精品解析：浙江省杭州市联谊学校2024-2025学年高二上学期10月教学质量检测数学试题

杭州联谊学校2024年10月教学质量检测 高二数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 直线的倾斜角为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线斜率得到直线倾斜角. 【详解】设直线倾斜角为，则直线斜率， ∵， ∴. 故选：A 2. 已知集合，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合，结合交集的概念即可得解. 【详解】集合，，则. 故选：C. 3. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点关于平面对称时，横坐标,纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数即可得到答案. 【详解】根据点关于平面对称时， 横坐标,纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数可知， 点关于平面的对称点为， 故选：C. 4. 已知复数满足，则（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据得到方程，求出，得到答案. 【详解】设，则， 所以，故， 解得，故. 故选：B 5. 如图，在斜棱柱中，与的交点为点M，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的基本运算求解即可. 【详解】由题意， . 故选：B 6. 设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复合函数单调性性质，求出单调区间，即可得到范围. 【详解】令，则 ∵，∴在上单调递增； ，对称轴为， 时，单调递减；时，单调递增； 由复合函数可知：时，单调递减；时，单调递增. 故，∴，∴. 故选：D 7. 已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出关于直线的对称点为的坐标，由都在反射光线所在直线上得直线方程. 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以反射光线所在直线方程为，即. 故选：B. 8. 在正四面体中，分别为和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接BM,取BM的中点D，连接CD,ND.判断出（或其补角）即为异面直线与所成的角，利用余弦定理即可求得. 【详解】 如图示，连接BM,取BM中点D，连接CD,ND. 因为分别为和中点，所以. 所以（或其补角）即为异面直线与所成的角. 在正四面体中，设其边长为2，则，所以.而,. 在中，由余弦定理得：. 即异面直线与所成的角的余弦值为. 故选：A 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在区间上单调递减 D. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】AC 【解析】 【分析】通过最小正周期公式判断A，通过求出所有对称轴判断B，通过求出所有单调区间判断C，根据三角函数图像平移公式判断D. 【详解】的最小正周期为，故A正确; 由得的所有对称轴为, 其中不包含直线，故B不正确. 由得的所有单调递减区间为 ,当时，，故C正确. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到,故D不正确. 故选：AC 10. 关于空间向量，下列说法正确是（   ） A. 直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 B. 直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则 C. 平面，的法向量分别为，，则 D. 若对空间内任意一点O，都有，则P，A，B，C四点共面 【答案】BD 【解析】 【分析】由可判断A；利用可判断B；由可判断C；由可判断D. 【详解】对于A，直线l的方向向量为，平面的法向量为， 所以，则，故错误； 对于B，直线l的方向向量为，直线m的方向向量， 由，则，故正确 对于C，平面，的法向量分别为，， 所以，，则，故错误； 对于D，，得，则P，A，B，C四点共面，故正确. 故选：BD. 11. 如图所示，边长为的等边从起始位置（与轴重合）绕着点顺时针旋转至与轴重合得到，在旋转的过程中，下列说法正确的是（ ） A. 边所在直线的斜率的取值范围是 B. 边所在直线在轴上截距的取值范围是 C. 边与边所在直线的交点为 D. 当的中垂线为时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出直线、的斜率，可判断A选项的正误；设点，其中，求出直线在轴上的截距的取值范围，可判断B选项；求出边与边所在直线的交点坐标，可判断C选项；求出直线的斜率，可判断D选项. 【详解】由题意可知，、、、， ，， 对于A选项，边所在直线斜率的取值范围是，A对； 对于B选项，设边的中点为，则，且， 设点，其中为锐角，设，则， 因为，则， ，则， 所以，直线的方程为，即， 所以，边所在直线在轴上截距为，B错； 对于C选项，直线的方程为，直线的方程为， 联立可得， 因此，边与边所在直线的交点为，C对； 对于D选项，当的中垂线为时，即，则， 则，所以，，D对. 故选：ACD. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 某学校有高二学生700人，其中男生420人，女生280人.