精品解析：山东省淄博第七中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

2024-2025学年上学期阶段检测试题 高二数学 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据空间直角坐标系对称点的特征，点关于轴的对称点的坐标为只须将纵坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为：， 所以点关于轴的对称点的坐标为：. 故选：B. 2. 甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为，和棋的概率为，则乙不输的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】乙不输与甲获胜对立事件，根据概率公式计算即可． 【详解】∵乙不输与甲获胜对立事件， ∴乙不输的概率是， 故选：A. 3. 对于空间任意一点和不共线的三点，有如下关系：，则（ ） A. 四点必共面 B. 四点必共面 C. 四点必共面 D. 五点必共面 【答案】B 【解析】 【分析】根据如下结论判断：对于空间任一点和不共线三点，若点满足且，则四点共面. 【详解】对于空间任一点和不共线三点，若点满足且，则四点共面. 而，其中，所以四点共面. 故选：B. 4. 如图所示，在正方体中，点 是棱 的中点，点 是棱的中点，则异面直线与 所成的角为（ ） A. 120° B. 90° C. 60° D. 30° 【答案】B 【解析】 【分析】以 为原点，建立空间直线坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成的角． 【详解】以 为原点，建立如图所示的空间直线坐标系， 设正方体的棱长为2， 则 ，0，， ，2，，，2，，，2，， ，， ， ， 异面直线与所成的角为． 故选： ． 【点睛】本题考查异面直线所成的角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 5. 如图，在四面体 中， ， 分别是， 的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的加法法则直接求解. 【详解】在四面体 中， ， 分别是， 的中点， 故选：A． 6. 已知随机事件A，B满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质列式计算即得. 【详解】依题意，. 故选：D 7. 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，若点P满足，则点P到直线AB的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过 作 平面 于点 ，过 作于点 ，连接，则即为所求， 【详解】解：如图，过 作 平面 于点 ，过 作于点 ， 连接，则即为所求， 因为满足， 所以，，， 所以， 故选： ． 【点睛】本题考查了求点到直线的距离的方法，属于基础题． 8. 已知直线 的方向向量为，则向量在直线 上的投影向量坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合，代入即可求解. 【详解】直线l的方向向量为和， 可得， 则向量直线l上的投影向量的坐标为 . 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面结论正确的是（ ） A. 若，则事件A与B是互为对立事件 B. 若，则事件A与B是相互独立事件 C. 若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件 D. 若事件A与B是相互独立事件，则A与也是相互独立事件 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据互斥事件、对立事件的知识判断AC两个选项的正确性，根据相互独立事件的知识判断BD两个选项的正确性. 【详解】对于A选项，要使 为对立事件，除还需满足 ，也即 不能同时发生，所以A选项错误. 对于C选项， 包含于，所以 与不是互斥事件，所以C选项错误. 对于B选项，根据相互独立事件的知识可知，B选项正确. 对于D选项，根据相互独立事件的知识可知，D选项正确. 故选：BD 【点睛】本小题主要考查互斥事件和对立事件，考查相互独立事件，属于基础题. 10. 已知是正方体，以下正确命题有（ ） A. B. C. 向量与向量的夹角为60° D. 正方体的体积为 【答案】A 【解析】 【分析】结合空间向量运算、空间向量夹角、正方体的体积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设正方体的边长为， A选项， . ，所以A选项正确. B选项，是数量积运算，结果是实数，是向量，所以B选项错误. C选项，，根据正方体的性质可知，所以， 即向量与向量的夹角为，C选项错误. D选项，正方体的体积为，，所以D选项错误. 故选：A 11. 已知向量，，其中，则以下命题正确的是（ ） A. 向量与轴正方向的夹角恒为定值（即与c，d无关）； B. 的最大值为； C. （，的夹角）的最大值为； D. 若定义，则的最大值为. 【答案】ACD 【解析】 【分析】取轴的正方向单位向量，求出与的夹角即可判断A；计算,利用不等式求出最大值即可判断B；利用数量积求出夹角的最大值，即可判断C；根据定义求出的最大值即可判断D． 【详解】对于A，取轴的正方向单位向量， 则， ∴向量与轴正方向的夹角恒为定值，故A正确； 对于B，， 当且仅当时取等号， 因此的最大值为1，故B错误； 对于C，由B可得，∴， ∴， ∴的最大值为，故C正确； 对于D，由C可知：， ∴，， ∴，故D正确． 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：理解的定义是解决D选项的关键. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的知识求得正确答案. 【详解】向量在坐标平面上的投影向量是. 故答案为：. 13. 已知长方体中，，， ， 为 的中点，则点到平面的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的知识，点到平面的距离可用公式来求，其中为平面的法向量，为平面上任意一点到 为终点的向量． 【详解】解：以 为坐标原点，射线、、依次为、 、轴，建立空间直角坐标系， 则点，2，，，0，，，0，，，4，， 从而，0， ，，2，，，4，， 设平面的法向量为 ， ， ，由可得， 令， 所以点到平面的距离为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了向量法求直线与平面所成角，以及点到平面的距离．属于立体几何的常规题，属于中档题． 14. 已知矩形 ，，，沿对角线将 折起，使得，则二面角的大小是___________. 【答案】 【解析】 【分析】 作出二面角的平面角，建立空间坐标系，设二面角的大小为，表示出 、 两点坐标，根据距离公式列方程解出. 【详解】在矩形 中，作于点，交 于点 ，作于点 ， ，，， ，， ， 在翻折后，以为原点，以、 所在直线为轴、 轴建立空间直角坐标系 ， 则 为二面角的平面角，设， 则，， ，得， ，. 因此，二面角的大小是. 故答案为：. 【点睛】作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间中三点，，，设，. （1）已知，求 的值； （2）若，且∥，求的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）问题转化为，求 . （2）根据向量的模的计算和向量共线，求的坐标. 【小问1详解】 由题知，， 所以， 因为， 所以. 【小问2详解】 因为∥， ， 所以，， 因为，所以，解得 ， 所以或. 16. 已知A，B，C为三个独立事件，若事件A发生的概率是，事件B发生的概率是，事件C发生的概率是，求下列事件的概率： （1）事件A，B，C只发生两个的概率； （2）事件A，B，C至多发生两个的概率． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）记“事件A，B，C只发生两个”为A1，则事件A1包括三种彼此互斥的情况，利用互斥事件概率的加法公式和相互独立事件的概率乘法公式可得答案； （2）记“事件A，B，C至多发生两个”为A2，则包括彼此互斥的三种情况，利用互斥事件概率的加法公式计算即可． 【详解】（1）记“事件A，B，C只发生两个”为A1，则事件A1包括三种彼此互斥的情况：AB，AC，BC，由互斥事件概率的加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，得P(A1)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝＋＋＝， ∴事件A，B，C只发生两个的概率为． （2）记“事件A，B，C至多发生两个”为A2， 则包括彼此互斥的三种情况：事件A，B，C一个也不发生，记为A3，事件A，B，C只发生一个，记为A4，事件A，B，C只发生两个，记为A5， 故P(A2)＝P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝＋＋＝． ∴事件A，B，C至多发生两个的概率为． 17. 已知平行六面体中，底面 是边长为1的正方形，，． （1）求； （2）求． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理将所求问题转化为基向量进行计算即可. 【小问1详解】 设，，， 由题意得：，，， ，，， ； 【小问2详解】 18. 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动. （1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ （2）现从抽出的7名同学中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作. ①写出样本空间； ②设事件 “抽取的2名同学来自同一年级”，求事件 发生的概率. 【答案】（1）甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人 （2）①答案见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样得定义即可得解； （2）①利用列举法即可得解； ②利用古典概型求解即可. 【小问1详解】 由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为， 由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学， 因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人； 【小问2详解】 ①设甲年级的是，乙年级的是 ，丙年级的是， 则样本空间为 ； ②由①得，事件 包含的基本事件为共5种， 所以. 19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC（不与端点重合）上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=. （1）求证：平面PBC⊥平面PQB； （2）当PM的长为何值时，平面QMB与平面PDC所成的角的大小为60°？ 【答案】19. 证明如下： ∵AD BC，Q为AD的中点，BC=AD， ∴BC QD，BC=QD， ∴四边形BCDQ为平行四边形，∴BQ CD. ∵∠ADC=90°，∴BC⊥BQ. ∵PA=PD，AQ=QD，∴PQ⊥AD. ∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PQ⊥平面ABCD，∴PQ⊥BC.又∵PQ∩BQ=Q，∴BC⊥平面PQB. ∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PQB. 20. 当PM=时，平面QMB与平面PDC所成的角大小为60°. 【解析】 【分析】（1）由 得 ，由等腰三角形的性质可得 ，由面面垂直的性质可得 平面 ，所以 ， ⊥平面 ，由面面垂直的判定定理可得平面⊥平面 ； （2）由（1）可知 平面 ，以为原点,分别以 为 轴建立空间直角坐标系，利用向量法根据二面角的大小为60°求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知PQ⊥平面ABCD.如图，以Q为原点，分别以QA，QB，QP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则Q(0，0，0)，D(-1，0，0)，P(0，0，)，B(0，，0)，C(-1，，0)， ∴=(0，，0)，=(0，，0)，=(1，0，)，=(-1，，-)， PC=. 设=λ，则=(-λ，λ，-λ)，且0<λ<1，得M(-λ，λ，λ)， ∴=(-λ，λ，(1-λ)). 设平面MBQ的法向量为=(x，y，z)， 则，即 令x=，则y=0，z=， ∴平面MBQ的一个法向量为=，0，. 设平面PDC的法向量为=(x'，y'，z')， 则，即 令x'=3，则y'=0，z'=-， ∴平面PDC的一个法向量为=(3，0，-). ∴平面QMB与平面PDC所成的锐二面角的大小为60°， ∴cos60°=， ∴λ=. ∴PM=PC=. 即当PM=时，平面QMB与平面PDC所成的角大小为60°. 【点睛】方法点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期阶段检测试题 高二数学 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为，和棋的概率为，则乙不输的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 对于空间任意一点和不共线的三点，有如下关系：，则（ ） A. 四点必共面 B. 四点必共面 C. 四点必共面 D. 五点必共面 4. 如图所示，在正方体中，点是棱 的中点，点是棱的中点，则异面直线与 所成的角为（ ） A. 120° B. 90° C. 60° D. 30° 5. 如图，在四面体 中， ， 分别是， 的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机事件A，B满足，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，若点P满足，则点P到直线AB的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线 的方向向量为，则向量在直线 上的投影向量坐标为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面结论正确的是（ ） A. 若，则事件A与B是互为对立事件 B. 若，则事件A与B是相互独立事件 C. 若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件 D. 若事件A与B是相互独立事件，则A与也是相互独立事件 10. 已知是正方体，以下正确命题有（ ） A. B. C. 向量与向量的夹角为60° D. 正方体的体积为 11. 已知向量，，其中，则以下命题正确的是（ ） A. 向量与轴正方向的夹角恒为定值（即与c，d无关）； B. 的最大值为； C. （，的夹角）的最大值为； D. 若定义，则的最大值为. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是______. 13. 已知长方体中，，， ，为的中点，则点到平面的距离为________． 14. 已知矩形 ，，，沿对角线将 折起，使得，则二面角的大小是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间中三点，，，设，. （1）已知，求 的值； （2）若，且∥，求的坐标. 16. 已知A，B，C为三个独立事件，若事件A发生的概率是，事件B发生的概率是，事件C发生的概率是，求下列事件的概率： （1）事件A，B，C只发生两个的概率； （2）事件A，B，C至多发生两个的概率． 17. 已知平行六面体中，底面 是边长为1的正方形，，． （1）求； （2）求． 18. 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动. （1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ （2）现从抽出的7名同学中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作. ①写出样本空间； ②设事件 “抽取的2名同学来自同一年级”，求事件 发生的概率. 19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC（不与端点重合）上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=. （1）求证：平面PBC⊥平面PQB； （2）当PM的长为何值时，平面QMB与平面PDC所成的角的大小为60°？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $