精品解析：江西省赣州市赣州中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

赣州中学2024-2025学年度高一上第一次月考 数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的4个选项中只有一项符合题目要求） 1. 设集合，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用交集的结果求解并验证即得. 【详解】,则,解得. 当满足题意； 当,不满足集合元素互异性； 故. 故选：A. 2. 已知命题：，为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】二次不等式恒成立问题可转化为二次方程解的情况，可得不等式，解不等式即可. 【详解】因为命题：，为真命题，所以不等式的解集为. 若，则不等式可化为，解得，不等式解集不是； 若，则根据一元二次不等式解集的形式可知：，解得， 综上可知：， 故选：D. 3. 已知集合，集合，则集合的子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】由条件确定结合中的元素，由此可得集合的子集个数. 【详解】因为，， 所以， 所以集合的子集个数为. 故选：B. 4. 在关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】分，和三种情况解不等式，结合解集中恰有两个整数，得到不等式，解不等式可得结论. 【详解】， 若，即时，解集为， 要想解集中恰有两个整数，则，解得， 与取交集后得， 若，即时，解集为，此时不满足要求，舍去； 若，即时，解集为， 要想解集中恰有两个整数，则，解得， 与取交集后得. 综上，实数a的取值范围为或. 故选：C. 5. 已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简命题，根据是的必要条件求解. 【详解】由可得， 因为是的必要条件，所以， 则是的子集，故. 故选：D. 6. 已知命题，命题，则下列说法中正确的是（ ） A. 命题都是真命题 B. 命题是真命题，是假命题 C. 命题是假命题，是真命题 D. 命题都是假命题 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题及特称命题的特征判断真假即可. 【详解】因为时,,是假命题； 因为时，,是真命题； 故选：C. 7. 已知关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据判别式进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法、根与系数关系等知识确定正确答案. 【详解】对于函数． ①令，即，满足恒成立， 因此，只需，即，所以． ②令，即或． 设方程的两根分别为，则． 当时，方程有两个正根， 存在，使得，不符合题意，舍去； 当时，方程有两个负根， 因此，只需，即，所以， 综上所述，的取值范围为． 故选：C 8. 设､､是两个两两不相等的正整数.若，，，，，则的最小值是（ ） A. 1000 B. 1297 C. 1849 D. 2020 【答案】B 【解析】 【分析】不妨设，则，根据集合相等的定义可得，分析可得为偶数，从而可得可得为奇数，再分析计算即可得出答案. 【详解】解：不妨设，则， 因为，，，，， 所以， 因为为偶数， 所以，，必为两奇一偶，从而可得为奇数， 又因为，所以为不小于3的奇数， 若，则，，，，， 故，且，所以，不符合要求， 若，则，，，，，故，解得， 此时，， 所以的最小值是1297. 故选：B. 【点睛】本题主要考查的时集合相等的定义，解决本题的关键在于先假设，判断，，三个数中奇偶数的个数，考查了数据分析及逻辑推理能力. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每个小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选题错得0分） 9. 已知，下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对A：举反例说明；对BCD：作差后根据条件判断大小. 【详解】对于选项A，当时，，故A错误; 对于选项B，，因为，所以， 所以，即，故B正确; 对于选项C，， 因为，所以， 所以，即，故C错误； 对于选项D，因为， 又因为，所以，所以，即，故D正确. 故选:BD. 10. 下列命题中是真命题的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“，都有”的否定是“，使得” C. 不等式成立的一个充分不必要条件是或 D. 当时，方程组有无穷多解 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用充要条件的定义与全称命题的否定结合一元二次不等式和分式不等式得解法逐项判断即可. 【详解】解：对A，“”可以推出“”，而“”推出或者，所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对B，命题“，都有”的否定是“，使得”，故B错误； 对C，不等式成立，即或，所以不等式成立的一个充分不必要条件是或，故C正确； 对D，当时，方程组等价于，所以方程组有无穷多解，故D正确. 故选：ACD. 11. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为2 B. 已知，则的最小值为 C. 若正数为实数，若，则的最大值为3 D. 设为实数，若，则的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】举例说明判断A；变形式子并利用基本不等式求解判断B；利用基本不等式“1”的妙用求解判断C；配方变形并利用基本不等式建立关系，再解不等式判断D. 【详解】对于A，取，得，A错误； 对于B，当时，，， 当且仅当，即时取等号，B正确； 对于C，正数为实数，由，得， 则， 当且仅当，即时取等号，C错误； 对于D，由，得， 则，解得，当且仅当时取等号，D正确. 故选：BD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设集合中含有三个元素1，，，若，则________. 【答案】或5 【解析】 【分析】根据题意可得，或，求出后，再由集合中的元素具有互异性分析判断即可. 【详解】因为集合中含有三个元素1，，，且， 所以，或， 当时，得，此时集合中含有三个元素1，4，25，符合题意， 当时，得或， 当时，集合中只有两个元素1，4，不合题意，舍去， 当时，集合中含有三个元素1，4，，符合题意， 综上，或. 故答案为：或5 13. 已知命题，命题，都有，若命题为真命题，命题为假命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】. 【解析】 【分析】根据为真命题，得，故，根据，为真命题得，即可求解. 【详解】命题为真命题，则使得，故，故， 若命题为假命题，则，为真命题，故或，解得， 故命题为真命题，命题为假命题，则，解得， 故答案为： 14. 若正实数满足，则的最大值为________. 【答案】4 【解析】 【分析】将用的表达式表示，结合，利用均值不等式求出，从而确定的范围. 【详解】因为， 所以， 又且， 所以， 解得， = 结合知，有最大值4. 故答案为：4. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知全集，集合，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合交集的概念与运算，即可求解； （2）根据题意，求得，分和，两种情况讨论，结合集合的包含关系，列出不等式（组），即可求解. 【小问1详解】 解：由集合，，可得. 【小问2详解】 解：由集合，，可得， 因为集合且， 当时，可得，解得，此时满足； 当时，要使得，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 16. 在①；②“”是“”的充分不必要条件；③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答. 问题：已知集合，. （1）当时，求； （2）若______，求实数的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）； （2） 若选择①，可得；若选择②，可得；若选择③，或. 【解析】 【分析】（1）求出后利用并集的定义可求. （2）若选择①②，则根据条件得到两个集合的包含关系，从而可求参数的取值范围；若选择③，则就是否为空集分类讨论后可求参数的取值范围. 【小问1详解】 当时，集合，， 所以. 【小问2详解】 若选择①，则是的子集， 因为，所以， 又，所以解得， 所以实数的取值范围是. 若选择②“”是“”的充分不必要条件，则是真子集， 因为，所以， 又，所以（等号不同时成立）， 解得，所以实数的取值范围是． 若选择③，， 因为，， 所以或，解得或. 17. （1）已知非空集合.若“”是“”的充分而不必要条件，求实数的取值范围. （2）已知二次函数.若时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） ；（2）. 【解析】 【分析】（1）问题转化为根据集合的关系求参数的取值范围. （2）把问题转化为，，再利用基本（均值）不等式求出的最小值即可得解. 【详解】（1）因为“”是“”充分不必要条件，所以是的真子集， 又，， 所以且（等号不同时成立），解得. 故实数的取值范围是. （2）由题不等式即在上恒成立. 所以在上恒成立，故， 又，当且仅当即时等号成立， ，即， 实数的取值范围是：. 18. 企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后，技术人员的年人均投入为（其中）万元，研发人员的年人均投入增加. （1）要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员x的取值范围是多少? （2）若研发部新招聘1名员工，原来的研发部人员调整策略不变，且对任意一种研发部人员的分类方式，需要同时满足下列两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入.请分析是否存在满足上述条件的正实数m，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1），； （2）不存在，理由如下： 由题意知，现在研发部共有81人 假设存在正实数m同时满足题设中的条件①②，那么， 由条件①，技术人员的年人均投入始终不减少，则有， 解得（且）， 因为且，所以当时，， 所以； 由条件②，研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入， 则有（且）. 即， 所以（且）. 由， 当且仅当，即时等号成立， 即， 所以. 综上所述，显然不存在正实数m同时满足题设条件（1）和（2）. 【解析】 【分析】（1）根据调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入列不等式求解； （2）先根据条件①列不等式求出m的最小值，根据条件②列不等式求出m的最大值，通过m的最值可得答案. 【小问1详解】 依题意得，调整后研发人员人数为人，年人均投入为万元，则有， 解得. 因为，且，所以. 所以优化调整后的技术人员人数的范围是. 【小问2详解】 不存在，理由略. 19. 设集合），若是的子集，把中所有元素的和称为的"容量"（规定空集的容量为0），若的容量为奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集. （1）写出的所有奇子集; （2）求证：的奇子集与偶子集个数相等； （3）求证：当时，的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和. 【答案】（1）、、,、,、,、,、,2,、,3,； （2） 设奇数，对于的每个奇子集， 当时，取且． 当时，取，则为的偶子集． 反之，亦然．所以，的奇子集与偶子集是一一对应的． 所以，的奇子集与偶子集个数相等． （3） 对任一，含的子集共有个，用上面的对应方法可知， 其中必有一半是奇子集，一半是偶子集， 从而对于每个数，在奇子集的和与偶子集的和中，所占的个数是一样的． 于是在计算奇子集容量之和时，元素的贡献是， 奇子集容量之和是， 根据上面所说，这也是偶子集的容量之和，两者相等， 故当时，的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和． 【解析】 【分析】（1）根据题意，分析的子集，对应奇子集的定义，即可得的所有奇子集； （2）设为的奇子集，根据奇子集和偶子集的定义，按1是否属于进行分类，则得到奇子集和偶子集之间的关系，分析即可证得结论； （3）根据（2）中的结论，计算奇子集容量之和时，元素的贡献是，即可求得奇子集的容量之和，从而得到偶子集的容量之和，即可得到结论． 【小问1详解】 由题意可知，当时，，2，3，， 的容量为奇数，则为的奇子集， 所有的奇子集应为、、,、,、,、,、,2,、,3,； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赣州中学2024-2025学年度高一上第一次月考 数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的4个选项中只有一项符合题目要求） 1. 设集合，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：，为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，集合，则集合的子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 16 D. 32 4. 在关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 5. 已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知命题，命题，则下列说法中正确的是（ ） A. 命题都是真命题 B. 命题是真命题，是假命题 C. 命题是假命题，是真命题 D. 命题都是假命题 7. 已知关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设､､是两个两两不相等的正整数.若，，，，，则的最小值是（ ） A. 1000 B. 1297 C. 1849 D. 2020 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每个小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选题错得0分） 9. 已知，下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列命题中是真命题的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“，都有”的否定是“，使得” C. 不等式成立的一个充分不必要条件是或 D. 当时，方程组有无穷多解 11. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为2 B. 已知，则的最小值为 C. 若正数为实数，若，则的最大值为3 D. 设为实数，若，则的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设集合中含有三个元素1，，，若，则________. 13. 已知命题，命题，都有，若命题为真命题，命题为假命题，则实数的取值范围是__________. 14. 若正实数满足，则的最大值为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知全集，集合，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 在①；②“”是“”的充分不必要条件；③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答. 问题：已知集合，. （1）当时，求； （2）若______，求实数的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 17. （1）已知非空集合.若“”是“”的充分而不必要条件，求实数的取值范围. （2）已知二次函数.若时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. 企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后，技术人员的年人均投入为（其中）万元，研发人员的年人均投入增加. （1）要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员x的取值范围是多少? （2）若研发部新招聘1名员工，原来的研发部人员调整策略不变，且对任意一种研发部人员的分类方式，需要同时满足下列两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入.请分析是否存在满足上述条件的正实数m，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 19. 设集合），若是的子集，把中所有元素的和称为的"容量"（规定空集的容量为0），若的容量为奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集. （1）写出的所有奇子集; （2）求证：的奇子集与偶子集个数相等； （3）求证：当时，的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $