数学模拟卷15(含答案)-【双基聚焦】2025年福建省普通高中学业水平（合格性）考试数学模拟卷

福建省普通高中学业水平（合格性）考试数学模拟卷（十五） 综合模拟卷（9） 一、选择题 1.（2024·福建学考模拟）小于2的自然数集用列举法可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，小于2的自然数有，所以，列举法表示集合为.故选：C 2.（2023·河北学业考试）若复数为纯虚数，则实数的值为 A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】解：因为选C 3.（2023春·福建延安中学校考学业考试）已知为第三象限角，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵为第三象限角，且， ∴， 故. 故选：B. 4.（2023·河北统考学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据函数定义域可知，解得或； 所以函数的定义域为. 故选：D 5.（2023·福建学业考试）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，那么，下列各角与角终边相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用终边相同的角的集合逐一对各个选项分析判断即可求出结果. 【详解】因为与角终边相同的角的集合为，当时，得到，又，所以易知BCD均不符合题意. 故选：A. 6.（2023春·福建延安中学校考学业考试）若正实数，满足．则的最小值为（   ） A．12 B．25 C．27 D．36 【答案】C 【详解】解：因为，所以． 因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立， 所以，的最小值为27． 故选：C 7.（2023·江西宜丰中学校考学业考试）函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D． 8.（2023·重庆统考学业考试）圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（  ） A．1:1 B．1:2 C．2:1 【答案】A 【详解】设球的半径的r，依题意圆柱的底面半径也是r，高是2r， 圆柱的侧面积= ，球的表面积为 ， 其比例为1:1， 故选：A. 9.（2023·湖南衡阳统考学业考试）某同学参加知识竞赛，位评委给出的分数为，则该组分数的第百分位数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将位评委给出的分数按照从小到大顺序排序为：， ，该组数据的第百分位数为. 故选：D. 10.（2023·广东学业考试）不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 即不等式的解集是. 故选：D. 11.（2023·上海统考学业考试）已知，且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即. 故选：B. 12.（2023春·浙江杭州统考学业考试）若正数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得时等号成立， 所以， 所以时，的最小值是， 故选：B 13. （2024·福建上杭第一中学学考模拟）如图，在长方体中，.则直线与平面所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面角的定义，可知即为直线与平面所成角，解三角形即可求得结果. 【详解】如图，连接直线，显然，在长方体中，平面，故即为直线与平面所成角， 在中，，，， ， 故选：C 14.（2023春·安徽马鞍山市第二十二中学学业考试）在中，点D是AB的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为点D是AB的中点， 所以 所以 故选：D. 15.（2023春·天津南开学业考试）已知命题：，，则命题的否定为（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】命题的否定为，. 故选：B 16.（2024·福建学业考试模拟）若函数在区间上为不单调函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为二次函数的对称轴为， 又函数在区间上为不单调函数，所以， 故选：C. 17.（2023·河北学业考试）设a，b是两条不同的直线，是平面，，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】由线面平行性质定理，，，方可推出，“”不是“”的充分条件； 可在平面内找到一条直线与平行，不一定有，故“”不是“”的 必要条件； 综上， “”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 18.（2022·福建福州延安中学学考模拟）用分层抽样的方法，从某中学3000人(其中高一年级1200人，高二年级1000人，高三年级800人)中抽取若干人.已知从高一抽取了18人，则从高二和高三年级共抽取的人数为（ ） A. 24 B. 27 C. 30 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】由题意求出样本容量，再利用分层抽样的定义求解即可 【详解】解：设从三个年级中共抽取人，则，解得， 则从高二和高三年级共抽取的人数为， 故选：B 19.（2024·福建上杭第一中学学考模拟）设定义在上的函数，则不等式的解集是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先研究函数的奇偶性、单调性，由此即可列出不等式组求解. 【详解】显然的定义域关于原点对称，对于定义域内任意一个，都有，所以是偶函数， 当时，单调递减，所以当时，单调递增， 对于有，解得， 即不等式的解集是. 故选：B. 2、 填空题 20.（2023春·江西南昌校考学业考试）已知在上的最大值为，则实数的最大值为 . 【答案】/ 【详解】由，得， 因为在上的最大值为， 所以，解得， 所以实数的最大值为. 故答案为：. 21.（2023·安徽马鞍山二中校考学业考试）在中，，点为边的中点，点在边上，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】以为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，如图所示 由题意可知，设， 所以， 所以，， 由二次函数的性质知，当时，取最小值为. 故答案为：. 22.（2023春·浙江温州统考学业考试）在公元前4世纪中叶，中国天文学家有一套测定天体球面坐标的仪器称作浑仪，比古希腊早了近60年.浑仪是由两个重重的同心圆环构成，整体看上去，近似一个球体.它的运行制作原理可以如下解释，同心圆环的小球半径为r，大球的半径为R，大球内安放六根等长的金属丝（不计粗细），使小球能够在金属丝框架内任意转动，若，则r的最大值为 . 【答案】 【详解】由题意，小球与正四面体的各条棱相切，大球为正四面体的外接球，即可保证最大， 如图所示，设正四面体的棱长为，为的中心，可得平面， 因为平面，则，且， 所以， 在直角中，，可得， 解得， 过点作，垂足为， 在直角中，可得， 即小球的最大半径为 故答案为：. 23.（2024·福建学业考试模拟）求函数的单调增区间为 【答案】和 【分析】 将绝对值去掉，转化为分段函数，画出图象求解即可. 【详解】，画出函数图象（如图所示） 结合图象得函数的单调递增区间为和. 故答案为：和. 3、 解答题 24.（2023·广东学业考试）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用比例分配的分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图估计分数的样本数据的70%分位数； （2）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中女生的人数. 【答案】（1）77.5；（2）(人). 【详解】（1）由频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为， 从而有：样本中分数小于70的频率为， 又由频率分布直方图可得：样本中分数小于80的频率为0.8， 所以样本数据的70%分位数必定位于之间. 计算为： 所以其分数的样本数据的70%分位数估计值为77.5. （2）由题知，样本中分数不小于70的学生人数为， 从而有，样本中分数不小于70的男生人数为， 进而得，样本中的男生人数为，女生人数为， 所以总体中女生人数为(人). 25.（2023·安徽马鞍山二中校考学业考试）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，E为PB的中点． (1)求证：EO平面PDC； (2)求证：平面PAC⊥平面PBD． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）∵底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O， ∴O为BD中点，又E为PB的中点，∴， ∵平面PDC，平面PDC， ∴平面PDC； （2）∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD， 又PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC， ∵平面，∴AC⊥平面PBD， 又平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD． 26.（2023·山西统考学业考试）已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的m，，，都有． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)a的取值范围为； (2)a的取值范围为. 【详解】（1）任取两个实数，满足， 由题意可得， 即， 在定义域上是增函数. 因为是定义在上的奇函数， 所以当时，， 所以，可化为 所以 所以， 解得， a的取值范围为. （2）由（1）知函数在定义域上是增函数， 所以当时，函数取最大值，最大值为， 又是定义在上的奇函数， 所以，又， 所以函数在定义域上的最大值为， 因为不等式恒成立， 所以，所以， 故不等式可化为， 所以， 解得或， 所以a的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $$