精品解析：江苏省南通市海安市实验中学2024-2025学年高二上学期第一次学情检测（10月）数学试题

实验中学高二年级第一次学情检测 数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 直线在轴上的截距为（ ） A. B. C. 2 D. 4 2. 若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆C：焦点在y轴上，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与圆相切于点，圆心在直线上，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ） A （） B. （） C （） D. （） 6. 已知椭圆C：的左焦点为F，P为C上一动点，定点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图为从空中某个角度俯视北京奥运会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图，在平面直角坐标系中，下列给定的一系列直线中（其中为参数，），能形成这种效果的只可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是双曲线的右焦点，直线与交于两点.若的周长为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的离心率为，则实数（ ） A. 1 B. 3 C. D. 16 10. 已知点在圆上，直线与轴､轴分别交于两点，则（ ） A 直线与圆相离 B. 点到直线的距离小于7 C. 当最大时， D. 以为直径的圆与圆的公共弦所在直线的方程为 11. 已知双曲线C：（，）的一条渐近线的方程为，，是C的左、右焦点，是C上一点，连结交C于点B，则（ ） A. C的离心率为 B. C. 的周长为 D. 的内切圆半径为 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 已知入射光线经过点，被直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为__________. 13. 设双曲线C:（）左、右焦点分别为，离心率为，是上一点，且. 若的面积为，则双曲线的方程为______. 14. 已知圆，若直线上存在一点，且过点所作的圆的两条切线互相垂直，则实数的取值范围为__________. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知直线 （1）求证：不论实数取何值，直线恒过一定点； （2）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，求的方程. 16. 已知双曲线一条渐近线方程为，且点在双曲线上. （1）求双曲线标准方程， （2）若双曲线的左顶点为，右焦点为为双曲线右支上任意一点，求的最小值. 17. 已知曲线上的动点满足到定点的距离与到定点距离之比为 （1）求曲线的方程； （2）过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程. 18. 已知椭圆的右焦点为，斜率不为0的直线与交于两点. （1）若是线段的中点，求直线的方程； （2）若直线经过点（点在点之间），直线与直线的斜率分别为，求证：为定值. 19. 已知和为椭圆上两点. （1）求C的离心率; （2）若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验中学高二年级第一次学情检测 数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 直线在轴上的截距为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的截距式方程即可求解. 【详解】由可得，所以在轴上的截距为， 故选：B 2. 若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据两直线平行求出，再由平行线间的距离公式求解即可. 【详解】因为直线和直线平行， 所以，解得， 所以直线：，直线：， 直线与之间的距离为. 故选：B. 3. 已知椭圆C：的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆焦点所在轴，列出关于k的不等式求解即可. 【详解】因为椭圆的焦点在y轴上，所以有，解得. 故选：A 4. 已知直线与圆相切于点，圆心在直线上，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意设出圆心的坐标，利用求出点坐标，进而求出半径，得解. 【详解】由题意，设（），圆的半径为， ，解得， 所以圆心，半径， 所以圆的方程为. 故选：D. 5. 已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 【答案】A 【解析】 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 6. 已知椭圆C：的左焦点为F，P为C上一动点，定点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记椭圆的右焦点为，由椭圆定义转化为，当是的延长线椭圆的交点时，可取得最大值． 【详解】，在椭圆内部，记椭圆的右焦点为，，椭圆中，在椭圆上， ，， ，当是的延长线椭圆的交点时，取等号， 所以的最大值为， 故选：B． 7. 如图为从空中某个角度俯视北京奥运会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图，在平面直角坐标系中，下列给定的一系列直线中（其中为参数，），能形成这种效果的只可能是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分析可知：到直线的距离为定值，利用点到直线的距离公式逐项分析判断. 【详解】由题意可知：直线为以为圆心的圆的切线，则到直线的距离为定值. 对于选项A：因为，即， 则到直线的距离不是定值，故A错误； 对于选项B：因为，即， 则到直线的距离不是定值，故B错误； 对于选项C：因为，即， 则到直线的距离不是定值，故C错误； 对于选项D：因为， 则到直线的距离是定值，故D正确； 故选：D. 8. 已知是双曲线的右焦点，直线与交于两点.若的周长为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求长，利用对称性和双曲线定义可得，由的周长可得，联立求解得，然后根据的面积构造齐次式可解. 【详解】记双曲线左焦点为， 将代入解得，所以， 由对称性可知，，所以①， 又的周长为，所以②， 联立①②求解可得， 记AF的中点为D，则， 所以，即，得， 所以. 故选：A 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的离心率为，则实数（ ） A. 1 B. 3 C. D. 16 【答案】BC 【解析】 【分析】根据椭圆焦点的位置，结合椭圆离心率公式进行求解即可. 【详解】因为该方程表示椭圆， 所以当时，此时椭圆的焦点在横轴上， 因为椭圆的离心率为， 所以，显然符合， 当时，此时椭圆的焦点在纵轴上， 因为椭圆的离心率为， 所以，显然符合， 故选：BC 10. 已知点在圆上，直线与轴､轴分别交于两点，则（ ） A. 直线与圆相离 B. 点到直线的距离小于7 C. 当最大时， D. 以为直径的圆与圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离确定圆上的点到直线距离的最大值和最小值可判断AB；求出切线长可判断C；由两圆方程相减得公共弦所在直线方程判断D. 【详解】对于A，因为，圆的半径为4，圆心到直线的距离 ，所以直线与圆相交，故A错误； 对于B，因为圆心到直线的距离， 所以点到直线的最大距离为，故B正确； 对于C，，当与圆相切时最大，为过点的切线长， ，故C正确； 对于D，以为直径的圆的方程为， 即，圆的方程与此方程相减得，故D正确. 故选：BCD 11. 已知双曲线C：（，）的一条渐近线的方程为，，是C的左、右焦点，是C上一点，连结交C于点B，则（ ） A. C的离心率为 B. C. 的周长为 D. 的内切圆半径为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据渐近线方程和点A的坐标求出双曲线的标准方程，再根据双曲线的性质逐项分析. 【详解】对于A选项：由渐近线方程可知，，离心率,即，故A正确； 对于B选项：由点A在双曲线上得，且，解得,即，,又，,故B正确； 对于C选项：,,，周长为，故C错误； 对于D选项：设，则，，在中，,，设的周长为l，内切圆半径为r，由三角形面积公式：，代入可得，故D正确. 故选:ABD 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 已知入射光线经过点，被直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求得关于直线的对称点，直线即反射光线所在直线方程. 【详解】设关于直线的对称点为， 则线段的中点为，直线的斜率为， 则，解得，则. 所以反射光线所在直线为直线， 直线的方程为，整理得. 故答案为： 13. 设双曲线C:（）的左、右焦点分别为，离心率为，是上一点，且. 若的面积为，则双曲线的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】方法一：利用，可列出的面积方程和勾股定理方程，结合题意即可解题； 方法二：根据焦点三角形的面积公式列出方程求解即可. 【详解】 方法一：不妨设在双曲线左支上，，则， ∵， ∴①，且②， 又∵离心率为，∴③； 解①②③得，则. ∴双曲线方程为. 方法二:， 又∵离心率， ∴ ， ∴，则双曲线方程为. 故答案为：. 14. 已知圆，若直线上存在一点，且过点所作的圆的两条切线互相垂直，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，将圆的方程化为标准方程，求出圆和半径，结合题意可得圆心直线的距离小于等于，再由点到直线的距离公式列式可求得结果. 【详解】由，得，则圆心，半径， 若过点所作的圆的两条切线互相垂直，则及两切点构成正方形，所以， 因为直线上存在一点，且过点所作的圆的两条切线互相垂直， 所以圆心到直线的距离， 解得， 即实数的取值范围为， 故答案为： 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知直线 （1）求证：不论实数取何值，直线恒过一定点； （2）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，求的方程. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用提取参数，来求出方程的一个解，从而得到直线恒过一定点； （2）利用截距式方程来求解三角形的面积，再利用直线过定点，得到方程组即可求解. 【小问1详解】 由直线变形得： ， 令，解得：， 由于不论实数取何值，总是方程的一个解， 所以直线恒过这一定点. 【小问2详解】 由于直线与两坐标轴的正半轴围成三角形， 所以可设直线的截距式方程为，且， 又由于直线恒过定点，所以， 由于直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，则， 把，代入变形后的得：， 联立解得：， 所以直线的截距式方程为， 化简得的方程为. 16. 已知双曲线一条渐近线方程为，且点在双曲线上. （1）求双曲线标准方程， （2）若双曲线的左顶点为，右焦点为为双曲线右支上任意一点，求的最小值. 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）利用渐近线方程巧设双曲线方程，再由待定系数法即可求解； （2）利用向量数量积的坐标运算，再结合二次函数性质，即可得出结果. 【小问1详解】 由双曲线一条渐近线方程为，可以该双曲线方程为， 由点在双曲线上，可得，即， 所以双曲线标准方程为. 【小问2详解】 由双曲线标准方程为可知：左顶点的坐标为，右焦点为的坐标， 可设双曲线右支上任意一点，且，则， 所以， 又因为满足双曲线方程，则， 所以， 由于二次函数的对称轴是， 所以当，单调递增， 即当时，二次函数有最小值， 所以最小值是. 17. 已知曲线上的动点满足到定点的距离与到定点距离之比为 （1）求曲线的方程； （2）过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程. 【答案】（1）（或） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据动点满足到定点的距离与到定点距离之比为，建立方程，化简可得曲线C的方程. （2）分类讨论，设出直线l方程，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理，即可求得直线l的方程. 【小问1详解】 由题意得，故， 化简得（或）； 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，， 将代入方程得或，所以，满足题意； 当直线的斜率存在时，设，则， 因为，所以，解得，此时. 综上，直线的方程为或. 18. 已知椭圆的右焦点为，斜率不为0的直线与交于两点. （1）若是线段的中点，求直线的方程； （2）若直线经过点（点在点之间），直线与直线的斜率分别为，求证：为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用中点弦问题求解即可； （2）利用韦达定理得到再根据斜率的坐标表示可得，结合韦达定理可证明. 【小问1详解】 设，则有， 且，作差可得， 所以， 由点斜式得，， 整理得即为直线的方程. 【小问2详解】 不妨设的直线方程为， 联立，消去整理得， 由韦达定理得， 所以， 因为， 所以为定值. 19. 已知和为椭圆上两点. （1）求C的离心率; （2）若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【答案】（1） （2）直线的方程为或. 【解析】 【分析】（1）代入两点得到关于的方程，解出即可； （2）方法一：以为底，求出三角形的高，即点到直线的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到点坐标，则得到直线的方程；方法二：同法一得到点到直线的距离，再设，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点到直线的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线斜率不存在的情况，再设直线，联立椭圆方程，得到点坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线斜率不存在的情况，再设，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅垂高乘表达面积即可. 【小问1详解】 由题意得，解得， 所以. 【小问2详解】 法一：，则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 法二：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，则，解得或， 即或，以下同法一. 法三：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，其中，则有， 联立，解得或， 即或，以下同法一； 法四：当直线的斜率不存在时，此时， ，符合题意，此时，直线的方程为，即， 当线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆方程有，则，其中，即， 解得或，，， 令，则，则 同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 则，解得， 此时，则得到此时，直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 法五：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当的斜率存在时，设，令， ，消可得， ，且，即， ， 到直线距离， 或，均满足题意，或，即或. 法六：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当直线斜率存在时，设， 设与轴交点为，令，则， 联立，则有， ， 其中，且， 则， 则，解得或，经代入判别式验证均满足题意. 则直线为或，即或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $