专题突破：基本不等式（7大题型）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（北师大版2019必修第一册）

专题突破：基本不等式 1、基本不等式 （1）定理：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立． （2）推论：如果，，那么，当且仅当时，等号成立． 【说明】叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 上述定理与推论中的不等式通常称为基本不等式． 2、最值定理 （1）最值定理：已知都是正数， ①若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为． ②若xy＝p(积p为定值)，则当x=y时，和x＋y有最小值，且这个值为2． 最值定理简记为：积定和最小，和定积最大． （2）在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等． ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三相等：含变数的各项均相等，取得最值． 3、基本不等式的变式与拓展 （1）基本不等式链 或． 当且仅当时等号成立． 其中，为的调和平均值，为的平方平均值 （2）基本不等式的拓展 ①三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． ②元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． 4、基本不等式常见模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立． 题型一 基本不等式证明及概念 例1．如图，是半圆O的直径，点C是直径上一动点，过点C作的垂线，交弧于点D，联结、、．设，，比较线段与的长度，得出结论正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．（多选）已知，且，则下列四个不等式中，恒成立的为（    ） A． B． C．2 D． 变式训练 1．如果，那么下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列命题中，真命题的是（   ） A．，都有 B．任意非零实数，，都有 C．，使得 D．函数的最小值为2 3．（多选）下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是2 C．当时， D．当时，的最小值为3 4．（多选）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 题型二 基本不等式求最值，常数“1”代换 例1．若，则的最小值为（    ） A．9 B．18 C．24 D．27 例1．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 例3．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式训练 1．已知，且，则的最小值为（    ） A．45 B．42 C．40 D．38 2．若实数，，且满足，则的最小值为 . 3．已知，，且恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知，均为正实数，且，则的最大值为 . 5．已知且，则的最小值为（    ） A．12 B． C．16 D． 题型三 利用基本不等式求二次与二次（一次）商式最值 例1．函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 例2．已知一元二次不等式的解集为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 例3．设，则 （    ） A． B． C． D． 变式训练 1．函数的最小值为 ． 2．函数在上的最大值为 ． 3．（1）求函数的最大值； （2）求函数的最小值； （3）若，且，求的最小值. 题型四 配凑、消元法、整体法利用基本不等式求最值 例1．已知，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 例2．已知，，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 例3．（多选）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 变式训练 1．（多选）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，且， B．已知正数、满足，则的最小值为 C．若，则的最大值是 D．若，，，则的最小值是 3．若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）已知且，则下列不等式恒成立的是（    ） A．的最小值为2 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为2 5．（多选）若正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 题型五 有条件等式利用基本不等式求最值 例1．已知，，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 例2．已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．12 B． C． D． 例3．已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式训练 1．已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 2．已知，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．已知正实数满足，则的最小值为 . 4．设正实数满足，且，则的最小值为 . 5．设为正数，且，则的最小值为 题型六 利用基本不等式解决恒成立 例1．当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例2．若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3．对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（    ） A．2 B．4 C． D． 变式训练 1．（多选）已知且，若恒成立，则实数可取（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（多选）若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 3．若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 4．