于一些比较难的证伪问题，常常通过举反例的形式说明，可以简化说明过程. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，内角的对边分别为，若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据正弦定理化简题干条件可得，进而结合余弦定理即可求解. 【详解】对于， 由正弦定理得， 即， 由余弦定理得， 又，所以. 故答案为：. 13. 若的展开式的二项式系数和为32，且的系数为80，则实数的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由二项式系数和先求，再利用通项得到的指数确定值，由的系数为，建立关于的方程求解可得. 【详解】因为的展开式的二项式系数和为， 所以，解得. 所以二项式展开式的通项公式为， 由，解得， 所以的系数为，解得. 故答案为：. 14. 设函数，若，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】结合题意，由对数函数和一次函数的单调性以及基本不等式求解即可. 【详解】，且恒成立， 在定义域上单调递增且零点为， 在定义域上单调递减且零点为， 故与在定义域内函数值正负相反且零点重合， 则，所以， 当且仅当时取等号. 故答案为：. 四､解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和为，且满足. (1)求证为等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】 （1）当时，， 解得. 因为① 所以② ①-②得： ， 整理得， 所以， 即， 又， 所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列. （2） 【解析】 【详解】试题分析： （1）由可得，两式相减后整理得，所以，由，从而可得数列是以2为首项，以2为公比的等比数列．（2）由（1）可得到，故 ，再用分组求和法可得数列的前项和． 试题解析： （1)略 (2)由（1)知， 所以， 所以， 所以 ． 16. 如图甲，中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”.某种风筝的骨架模型是是四棱锥，其中交于点，如图乙. （1）求证：平面； （2）若，点是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形全等，证明，，可证得平面； （2）以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，向量法求线面角的正弦值. 【小问1详解】 证明：因为，所以， 有，又，所以. 所以，所以. 同理，，有 又因为平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）可知，因为， 所以，所以， 从而由等面积法，可知， 由勾股定理，可知 因为，所以，所以. 又因为，，平面， 所以平面. 以为原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 由（1）可知所以，所以， 因为， 因为点为线段的中点，所以， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，解得， 所以平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，且，求的取值范围. 【答案】（1） 当时，在区间内单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）求导后进行分类讨论，求出单调区间即可； （2），得，然后进行参变分离，构造新函数，借助导数求最值即可. 【小问1详解】 由题意得的定义域为， 当时，，所以在区间内单调递减； 当时，令（2），得， 当时，单调递减； 当时，单调递增. 综上，当时，在区间内单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 当时，由，得， 整理得，即. 令 则， 由（1）知，当时，的最小值为， 即恒成立， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减. 故当时，取得最大值，即， 故的取值范围为. 18. 某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，在处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，在处连续投2次两分球，每投进一次得2分，未投进不得分，测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮（若前两次投篮后确定不能通过测试也终止投篮）.甲同学为了通过测试，刻苦训练，投中3分球的概率为，投中2分球的概率为，且每次投篮结果互不影响. （1）若甲同学先投3分球，求他投篮2次就终止投篮的概率； （2）为使通过测试的概率最大，甲同学应先投几分球？ （3）为使投篮累计得分期望最大，甲同学应先投几分球？ 【答案】（1） （2）甲同学先投2分或先投3分是一样的 （3）先投2分球 【解析】 【分析】运用相互独立事件的概率乘法公式，结合互斥事件的概率加法公式和数学期望公式计算即可. 【小问1详解】 记甲同学先投3分球，投篮2次就终止投篮的事件为， . 【小问2详解】 记甲同学先投3分球通过测试的概率为， 则； 记甲同学先投2分球通过测试的概率为， 则； 因为，故甲同学先投2分或先投3分是一样的. 【小问3详解】 记甲同学先投3分球投篮累计得分为，先投2分球投篮累计得分为， 可能取 ， . 可能取， ， ， . 故甲同学先投2分球投篮累计得分期望最大. 19. 已知椭圆过点为的右焦点，轴，且，如图，过点的两条动直线交椭圆于. （1）求实数的值； （2）设是的动点，过点作直线的垂线为垂足，求； （3）记，若直线的斜率为，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由椭圆方程得，由已知条件得，代入椭圆方程待定系数可得； （2）设出动点的坐标，将坐标化，由点的坐标适合椭圆方程，代入化简可得； （3）利用正弦定理化边为角，利用（2）结论化斜为直，将转化为即来表示，再化边为角得到，在中可得，最后利用三角函数有界性可得最值. 【小问1详解】 由椭圆的方程， 得，故， 因为点在椭圆上，轴，且， 所以的坐标为， 代入椭圆方程得，解得. 【小问2详解】 由（1）知椭圆的方程为， 设动点，则，所以， 故， 又， 所以. 【小问3详解】 不妨设的外接圆半径为，由， 则在中，由正弦定理， 所以. 如图，过分别作直线的垂线，垂足分别为，， 过作于点， 由（2）的结论可得， 所以，即， 所以， 又，得， 则在中，，即， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 【点睛】关键点点睛：解决本题难点即第三问的关键在于转化：一是应用正弦定理化边为角的转化，设，则；二是利用（2）结论化斜为直，将斜线段之差转化为来表示；三是将直线的斜率转化为直角三角形内角的正切值来表示，从而求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市七校2025届高三年级联合考试（一） 数学 贵阳六中 贵阳八中 贵州省实验中学 贵阳民中 贵阳华师一学校 贵阳二中 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将答题卡交回.本卷满分150分，考试用时120分钟. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 设集合，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若向量都是单位向量，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 为了了解某班学生数学成绩，利用分层随机抽样抽取了一个10人的样本，统计如下： 学生数 平均分 方差 男生 6 80 7 女生 4 75 2 则可估计全班学生数学的平均分和方差分别为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，且满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图甲，在边长为2的正方形中，分别是的中点，将分别沿折起，使得三点重合于点，如图乙，若三棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图像如图所示，是的极值点，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数是偶函数 D. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象 10. 已知直线与圆相交于两点，下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过某一定点 B. 时，最大 C. 的最小值为 D. 当时，对任意，曲线过直线与圆的交点 11. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若函数是奇函数，函数是偶函数，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 函数是奇函数 D. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，内角的对边分别为，若，则__________. 13. 若的展开式的二项式系数和为32，且的系数为80，则实数的值为________． 14. 设函数，若，则的最小值为______. 四､解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和为，且满足. (1)求证为等比数列； (2)求数列的前项和. 16. 如图甲，中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”.某种风筝的骨架模型是是四棱锥，其中交于点，如图乙. （1）求证：平面； （2）若，点是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，且，求的取值范围. 18. 某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，在处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，在处连续投2次两分球，每投进一次得2分，未投进不得分，测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮（若前两次投篮后确定不能通过测试也终止投篮）.甲同学为了通过测试，刻苦训练，投中3分球的概率为，投中2分球的概率为，且每次投篮结果互不影响. （1）若甲同学先投3分球，求他投篮2次就终止投篮的概率； （2）为使通过测试的概率最大，甲同学应先投几分球？ （3）为使投篮累计得分期望最大，甲同学应先投几分球？ 19. 已知椭圆过点为的右焦点，轴，且，如图，过点的两条动直线交椭圆于. （1）求实数的值； （2）设是的动点，过点作直线的垂线为垂足，求； （3）记，若直线的斜率为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $