专题突破：抽象函数的单调性和奇偶性（7大题型）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（北师大版2019必修第一册）

专题突破：抽象函数的单调性和奇偶性 （1）一次函数模型 ▲适用题型： 模型1：若，则； 模型2：若，则为奇函数； 模型3：若则； 模型4：若则； ▲方法原理： 模型1证明: 模型2证明： 即对任意成立，所以是奇函数． 模型3证明: 令则 模型4证明: 令则，同上 （2）二次函数模型 ▲适用题型： 模型：若 则此结论过于复杂，只做了解无需记忆，大概知道是二次函数，有个做题方向，实际做题还是赋值法处理； ▲方法原理： 证明:令，则，则 注意：有些类似1中的结构也基本是二次函数，由于变形太多，所以不作总结，规律实际也比较明显，通常右侧基本含有二次项，此时常采用赋值法求解析式，赋值大多考虑x=y,x=0,x=-1等特殊值，具体看条件已知有什么数据，灵活变通； （3）指数型模型 ▲适用题型： 模型1：若，则； 模型2：若，则； 模型3：若，则； 模型4：若，则； ▲方法原理： 模型1证明:令，则所以，则再令，故即； 模型2证明:后续同上； 模型3证明: 令则 模型4证明:，类似模型3构造计算即可 （4）对数型模型 （4） ▲适用题型： 模型1：若，则 模型2：若，则 模型3：若，则 模型4：若，则 模型5：若，则 ▲方法原理： 模型1证明: 再令，故； 模型2证明:令，则 所以，则 再令，故； 模型3证明:后续同上； 模型4证明：核心就是换元；（模型5证明类似模型4构造即可） 补充1：若，则即是奇函数也是偶函数； 证明：令，得，令，得 故即是奇函数也是偶函数； 补充2：定义在上的函数，对于家义域内任意的x，y都有，则是偶函数； 证明：令，得证 补充3：若，判断单调性 核心构造：再判正负； （5）幂函数型模型 ▲适用题型： 模型1：若，则 模型2：若，则 代入则可化简为幂函数； ▲方法原理： 模型1证明: 令，则 所以，则 再令，故 模型2证明: 后续同上 补充1：若，判断奇偶性 核心构造：令，则，再代入判断 补充2：若，判断单调性 核心构造： ，再结合题干条件判断正负； 题型一 求抽象函数的单调性区间 1．已知函数在定义域上单调递增，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数在上单调递减，则函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）已知函数在R上单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减，则（     ） A．函数在R上单调递增 B．函数在上单调递增 C．函数在上单调递减 D．函数在上单调递减 4．（多选）已知是上的增函数，是上的偶函数，且在上单调递减，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 5．函数在上是单调递减函数，则的单调递增区间是 6．已知函数在定义域上单调递减，则的定义域是 ，单调递减区间是 ． 题型二 抽象函数的奇偶性判断及单调和奇偶解不等式 7．函数的定义域为，且与都为奇函数，则说法不正确的是（    ） A．为奇函数 B．为周期函数 C．为奇函数 D．为偶函数 8．（多选）已知奇函数与偶函数的定义域、值域均为R，则（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 9．设是定义在上的偶函数，且在内是增函数，又，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）设奇函数与偶函数的定义域均为，且在区间上都是单调增函数，则（    ） A．不具有奇偶性，且在区间上是单调增函数 B．不具有奇偶性，且在区间上的单调性不能确定 C．是奇函数，且在区间上是单调增函数 D．是偶函数，且在区间上的单调性不能确定 11．已知是奇函数，定义域是，是偶函数，定义域是．设，则为 函数． 12．（多选）若定义在R上的奇函数在区间上单调递增，且，下列选项正确的是（   ） A．方程有三个不同的实根 B．在R上单调递增 C．不等式的解集为 D．不等式的解集是 13．已知是偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型三 抽象函数“一次函数模型” 14．已知函数的定义域为，，则（    ） A． B．函数是奇函数 C．若，则 D．函数在单调递减 15．已知函数是定义在R上的函数.对任意，总有，，且时，恒成立. (1)求 (2)判断的奇偶性并证明 (3)证明在上单调递减 16．已知函数的定义域为，且，若，则下列说法正确的是（    ） A． B．有最大值 C． D．函数是奇函数 17．定义在上的函数是单调函数，满足，且，. (1)求，； (2)判断的奇偶性，并证明； 18．定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)判断在上的单调性，并用定义证明． 19．已知函数对任意实数恒有，且当时，，又． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明你的结论； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 20．设函数是增函数，对于任意，都有. (1)证明是奇函数； (2)关于的不等式的解集中恰有3个正整数，求实数的取值范围. 题型四 抽象函数“二次函数模型” 21．已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程有解 C．是偶函数 D．是偶函数 22．已知定义在上的函数满足，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 23．已知定义在上的函数满足：． (1)求函数的解析式； (2)已知，解关于x的不等式． 24．已知是定义在上的函数，，且，则（    ） A． B．是偶函数 C．的最小值是1 D．不等式的解集是 25．（多选）已知函数满足：，，成立，且，则（    ） A． B． C． D． 26．设定义在上的函数满足，且对任意的、，都有. (1)求函数的解析式； (2)设函数，求函数的值域. 27．已知函数对一切都有成立． （Ⅰ）求的值并求的解析式； （Ⅱ）已知，设P：当时，不等式恒成立，Q：当时，不是单调函数，求满足Р为真命题且Q为假命题的a的取值范围． 28．已知函数对一切的实数，，都满足，且. （1）求的值； （2）求的解析式； （3）求在上的值域. 题型五 抽象函数“对数函数模型” 29．函数的定义域为，且满足对于任意，有，当. (1)证明：在上是增函数； (2)证明：是偶函数； (3)如果，解不等式. 30．已知是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数，恒有. (1)求的值； (2)证明：为偶函数； (3)若在上单调递增，求不等式的解集. 31．定义在上的函数满足，且不恒为0. (1)求和的值； (2)若在上单调递减，求不等式的解集. 32．定义在上的函数满足． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明. 33．定义在上的函数，对任意，，都有，且当时，. (1)证明：在上单调递减. (2)求不等式的解. 题型六 抽象函数“幂函数模型” 34．已知函数对任意实数x，y都有，且，当时，， （1）判断的奇偶性并证明. （2）判断在上的单调性，并证明. 35．已知函数的值满足（当时），对任意实数，都有，且，，当时，. （1）求的值，判断的奇偶性并证明； （2）判断在上的单调性，并给出证明； （3）若且，求的取值范围. 36．已知时，函数，对任意实数都有，且，当时， （1）判断的奇偶性； （2）判断在上的单调性，并给出证明； （3）若且，求的取值范围. 题型七 抽象函数“指数型函数” 37．如果函数对任意，满足，且，则 A．504 B．1009 C．2018 D．4036 38．下列函数中，满足“”的单调递增函数是（    ） A． B． C． D． 39．已知函数满足：；当时，.则满足这两个条件的一个函数为 . 40．已知函数满足如下条件：①；②函数在上单调递增，满足上述两个条件的一个函数解析式是 （答案不唯一，写出一个即可）. 41．已知函数的定义域为，值域为，且对任意，，都有．． (1)求的值，并证明为奇函数． (2)若，，且，证明为上的增函数，并解不等式． 42．已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 题型八 抽象函数综合应用 43．已知定义域为的函数满足对任意，都有 (1)求证：是奇函数； (2)设，且当时，，求不等式的解集． 44．已知定义在上的函数满足，当时，，且． (1)求； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)判断在上的单调性，并说明理由． 45．定义在的函数满足：对任意的，都有，且当时，. (1)求证：函数是奇函数； (2)求证：函数在上是减函数； (3)若，且恒成立，求实数的取值范围. 46．已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，. (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解关于的不等式. 47．定义在上的函数满足：对任意的x，，都有：． (1)求证：函数是奇函数； (2)若当时，有，求证：在上是减函数； (3)若，对所有，恒成立，求实数t的取值范围． 48．已知函数对任意实数m、n都满足等式，当时，，且． (1)判断的奇偶性； (2)判断的单调性，求在区间上的最大值； (3)是否存在实数a，对于任意的，，使得不等式恒成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 49．定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，． (1)求证：函数是奇函数； (2)判断在上的单调性，不需证明； (3)解不等式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破：抽象函数的单调性和奇偶性 （1）一次函数模型 ▲适用题型： 模型1：若，则； 模型2：若，则为奇函数； 模型3：若则； 模型4：若则； ▲方法原理： 模型1证明: 模型2证明： 即对任意成立，所以是奇函数． 模型3证明: 令则 模型4证明: 令则，同上 （2）二次函数模型 ▲适用题型： 模型：若 则此结论过于复杂，只做了解无需记忆，大概知道是二次函数，有个做题方向，实际做题还是赋值法处理； ▲方法原理： 证明:令，则，则 注意：有些类似1中的结构也基本是二次函数，由于变形太多，所以不作总结，规律实际也比较明显，通常右侧基本含有二次项，此时常采用赋值法求解析式，赋值大多考虑x=y,x=0,x=-1等特殊值，具体看条件已知有什么数据，灵活变通； （3）指数型模型 ▲适用题型： 模型1：若，则； 模型2：若，则； 模型3：若，则； 模型4：若，则； ▲方法原理： 模型1证明:令，则所以，则再令，故即； 模型2证明:后续同上； 模型3证明: 令则 模型4证明:，类似模型3构造计算即可 （4）对数型模型 （4） ▲适用题型： 模型1：若，则 模型2：若，则 模型3：若，则 模型4：若，则 模型5：若，则 ▲方法原理： 模型1证明: 再令，故； 模型2证明:令，则 所以，则 再令，故； 模型3证明:后续同上； 模型4证明：核心就是换元；（模型5证明类似模型4构造即可） 补充1：若，则即是奇函数也是偶函数； 证明：令，得，令，得 故即是奇函数也是偶函数； 补充2：定义在上的函数，对于家义域内任意的x，y都有，则是偶函数； 证明：令，得证 补充3：若，判断单调性 核心构造：再判正负； （5）幂函数型模型 ▲适用题型： 模型1：若，则 模型2：若，则 代入则可化简为幂函数； ▲方法原理： 模型1证明: 令，则 所以，则 再令，故 模型2证明: 后续同上 补充1：若，判断奇偶性 核心构造：令，则，再代入判断 补充2：若，判断单调性 核心构造： ，再结合题干条件判断正负； 题型一 求抽象函数的单调性区间 1．已知函数在定义域上单调递增，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数的单调性求解即可． 【详解】因为函数的定义域为， 所以函数的定义域满足，即． 令，则在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增，所以函数的单调递增区间为． 故选：D． 2．已知函数在上单调递减，则函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由是复合函数，则根据复合函数同增异减原则来判断单调区间即可． 【详解】令， 则在上为减函数；在上为增函数， 又函数在上单调递减， 则根据复合函数同增异减原则得的单调递减区间为． 故选：C． 3．已知函数在R上单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减，则（     ） A．函数在R上单调递增 B．函数在上单调递增 C．函数在上单调递减 D．函数在上单调递减 【答案】AB 【分析】由复合函数的单调性判断方法逐一判断即可. 【详解】因为在R上单调递增，所以在R上单调递增，故A正确； 因为在R上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，故B正确； 因为在上单调递增，所以在上单调递减，因为的值域是否在上无法判断， 所以在上的单调性无法判断，故C错误； 因为在R上单调递减，在上单调递减，因的值域是否在上无法判断，所以在上的单调性无法判断，故D错误. 故选：AB. 4．已知是上的增函数，是上的偶函数，且在上单调递减，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】AD 【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断选项. 【详解】因为函数是上的偶函数，且在上单调递减， 所以在区间上单调递增， 根据复合函数单调性“同增异减”的判断方法， 可知，在上单调递增，故A正确，B错误； 在上单调递减，故C错误，D正确. 故选：AD 5．函数在上是单调递减函数，则的单调递增区间是 【答案】 【分析】先确定的定义域，然后利用的单调性和的单调性即可确定的单调性. 【详解】函数的定义域为，故函数的定义域为，即的定义域为. 由于在上单调递减，在上单调递增，而在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故单调递增区间是. 故答案为：. 6．已知函数在定义域上单调递减，则的定义域是 ，单调递减区间是 ． 【答案】 【分析】由抽象函数的定义域可求出的定义域；再由复合函数的单调性可求出的单调递减区间. 【详解】∵的定义域为，∴，即，解得． 故函数的定义域为． 令，则． 当时，单调递减，则单调递增； 当时，单调递增，则单调递减． 故的单调递减区间为． 故答案为：；. 题型二 抽象函数的奇偶性判断及单调和奇偶解不等式 7．函数的定义域为，且与都为奇函数，则说法不正确的是（    ） A．为奇函数 B．为周期函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】D 【分析】由奇函数性质及题意得且，因此即，进而得且即可判断A、B；由可得，结合奇函数的定义即可判断C、D. 【详解】因为为奇函数，所以， 又为奇函数，所以， ∴，即， 所以，且， ∴是周期为2的函数，且是奇函数，故A、B正确； 由得， 故由A、B得， 即为奇函数，故C正确； 由得， 所以为奇函数，故D错误； 故选：D. 8．已知奇函数与偶函数的定义域、值域均为R，则（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】BCD 【分析】本题根据奇偶性的定义逐项判断即可得出结果. 【详解】对A，因为，所以不是奇函数，故A错误； 对B，因为，所以是奇函数，故B正确； 对C，因为，所以是奇函数，故C正确； 对D，因为，所以是偶函数，故D正确． 故选：BCD． 9．设是定义在上的偶函数，且在内是增函数，又，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过分析函数的单调性结合，即可得出不等式的解集. 【详解】由题意， 在中，函数是定义在上的偶函数，且在内是增函数， ∴，函数在单调递减， ∵， ∴当和时，， 故选：B. 10．设奇函数与偶函数的定义域均为，且在区间上都是单调增函数，则（    ） A．不具有奇偶性，且在区间上是单调增函数 B．不具有奇偶性，且在区间上的单调性不能确定 C．是奇函数，且在区间上是单调增函数 D．是偶函数，且在区间上的单调性不能确定 【答案】ABD 【分析】根据，的单调性和奇偶性逐项判断即可. 【详解】，在区间上都是单调增函数，单调增，单调性没有办法确定，C错. 因为为奇函数，为偶函数，所以不具有奇偶性，A，B正确. ，所以为偶函数， 令，设任意，则，而所在区间无法确定， 故的正负无法判断，所以单调性不能确定，D正确. 故选：ABD. 11．已知是奇函数，定义域是，是偶函数，定义域是．设，则为 函数． 【答案】奇 【分析】根据奇偶函数的定义即可判断 【详解】因为是奇函数，定义域是，是偶函数，定义域是， 则的定义域为，关于原点对称， 且， 所以， 所以为奇函数， 故答案为：奇. 12．若定义在R上的奇函数在区间上单调递增，且，下列选项正确的是（   ） A．方程有三个不同的实根 B．在R上单调递增 C．不等式的解集为 D．不等式的解集是 【答案】ACD 【分析】A选项，根据函数奇偶性得到，且，只有三个根；B选项，举出反例；C选项，分，与三种情况，结合函数单调性求出答案；D选项，分类讨论，求出解集. 【详解】A选项，因为为R上的奇函数，故， 奇函数在区间上单调递增，故在区间上单调递增， 又，所以， 故方程有三个不同的实根，A正确； B选项，当时，， 当时，，故在R上不单调递增，B错误； C选项，，当时，， 在区间上单调递增，故， 当时，，满足要求， 当时，， 在区间上单调递增，故， 综上，不等式的解集为，C正确； D选项，，显然， 当时，，，此时，满足要求， 当时，，，此时，不合要求， 当时，，，此时，满足要求， 当时，，，此时，不合要求， 当时，，，此时，满足要求， 综上，不等式的解集是. 故选：ACD 13．已知是偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据题意可得或的解集，再分和两种情况求不等式的解集. 【详解】由题意可知，当时，，当时，， 当或时，， 当时，，则，由已知可得，解得，又，所以； 当时，，则， 由已知可得或，解得或，又，所以. 综上，可得不等式的解集为. 故选：A 题型三 抽象函数“一次函数模型” 14．已知函数的定义域为，，则（    ） A． B．函数是奇函数 C．若，则 D．函数在单调递减 【答案】B 【分析】对A，赋值法令求解；对B，赋值法结合奇函数的定义判断；对C，令求得函数的周期求解；对D，利用单调性定义结合赋值法求解判断. 【详解】对于A，令，可得，解得，故A错误； 对于B，令，可得，又， 则，所以函数是奇函数，故B正确； 对于C，令，得，则是周期函数，周期为2，所以，故C错误； 对于D，令，，且，则， 即，而时，与2大小不定，故D错误. 故选：B. 15．已知函数是定义在R上的函数.对任意，总有，，且时，恒成立. (1)求 (2)判断的奇偶性并证明 (3)证明在上单调递减 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）令计算可得，再由可得结论； （2）由可得证； （3）由可证． 【详解】（1）由对任意，总有， 令，则，则， 又由，得， 则， （2）令，则， 则有，故，则是奇函数 （3）设任意，， 则， 又，则，则， 则在上单调递减. 16．已知函数的定义域为，且，若，则下列说法正确的是（    ） A． B．有最大值 C． D．函数是奇函数 【答案】AD 【分析】根据题意，利用抽象函数的性质，及赋值法并结合选项，即可逐项判定，从而求解. 【详解】对于A中，令，可得，令， 则，解得，所以A正确； 对于B中，令，且，则， 可得， 若时，时，，此时函数为单调递增函数； 若时，时，，此时函数为单调递减函数， 所以函数不一定有最大值，所以B错误； 对于C中，令，可得， 即， 所以 ，所以C错误； 对于D中，令，可得，可得， 即，所以函数是奇函数，所以D正确； 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：本题主要是对抽象函数利用赋值法，去求解出，及证明函数是奇函数. 17．定义在上的函数是单调函数，满足，且，. (1)求，； (2)判断的奇偶性，并证明； 【答案】(1)，； (2)奇函数，证明见解析； 【分析】（1）利用赋值法即求； （2）由题可得，即证； 【详解】（1）取，得，即， 所以，因为， 又，得，可得； （2）因为函数是定义在上的函数，定义域关于原点对称， 取，得，移项得， 所以函数是奇函数. 18．定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)判断在上的单调性，并用定义证明． 【答案】(1)为奇函数，证明见解析； (2)在上的单调递增，证明见解析. 【分析】（1）利用赋值法先求出，再找到的关系，进而可证奇偶性; （2）借助函数单调性的定义，进行赋值证明即可. 【详解】（1）在上是奇函数，证明如下： 结合题意：令，则，解得， 若，则， 令，则， 所以，故在上是奇函数. （2）在上的单调递增，证明如下： 任取，且， 令，则， 因为在上是奇函数，所以， 所以， 因为当时，， 由，所以，所以， 所以，即， 所以在上的单调递增. 19．已知函数对任意实数恒有，且当时，，又． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明你的结论； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)为奇函数； (2)在上的单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）通过特殊值以及函数的奇偶性的定义判断即可； （2）判断函数的单调性，利用单调性的定义证明即可； （3）结合已知利用函数的单调性化简不等式，分离参数，转化为最值求解即可． 【详解】（1）结合题意：由函数的定义域为,且， 取，则，即， 取，则，所以， 所以为奇函数. （2）在R上的单调递减，证明如下： 任取，且，则， 令，则， 因为为奇函数，所以， 因为当时，，所以， 即，所以在上的单调递减. （3）由，得， 因为，所以， 因为在上的单调递减，所以， 即时，恒成立， 等价于对任意时，恒成立， 令，则， 所以， 所以， 故实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：解题关键是利用进行恰当的赋值,转化为函数的单调性与奇偶性问题,最后一问主要是借助单调性，并进行分参，将恒成立问题转化为最值问题. 20．设函数是增函数，对于任意，都有. (1)证明是奇函数； (2)关于的不等式的解集中恰有3个正整数，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义，结合赋值法，即可证明； （2）首先化简不等式，并根据函数的单调性化简不等式为，根据不等式的解集，以及条件，即可求解实数的取值范围. 【详解】（1）对于任意都有， 令，则； 再令，则 ，所以函数是奇函数. （2）不等式可化为， 即， 又函数在上是增函数，即 ，即， 若，则，解集中没有3个正整数， 若，不等式的解集为空集，也不成立， 若，则，该不等式的解集中恰有3个正整数， . 题型四 抽象函数“二次函数模型” 21．已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程有解 C．是偶函数 D．是偶函数 【答案】C 【分析】由已知利用赋值法与等差数列的求和公式，结合函数的奇偶性及方程解的存在条件检验各选项即可判断. 【详解】对于A，因为函数的定义域为，且满足， 取，得，则， 取，得，则，故错误； 对于B，取，得，则， 所以， 以上各式相加得， 所以， 令，得，此方程无解，故B错误. 对于CD，由知， 所以是偶函数， 不是偶函数，故C正确，错误. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用赋值法得到，再利用等差数列数列的求和公式得到，从而得解. 22．已知定义在上的函数满足，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用赋值法求及，然后利用单调性解不等式即可. 【详解】令，得. 令，得，解得， 则不等式转化为， 因为是增函数，且， 所以不等式的解集为. 故选：A 23．已知定义在上的函数满足：． (1)求函数的解析式； (2)已知，解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）换元法解出函数解析式即可； （2）根据判别式讨论的范围即可. 【详解】（1）因为定义在上的函数满足：①，将替代x入上式可得②， 联立①②可得 （2）即 ①，即，解集为R                          ②，即，解集为                            ③，即，解集为或 24．已知是定义在上的函数，，且，则（    ） A． B．是偶函数 C．的最小值是1 D．不等式的解集是 【答案】BCD 【分析】赋值法判断ABC,利用单调性解不等式判断D. 【详解】对于A，令，得，解得或2. 因为，所以，则A错误. 对于BC，令，得，则， 从而是偶函数，且，故B，C正确. 对于D，因为是偶函数，在上单调递增，且， 所以不等式等价于， 所以，解得，则正确. 故选：BCD. 25．已知函数满足：，，成立，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求出，令，求出，令，求出，再令，可求出的关系，再利用累加法结合等差数列前项和公式即可得解. 【详解】令，则，所以， 令，则， 所以， 令，则，所以， 令，则， 所以， 则当时，， 则 ， 当时，上式也成立， 所以， 所以. 故选：C. 26．设定义在上的函数满足，且对任意的、，都有. (1)求函数的解析式； (2)设函数，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，可得出的值，然后再令，可求得函数的解析式； （2）令，令，其中，利用二次函数的基本性质求出的值域，即为函数的值域. 【详解】（1）解：令，得，即. 令，则，则. （2）解：由（1）得，. 令，则，所以，， 令，其中，则， 即函数的值域为. 27．已知函数对一切都有成立． （Ⅰ）求的值并求的解析式； （Ⅱ）已知，设P：当时，不等式恒成立，Q：当时，不是单调函数，求满足Р为真命题且Q为假命题的a的取值范围． 【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）. 【分析】（Ⅰ）取可求，取可得，将x换成根据方程组即可求出解析式； （Ⅱ）若p为真命题，可得在恒成立，求出的最大值可得；若Q为真命题，由二次函数的性质可求的，即可根据Р为真命题且Q为假命题求出结果. 【详解】解：（Ⅰ）由， 取得． 取，得，① 将x换成，有② ①②得， 故的解析式为． （Ⅱ）（i）若p为真命题，则当时，不等式恒成立， 即恒成立，记， 有对称轴，，所以． （ii）若Q为真命题，，对称轴：， 由于当时，不是单调函数， 所以． 综上，有满足p为真命题且Q为假命题的a满足，解得， 故满足p为真命题且Q为假命题的a的取值范围为． 【点睛】关键点睛：本题考查抽象函数解析式的求解，考查根据命题的真假求参数，解题的关键是先求出命题为真时对应的参数范围，再结合题意求解即可. 28．已知函数对一切的实数，，都满足，且. （1）求的值； （2）求的解析式； （3）求在上的值域. 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）令，则即可求； （2）令代入式子即可求解的解析式； （3）由（2）知，根据二次函数性质即可求解． 【详解】（1）令则 （2）令则； （3）对称轴为， ， ． 题型五 抽象函数“对数函数模型” 29．函数的定义域为，且满足对于任意，有，当. (1)证明：在上是增函数； (2)证明：是偶函数； (3)如果，解不等式. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数的单调性的定义，即可证得函数的为单调递增函数； （2）令，求得，再由，求得，进而得出，即可证明结论； （3）由（2）可得不等式可变为，结合（1）可求得不等式的解集. 【详解】（1）设，则， 由于，所以，所以， 所以，所以， 所以在上是增函数； （2）因对定义域内的任意，有， 令，则有， 又令，得， 再令，得，从而， 于是有，所以是偶函数． （3）由于，所以， 于是不等式可化为， 由（2）可知函数是偶函数，则不等式可化为， 又由（1）可知在上是增函数，所以可得， 解得，所以不等式的解集为． 30．已知是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数，恒有. (1)求的值； (2)证明：为偶函数； (3)若在上单调递增，求不等式的解集. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)或， 【分析】（1）令以及即可求解， （2）令，即可根据偶函数的定义求解， （3）先得出，根据函数的奇偶性和单调性求解. 【详解】（1）令得：，故， 令得：，故. （2）因为是定义在非零实数集上的函数， 令，故， 为偶函数； （3）在上单调递增，且为偶函数， 故在上是减函数，由于， 则， 故，且，解得且， 故不等式的解集为或. 31．定义在上的函数满足，且不恒为0. (1)求和的值； (2)若在上单调递减，求不等式的解集. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用赋值法计算即可； （2）令，证明函数奇偶性，结合函数单调性解不等式. 【详解】（1）令， 所以，故， 令，所以 所以. （2）令，因为，所以，故， 所以是偶函数， 由，， 则， 又是偶函数， 所以上式可转化为， 又在上单调递减， 所以上式可转化为，解得或. 故不等式的解集为. 32．定义在上的函数满足． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明. 【答案】(1)； (2)是偶函数；证明见解析. 【分析】（1）分别令和，即可得结果； （2）令结合偶函数的定义即可得结果. 【详解】（1）令，则． 再令，可得， ∴． （2）是偶函数； 证明：令可得， ∴是偶函数． 33．定义在上的函数，对任意，，都有，且当时，. (1)证明：在上单调递减. (2)求不等式的解. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）对变量进行合理的赋值，令，，可证得的单调性； （2）先证明偶函数，利用单调性与奇偶性解抽象不等式. 【详解】（1）证明：令，，设，则，且， 所以，即， 又当时，，所以 所以，所以在上单调递减. （2）令，则， 令，则. 令，则，所以为偶函数. 又在上单调递减， 由，可得或， 则或， 所以不等式的解集为或. 题型六 抽象函数“幂函数模型” 34．已知函数对任意实数x，y都有，且，当时，， （1）判断的奇偶性并证明. （2）判断在上的单调性，并证明. 【答案】（1）为偶函数，证明见解析，（2）在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）利用赋值法，令，代入即可证明函数的奇偶性； （2）先证明当时，，再利用已知和单调函数的定义，证明函数在上的单调性 【详解】解：（1）函数为偶函数， 证明：令，则， 因为，所以，且， 所以为偶函数， （2）因为，其中，结合可得. 下证在上单调递增: 证明：设，则， 所以， 所以， 当时，， 当时，，， 则， 所以，即当时，， 因为，所以，即， 所以，即， 所以在上单调递增 【点睛】关键点点睛：此题考查了抽象函数表达式的意义和运用，函数奇偶性的定义和判断方法，函数单调性定义及其证明，利用函数的单调性解不等式的方法，解题的关键是正确赋值，利用奇偶性和单调性的定义求解，属于中档题 35．已知函数的值满足（当时），对任意实数，都有，且，，当时，. （1）求的值，判断的奇偶性并证明； （2）判断在上的单调性，并给出证明； （3）若且，求的取值范围. 【答案】（1）1，为偶函数，证明见解析；（2）在上是增函数，证明见解析；（3）. 【分析】（1）令，可求得，再令，求得，即得为偶函数； （2）利用定义法判断函数的单调性即可； （3）由函数的奇偶性、单调性可得，即，得解. 【详解】解：（1）令，； 函数为偶函数. 证明如下： 令，则，， ， 故为偶函数； （2）在上是增函数. 证明如下：设，，， 则， ，，， ， 故在上是增函数. （3）， 又， ，， ，， ，则， 又函数在上是增函数， ，即， 综上知，的取值范围是. 【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性及利用函数的性质求参数的范围，重点考查了运算能力，属中档题. 36．已知时，函数，对任意实数都有，且，当时， （1）判断的奇偶性； （2）判断在上的单调性，并给出证明； （3）若且，求的取值范围. 【答案】（1）为偶函数；（2）证明见解析；（3）. 【详解】试题分析：（1）利用赋值法，先求出，令，代入抽象函数表达式即可证明函数的奇偶性；（2）设，， ∵时，，∴，∴，故在上是增函数.；（3）先利用赋值法求得再利用函数的单调性解不等式即可. 试题解析：（1）令，则， ，为偶函数. （2）设，， ∵时，，∴，∴，故在上是增函数. （3）∵,又 ∴ ∵，∴，即，又故. 题型七 抽象函数“指数型函数” 37．如果函数对任意，满足，且，则 A．504 B．1009 C．2018 D．4036 【答案】C 【解析】根据以及，找到规律，由此求得所求表达式的值. 【详解】由于函数对任意，满足，且， 令，则； 令，则，； 以此类推，可知， 所以. 故选：C 【点睛】本小题主要考查抽象函数有关计算，属于基础题. 38．下列函数中，满足“”的单调递增函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意满足以及函数为增函数即可求解. 【详解】对于A，由，， ，即，故A不正确； 对于B，由，，， 所以，且为增函数，故B正确； 对于C，由，，， 所以，故C不正确； 对于D，由，函数为减函数，故D不正确； 故选：B 【点睛】本题主要考查函数的性质以及指数的运算性质，属于基础题. 39．已知函数满足：；当时，.则满足这两个条件的一个函数为 . 【答案】（或者，答案不唯一） 【分析】根据抽象函数关系，结合指数幂运算及指数函数性质判断函数即可. 【详解】由，知满足条件， 又时，，可得，故满足这两个条件的一个函数为. 故答案为：（或者，答案不唯一）. 40．已知函数满足如下条件：①；②函数在上单调递增，满足上述两个条件的一个函数解析式是 （答案不唯一，写出一个即可）. 【答案】 【分析】根据①分析指数函数满足题意，结合②只需底数大于1即可. 【详解】，，，满足，且在上单调递增； 故答案为： 41．已知函数的定义域为，值域为，且对任意，，都有．． (1)求的值，并证明为奇函数． (2)若，，且，证明为上的增函数，并解不等式． 【答案】(1)；证明见解析 (2)证明见解析；解集为 【分析】（1）赋值法令，可得；由给定性质，证明即可. （2）证明的单调性，再由单调性解不等式. 【详解】（1）令，得， 又函数的值域为，∴． ∵， ∴， ∴， ∴为奇函数． （2）任取，． ． ∵，∴． ∵当时，，∴，∴． 又函数的值域为， ∴，即， ∴为上的增函数． 由，即，化简得． ∵， ∴，∴． 又为上的增函数，∴， 故的解集为． 【点睛】方法点睛：抽象函数的性质研究： ①赋值法求特定元素的函数值； ②利用已知抽象函数的等式性质，证明函数的单调性； ③利用单调性解相关表达式. 42．已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法可得与； （2）利用赋值法可得，且当时； （3）结合抽象函数的性质及函数的单调性可得不等式，即，根据二次函数最值可知，解不等式即可. 【详解】（1）由， 则， 又当时，， 则， ； （2）令，则，即， 当时，，且， 即， 即在上恒成立， 由，可知， 令，，且，即， 则， 所以， 即在上单调递增； （3）由已知， 又由（1）得， 所以， 又函数在上单调递增， 则恒成立， 所以恒成立， 又， 即， 解得. 题型八 抽象函数综合应用 43．已知定义域为的函数满足对任意，都有 (1)求证：是奇函数； (2)设，且当时，，求不等式的解集． 【答案】(1)证明见解析； (2)或 【分析】（1）利用赋值法，根据奇函数的定义来证明即可； （2）变形构造函数，通过赋值来研究新函数的单调性，结合新函数的奇偶性解不等式即可. 【详解】（1）证明：因为的定义域为，关于原点对称， 又对任意，都有， 令，得， 令，得， 令， 得， 是奇函数. （2）， ， ， 设，则，所以， 在上是减函数， 因为的定义域为， 又， 所以是偶函数， 因为， ，则，解得， 不等式的解集为或. 44．已知定义在上的函数满足，当时，，且． (1)求； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)判断在上的单调性，并说明理由． 【答案】(1)； (2)奇函数；理由见详解 (3)单调递减，理由见详解 【分析】（1）利用赋值法即可求得；（2）利用赋值构造或代换得到与关系，进而判断函数奇偶性；（3）赋值构造出表达式，再运用定义证明函数单调性. 【详解】（1）令，，可得， 解得； 令，，可得，解得. （2）为奇函数，理由如下： ， 而， 得 故在上是奇函数 （3）当时，，所以当，则，得， 又在上是奇函数，所以当，则， 设，则，所以，，故 ， 在上单调递减. 【点睛】方法点睛：抽象函数求解证明时，一般是通过赋值法，即在已知等式中让自变量取特殊值求得一些特殊的函数值，解题时注意所要求函数值的变量值与已知的量之间的关系，通过赋值还能得出函数的奇偶性、周期性、单调性． 45．定义在的函数满足：对任意的，都有，且当时，. (1)求证：函数是奇函数； (2)求证：函数在上是减函数； (3)若，且恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法以及奇函数的定义进行证明； （2）根据已知条件，利用单调性的定义、作差法进行证明； （3）把恒成立问题转化为函数的最值问题进行处理，利用单调性、一次函数进行处理. 【详解】（1）令，则有， 令，则有， ， 是奇函数. （2）设则 所以， 因为，所以，即，则， 又，所以，所以， 所以，即， 所以在上是减函数. （3）由（1）（2）知在上是减函数，且为奇函数， 所以当时，函数的最小值为， 所以恒成立， 等价于：恒成立， 即恒成立， 设，是关于的一次函数， 所以，即，则， 则. 46．已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，. (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解关于的不等式. 【答案】(1)函数是奇函数，证明见解析 (2)函数在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法先求出，再得到的关系，进而可证奇偶性； （2）先取值，然后还是利用赋值法得到的正负，继而证明单调性； （3）结合前两问所得奇偶性与单调性，利用单调性的逆用即可求解抽象函数不等式. 【详解】（1）函数是奇函数， 证明：因为对，都有 令，可得，解得； 令，则， 令，则， 所以为定义在上的奇函数. （2）函数在上单调递减， 证明：取，则 可得， 因为所以 所以， 又， 所以， 又当时，， 所以， 所以，即 所以在上单调递减. （3）因为，且函数是奇函数， 所以 又的定义域为且在上是单调递减的， 所以 所以，解得 所以不等式的解集为. 47．定义在上的函数满足：对任意的x，，都有：． (1)求证：函数是奇函数； (2)若当时，有，求证：在上是减函数； (3)若，对所有，恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)或或 【分析】（1）通过赋值法，首先求，再赋值，代入后即可证明函数是奇函数； （2）首先设，证明，再结合单调性的定义，即可证明函数的单调性； （3）首先将不等式转化为对恒成立，再构造一次函数，列不等式求解的范围. 【详解】（1）证明：令x＝y＝0得： 设任意，则，∴，即， ∴函数是奇函数； （2）设，则，∴， 由知：，且，，所以，即， ∴，又， 即，从而， 即，， 所以在上是减函数； （3）由（2）函数在上是减函数， 则当时，函数的最大值为， 若对所有恒成立，，恒成立， 则等价为对恒成立，即， 设，则对恒成立， ∴，即，即， 解得：或 或． 48．已知函数对任意实数m、n都满足等式，当时，，且． (1)判断的奇偶性； (2)判断的单调性，求在区间上的最大值； (3)是否存在实数a，对于任意的，，使得不等式恒成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)奇函数； (2)为上的减函数；在上的最大值为6； (3)存在，实数a的取值范围为． 【分析】（1）赋值法得到，，得到函数的奇偶性； （2）先由时，利用赋值法得到函数单调递减，再用赋值法和奇偶性得到，从而得到在区间上的最大值； （3）先根据单调性得到，问题转化为，恒成立，令，为一次函数，得到不等式组，求出实数a的取值范围. 【详解】（1）取，则， ∴， 取，，则， ∴对任意恒成立， ∴为奇函数； （2）任取且， 则， 因为，故， 令，则有， 即， ∵时，， 故时，， ∴， ∴． 故为上的减函数． ∴，， ∵，， 令，则，故， 因为 令，则，即， 由（1）知：为奇函数，故， 故，解得：， 故， 故在上的最大值为6； （3）∵在上是减函数， ∴， ∵，对所有，恒成立． ∴，恒成立； 即，恒成立， 令，则，即， 解得：或． ∴实数a的取值范围为． 49．定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，． (1)求证：函数是奇函数； (2)判断在上的单调性，不需证明； (3)解不等式． 【答案】(1)详见解析 (2)单调递减 (3) 【分析】（1）通过赋值，得，再通过赋值，结合奇函数的定义，即可证明； （2）根据条件，以及条件时，，即可判断； （3）首先利用函数是奇函数，变形不等式，再利用函数是减函数，即可求解不等式. 【详解】（1）解：令，得，即， 任取，则， ， 即，所以在上为奇函数； （2）判断函数在上单调递减. 任取，且， 则， 因为，，， 所以，即， 所以，所以， 即，得， 所以函数在区间单调递减； （3）解：，即， 因为函数单调递减，所以需满足，解得：， 所以不等式的解集为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$