精品解析：山东省临沂市蒙阴县实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题

山东省蒙阴县实验中学高三上学期教学质量检测 数学试题 一、单选题：本题共8题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合或，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. “或”是“幂函数在上是减函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知x，y为正实数，且，则的最小值为（ ） A. 24 B. 25 C. D. 6. 在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ） A. B. C. D. 7. 定义在上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下说法正确的是（ ） A. “，”的否定是“， B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若一扇形弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为 D. ""是真命题，则 10. 若实数、满足，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 函数，关于x的方程，则下列正确的是（ ） A. 函数的值域为R B. 函数的单调减区间为 C. 当时，则方程有4个不相等的实数根 D. 若方程有3个不相等的实数根，则m的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，则的面积为__________. 13. 若函数为偶函数，则__________. 14. 已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知 （1）求的单调递减区间； （2）若，求的值； 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 17. 记的角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若点是边上一点，且，求的值. 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 19. 已知定义域为的函数是关于的函数，给定集合且，当取中不同的数值时可以得到不同的函数.例如：定义域为的函数，当时，有，若存在非空集合满足当且仅当时，函数在上存在零点，则称是上的“跳跃函数”. （1）设，若函数是上的“跳跃函数”，求集合； （2）设，若不存在集合使为上的“跳跃函数”，求所有满足条件的集合的并集； （3）设为上的“跳跃函数”，满足，，若对于任意，均有的零点，求实数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省蒙阴县实验中学高三上学期教学质量检测 数学试题 一、单选题：本题共8题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合或，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的结果，列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】因为，所以，解得． 所以，实数的取值范围是. 故选：D. 2. “或”是“幂函数在上是减函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和性质可求参数的值，从而可判断两者之间的关系 【详解】因为是幂函数且在上是减函数， 故，故， 故“或”是“幂函数在上是减函数”的必要不充分条件， 故选：B. 3. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知是减函数，结合分段函数单调的条件求解． 【详解】因为对任意，都有成立，所以是上的减函数， 则，解得， 即实数a的取值范围为． 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用和差公式、二倍角公式及平方关系化简，再把正弦余弦转化为正切即可求解. 【详解】 . 故选：. 5. 已知x，y为正实数，且，则的最小值为（ ） A. 24 B. 25 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把变为，然后利用基本不等式中常数代换技巧求解最值即可. 【详解】因为x，y为正实数，且，所以 ， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为25. 故选：B 6. 在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：的面积， ， ， 则， ， ， ， ，，， ， ． 故选：D． 7. 定义在上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数单调性的定义以及偶函数的性质得出的单调性，讨论的正负，利用单调性奇偶性解不等式即可. 【详解】不妨设，，，即 在上单调递减 是定义在上的偶函数 在上单调递增 当时， 解得 当时， 解得 则该不等式的解集为： 故选：C 【点睛】本题主要考查了利用定义判断函数的单调性以及利用奇偶性，单调性解不等式，属于中档题. 8. 已知函数，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性，然后结合的单调性，即可得到结果. 【详解】因为且，所以， 令且，则， 当时，，故函数单调递增， 当时，，故函数单调递减； 所以， 所以在上单调递增， 令，则， 所以在上单调递减，， 即，则，即. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下说法正确的是（ ） A. “，”的否定是“， B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若一扇形弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为 D. ""是真命题，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题可判断A，根据充分条件和必要条件的定义可判断B选项；由扇形的弧长与面积公式可求C，对二次项系数进行讨论，分为和两种情形，结合判别式可得结果判断D. 【详解】对于A，“，”的否定是“，”，故A正确； 对于B，即，解得， 因为，反之不一定成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故B错误； 对于C，扇形弧长为，圆心角为，所以扇形的半径长为， 则该扇形面积为，故C正确； 对于D，因为“，”是真命题，即，对恒成立. 当时，命题成立； 当时，，解得， 综上可得，，故D正确； 故选：ACD. 10. 若实数、满足，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性可得出，利用特殊值法可判断A选项；利用作差法可判断B选项；利用对数函数的单调性可判断C选项；利用中间值可判断D选项. 【详解】因为函数为上的增函数，由，可得， 对于A选项，当时，，A错； 对于B选项，因为，则， 所以，，B对； 对于C选项，因为，则，可得， 所以，， 因为对数函数为上的减函数，故，C对； 对于D选项，，D错. 故选：BC. 11. 函数，关于x的方程，则下列正确的是（ ） A. 函数的值域为R B. 函数的单调减区间为 C. 当时，则方程有4个不相等的实数根 D. 若方程有3个不相等的实数根，则m的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】先分析函数的单调性和函数值情况并作出函数的图象，对于A和B，由分析以及图象即可得解；由对于C和D，由方程得解为与，再根据条件树形结合依次分析两解对应的根的情况即可得解. 【详解】①当时，， 则在单调递减，且渐近线为轴和，恒有. ②当时，，， 当，在单调递增；当，在单调递减， 故，且恒有，综上①②可知，， 综上，作出函数大致图象，如下图： 对于A，由上可知函数的值域为，故A错误； 对于B，函数的单调减区间为，故B正确； 对于C，当时，则方程，解得或， 由，得或，有两个实数根； 由图象可知，由得此时有不相等的实数根，且均不为，也不为， 所以当时，则方程有6个不相等的实数根，故C错误； 对于D，若关于x的方程有3个不相等的实数根， 即方程与方程共有3个不相等的实数根， 又因为已有两个不等的实数根， 则方程有且仅有1个根，且不为. 所以与有且仅有1个公共点， 由图象可知，满足题意，即m的取值范围是，故D正确. 故选：BD. 【点睛】思路点睛：先研究函数的单调性以及函数值的分布情况，接着作出函数的图象，数形结合使得问题更直观，进而即可进一步研究函数的性质情况：研究方程的根的个数问题，可先解方程得与，再根据条件依次分析两解对应的根的情况并树形结合即可得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，则的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式计算即得. 【详解】在中，由余弦定理得，则， 即，而，解得， 所以的面积为. 故答案为： 13. 若函数为偶函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的定义得，代入化简即得值. 【详解】因为为偶函数，所以，即， 即，即，所以， 故答案为： 14. 已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】对已知不等式进行变形，通过构造函数法，利用导数的性质、参变量分离法进行求解即可. 【详解】由题意，不等式即，进而转化为， 令，则， 当时，，所以在上单调递增. 则不等式等价于恒成立. 因为，所以， 所以对任意恒成立，即恒成立. 设，可得， 当时，单调递增，当时，单调递减． 所以时，有最大值，于是，解得． 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解本题的关键是，将已知条件转化为恒成立，通过构造函数，利用导数结合函数的单调性得到，进而构造函数，计算求得结果. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知 （1）求的单调递减区间； （2）若，求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦的二倍角公式、降幂公式、辅助角公式化简函数的解析式，再结合正弦型函数的单调性进行求解即可； （2）根据特殊角的三角函数值进行求解即可. 【小问1详解】 由于， 令， 整理得， 所以函数的单调递减区间为 【小问2详解】 由于，所以， 则，即， 解得， 则 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【小问1详解】 当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 17. 记的角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若点是边上一点，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理化简再结合余弦定理，结合特殊角即可解； （2）先设角减少未知量，应用正弦定理求出正切，再结合同角三角函数关系计算求出正弦. 【小问1详解】 由及正弦定理得，整理得， 又由余弦定理及三角形内角性质得，. 【小问2详解】 ， 记，则. 在Rt中，.① 在中，由正弦定理得.② 由①②及得，即，解得. 由，解得，故. 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 【答案】（1） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 【解析】 【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可. 方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证. 【小问1详解】 因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 19. 已知定义域为的函数是关于的函数，给定集合且，当取中不同的数值时可以得到不同的函数.例如：定义域为的函数，当时，有，若存在非空集合满足当且仅当时，函数在上存在零点，则称是上的“跳跃函数”. （1）设，若函数是上的“跳跃函数”，求集合； （2）设，若不存在集合使为上的“跳跃函数”，求所有满足条件的集合的并集； （3）设为上的“跳跃函数”，满足，，若对于任意，均有的零点，求实数的最大值. 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）等价转化为关于的方程在上有解，再根据指数函数和幂函数性质即可得到答案； （2）等价转化为关于的方程在上没有解，分和讨论即可； （3）首先用数学归纳法证明对任意正整数，有，再分类讨论得在上没有零点，定义函数，利用导函数即可得到答案. 【小问1详解】 依题意，所求的为使得在上有零点的全体. 由于在上有零点， 等价于关于的方程在上有解， 注意到当时，的取值范围是， 故关于的方程在上有解， 当且仅当，从而所求. 【小问2详解】 依题意，不存在集合使为上的“跳跃函数”， 当且仅当对任意的，在上都不存在零点. 这表明，全体满足条件的的并集， 就是使得在上不存在零点的全体构成的集合. 从而我们要求出全部的， 使得在上没有零点， 即关于的方程在上没有解. 该方程在上可等价变形为， 当时，方程恒无解， 当时，可变形为. 即. 综上，使得在上没有零点的构成的集合为， 故所求的集合为. 【小问3详解】 首先用数学归纳法证明：对任意正整数，有. 当时，有，故结论成立； 假设结论对成立，即，则有： 故结论对也成立. 综上，对任意正整数，有. 当为奇数时，对， 有， 所以在上没有零点； 当为偶数时，对， 有， ， 从而在上一定存在零点， 所以在上一定有零点. 故对，在上有零点当且仅当是偶数. 因此，只需要求实数的最大值，使得对于任意， 均有的零点. 我们现在有， 由于当时， 有 故在上的零点必定大于. 而对任意给定的，我们定义函数， 则. 取， 则当时， 有， 这表明在上单调递减， 所以当时， 有， 取正整数，使得且， 则我们有 ， 但我们又有， 这表明在上必有一个零点， 从而在上必有一个满足的零点. 综上所述，的最大值是. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用数学归纳法得到对任意正整数，有，然后再对进行分类讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $