数学模拟卷2(含答案)-【双基聚焦】2025年福建省普通高中学业水平（合格性）考试数学模拟卷

福建省普通高中学业水平（合格性）考试数学模拟卷（二） 立体几何初步 一、单项选择题 1．（2023春·福建）已知球体O的半径为2，则球体O的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设球体O的半径为，所以 由球体O的表面积公式可得. 故选：C. 2．（2023·河北学业考试）下列命题中正确的有（    ） ①一个棱柱至少有5个平面； ②正棱锥的侧面都是全等的等腰三角形； ③有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台； ④正方形的直观图是正方形； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：①因为底面最少为三角形，故3个侧面，2个底面，共5个面，故①正确； ②正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心， 射影侧面都是全等的等腰三角形，故②正确； ③不正确，因为不能保证各侧棱的延长线交与一点； ④正方形的直观图是平行四边形，所以④不正确； 正确的命题只有①②． 故选：B． 3．（2023春·福建学业考试）已知四棱锥底面为正方形，平面，则（    ）    A． B． C．平面 D．平面 【答案】B 【详解】对于A选项，因为平面，平面，则， 因为四边形为正方形，则， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，则，故为锐角，A错； 对于B选项，因为平面，平面，则，B对； 对于C选项，若平面，且平面，则、平行或重合， 矛盾，假设不成立，C错； 对于D选项，若平面，则与平面无公共点， 这与平面矛盾，假设不成立，D错. 故选：B. 4．（2023春·福建延安中学校考学业考试）已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【详解】设底面半径为r，侧面展开是半圆，圆心角为，所以母线长 则圆锥的表面积：， . 故选：A. 5.（2023·浙江温州统考学业考试）已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆台上下底面的半径分别为，母线为， 由题意可得：， 则圆台的高为， 所以圆台的体积为. 故选：D 6．（2023·北京·高三统考学业考试）已知三棱柱的体积为12，则三棱锥的体积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】三棱锥与三棱柱等底等高，则三棱锥的体积是三棱柱体积的，即三棱锥的体积为4. 故选：B 7．（2023春·安徽马鞍山市第二十二中学校考学业考试）如图，在正方体中，直线与所成的角是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接，，在正方体中， 因为，且，所以四边形为平行四边形，所以，则即为直线与所成的角或其补角，由正方体的性质可得：为正三角形，所以，则直线与所成的角是， 故选：. 8．（2023·广东学业考试）设为两个不同的平面，为两条不同的直线，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】①若，且， 可能平行，可能垂直，可能异面， 故“”是“”的不充分条件； ②若， 可能平行，可能相交，可能垂直. 故则“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选:D. 9．（2023春·天津学业考试）长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意得长方体的对角线长为， 又长方体的外接球的直径是长方体的对角线， 所以长方体的外接球的直径， 所以长方体的外接球的表面积为. 故选：C 10．（2023·河北学业考试）如图，在三棱柱中，所有的棱长都相等，侧棱底面ABC，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取的中点，连接，易得 因为侧棱底面ABC，侧棱侧棱， 所以侧棱底面ABC，底面ABC， 所以， 因为，平面， 故平面， 所以所求直线与平面所成的角为， 由平面，平面可得 因为所有的棱长都相等，不妨假设棱长为，则，， 则. 故选：A 11．（2022·福建省福州高级中学高一期末）在长方体中，，，，则和所成的角是（    ） A．60° B．45° C．30° D．90° 【答案】A 【详解】如图所示：易知， 所以和所成的角，即为和所成的角， 在中，， 所以. 即和所成的角是. 故选：A 12．（2022·福建学考模拟）一个实心小铜球的半径为，密度为，，则该铜球的质量约为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由球的体积公式先求得体积，再求质量即可. 【详解】 因为小铜球的体积， 所以小铜球的质量. 故选：C 13．（2024·福建学考模拟）如图，已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图扇形的圆心角为，则圆锥的母线长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由题设母线长为，则，可得. 故选：D. 14．（2024·福建学考模拟）如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【答案】B 【详解】由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1， 因为与棱B1C1平行的棱还有3条：AD, BC，A1D1，所以共有4条. 故选：B. 15．（2023·云南统考学业考试）在正方体中，异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连结、，如下图： 在正方体中，且； 四边形为平行四边形，则； 又在正方体中，为等边三角形， 就是异面直线与所成角,， 异面直线与所成角的大小为. 故选：C. 16．（2024·福建学考模拟）如图，在正方体中，为的中点.若，则三棱锥的体积为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】直接利用棱锥的体积公式计算. 【详解】因为面 所以. 故选：D. 17．（2024·福建学考模拟）如图，正方体中，E为的中点，则下列直线中与平面AEC平行的是（    ） A． B． C． D．EO 【答案】C 【分析】根据线面平行的判定定理即可得出答案. 【详解】解：对于A，因为直线与平面AEC交于点，故不平行； 对于B，因为直线与平面AEC交于点，故不平行； 对于C，在正方体中， 因为E为的中点，为的中点， 所以， 又平面AEC，平面AEC， 所以平面AEC； 对于D，因为平面AEC，故不平行. 故选：C. 18．（2023·广东高三学业考试）如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，连接，，则,    ，分别是，的中点， ， 是异面直线与所成的角，且是等边三角形， . 故选：. 19．（2023·北京统考学业考试）四棱锥如图所示，则直线PC（    ） A．与直线AD平行 B．与直线AD相交 C．与直线BD平行 D．与直线BD是异面直线 【答案】D 【详解】根据异面直线的定义，不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线，可以判断直线PC与直线AD、直线BD是异面直线. 故选：D. 二、填空题 20．（2022·福建学考模拟）如图，一个球被切掉左上角的，该几何体的体积是，则它的半径为______. 【答案】2 【解析】 【分析】 直接由球的体积公式计算即可. 【详解】 设球的半径为，则，解得. 故答案为：2. 21．（2023·广东统考学业考试）如图，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E是CD的中点，沿AE将△DAE向上折起，使D为D′，且平面AED′⊥平面ABCE.则直线AD′与平面ABC所成角的正弦值为_____. 【答案】 【详解】解：由题意，为等腰直角三角形， ∵平面平面， ∴在底面的射影为， ∴为直线与平面所成角， 且， 其正弦值为. 故答案为：. 22．（2023春·全国·高一专题练习）如图，“甜筒”状旋转几何体，由一个圆锥与一个半球组合而成，其中圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个组合体的表面积为________. 【答案】 【详解】由题意，这个组合体的表面积为 故答案为： 23．（2022·福建学考模拟）把一个圆锥截成圆台，已知圆台上、下底面的半径之比为，母线长为9，则圆锥的母线长是 ． 【答案】12 【分析】根据圆台的几何特征利用三角形相似即可求得结果. 【详解】设圆台的上底面半径为，圆锥的母线长为， 则圆台的下底面的半径为， 作出圆锥的轴截面如图，则， 所以，即． 解得，即圆锥的母线长为12． 故答案为：.    三、解答题 24．（2021秋·福建）如图，在三棱锥中，已知△ABC和△PBC均为正三角形，D为BC的中点． (1)求证：平面； (2)若，，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）因为△ABC和△PBC为正三角形，D为BC的中点， 所以, 又, 所以平面 （2）因为△ABC和△PBC为正三角形，且， 所以, 又， 所以正三角形的面积为， 所以. 25．（2023春·福建延安中学校考学业考试）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 如图，连接交于点，再连接, 在中，为中点，为的中，所以, 且平面，平面,所以平面. （2）因为该几何体为正方体，所以点到平面的距离等于， 所以点到平面的距离等于， 根据等体积法可知. 26．（2023春·福建统考学业考试）如图，长方体，，. (1)求三棱锥的体积； (2)证明：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解：在长方体中，平面，且， 因为，，则，， 因此，三棱锥的体积为. （2）证明：在长方体中，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，因此，平面. 学科网（北京）股份有限公司 $$