若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 5．已知且恒成立，实数的最大值是 ． 6．已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 7．已知正实数a，b满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ． 题型七 基本不等式实际应用 例1．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件元出售，可卖出件，则当利润最大时，每件商品的定价为（    ） A．105元 B．110元 C．115元 D．120元 例2．为深刻践行习总书记“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某县响应号召，在某个乡镇搞“生态农业特色小镇”.调研过程中发现：某生态农产品的每亩产量（单位：）与生态肥料费用（单位：元）满足如下关系：，其他成本投入为（单位：元）.已知这种生态农产品的市场售价大约为20元，且供不应求.记该这种生态农产品每亩获得的利润为（单位：元）. (1)求的函数关系式； (2)当投入的生态肥料费用为多少元时，该种生态农产品每亩获得的利润最大？最大利润是多少元？ 变式训练 1．某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本．已知购买台设备的总成本为（单位：万元）．若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备 台． 2．对于任意正实数 ， 仅当 时，等号成立． 结论： ． 若 为定值，仅当 时， 有最小值 ． 根据上述内容，回答下列问题： (1)初步探究： 若 ，仅当 ___时，有 最小值___； (2)变式探究： 对于函数 ，当 取何值时，函数 的值最小？ 最小值是多少？ (3)拓展应用：疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题． 高速公路榆测站入口处， 检测人员利用检测站的一面墙 (墙的长度不限)， 用 63 米长的钢丝网围成了 9 间相同的长方形隔离房， 如图． 设每间离房的面积为 (米 )． 问： 每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积 最大？ 最大面积是多少？ 3．某市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量x台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破：基本不等式 1、基本不等式 （1）定理：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立． （2）推论：如果，，那么，当且仅当时，等号成立． 【说明】叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 上述定理与推论中的不等式通常称为基本不等式． 2、最值定理 （1）最值定理：已知都是正数， ①若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为． ②若xy＝p(积p为定值)，则当x=y时，和x＋y有最小值，且这个值为2． 最值定理简记为：积定和最小，和定积最大． （2）在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等． ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三相等：含变数的各项均相等，取得最值． 3、基本不等式的变式与拓展 （1）基本不等式链 或． 当且仅当时等号成立． 其中，为的调和平均值，为的平方平均值 （2）基本不等式的拓展 ①三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． ②元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． 4、基本不等式常见模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立． 题型一 基本不等式证明及概念 例1．如图，是半圆O的直径，点C是直径上一动点，过点C作的垂线，交弧于点D，联结、、．设，，比较线段与的长度，得出结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何关系表示和，即可比较大小. 【详解】因为是圆的半径，所以， 因为是圆的直径，所以， 则，即，即， 所以， 当点与点重合时，，否则，即， 所以. 故选：B 例2．已知，且，则下列四个不等式中，恒成立的为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】ACD 【分析】由基本不等式即可判断A；取特殊值验证可判断B；利用作差法可判断C，D. 【详解】由，则，得，A正确； 由，取，则，故B错误； 由于，则，则，故C正确； 由于，故D正确， 故选：ACD． 变式训练 1．如果，那么下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件利用基本不等式直接得出，再结合可得出结果. 【详解】由已知，利用基本不等式得出， 因为，则，， 所以，， ∴. 故选：B 2．下列命题中，真命题的是（   ） A．，都有 B．任意非零实数，，都有 C．，使得 D．函数的最小值为2 【答案】C 【分析】利用一元二次不等式、方程的根、基本不等式和命题的真假分析运算即可得解. 【详解】解：对于选项A，∵，， 当时，，即当时，， ∴，不恒成立，故A错误； 对于选项B，当非零实数，异号时，，不满足，故B错误； 对于选项C，取，有，故C正确； 对于选项D，函数，但是等号 成立的条件是，即，而，所以等号不成立， 所以函数的最小值不是2，故D错误； 故选：C. 3．下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是2 C．当时， D．当时，的最小值为3 【答案】AC 【分析】根据基本不等式及其等号成立的条件逐项判断后可判断ABC的正误，结合反例可判断D的正误. 【详解】对于A，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故A正确. 对于B，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 而，故等号不成立，故的最小值不是2，故B错误. 对于C，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故C正确. 对于D，取，则，故的最小值不为3，故D错误. 故选：AC. 4．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式及不等式的性质即可得出选项A、B、D正确，选项C，取特殊值即可排除. 【详解】对于选项A，因为，则， 所以，故选项A正确； 因为，所以，，又，得到 故，所以选项B和D正确， 对于选项C，取，满足，但，所以选项C错误， 故选：ABD. 题型二 基本不等式求最值，常数“1”代换 例1．若，则的最小值为（    ） A．9 B．18 C．24 D．27 【答案】A 【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得最小值. 【详解】根据题意可得； 当且仅当，即时，等号成立； 此时的最小值为9. 故选：A. 例2．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【详解】因为，为正实数，且，所以, 当且仅当时取等号. 故选：C 例3．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，得到，进而，所以，由均值不等式求得最小值. 【详解】因为且，所以，所以，所以， 所以，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为， 故选：A. 变式训练 1．已知，且，则的最小值为（    ） A．45 B．42 C．40 D．38 【答案】A 【分析】利用基本不等式“1”的妙用，即可求解. 【详解】由题意得， 当且仅当，即时，等号成立． 故选：A 2．若实数，，且满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】将式子变形，利用常数代换，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】因为，所以， 又实数，，所以 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故答案为：. 3．已知，，且恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用“1”的代换求得的最小值，再由求解. 【详解】解：设， 则，解得， 则， ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为2， 又因为对，，且恒成立， 所以， 故选：B 4．已知，均为正实数，且，则的最大值为 . 【答案】1 【分析】由题意可得，由，可得，展开后，运用基本不等式可得最值． 【详解】， 由，可得 ， 当且仅当，等号成立，则的最大值为1． 故答案为：1． 5．已知且，则的最小值为（    ） A．12 B． C．16 D． 【答案】C 【分析】根据题意可知，根据乘1法结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，则，且， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 题型三 利用基本不等式求二次与二次（一次）商式最值 例1．函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 【答案】A 【分析】由基本不等式求解， 【详解】 因为 所以 ， (当且仅当 即 时，等号成立 故最小值为， 故选：A 例2．已知一元二次不等式的解集为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解集得出、与的关系，代入中利用基本不等式求出最大值． 【详解】一元二次不等式的解集为， 所以、为关于的方程的两根且， 所以，解得，， 所以 ，当且仅当，即时取等号， 即的最大值为. 故选：D 例3．设，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对变形后，利用基本不等式求解. 【详解】，则， ， 当且仅当时，等号成立，则. 故选：D. 变式训练 1．函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】将函数化为，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可. 【详解】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 故答案为： 2．函数在上的最大值为 ． 【答案】 【分析】令，则，则，利用基本不等式计算可得. 【详解】解：因为，，令，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值为． 故答案为： 3．（1）求函数的最大值； （2）求函数的最小值； （3）若，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2）9；（3）9 【分析】（1）对函数解析式变形，利用基本不等式求解最值； （2）对函数解析式变形，利用基本不等式求解最值； （3）先常数代换变形，再利用基本不等式求解最值； 【详解】（1）由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号，所以原函数的最大值为. （2）由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号，所以原函数的最小值为9. （3）因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时，，所以的最小值为. 题型四 配凑、消元法、整体法利用基本不等式求最值 例1．已知，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据题意结合基本不等式运算求解，注意基本不等式的成立的条件. 【详解】因为，则， 可得，即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为4. 故选：A. 例2．已知，，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】变形给定的等式，再利用基本不等式求解即得. 【详解】由，得，由，得， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为3. 故选：A 例3．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断． 【详解】对于A，因为，，且， 所以，即，当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B，根据A可知，，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当时等号成立，故C正确． 对于D，要证明，只需要证明，由于，则只需要证明，只需证明， 由于，当且仅当时等号成立，此时，故等号不能取到，故，即，故D正确. 故选：BCD 变式训练 1．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于ABC由基本不等式逐项验证，对于D，利用代入消元，借助二次函数求解. 【详解】对于A：，当且仅当时取等号，正确； 对于B：因为，所以当且仅当时取等号 所以，当且仅当时取等号，正确； 对于C: ，当且仅当时取等号，错误； 对于D:因为，所以 又，所以成立，正确 故选：ABD 2．下列命题正确的是（    ） A．若，且， B．已知正数、满足，则的最小值为 C．若，则的最大值是 D．若，，，则的最小值是 【答案】BC 【分析】利用基本不等式逐项判断，注意不等成立的前提条件． 【详解】对于选项，若均为负数，不等式不成立，所以错误； 对于选项，，所以， 则， 所以，，当且仅当，即当时，等号成立，故正确； 对于选项，因为，，当且仅当即时，等号成立，所以，故正确； 对于选项，因为，所以， 所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值是，故错误． 故选：． 3．若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对进行变形，再利用不相等时，即可求出的范围. 【详解】由，则， 又，则， 又当时，， 因此可得，， 即，又， 因此可得， 故选：D. 4．已知且，则下列不等式恒成立的是（    ） A．的最小值为2 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为2 【答案】AC 【分析】利用基本不等式逐项判断即可. 【详解】对于A，， 所以，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，， 当且仅当时，时等号成立，故B错误； 对于C，，故，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，由A知，，故， 故，，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为2，故D错误. 故选：AC 5．若正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用基本不等式、基本不等式“1”的妙用逐项判断即可. 【详解】对于A，正数，则，当且仅当时取等号，因此，A错误； 对于B，由，得，则 ，当且仅当，即时取等号，B正确； 对于C，由，得，即，而， 因此，C正确； 对于D，由，得，即， 由，得，因此， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BCD 题型五 有条件等式利用基本不等式求最值 例1．已知，，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】先得出，再利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以，所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 例2．已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【分析】借助“1”的活用将分式其次化后结合基本不等式计算即可得. 【详解】由，则 ， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：C. 例3．已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把化简为为，然后利用基本不等式即可求出最小值 【详解】因为，则， 由于， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为， 故选：C 变式训练 1．已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】借助“1”的活用，结合基本不等式计算即可得. 【详解】 ， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：D. 2．已知，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先变形，化简后换元，转化为关于的式子，利用基本不等式求最值. 【详解】， ， 设， 则， ， 当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 故选：D 3．已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】由于，所以原不等式化为，给不等式两边同乘以，化简后利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为， 所以由，得， 因为， 所以 ， 当且仅当，即，即时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 故答案为： 4．设正实数满足，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】化简，利用基本不等式得 可得答案. 【详解】， 由于是正实数，且， 所以 ， 当且仅当，即，所以时等号成立， 则的最小值为2，所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 则最小值为. 故答案为：. 5．设为正数，且，则的最小值为 【答案】/5.8 【分析】由题意，原式可化简为：，由，得，即，再利用基本不等式“1”的代换即可求解. 【详解】由题意，， 因为， 所以， 所以， 所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以， 所以， 即的最小值为. 故答案为：. 题型六 利用基本不等式解决恒成立 例1．当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出的最小值，然后解二次不等式即可. 【详解】因为即且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，故的取值范围为. 故选：A 例2．若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解得即可. 【详解】因为正实数、满足， 即，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 因为正实数、满足，且恒成立， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：B． 例3．对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】首先不等式变形为恒成立，再利用两次基本不等式求的最小值，即可求解的取值. 【详解】不等式恒成立，可转化为 恒成立，其中， 令， ， ， 第二次使用基本不等式，等号成立的条件是且， 得且，此时第一次使用基本不等式，说明两次基本不等式能同时取得， 所以的最小值为， 即，则， 所以实数的最大值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是再求的最值时，需变形为，再通过两次基本不等式求最值. 变式训练 1．