有人为了获得该校全体高二学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取了容量为100的总样本（观测数据单位：），若已知男生样本的平均数为172，女生样本的平均数为162，则总样本的平均数是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分层抽样各层人数，结合求平均数公式即可求解. 【详解】根据题意男生人数所占频率为，女生人数所占频率为， 所以抽取的男生人数为，抽取的女生人数为， 又因为因为男生样本的平均数为172，女生样本的平均数为162， 所以总样本的平均数是. 故答案为： 13. 已知直线则与的距离___________. 【答案】##1.5 【解析】 【分析】根据平行线距离公式直接计算即可. 【详解】因为，则与的距离， 故答案为： 14. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间线面位置关系、空间向量、向量法求空间中点到直线距离的公式、二次函数分析运算即可得解. 【详解】解： 如上图，取的中点为.连接 、、. ∵，点是的中点，∴. 又∵平面平面，平面平面，平面， ∴ 平面.又∵平面∴. 又∵底面是矩形，、是、中点，∴. ∴以点为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴 建立空间直角坐标系如图所示，由，，， 得， ∴，，，则，， 设，则，， ， ∵， ∴向量的单位方向向量， 则， 因此点到直线的距离， 当时，取最小值， ∴线段上的动点到直线的距离的最小值为. 故答案为：. 【点睛】向量法求点到直线距离的步骤： 1.根据图形求出直线（或向量）的单位方向向量. 2.在直线上任取一点（可选择特殊便于计算的点），计算点与直线外的点的方向向量点. 3.点到直线的距离. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 求满足下列条件的直线的一般式方程： （1）直线的一个方向向量是，且经过的交点； （2）与直线垂直，且点到直线的距离为. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】(1)根据直线方向向量，可求得直线斜率，联立直线方程，求交点，根据点斜式，可得答案； (2)由直线与垂直，可设直线一般式方程为，，再根据点到直线距离公式可求得直线方程. 【小问1详解】 根据直线方向向量，可求得直线斜率为， 联立，可求得， 根据点斜式可得，化简可得. 【小问2详解】 直线与直线垂直，可求得， 解之可求得，设直线一般式方程为， ，根据点到直线距离公式，解之可得或， 所以直线的方程为或. 16. 如图，长方体中，，，E是的中点． （1）求证：平面； （2）求点E到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2）1 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算公式，结合线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）利用空间点到面距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 如图建系，则 ，，，，，，，，， ，，， 因为，， 所以，，又，平面， 所以平面； 【小问2详解】 设平面的法向量， ， 又， 所以． 17. 在中，角所对的边分别为，且 （1）求角的大小； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）方法一：利用正弦定理结合和差公式化简即可求得B值；方法二：利用余弦定理结合三角函数的基本关系式能得B值； （2）方法一：由余弦定理化简可得结果；方法二：由正弦定理化简结合三角形的面积公式可得答案. 【小问1详解】 方法一 即 得： 方法二： 得 即 得： 【小问2详解】 由余弦定理得：． 得： 或 或． 方法二：由正弦定理： 或 或. 18. 图1是直角梯形ABCD，，，，，，，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达的位置，且，如图2． （1）求证：平面平面ABED； （2）求直线与平面所成角的正弦值． （3）在棱上是否存在点P，使得二面角的平面角为？若存在，求出线段的长度，若不存在说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，. 【解析】 【分析】 （1）在图1中，连结AE，连结AC交BE于点F，证明，即可； （2）以D为坐标原点，DA，分别为x，y轴，方向为z轴正方向建立空间直角坐标系，算出平面的法向量和的坐标，然后可算出答案； （3）设，然后算出平面PBE、平面的法向量，然后可建立方程求解. 【详解】（1）证明：在图1中，连结AE，由已知条件得， ∵且， ∴四边形ABCE为菱形，连结AC交BE于点F， ∴，又∵在中，， ∴， 在图2中，，∵，∴， 由题意知，且 ∴平面ABED，又平面， ∴平面平面ABED； （2）如图，以D为坐标原点，DA，分别为x，y轴，方向为z轴正方向建立空间直角坐标系．由已知得各点坐标为 ，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，， 所以，即， 令，解得，， 所以，，记直线与平面所成角为， 则． （3）假设存在，设， 所以，， ∵平面，易得平面的一个法向量， 设平面PBE的一个法向量， 由，可得，可取， 则， 解得，此时． 【点睛】关键点睛：用向量方法解决空间中的角的问题时，关键是建立适当的空间直角坐标系，准确地写出点的坐标和向量的坐标，然后准确地运算出答案. 19. 已知点P和非零实数λ，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为λ，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点． （1）已知，是一组“共轭线对”，且直线，求直线的方程； （2）已知点、点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“共轭线对”，直线QP，QR是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标； （3）已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线，的距离之积的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义求得的斜率，得直线方程； （2）设直线PR，PQ，QR的斜率分别为，，，由新定义列方程组解得，再由直线所过点坐标得直线方程； （3）设出直线的方程，求出原点到它们的距离，计算，转化变形后结合基本不等式可得取值范围． 【小问1详解】 由已知得，且，∴， ∴直线的方程为． 【小问2详解】 设直线PR，PQ，QR的斜率分别为，，， 则解得或 又三条直线的倾斜角均为锐角，所以，，， 故直线PR的方程为，直线PQ的方程为，联立可得． 【小问3详解】 设，，其中，原点O到直线，的距离分别为，， 则 ． 由于（等号成立的条件是），故，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 杭州联谊学校2024年10月教学质量检测 高二数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 直线的倾斜角为（   ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（   ） A B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（ ） A. B. C. D. 4. 已知复数满足，则（   ） A. B. C. D. 5. 如图，在斜棱柱中，与的交点为点M，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. D. 7. 已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（   ） A B. C. D. 8. 在正四面体中，分别为和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在区间上单调递减 D. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 10. 关于空间向量，下列说法正确的是（   ） A. 直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 B. 直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则 C. 平面，的法向量分别为，，则 D 若对空间内任意一点O，都有，则P，A，B，C四点共面 11. 如图所示，边长为等边从起始位置（与轴重合）绕着点顺时针旋转至与轴重合得到，在旋转的过程中，下列说法正确的是（ ） A. 边所在直线的斜率的取值范围是 B. 边所在直线在轴上截距的取值范围是 C. 边与边所在直线的交点为 D. 当的中垂线为时， 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 某学校有高二学生700人，其中男生420人，女生280人.有人为了获得该校全体高二学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取了容量为100的总样本（观测数据单位：），若已知男生样本的平均数为172，女生样本的平均数为162，则总样本的平均数是______. 13. 已知直线则与的距离___________. 14. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 求满足下列条件的直线的一般式方程： （1）直线的一个方向向量是，且经过的交点； （2）与直线垂直，且点到直线的距离为. 16. 如图，长方体中，，，E是的中点． （1）求证：平面； （2）求点E到平面的距离． 17. 在中，角所对的边分别为，且 （1）求角的大小； （2）若，求的面积． 18. 图1是直角梯形ABCD，，，，，，，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达的位置，且，如图2． （1）求证：平面平面ABED； （2）求直线与平面所成角的正弦值． （3）在棱上是否存在点P，使得二面角的平面角为？若存在，求出线段的长度，若不存在说明理由． 19. 已知点P和非零实数λ，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为λ，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点． （1）已知，是一组“共轭线对”，且直线，求直线的方程； （2）已知点、点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“共轭线对”，直线QP，QR是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标； （3）已知点，直线，是“共轭线对”，当斜率变化时，求原点O到直线，的距离之积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$