数学模拟卷8(含答案)-【双基聚焦】2025年福建省普通高中学业水平（合格性）考试数学模拟卷

福建省普通高中学业水平（合格性）考试数学模拟卷（八） 综合模拟卷（2） 一、选择题 1.（2023·福建学业考试）下列向量组中，可以用来表示该平面内的任意一个向量的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理可知，表示平面内的任意向量的两个向量不能共线，结合选项，即可判断. 【详解】表示平面内的任意一个向量的两个向量不能共线， A.向量是零向量，所以不能表示平面内的任意向量，故A错误； B.，两个向量共线，所以不能表示平面内的任意向量，故B错误； C.，两个向量共线，所以不能表示平面内的任意向量，故C错误； D.不存在实数，使，所以向量不共线，所以可以表示平面内的任意向量，故D正确. 故选：D 2.（2023·湖南学业考试）已知i为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的四则运算求解， 【详解】由题意得， 故选：B 3.（2023·福建学业考试）设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数幂以及对数的运算性质，可得，，进而根据指数函数以及对数函数的性质，即可得出答案. 【详解】因为，， 所以，. 故选：A. 4.（2023·福建学业考试）图象中，最有可能是的图象是（    ） A．  B．     C．  D．   【答案】C 【详解】函数的定义域为，因此函数的图象总在y轴右侧，选项ABD不满足，C满足. 5.（2023·福建学业考试）某学校新建的天文观测台可看作一个球体，其半径为．现要在观测台的表面涂一层防水漆，若每平方米需用涂料，则共需要涂料（单位：）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用球的表面积公式求出表面积，再根据条件即可求出结果. 【详解】因为，所以球的表面积为，又每平方米需用涂料，所以共需涂料. 故选：D 6..（2023·河北·学业考试）已知集合，则集合的真子集的个数为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】A 【详解】解：由题意得： ， 其真子集有：，，，，，，，共7个． 故选：A． 7.（2023春·天津学业考试）不等式的解集为（    ） A． B． C．，或 D．，或 【答案】B 【详解】不等式可化为，解得. 故选：B. 8.（2024·湖南学业考试）已知，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】利用基本不等式直接求出最大值. 【详解】当时，，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为3. 故选：D 9.（2024·浙江学业考试）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据全称量词命题的否定形式直接求解即可. 【详解】全称量词命题：，它的否定为：. 所以命题“”的否定是“”. 故选：D. 10.（2023·广东学业考试）函数是（    ） A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】D 【分析】因为函数，由奇偶函数的定义结合求周期的公式即可得出答案. 【详解】解析：函数， 故该函数为偶函数，且它的最小正周期为. 故选：D. 11.（2023·广东学业考试）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若A＝60°，b＝2，c＝3，则a＝（　　） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理求解即可. 【详解】∵A＝60°，b＝2，c＝3， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝4＋9－2×2×3×＝7， ∴a＝． 故选：A 12.（2024·江苏学业考试）若，则函数的最小值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】D 【分析】利用基本不等式分析求解. 【详解】因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为15. 故选：D. 13.（2024·浙江学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由解析式中根号下为非负数，分母不为零，解不等式即可求得结果. 【详解】根据函数解析式可得，解得； 所以该函数的定义域为. 故选：C 14.（2024·江苏学业考试）运动员甲次射击成绩（单位：环）如下：，则下列关于这组数据说法不正确的是（    ）. A．众数为7和9 B．平均数为7 C．中位数为7 D．方差为 【答案】C 【分析】结合众数、平均数、中位数、方差分别进行计算即可. 【详解】由题意，这组数据中7和9都出现3次，其余数出现次数没超过3次， 故众数为7和9，故A正确； 计算平均数为，故B正确； 将10次射击成绩从小到大排列为:， 则中位数为 ，故C错误； 方差为， 故D正确， 故选：C. 15.（2023·广东学业考试）在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有（    ） ①A：“所取3件中至多2件次品”， B ： “所取3件中至少2件为次品”； ②A：“所取3件中有一件为次品”，B： “所取3件中有二件为次品”； ③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”； ④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”； A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】根据互斥事件的定义即可得到结果. 【详解】在10件产品中有3件次品，从中选3件，∵所取3件中至多2件次品与所取3件中至少2件为次品，两个事件中都包含2件次品，∴①中的两个事件不是互斥事件． ∵所取3件中有一件为次品与所取3件中有二件为次品是互斥事件，∴②中的两个事件是互斥事件． ∵所取3件中全是正品与所取3件中至少有一件为次品是不能同时发生的，∴③中的两个事件是互斥事件， ∵所取3件中至多有2件次品与所取3件中至少有一件是正品都包含2件次品一件正品，以及1件次品两件正品，以及三件正品，所以④不是互斥事件， 故选：B． 16.（2023·河北学业考试）已知m，n是两条不同的直线，是平面，则下列四个结论中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若m，n与所成的角相等，则 【答案】A 【分析】根据线面垂直的性质定理以及空间中线线垂直的关系可判断A正确，C错误；由线面平行性质定理以及线面角的定义可得BD均错误. 【详解】由线面垂直的性质定理可得垂直于同一平面的两直线平行，即A正确； 若，，可知m，n的位置关系可以是平行、相交或异面，即B错误； 若，，则直线可以在平面内，所以C错误； 由线面角的定义可知，若m，n与所成的角相等，则m，n的位置关系可以是平行、相交或异面，即D错误. 故选：A 17.（2023·浙江学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题结合辅助角公式可得，后由二倍角余弦公式可得答案. 【详解】. 则. 故选：D 18.（2024·浙江学业考试）将一枚质地均匀的骰子连续拋掷2次，没有出现3点的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用古典概型概率计算公式可求得结果. 【详解】根据题意可知一枚质地均匀的骰子连续拋掷2次，样本空间为，共36个样本点； 其中没有出现3点的事件为，共有25个样本点， 所以没有出现3点的概率为. 故选：A 19.（2023·安徽学业考试）函数在区间上（   ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】A 【分析】作出函数的图象，结合图象可得函数在上的单调性，从而即可得函数在上的最值. 【详解】解：因为， 所以函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴为，如图所示： 由此可得函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，无最小值. 故选：A. 2、 填空题 20.（2024·福建学业考试）若球的表面积为，则该球的半径是 ． 【答案】 【分析】根据球的表面积公式计算可得. 【详解】设球的半径为，依题意，解得（负值已舍去）. 故答案为： 21.（2024·福建学业考试模拟）已知，，，则______． 【答案】0.2 【详解】因为， 所以. 故答案为：0.2. 22.（2023·湖南学业考试）已知中，，那么BC等于 . 【答案】 【分析】直接由余弦定理计算即可. 【详解】由已知得， 所以. 故答案为：. 23.（2023·广东学业考试）已知函数，则的值为 【答案】－3 【分析】由分段函数的定义计算，注意自变量的取值范围． 【详解】，， ∴． 故答案为：． 3、 解答题 24.（2024·福建学业考试模拟）已知向量，. (1)求与； (2)当为何值时，向量与垂直？ 【详解】（1）因为，，故， 故. （2），， 因为向量与垂直，故，故. 25.（2024·湖南学业考试）如图，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，，.    (1)求三棱锥的体积； (2)求证：BC⊥平面； (3)求直线PC与平面所成角的正切值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)2. 【分析】（1）利用三棱锥的体积公式计算即得. （2）利用线面垂直的性质、判定推理即得. （3）利用几何法求出线面角的正切值. 【详解】（1）由AB是⊙O的直径，C是圆上一点，，得， ，，而PA⊥⊙O所在的平面， 所以三棱锥的体积. （2）由PA⊥⊙O所在的平面，⊙O所在的平面，则， 由（1）知，，又平面， 所以BC⊥平面. （3）由PA⊥⊙O所在的平面，得是直线PC与平面所成的角， 所以. 26.（2023·安徽学业考试）某企业拟生产甲、乙两种产品，根据市场调研预测，甲产品的利润与投资额的算术平方根成正比，其关系如图1，乙产品的利润与投资额成正比，其关系如图2. (1)分别将甲、乙两种产品的利润表示为投资额的函数关系式； (2)如果企业将筹集到的160万元资金全部投入到甲、乙两种产品的生产中，试问：怎样分配这160万元的投资才能使该企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)甲产品投入64万元，乙产品投入96万元时，可使利润最大，最大利润为56万元. 【分析】（1）根据题意假设得到甲、乙两种产品的利润表示为投资额的函数关系式分别为、，再结合图像将点代入即可得解； （2）结合（1）中条件，得到该企业获得的利润关于，从而利用二次函数的最值性质即可得解. 【详解】（1）设甲、乙两种产品的利润关于投资额的函数关系式分别为、， 由条件得，，，解得，， 所以甲产品的利润为，乙产品的利润为. （2）设投入x万元到甲产品生产，则乙产品投入万元，， 所以该企业获得的利润为， 所以当，即时，， 所以甲产品投入64万元，乙产品投入96万元时，可使利润最大，最大利润为56万元. 学科网（北京）股份有限公司 $$