已知且，若恒成立，则实数可取（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】AB 【分析】利用基本不等式单位“1”的应用，求出的最小值，从而可求解. 【详解】由题意知，， 所以， 当且仅当时取等号，所以，解得，所以A、B正确. 故选：AB. 2．若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式求出的最大值，结合选项可得 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 由任意，恒成立，  所以， 符合条件有，，，故A、C、D对；，故B错； 故选：ACD 3．若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据等式变形，利用常值代换法凑项，运用基本不等式求得即得. 【详解】因为两个正实数 满足，则， 故 ，当且仅当时取等号， 因不等式恒成立，则，故. 故答案为：. 4．若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】D 【分析】化简可得恒成立，再根据基本不等式求解的最小值即可. 【详解】由题意恒成立，即恒成立. 又，当且仅当时取等号. 故实数的最大值为9. 故选：D 5．已知且恒成立，实数的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】将不等式转化，应用基本不等式求出最大值，即可得到答案. 【详解】由题意，， 所以转化为， 可得，即， 因为，当且仅当时等号成立， 所以实数的最大值是. 故答案为： 6．已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将变形为，利用均值不等式求的最小值即可求解. 【详解】因为， 所以 ， 所以 ，等号成立当且仅当， 所以，， 故实数a的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解题关键是先得到，再进一步结合乘“1”法即可顺利得解. 7．已知正实数a，b满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分离参数得恒成立，即，然后结合基本不等式求解即可. 【详解】因为正实数a，b满足，， 所以， 因为， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以不等式恒成立，只需即可. 故答案为： 题型七 基本不等式实际应用 例1．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件元出售，可卖出件，则当利润最大时，每件商品的定价为（    ） A．105元 B．110元 C．115元 D．120元 【答案】C 【分析】列出利润的关系式，即可由不等式求解. 【详解】由题意可知利润， 当且仅当，即时等号成立， 故选：C 例2．为深刻践行习总书记“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某县响应号召，在某个乡镇搞“生态农业特色小镇”.调研过程中发现：某生态农产品的每亩产量（单位：）与生态肥料费用（单位：元）满足如下关系：，其他成本投入为（单位：元）.已知这种生态农产品的市场售价大约为20元，且供不应求.记该这种生态农产品每亩获得的利润为（单位：元）. (1)求的函数关系式； (2)当投入的生态肥料费用为多少元时，该种生态农产品每亩获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)； (2)当肥料费用为270元时，农产品每亩获得的利润最大，最大利润是4880元. 【分析】（1）根据给定条件，列出的表达式，再分段求出即可. （2）借助二次函数及基本不等式分段求出最大值，再比较大小即可得解. 【详解】（1）依题意，，， 所以. （2）当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 即在上的最大值为3100； 当时，， ，当且仅当，即时取等号， 而，因此当时，取得最大值4880，此时肥料费用， 所以当生态肥料费用为270元时，该种生态农产品每亩获得的利润最大，最大利润是4880元. 变式训练 1．某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本．已知购买台设备的总成本为（单位：万元）．若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备 台． 【答案】400 【分析】由的表达式得到每台设备的平均成本，由均值不等式等号成立条件得到答案. 【详解】每台设备的平均成本， 当且仅当，时，等号成立， 故答案为：400. 【点睛】方法点睛：均值不等式常用结论 1、如果，，则，当且仅当时取等号； 推论：； 2、如果，那么，当且仅当时取等号； 推论：； 3、 2．对于任意正实数 ， 仅当 时，等号成立． 结论： ． 若 为定值，仅当 时， 有最小值 ． 根据上述内容，回答下列问题： (1)初步探究： 若 ，仅当 ___时，有 最小值___； (2)变式探究： 对于函数 ，当 取何值时，函数 的值最小？ 最小值是多少？ (3)拓展应用：疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题． 高速公路榆测站入口处， 检测人员利用检测站的一面墙 (墙的长度不限)， 用 63 米长的钢丝网围成了 9 间相同的长方形隔离房， 如图． 设每间离房的面积为 (米 )． 问： 每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积 最大？ 最大面积是多少？ 【答案】(1)1,2; (2)4,5; (3); 【分析】（1）应用基本不等式计算求解； （2）加3构造定值应用基本不等式求和的最小值； （3）根据题意设边长写出定值再应用基本不等式求面积最大值及取等条件. 【详解】（1）,当且仅当时取得最小值. （2）, 当且仅当时，. （3）设每间隔离房的长、宽分别为, 由题意可知, 当且仅当时，. 3．某市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量x台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（） (2)当该产品的年产量为35台时所获利润最大，最大利润为2050万元 【分析】（1）根据利润＝销售收入－成本并结合分段函数表达式即可得到利润表达式； （2）利用二次函数性质和均值不等式分段研究利润最大值，并比较大小即可. 【详解】（1）由题意可得当，时，； 当，时，； 所以（）． （2）当时，，， 当时，取最大值，（万元）； 当时，， ， 当且仅当，即时等号成立，因为， 故当该产品的年产量为35台时所获利润最大，最大利润为2050万元 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！30 学科网（北京）股份有限公司 $$