精品解析：山东省淄博市沂源县东里镇韩旺中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

2024-2025(1)第一次月度检测9年级数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列图形，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中,y是x的二次函数的为(    ) A. B. C. D. 3. 已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而增大 D. 图象与轴有唯一交点 4. 已知点A（a，2019）与点是关于原点O的对称点，则a+b的值为（ ） A. 1 B. 5 C. 6 D. 4 5. 函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 8. 如图，在四边形中，，，，，．动点沿路径从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动．过点作，垂足为．设点运动的时间为（单位：），的面积为，则关于的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，从小到大排列（ ） A. B. C. D. 10. 一台机器原价为100万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，则y与x之间的函数关系为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分） 11. 已知是关于的一元二次方程，则的值为______． 12. m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，则式子4m2+6m+2021的值为 _____． 13. 已知点M（a，b）与点N（-2，3）关于原点中心对称，则M点的坐标为___________． 14. 菱形的一条对角线长为，边的长是方程的一个根，则菱形的周长为____________． 15. 如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面．当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为________． 16. 已知二次函数y＝3（x﹣a）2+k，若当x＞3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是____． 17. 抛物线，当时，y的最小值与最大值的和是________． 18. 在平面直角坐标系中，点坐标是．当把坐标系绕点顺时针选择30°时，点在旋转后的坐标系中的坐标是____；当把坐标系绕点逆时针选择30°时，点在旋转后的坐标系中的坐标是____． 三、解答题（本大题共5小题，满分58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 用适当的方法解下列方程 （1） （2） 20. 已知：在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； （2）画出将绕点按顺时针旋转所得的． 21. 已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值． 22. 某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条彩色图案． （1）若除去彩色图案剩余的面积共为，设彩色图案的宽度为acm，则可列方程为______；（要求用原数列方程，不要求化简） （2）已知该工艺品的成本是30元/件，物价局规定销售单价在35元至60元的范围内，如果以单价40元/件销售，那么每天可售出600件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是1000元，根据销售经验，如果将销售单价每上涨1元，每天就少售出10件，请问该公司每天把销售单价定为多少元时所获利润为9000元． 23. 已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．点的坐标为，． （1）求抛物线的解析式． （2）点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． （3）若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025(1)第一次月度检测9年级数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列图形，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形的定义，熟知中心对称图形的定义是解题的关键．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：B． 2. 下列各式中,y是x的二次函数的为(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析即可． 【详解】解：A、y是x的二次函数，故此选项正确； B、不是二次函数，故此选项错误； C、不是二次函数，故此选项错误； D、不是二次函数，故此选项错误； 故选A． 【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 3. 已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而增大 D. 图象与轴有唯一交点 【答案】C 【解析】 【分析】先利用配方法得到，可根据二次函数的性质可对、、进行判断；通过解方程可对进行判断． 【详解】解：， 抛物线的开口向下，顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线，当 时，随的增大而增大， 令，则，解方程解得 ，， △， 抛物线与轴有两个交点． 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数的顶点式的知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 4. 已知点A（a，2019）与点是关于原点O的对称点，则a+b的值为（ ） A. 1 B. 5 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的横坐标符号相反，纵坐标符号也相反可得a、b的值，进而可得答案． 【详解】解：∵点A(a，2019)与点是关于原点O的对称点， ∴a=2020，b=−2019， ∴a+b=1． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 5. 函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合判断，熟练掌握一次函数图象、二次函数图象与各项系数符号之间的关系是解题的关键． 分两种情况讨论，当时和当时，结合一次函数与二次函数的图象和性质即可得出答案． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过一、二、三象限，二次函数图象开口向上，对称轴为直线，且一次函数与二次函数交于点，符合条件的为选项C； 当时，一次函数的图象经过一、二、四象限，二次函数图象开口向下，对称轴为直线，且一次函数与二次函数交于点，没有符合条件的选项； 故选：C． 6. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，根据旋转的性质，得，，得证；结合，得到，根据，选择即可． 【详解】解：根据旋转的性质，得，， ∴； ∵， ∴， ∵， 故选A． 7. 已知关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式等知识，要注意根据一元一次方程、一元二次方程的定义分类讨论．当方程为一元一次方程时，可以得到；当方程为一元二次方程时，，根据一元二次方程根的判别式即可得到且，进而即可求出a的取值范围． 【详解】解：当方程为一元一次方程时，，此时方程有实数根； 当方程为一元二次方程时，，并且， 即， 解得， ∴且， 综上所述：关于x的方程有实数根，则a的取值范围是． 故选：A 8. 如图，在四边形中，，，，，．动点沿路径从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动．过点作，垂足为．设点运动的时间为（单位：），的面积为，则关于的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分点P在AB边上，如图1，点P在BC边上，如图2，点P在CD边上，如图3，利用解直角三角形的知识和三角形的面积公式求出相应的函数关系式，再根据相应函数的图象与性质即可进行判断． 【详解】解：当点P在AB边上，即0≤x≤4时，如图1， ∵AP=x，， ∴， ∴； 当点P在BC边上，即4＜x≤10时，如图2， 过点B作BM⊥AD于点M，则， ∴； 当点P在CD边上，即10＜x≤12时，如图3， AD=，， ∴； 综上，y与x的函数关系式是：， 其对应的函数图象应为： ． 故选：D． 【点睛】本题以直角梯形为载体，主要考查了动点问题的函数图象、一次函数和二次函数的图象与性质以及解直角三角形等知识，属于常考题型，正确分类、列出相应的函数关系式是解题的关键． 9. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，从小到大排列（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增加性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线； ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点，，，， ∴； 故选B． 10. 一台机器原价为100万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，则y与x之间的函数关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，需注意两年后的价位是在一年后的价位的基础上降价的．原价为100万元，一年后的价格是万元，两年后的价格是为：万元，则函数解析式求得． 【详解】解：由题意得，，即． 故选：A 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分） 11. 已知是关于的一元二次方程，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键． 直接利用一元二次方程的定义知道二次项系数不为0同时x的最高次幂为2，得出m的值进而得出答案． 【详解】解：由题意知：且， 解得， 故答案为：． 12. m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，则式子4m2+6m+2021的值为 _____． 【答案】2023 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到2m2+3m＝1，再把4m2+6m+2021变形为2（2m2+3m）+2021，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m是方程2x2+3x﹣1＝0的根， ∴2m2+3m﹣1＝0， ∴2m2+3m＝1， ∴4m2+6m+2021＝2（2m2+3m）+2021＝2×1+2021＝2023． 故答案为：2023． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 13. 已知点M（a，b）与点N（-2，3）关于原点中心对称，则M点的坐标为___________． 【答案】（2，-3）． 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，即可求得． 【详解】∵点M（a，b）与点N（-2，3）关于原点中心对称 ∴a=2，b=-3 则M点的坐标为（2，-3） 故答案为：（2，-3） 【点睛】解题关键是理解并掌握关于原点对称的两个点的坐标符号相反． 14. 菱形的一条对角线长为，边的长是方程的一个根，则菱形的周长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】边AB的长是方程的一个根，解方程求得x的值，根据菱形的一条对角线长为8，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形的周长． 【详解】∵解方程， 即， 得：， ∵对角线长为，不能构成三角形； ∴菱形的边长为． ∴菱形的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，由于菱形的对角线和两边组成了一个三角形，根据三角形三边的关系来判断出菱形的边长是多少，然后根据题目中的要求进行解答即可． 15. 如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面．当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，可以得到A、B、M的坐标，设出函数关系式，待定系数求解函数式．根据NC的长度，得出函数的y坐标，代入解析式，即可得出E、F的坐标，进而得出答案． 【详解】 如图，建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意得，M点坐标为(0，6)，A点坐标为(−10，0)，B点坐标为(10，0)， 设中间大抛物线的函数式为y=−ax2+bx+c， 代入三点的坐标得到， 解得． ∴函数式为y=−x2+6， ∵NC=4.5米， ∴令y=4.5米， 代入解析式得x1=5，x2=−5， ∴可得EF=5−(−5)=10米． 故答案为10． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握二次函数的应用． 16. 已知二次函数y＝3（x﹣a）2+k，若当x＞3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】借助图形，利用二次函数的增减性质即可解决． 【详解】画出图象示意图如下： ∵当x＞3时，y随x的增大而增大 ∴根据图象知，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，数形结合是关键． 17. 抛物线，当时，y的最小值与最大值的和是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先根据解析式得到抛物线顶点坐标为，且抛物线开口向下，则y的最大值为3，离对称轴越远，函数值越小，且对称轴为直线，再根据自变量的取值范围推出当时，函数有最小值，据此求出最小值即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴抛物线顶点坐标为，且抛物线开口向下， ∴y的最大值为3，离对称轴越远，函数值越小，且对称轴为直线， ∵， ∴当时，当时，函数有最小值，最小值为， ∴y的最小值与最大值的和是， 故答案为：． 18. 在平面直角坐标系中，点坐标是．当把坐标系绕点顺时针选择30°时，点在旋转后的坐标系中的坐标是____；当把坐标系绕点逆时针选择30°时，点在旋转后的坐标系中的坐标是____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意，画出图形，连接AO，过点A作AB⊥x轴于点B，得AO=2，∠AOB=30°，当把坐标系绕点顺时针旋转30°时，相当于把OA绕点O逆时针旋转30°，当把坐标系绕点逆时针旋转30°时，相当于把OA绕点O顺时针旋转30°，分别进行求解，即可． 【详解】连接AO，过点A作AB⊥x轴于点B， ∵点坐标是， ∴AB=1，BO=， ∴AO==2，∠AOB=30°． ∵当把坐标系绕点顺时针旋转30°时，相当于把OA绕点O逆时针旋转30°， ∴点在旋转后的坐标系中x轴的负半轴上，即：A(-2，0)． ∵当把坐标系绕点逆时针旋转30°时，相当于把OA绕点O顺时针旋转30°， ∴∠B′OA′=60°，OA′=OA=2， ∴A′B′= OA′×sin60°=2×=，OB′= OA′×cos60°=2×=1， ∴． 故答案是：；． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，图形与坐标，解直角三角形的应用，掌握点的坐标的定义，锐角三角函数的定义，是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，满分58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 用适当的方法解下列方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，运用合适的解法求解即可，掌握解一元二次方程的常见方法是解题的关键． （1）运用配方法求解即可； （2）运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：移项得：， 配方得：， 即：， 开方得：， ∴； 【小问2详解】 移项得：， 因式分解得：，即， ∴或， 解得：． 20. 已知：在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； （2）画出将绕点按顺时针旋转所得的． 【答案】 （1）如图所示，即为所求， 点的坐标为； （2）如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得； 分别作出点、绕点按顺时针旋转所得的对应点，再顺次连接即可得． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】此题主要考查了图形的旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键． 21. 已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值． 【答案】(1) k≤;(2)-2. 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=﹣4k+5≥0，解之即可得出实数k的取值范围； （2）由根与系数的关系可得x1+x2=1﹣2k、x1x2=k2﹣1，将其代入x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2中，解之即可得出k的值． 【详解】（1）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2， ∴△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）=﹣4k+5≥0，解得：k≤， ∴实数k的取值范围为k≤． （2）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2， ∴x1+x2=1﹣2k，x1x2=k2﹣1． ∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2， ∴（1﹣2k）2﹣2×（k2﹣1）=16+（k2﹣1）， 即k2﹣4k﹣12=0， 解得：k=﹣2或k=6（不符合题意，舍去）． ∴实数k的值为﹣2． 22. 某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条彩色图案． （1）若除去彩色图案剩余的面积共为，设彩色图案的宽度为acm，则可列方程为______；（要求用原数列方程，不要求化简） （2）已知该工艺品的成本是30元/件，物价局规定销售单价在35元至60元的范围内，如果以单价40元/件销售，那么每天可售出600件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是1000元，根据销售经验，如果将销售单价每上涨1元，每天就少售出10件，请问该公司每天把销售单价定为多少元时所获利润为9000元． 【答案】（1） （2）当售价定为50元时能达到利润9000元 【解析】 【分析】（1）设花边的宽度为，根据题意列式即可； （2）设每件工艺品售价为x元，即，根据题意直接列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设花边的宽度为，根据题意得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设每件工艺品售价为x元，即， 由题意得：， 化简：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴售价为50元． 答：当售价定为50元时能达到利润9000元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是根据题意得到一元二次方程，然后进行求解即可． 23. 已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．点的坐标为，． （1）求抛物线的解析式． （2）点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． （3）若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得点C的坐标，将点B、C的坐标代入抛物线即可求得答案； （2）因为抛物线的对称轴为，点B和点A关于对称轴对称，的值最小转化为求，结合（1）求得点A的坐标，利用点A、C的坐标求得直线解析式，即可求得答案； （3）过点D作直线轴，交于点E，交x轴于点F，过点C作于点G，利用抛物线和直线解析式表示点D和点E，求得的距离，将四边形面积分割求和，表示为一元二次函数，求该函数的最值即可解得答案； 【小问1详解】 解：∵点B的坐标为，， ∴，， 即点，代入得， 解得， 则抛物线的解析式； 【小问2详解】 解：由抛物线的解析式得对称轴为，， ∵点是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∵点B关于对称轴的对称点为点A， ∴的值最小为，如图， 设直线的解析式为将点，代入得， 解得，则，当时，， 故当的值最小时，点； 【小问3详解】 解：过点D作直线轴，交于点E，交x轴于点F，过点C作于点G，如图， 设点，则点，得， ， ∵， ∴当时，， 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的最值以及三角形的面积公式，解题的关键是函数图象上点的特征、用点的坐标表示距离和面积分割求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $